2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估試卷一、代數(shù)模塊風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估1.1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$在$x=0$處取得極值，且曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線斜率為$e-1$。（1）求$a$，$b$的值；（2）若存在$x_0\in[0,2]$，使得$f(x_0)<k$成立，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍；（3）當(dāng)$x\geq0$時(shí)，求證：$f(x)\geq(x-1)^2$。風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)分析：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零的條件易忽略定義域驗(yàn)證，導(dǎo)致參數(shù)求解錯(cuò)誤存在性問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的區(qū)別易混淆，導(dǎo)致不等號(hào)方向判斷失誤證明題中構(gòu)造輔助函數(shù)的技巧性較強(qiáng)，需注意導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的判斷方法1.2數(shù)列與不等式證明設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n^2$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}$；（3）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，求滿足$S_n>100$的最小正整數(shù)$n$。典型錯(cuò)誤示例：特征方程法求解遞推數(shù)列時(shí)忽略常數(shù)項(xiàng)處理，導(dǎo)致齊次方程構(gòu)造錯(cuò)誤放縮法證明不等式時(shí)過(guò)度放縮，導(dǎo)致結(jié)果偏離目標(biāo)值錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤，特別是最后幾項(xiàng)的符號(hào)處理二、幾何模塊風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估2.1立體幾何與空間向量如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$為$BB_1$的中點(diǎn)。（1）求證：平面$A_1CD\perp$平面$A_1C_1D$；（2）求二面角$A-A_1D-C$的余弦值；（3）線段$A_1C$上是否存在點(diǎn)$M$，使得$BM\parallel$平面$A_1CD$？若存在，求出$\frac{A_1M}{MC}$的值；若不存在，說(shuō)明理由?？臻g想象能力風(fēng)險(xiǎn)：坐標(biāo)系建立不當(dāng)導(dǎo)致點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤，特別是斜棱柱的建系問(wèn)題法向量求解時(shí)行列式計(jì)算易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤存在性問(wèn)題中參數(shù)取值范圍的邊界條件易遺漏2.2解析幾何綜合題已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)$P(0,1)$的直線$l$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，若以$AB$為直徑的圓過(guò)點(diǎn)$D(1,0)$，求直線$l$的方程；（3）在（2）的條件下，求$\triangleABD$的面積。運(yùn)算復(fù)雜度風(fēng)險(xiǎn)：聯(lián)立直線與橢圓方程時(shí)，韋達(dá)定理應(yīng)用易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)運(yùn)算中符號(hào)處理易錯(cuò)弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線距離公式的綜合應(yīng)用計(jì)算量大，易發(fā)生數(shù)值錯(cuò)誤三、數(shù)論與組合模塊風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估3.1整除性問(wèn)題設(shè)$n$為正整數(shù)，定義$f(n)$為$n$的所有正約數(shù)之和。（1）證明：若$m$，$n$互質(zhì)，則$f(mn)=f(m)f(n)$；（2）求所有滿足$f(n)=2n$的偶數(shù)$n$；（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)$n$，使得$6|f(n)$。邏輯推理風(fēng)險(xiǎn)：數(shù)論函數(shù)的積性證明中忽略互質(zhì)條件，導(dǎo)致證明不嚴(yán)謹(jǐn)完全數(shù)問(wèn)題的求解易忽略歐幾里得-歐拉定理的前提條件存在性證明中構(gòu)造法的應(yīng)用需要較強(qiáng)的數(shù)論直覺(jué)3.2組合計(jì)數(shù)問(wèn)題在$8\times8$的國(guó)際象棋棋盤(pán)上：（1）求放置$8$個(gè)互不攻擊的皇后的方法數(shù)；（2）求由$3$個(gè)紅色方格和$5$個(gè)藍(lán)色方格組成的矩形的個(gè)數(shù)；（3）若將棋盤(pán)每個(gè)方格染成黑白兩色，求至少有一個(gè)$2\times2$的同色正方形的染色方法數(shù)。分類(lèi)討論風(fēng)險(xiǎn)：皇后問(wèn)題中易忽略對(duì)角線攻擊的約束條件矩形計(jì)數(shù)時(shí)未考慮不同尺寸矩形的分類(lèi)處理容斥原理應(yīng)用時(shí)集合的定義不準(zhǔn)確，導(dǎo)致重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù)四、創(chuàng)新題型風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估4.1新定義問(wèn)題定義：對(duì)于數(shù)列${a_n}$，若存在常數(shù)$M>0$，使得對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^*$，都有$|a_n|\leqM$，則稱(chēng)數(shù)列${a_n}$為有界數(shù)列。（1）若等差數(shù)列${a_n}$是有界數(shù)列，證明：該數(shù)列是常數(shù)列；（2）若等比數(shù)列${b_n}$是有界數(shù)列，求公比$q$的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列${c_n}$滿足$c_1=1$，$c_{n+1}=\frac{1}{2}(c_n+\frac{2}{c_n})$，證明：${c_n}$是有界數(shù)列。閱讀理解風(fēng)險(xiǎn)：新定義的準(zhǔn)確理解需要逐字分析，避免主觀臆斷將新定義與已有知識(shí)體系建立聯(lián)系的轉(zhuǎn)化能力要求高證明過(guò)程中需嚴(yán)格按照定義條件進(jìn)行邏輯推理4.2實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題某公司計(jì)劃生產(chǎn)兩種型號(hào)的智能設(shè)備，A型設(shè)備每臺(tái)成本800元，售價(jià)1200元；B型設(shè)備每臺(tái)成本1000元，售價(jià)1500元。生產(chǎn)一臺(tái)A型設(shè)備需要2小時(shí)，生產(chǎn)一臺(tái)B型設(shè)備需要3小時(shí)。每月總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)1200小時(shí)，且A型設(shè)備產(chǎn)量不超過(guò)B型設(shè)備的2倍。（1）如何安排生產(chǎn)才能使每月利潤(rùn)最大？（2）若市場(chǎng)需求變化，A型設(shè)備售價(jià)降低$m$元（$0<m<200$），B型設(shè)備售價(jià)提高10%，此時(shí)最優(yōu)生產(chǎn)方案如何變化？（3）在（2）的條件下，為保證公司利潤(rùn)不低于原最大利潤(rùn)的80%，求$m$的最大值。數(shù)學(xué)建模風(fēng)險(xiǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題中約束條件的準(zhǔn)確翻譯易出現(xiàn)疏漏目標(biāo)函數(shù)的建立需明確利潤(rùn)計(jì)算方式，注意成本與售價(jià)的區(qū)別參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響分析需要結(jié)合圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)討論五、解題策略建議5.1時(shí)間分配方案題型模塊建議時(shí)間（分鐘）分值占比難度系數(shù)代數(shù)模塊4530%0.65幾何模塊4025%0.60數(shù)論組合3525%0.45創(chuàng)新題型3020%0.355.2易錯(cuò)點(diǎn)警示定義域優(yōu)先原則：所有函數(shù)問(wèn)題必須先考慮定義域分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)：做到不重不漏，層次分明特殊值驗(yàn)證：解題后用特殊情況檢驗(yàn)結(jié)果的合理性數(shù)學(xué)符號(hào)規(guī)范：向量、集合、函數(shù)等符號(hào)的書(shū)寫(xiě)要標(biāo)準(zhǔn)邏輯連接詞：證明過(guò)程中"因?yàn)?、"所以"等連接詞要清晰5.3解題思維流程問(wèn)題轉(zhuǎn)化：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型知識(shí)聯(lián)想：聯(lián)系已有知識(shí)體系尋找解題突破口多解驗(yàn)證：重要問(wèn)題嘗試不同解法交叉驗(yàn)證反思拓展：思考問(wèn)題