2025年下學期高中數學合作辦學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.集合與函數概念已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x-5\leq0})，則(A\capB=)（）A.((1,5])B.([1,5])C.((1,4))D.([1,4))考查要點：集合的描述法表示、對數不等式與一元二次不等式的解法、集合的交集運算。需先通過對數函數單調性解(\log_2(x-1)<2)得(1<x<5)，再解二次不等式得(-1\leqx\leq5)，取交集后得((1,5])。2.函數性質與導數應用函數(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.5考查要點：利用導數研究函數單調性與最值。求導得(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令導數為0得極值點(x=0)和(x=2)。計算區(qū)間端點及極值點函數值：(f(-1)=-6)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)，最大值為2。3.平面向量與坐標運算已知點(M(-2,7))，(N(10,-2))，點(P)在線段(MN)上，且(\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM})，則點(P)的坐標為（）A.((2,4))B.((-14,16))C.((6,1))D.((22,-11))考查要點：平面向量的線性運算與坐標表示。設(P(x,y))，則(\overrightarrow{PN}=(10-x,-2-y))，(\overrightarrow{PM}=(-2-x,7-y))。由(\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM})得方程組：[\begin{cases}10-x=-2(-2-x)\-2-y=-2(7-y)\end{cases}]解得(x=2)，(y=4)。4.三角函數與三角恒等變換若(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{7}{5})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{6}{5})考查要點：同角三角函數基本關系與二倍角公式。利用(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{4}{5})，(\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1}{5})，相加得(\frac{5}{5}=1)？（修正：應為(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1)，但選項中無1，需檢查題目。若題目為(\sin2\alpha+\cos^2\alpha)，正確答案應為1，此處可能存在選項設置誤差，實際考查通分技巧：(\frac{2\tan\alpha+1}{1+\tan^2\alpha}=\frac{5}{5}=1)）。5.數列與不等式設等比數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3考查要點：等比數列前(n)項和公式。由(S_3=a_1(1+q+q^2)=7)，(S_6=S_3(1+q^3)=63)，得(1+q^3=9)，解得(q^3=8)，即(q=2)。6.立體幾何與空間向量在平行六面體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MC})，(\overrightarrow{A_1N}=2\overrightarrow{ND})，設(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a})，(\overrightarrow{AD}=\boldsymbol)，(\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c})，則(\overrightarrow{MN}=)（）A.(-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})B.(\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol-\frac{1}{3}\boldsymbol{c})C.(-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol-\frac{1}{3}\boldsymbol{c})D.(\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})考查要點：空間向量的線性運算。(\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol)，則(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol)。(\overrightarrow{AD}=\boldsymbol)，(\overrightarrow{A_1D}=\boldsymbol-\boldsymbol{c})，(\overrightarrow{A_1N}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A_1D}=\frac{2}{3}\boldsymbol-\frac{2}{3}\boldsymbol{c})，(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1N}=\boldsymbol{c}+\frac{2}{3}\boldsymbol-\frac{2}{3}\boldsymbol{c}=\frac{2}{3}\boldsymbol+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})。(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(\frac{2}{3}\boldsymbol+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})-(\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol)=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol+\frac{1}{3}\boldsymbol{c})。7.解析幾何與橢圓已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點分別為(F_1)，(F_2)，過(F_1)的直線與橢圓交于(A)，(B)兩點，若(\triangleABF_2)的周長為16，離心率(e=\frac{\sqrt{3}}{2})，則橢圓的方程為（）A.(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)C.(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1)D.(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1)考查要點：橢圓的定義與幾何性質。由橢圓定義知(\triangleABF_2)周長為(4a=16)，得(a=4)。離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，則(c=2\sqrt{3})，(b^2=a^2-c^2=16-12=4)，方程為(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)。8.概率與統計從裝有2個紅球和3個白球的口袋中任取2個球，記事件(A)為“至少有1個紅球”，則(P(A)=)（）A.(\frac{7}{10})B.(\frac{3}{10})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{4}{5})考查要點：古典概型與對立事件概率。總基本事件數為(C_5^2=10)，事件(A)的對立事件為“2個都是白球”，概率為(\frac{C_3^2}{10}=\frac{3}{10})，則(P(A)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10})。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.復數運算若復數(z=(m^2-3m+2)+(m-1)i)為純虛數，則實數(m=)________?？疾橐c：純虛數的概念。實部為0且虛部不為0，即(\begin{cases}m^2-3m+2=0\m-1\neq0\end{cases})，解得(m=2)。10.導數幾何意義曲線(y=x\lnx)在點((1,0))處的切線方程為________?？疾橐c：導數的幾何意義。求導得(y'=\lnx+1)，在(x=1)處切線斜率為(1)，切線方程為(y-0=1\cdot(x-1))，即(y=x-1)。11.三角函數圖像函數(f(x)=\sin(2x+\varphi)(|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的圖像關于直線(x=\frac{\pi}{6})對稱，則(\varphi=)________?？疾橐c：三角函數的對稱性。對稱軸處函數取最值，即(2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi)，(k\in\mathbb{Z})，解得(\varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi)。由(|\varphi|<\frac{\pi}{2})得(\varphi=\frac{\pi}{6})。12.不等式恒成立問題若不等式(x^2-ax+1\geq0)對任意(x\in[1,2])恒成立，則實數(a)的取值范圍是________?？疾橐c：分離參數法解決恒成立問題。不等式變形為(a\leqx+\frac{1}{x})，設(g(x)=x+\frac{1}{x})，在([1,2])上單調遞增，最小值為(g(1)=2)，故(a\leq2)。三、解答題（本大題共6小題，共70分）13.（10分）數列與數列求和已知等差數列({a_n})滿足(a_3=5)，(a_5=9)。（1）求數列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=2^{a_n})，求數列({b_n})的前(n)項和(T_n)。考查要點：等差數列基本量計算、等比數列求和。（1）設公差為(d)，則(\begin{cases}a_1+2d=5\a_1+4d=9\end{cases})，解得(a_1=1)，(d=2)，(a_n=2n-1)；（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，是首項為2，公比為4的等比數列，(T_n=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。14.（12分）立體幾何證明與體積計算如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱錐(C_1-ADC)的體積。考查要點：線面平行的判定定理、三棱錐體積公式。（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，則(O)為(A_1C)中點，又(D)為(BC)中點，故(OD\parallelA_1B)，由線面平行判定定理得證；（2）(V_{C_1-ADC}=V_{D-ACC_1})，底面(\triangleACC_1)面積為(\frac{1}{2}\times2\times2=2)，高為(D)到平面(ACC_1)的距離（即(AB)的一半）為1，體積為(\frac{1}{3}\times2\times1=\frac{2}{3})。15.（12分）函數與導數綜合已知函數(f(x)=x^3-3x^2+mx+2)在(x=-1)處取得極值。（1）求實數(m)的值；（2）求函數(f(x))在區(qū)間([-2,2])上的最大值與最小值?？疾橐c：導數與極值關系、函數最值求解。（1）(f'(x)=3x^2-6x+m)，由(f'(-1)=3+6+m=0)得(m=-9)；（2）(f(x)=x^3-3x^2-9x+2)，(f'(x)=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1))，在([-2,2])上極值點為(x=-1)。計算端點及極值點：(f(-2)=-8-12+18+2=0)，(f(-1)=-1-3+9+2=7)，(f(2)=8-12-18+2=-20)，最大值7，最小值-20。16.（12分）解析幾何綜合已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A)，(B)兩點。（1）若直線(l)的斜率為1，求(|AB|)；（2）設(M(2,0))，求證：(\angleAMF=\angleBMF)?？疾橐c：拋物線焦點弦長公式、直線與拋物線位置關系。（1）焦點(F(1,0))，直線(l:y=x-1)，聯立方程(y^2=4x)得(x^2-6x+1=0)，(|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8)（或用弦長公式(\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\times\sqrt{36-4}=8)）；（2）設直線(l:x=ty+1)，聯立得(y^2-4ty-4=0)，設(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(y_1+y_2=4t)，(y_1y_2=-4)。計算(k_{AM}+k_{BM}=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{y_1(ty_2-1)+y_2(ty_1-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{2ty_1y_2-(y_1+y_2)}{...}=\frac{2t(-4)-4t}{...}=0)，故(\angleAMF=\angleBMF)。17.（12分）概率與統計案例某學校為了解學生數學學習情況，隨機抽取100名學生進行數學成績調查，得到如下頻率分布表：成績分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.250.300.150.10（1）求這100名學生數學成績的平均數（同一組數據用中點值代替）；（2）若從成績在[80,100]的學生中隨機選取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率?？疾橐c：平均數計算、古典概型。（1）平均數(=45\times0.05+55\times0.15+65\times0.25+75\times0.30+85\times0.15+95\times0.10=72.5)；（2）[80,90)有15人，[90,100]有10人，總選法(C_{25}^2=300)，對立事件“2人都在[80,90)”有(C_{15}^2=105)，所求概率(1-\frac{105}{300}=\frac{195}{300}=\frac{13}{20})。18.（12分）選考內容（參數方程與極坐標）在極坐標系中，曲線(C)的極坐標方程為(\rho=4\cos\theta)，直線(l)的極坐標方程為(\theta=\frac{\pi}{6}(\rho\in\mathbb{R}))。（1）求曲線(C)的直角坐標方程和直線(l)的直角坐標方程；（2）求曲線(C)與直線(l)的交點的極坐標?？疾橐c：極坐標與直角坐標的互化、曲線交點求解。（1）曲線(C:\rho^2=4\rho\cos\theta)，即(x^2+y^2-4x=0)（或((x-2)^2+y^2=4)）；直線(l:y=\tan\frac{\pi}{6}x=\frac{\sqrt{