2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分）1.數(shù)學(xué)建模的核心流程是（）A.問題分析→模型假設(shè)→模型求解→模型檢驗(yàn)B.數(shù)據(jù)收集→公式推導(dǎo)→結(jié)果輸出→論文撰寫C.變量定義→函數(shù)擬合→誤差分析→模型優(yōu)化D.實(shí)際問題→數(shù)學(xué)抽象→算法設(shè)計(jì)→應(yīng)用推廣2.在人口增長(zhǎng)模型中，若考慮資源環(huán)境對(duì)人口上限的約束，最適合采用的模型是（）A.線性增長(zhǎng)模型（y=kt+b）B.指數(shù)增長(zhǎng)模型（y=ae[^kt]）C.Logistic模型（y=K/(1+e[^-rt])）D.冪函數(shù)模型（y=ax[^b]）3.某電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)商品日銷量與價(jià)格的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：價(jià)格x（元）2030405060銷量y（件）1501201008060最可能的回歸方程類型是（）A.y=200-2xB.y=3000/xC.y=0.01x[^2]+200D.y=150+0.5x4.在優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，約束條件為：x≥0，y≥0，x+y≤5，2x+y≤8則z的最大值為（）A.10B.13C.15D.165.關(guān)于數(shù)學(xué)模型的檢驗(yàn)方法，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.殘差分析可用于檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果B.交叉驗(yàn)證法可避免模型過擬合C.增加樣本量一定能提高模型的預(yù)測(cè)精度D.靈敏度分析可評(píng)估參數(shù)變化對(duì)模型結(jié)果的影響二、填空題（共3小題，每小題8分，共24分）某城市2020年人口為100萬，若按年均2%的增長(zhǎng)率計(jì)算，2030年人口預(yù)測(cè)值為______萬（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）。某奶茶店根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立熱飲銷量y（杯）與氣溫x（℃）的線性回歸方程：y=-5x+200。當(dāng)氣溫為10℃時(shí)，預(yù)測(cè)銷量為______杯；若某天實(shí)際銷量為120杯，推測(cè)當(dāng)天氣溫約為______℃。某物流公司需將500件貨物從A地運(yùn)往B地，有甲、乙兩種車型可選：甲型車載重20件/輛，運(yùn)費(fèi)100元/輛；乙型車載重30件/輛，運(yùn)費(fèi)140元/輛。則最低運(yùn)費(fèi)為______元。三、建模應(yīng)用題（共3小題，共96分）9.校園共享單車調(diào)度問題（30分）某高中校園內(nèi)投放了200輛共享單車，學(xué)生早高峰（7:00-8:00）集中從宿舍區(qū)前往教學(xué)區(qū)，導(dǎo)致教學(xué)區(qū)單車堆積、宿舍區(qū)單車短缺?，F(xiàn)需建立數(shù)學(xué)模型解決調(diào)度問題，具體要求：（1）收集哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)？（至少列舉4項(xiàng)）（2）提出2項(xiàng)基本假設(shè)；（3）構(gòu)建一個(gè)以“調(diào)度成本最低”為目標(biāo)的優(yōu)化模型框架（無需求解）。10.疫情傳播模型的改進(jìn)與應(yīng)用（36分）2025年某中學(xué)出現(xiàn)流感疫情，初始感染人數(shù)為5人，每日新增感染人數(shù)與當(dāng)前感染人數(shù)及易感人群數(shù)量相關(guān)。已知該?？?cè)藬?shù)為3000人，假設(shè)：每位感染者日均接觸10人接觸傳染概率為0.02感染者3天后痊愈并獲得免疫（1）建立疫情傳播的微分方程模型（定義變量并寫出方程）；（2）若第5天開始采取防控措施使接觸率下降50%，預(yù)測(cè)第10天的感染人數(shù)；（3）分析模型中可能存在的3個(gè)局限性。11.社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)中心選址問題（30分）某社區(qū)計(jì)劃新建1個(gè)養(yǎng)老服務(wù)中心，需覆蓋4個(gè)居民小區(qū)，各小區(qū)位置坐標(biāo)及老年人口數(shù)量如下：|小區(qū)|坐標(biāo)（x,y）|老年人口（人）||------|------------|----------------||A|(0,0)|200||B|(3,0)|300||C|(1,2)|150||D|(2,3)|250|（1）若采用重心法選址（以人口為權(quán)重），計(jì)算服務(wù)中心的最優(yōu)坐標(biāo)；（2）若考慮各小區(qū)到服務(wù)中心的最大距離不超過3公里（坐標(biāo)單位：公里），重新確定選址范圍；（3）除距離因素外，列舉3項(xiàng)影響選址的實(shí)際因素。四、模型分析與拓展題（共2小題，共50分）12.房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建與評(píng)估（25分）某房地產(chǎn)公司收集了某城市2015-2024年的房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)（單位：萬元/平方米）：|年份|2015|2016|2017|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||房?jī)r(jià)|1.2|1.4|1.7|2.0|2.3|2.5|2.6|2.7|2.8|2.9|（1）分別用線性模型（y=at+b）和指數(shù)模型（y=ae[^bt]）擬合數(shù)據(jù)（t=0對(duì)應(yīng)2015年），計(jì)算2025年房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值；（2）通過計(jì)算殘差平方和（SSE）比較兩種模型的擬合效果；（3）指出該模型在實(shí)際應(yīng)用中的2項(xiàng)改進(jìn)方向。13.新能源汽車?yán)m(xù)航里程優(yōu)化模型（25分）某團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)新能源汽車?yán)m(xù)航測(cè)試實(shí)驗(yàn)，記錄不同速度v（km/h）下的續(xù)航里程L（km）數(shù)據(jù)：|v|30|40|50|60|70|80|90|100||----|----|----|----|----|----|----|----|-----||L|320|350|360|355|340|320|290|250|（1）繪制散點(diǎn)圖并判斷L與v的函數(shù)關(guān)系類型（線性/二次/反比例）；（2）建立回歸方程并預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)時(shí)速（續(xù)航里程最大時(shí)的速度）；（3）若考慮空調(diào)使用會(huì)使續(xù)航減少15%，修正模型并計(jì)算速度為60km/h時(shí)的實(shí)際續(xù)航。五、開放性建模題（50分）校園外賣配送路徑優(yōu)化背景：某高中周邊有5家外賣商鋪，每日午餐時(shí)段（11:30-13:00）需配送100份訂單至校內(nèi)8個(gè)教學(xué)樓。已知：各教學(xué)樓間距離（單位：米）如下表：教學(xué)樓A教學(xué)樓B教學(xué)樓C教學(xué)樓D教學(xué)樓E教學(xué)樓F教學(xué)樓G教學(xué)樓H教學(xué)樓A0150300200400250500350教學(xué)樓B1500200180300220400280（注：完整距離矩陣需考生補(bǔ)充假設(shè)）配送員平均騎行速度20km/h，每份訂單配送時(shí)間約2分鐘商鋪出餐時(shí)間在11:30-12:00間均勻分布任務(wù)：（1）明確問題目標(biāo)（至少2項(xiàng)）；（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型框架（包含目標(biāo)函數(shù)、約束條件、關(guān)鍵參數(shù)）；（3）設(shè)計(jì)2種模型求解方案（精確算法/啟發(fā)式算法）；（4）提出模型在實(shí)際應(yīng)用中的3項(xiàng)改進(jìn)建議。（注：所有題目需寫出必要的計(jì)算過程及模型推導(dǎo)步驟，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）試卷設(shè)計(jì)說明：知識(shí)覆蓋：包含模型構(gòu)建（30%）、數(shù)據(jù)分析（25%）、優(yōu)化決策（25%）、模型檢驗(yàn)（20%）四大模塊；能力層級(jí)：基礎(chǔ)概念（選擇填空）→應(yīng)