2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)常與變試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≤1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.-1B.1C.-3D.3函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.4B.8C.12D.16已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9=（）A.512B.256C.128D.64執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=1，則輸出的y=（）A.2B.3C.4D.5已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與拋物線的一個交點，若向量FQ=2向量QP，則|QF|=（）A.3B.4C.5D.6在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則事件“sinx+cosx≥√6/2”發(fā)生的概率為（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若f(x)在x=-1處有極值，且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=3x+1，則f(x)的解析式為（）A.f(x)=x3+2x2+3x+1B.f(x)=x3-2x2+3x+1C.f(x)=x3+2x2-3x+1D.f(x)=x3-2x2-3x+1已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是（）A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(2√2,+∞)D.[2√2,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若x，y滿足約束條件{x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=________。已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且f(π/4)=1，則φ=________。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=√3，則該三棱錐外接球的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC。（1）求角B的大??；（2）若b=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+c的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是PC的中點。（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；（2）求二面角A-DE-B的余弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，從高一、高二兩個年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）如下：高一：7273757677787879808182838485868788899091高二：7374757677787980818283848586878889909192（1）分別計算兩個年級學(xué)生體質(zhì)健康測試成績的平均數(shù)和方差，并估計哪個年級學(xué)生的體質(zhì)健康狀況更好；（2）從兩個年級測試成績不低于85分的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，求證：f(x1)+f(x2)>2-2e。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n+1(n∈N*)。（1）求證：數(shù)列{an+n+2}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設(shè)bn=an/2^n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn，并證明：Sn<3。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.C4.D5.A6.B7.A8.C9.B10.B11.A12.A二、填空題814.±√315.π/416.16π三、解答題（1）由正弦定理得a2+c2-b2=ac，由余弦定理得cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=1/2，因為0<B<π，所以B=π/3。（5分）（2）由三角形面積公式得(1/2)acsinB=2√3，即(1/2)ac×√3/2=2√3，解得ac=8。由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-24，解得(a+c)2=36，所以a+c=6。（10分）（1）因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD。因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD。又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC。因為BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC。（5分）（2）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，坐標(biāo)如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(-1,√3,0)，P(0,0,2)，C(1,√3,0)，E(1/2,√3/2,1)。向量AD=(-1,√3,0)，向量AE=(1/2,√3/2,1)，向量BD=(-3,√3,0)，向量BE=(-3/2,√3/2,1)。設(shè)平面ADE的法向量n=(x1,y1,z1)，平面BDE的法向量m=(x2,y2,z2)，可求得n=(√3,1,0)，m=(0,1,-√3/2)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=1/(2×√(1+3/4))=1/(2×√7/2)=√7/7，即二面角A-DE-B的余弦值為√7/7。（12分）（1）高一學(xué)生成績的平均數(shù)為82.5，方差為36.25；高二學(xué)生成績的平均數(shù)為83.5，方差為32.25。高二學(xué)生的體質(zhì)健康狀況更好。（6分）（2）高一測試成績不低于85分的學(xué)生有8人，高二有9人，共17人。X的可能取值為0,1,2,3。P(X=0)=C(8,3)/C(17,3)=56/680=7/85；P(X=1)=C(8,2)C(9,1)/C(17,3)=28×9/680=252/680=63/170；P(X=2)=C(8,1)C(9,2)/C(17,3)=8×36/680=288/680=72/170；P(X=3)=C(9,3)/C(17,3)=84/680=21/170。數(shù)學(xué)期望E(X)=0×7/85+1×63/170+2×72/170+3×21/170=（63+144+63）/170=270/170=27/17。（12分）（1）由離心率e=c/a=√3/2，得c=√3/2a，b2=a2-c2=a2-3/4a2=1/4a2。將點(2,1)代入橢圓方程得4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（5分）（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)。因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡得5m2=8(1+k2)，即m2=8(1+k2)/5。直線l的方程可化為y=kx±√(8(1+k2)/5)，恒過定點(0,±√(8/5))，即(0,±2√10/5)。當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=±2√10/5，也過該定點。綜上，直線l恒過定點(0,±2√10/5)。（12分）（1）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。令f'(x)=0，得x=1或x=e。當(dāng)0<x<1或x>e時，f'(x)<0；當(dāng)1<x<e時，f'(x)>0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，(e,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,e)。（4分）（2）因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2≤0在(0,+∞)上恒成立，即2a≥(lnx+2)/x在(0,+∞)上恒成立。令g(x)=(lnx+2)/x，g'(x)=(1-lnx-2)/x2=(-lnx-1)/x2。當(dāng)0<x<1/e時，g'(x)>0；當(dāng)x>1/e時，g'(x)<0。所以g(x)在x=1/e處取得最大值g(1/e)=(ln(1/e)+2)/(1/e)=(-1+2)e=e，所以2a≥e，即a≥e/2。（8分）（3）因為函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，所以f'(x)=lnx-2ax+2=0有兩個不同的實根x1，x2，即lnx1-2ax1+2=0，lnx2-2ax2+2=0。兩式相加得ln(x1x2)-2a(x1+x2)+4=0，兩式相減得ln(x1/x2)-2a(x1-x2)=0，即2a=ln(x1/x2)/(x1-x2)。要證f(x1)+f(x2)>2-2e，即證x1lnx1-ax12+x1+x2lnx2-ax22+x2>2-2e。將ax1=(lnx1+2)/2，ax2=(lnx2+2)/2代入得x1lnx1-[(lnx1+2)/2]x12+x1+x2lnx2-[(lnx2+2)/2]x22+x2>2-2e，化簡得(x1+x2)-[(lnx1+2)x12+(lnx2+2)x22]/2>2-2e，進(jìn)一步化簡可得x1+x2>2/e，由極值點偏移知識可證得該結(jié)論成立。（12分）（1）因為an+1=2an+n+1，所以an+1+(n+1)+2=2(an+n+2)。又a1+1+2=4，所以數(shù)列{an+n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列。（4分）（2）由（1）得an+n+2=4×2^(n-1)=2^(n+1)，所以an=2^(n+1)-n-2。（8分）（3）bn=an/2^n=(2^(n+1)-n-2)/2^n=2-(n+2)/2^n。Sn=2n-Σ(n+2)/2^n。設(shè)Tn=Σ(n+2)/2^n，利用錯位相減法可求得Tn=4-(n+4)/2^n，所以Sn=2n-[4-(n+4)/2^n]=2n-4+(n+4)/2^n。因為(n+4)/2^n>0，所以Sn<2n-4+2n=4n-4，當(dāng)n=1時，Sn=2-4+5/2=1/2<3；當(dāng)n≥2時，Sn=2n-4