2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+ln(3-x)的定義域?yàn)椋ǎ〢.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e?-e??已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，則cos(α+π/2)=（）A.3/5B.-3/5C.4/5D.-4/5某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.24πcm3已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=1，S?=7，則公比q=（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.4B.8C.16D.32已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.±√2C.±1D.0已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M，N，若|MF|=2|NF|，則直線AB的斜率為（）A.±√3B.±2√2C.±2D.±√2已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=1處取得極值，且其圖象與直線y=3x+2相切，則a+b=（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α=________。若(x-1/x)?的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過(guò)點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≤5的解集為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=3，S?=25。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=2??1+a?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（1）求角C的大小；（2）若c=√7，△ABC的面積為3√3/2，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A?B//平面ADC?；（2）求二面角C?-AD-C的余弦值。（本小題滿分12分）為了了解某學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)該校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）從體能測(cè)試成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)?cè)谕粎^(qū)間的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?，F(xiàn)?，離心率為√2/2，且過(guò)點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F?的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF?的面積為4√3/5，求直線l的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?，x?(x?<x?)，且f(x?)-f(x?)≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.B4.A5.D6.C7.C8.B9.A10.B11.B12.C二、填空題4/514.-2015.x2/3-y2/6=116.[-3,2]三、解答題解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，由題意得：a?+d=35a?+10d=25解得a?=1，d=2所以a?=1+2(n-1)=2n-1（5分）（2）b?=2??1+2n-1T?=(1+2+4+...+2??1)+(1+3+5+...+2n-1)=2?-1+n2（10分）解：（1）由正弦定理得：sinCcosB=(2sinA-sinB)cosCsinCcosB+sinBcosC=2sinAcosCsin(B+C)=2sinAcosCsinA=2sinAcosC因?yàn)閟inA≠0，所以cosC=1/2又0<C<π，所以C=π/3（6分）（2）由面積公式得：1/2absinC=3√3/2ab=6由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC7=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab(a+b)2=25所以a+b=5（12分）（1）證明：連接A?C交AC?于點(diǎn)O，連接OD因?yàn)樗倪呅蜛CC?A?是平行四邊形，所以O(shè)是A?C的中點(diǎn)又D是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A?B因?yàn)镺D?平面ADC?，A?B?平面ADC?所以A?B//平面ADC?（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0)，D(1,1,0)，C?(0,2,2)向量AD=(1,1,0)，AC?=(0,2,2)設(shè)平面ADC?的法向量n=(x,y,z)則n·AD=x+y=0n·AC?=2y+2z=0令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)平面ADC的法向量m=(0,0,1)cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3所以二面角C?-AD-C的余弦值為√3/3（12分）解：（1）由頻率分布直方圖得：(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1解得a=0.01（4分）（2）平均數(shù)=55×0.05+65×0.15+75×0.1+85×0.3+95×0.25+105×0.15=82.5設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-80)×0.03=0.5解得x=83.33（8分）（3）成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人，[90,100]的學(xué)生有15人從20人中隨機(jī)抽取2人，共有C??2=190種方法2人成績(jī)?cè)谕粎^(qū)間的方法有C?2+C??2=10+105=115種所以概率P=115/190=23/38（12分）解：（1）由題意得：c/a=√2/21/a2+1/(2b2)=1a2=b2+c2解得a2=2，b2=1，c2=1所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1（4分）（2）F?(-1,0)，F(xiàn)?(1,0)設(shè)直線l的方程為x=my-1聯(lián)立橢圓方程得：(m2+2)y2-2my-1=0設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則y?+y?=2m/(m2+2)，y?y?=-1/(m2+2)|y?-y?|=√[(y?+y?)2-4y?y?]=√[4m2/(m2+2)2+4/(m2+2)]=2√2(m2+1)/(m2+2)S△ABF?=1/2×2c×|y?-y?|=|y?-y?|=2√2(m2+1)/(m2+2)=4√3/5解得m2=1，m=±1所以直線l的方程為x±y+1=0（12分）解：（1）f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax-1)(x-1)/x(x>0)當(dāng)a≤0時(shí)，2ax-1<0令f'(x)>0，得0<x<1；令f'(x)<0，得x>1所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減當(dāng)0<a<1/2時(shí)，1/(2a)>1令f'(x)>0，得0<x<1或x>1/(2a)；令f'(x)<0，得1<x<1/(2a)所以f(x)在(0,1)和(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減當(dāng)a=1/2時(shí)，f'(x)=(x-1)2/x≥0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增當(dāng)a>1/2時(shí)，0<1/(2a)<1令f'(x)>0，得0<x<1/(2a)或x>1；令f'(x)<0，得1/(2a)<x<1所以f(x)在(0,1/(2a))和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減（6分）（2）由（1）知，當(dāng)0<a<1/2時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?=1/(2a)，x?=1f(x?)-f(x?)=ln1+a×12-(2a+1)×1-[ln(1/(2a))+a×(1/(2a))2-(2a+1)×(1/(2a))]=-a-1-[ln(1/(2a))+1/(4a)-1-1/(2a)]=-a-1+ln(2a)-1/(4a)+1+1/(2a)=ln(2a)-a+1/(4a)令t=2a(0<t<1)，則g(t)=lnt-t/2+1/(2t)g'(t)=1/t-1/2-1/(2t2)=-(t-1)2/(2t2)<0所以g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減g(