2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)})的定義域是（）A.((1,2])B.([1,2))C.((1,+\infty))D.((-\infty,2])已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.-10B.-5C.5D.10下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間((0,+\infty))上單調(diào)遞增的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\lnx)D.(f(x)=\frac{1}{x})已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)（注：此處假設(shè)三視圖為一個(gè)底面半徑2cm、高4cm的圓柱）已知直線(xiàn)(l:ax+y-2=0)與圓(C:(x-1)^2+(y-a)^2=4)相切，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.(-\frac{3}{4})B.0C.(\frac{3}{4})D.0或(\frac{3}{4})已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3函數(shù)(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和最大值分別為（）A.(\pi)，2B.(2\pi)，2C.(\pi)，1D.(2\pi)，1已知(a=\log_23)，(b=\log_34)，(c=\log_45)，則(a,b,c)的大小關(guān)系是（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(c>b>a)D.(a>c>b)若(x,y)滿(mǎn)足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為（）A.5B.7C.8D.9已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，若(|f(x)|\geqax)，則(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,0])B.((-\infty,1])C.([-2,1])D.([-2,0])二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中(x^2)的系數(shù)為_(kāi)_______。已知雙曲線(xiàn)(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過(guò)點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)，(\triangleABC)的面積為。（注：本小題第一空3分，第二空2分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)，若對(duì)于區(qū)間([-3,2])上的任意(x_1,x_2)，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leqM)，則實(shí)數(shù)(M)的最小值是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿(mǎn)分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_2+a_3=10)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿(mǎn)分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)測(cè)試，成績(jī)（單位：分）分組區(qū)間為([40,50),[50,60),\dots,[90,100])，得到的頻率分布直方圖如圖所示。（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從成績(jī)?cè)?[40,60))的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績(jī)?cè)?[40,50))的概率。（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(AA_1=4)，(M)為(CC_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\perpAM)；（2）求三棱錐(A_1-ABM)的體積。（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，點(diǎn)(P(2,\sqrt{2}))在橢圓(C)上。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(F_2)的直線(xiàn)(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(M)為線(xiàn)段(AB)的中點(diǎn)，若(OM\perpF_1M)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)(l)的方程。（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)，(a\in\mathbb{R})。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求曲線(xiàn)(y=f(x))在點(diǎn)((1,f(1)))處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（3）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求(a)的取值范圍。四、選考題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(xiàn)(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\alpha\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(xiàn)(C_1)的普通方程和(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)(P)在(C_1)上，點(diǎn)(Q)在(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此時(shí)(P)的直角坐標(biāo)。【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）求不等式(f(x)\geq5)的解集；（2）若關(guān)于(x)的不等式(f(x)\geqa^2-2a)在(\mathbb{R})上恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、選擇題C2.A3.B4.A5.A6.BD8.A9.A10.A11.D12.D二、填空題1514.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)(\sqrt{7})，(\frac{3\sqrt{3}}{2})16.28三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由(a_1=1)，(a_2+a_3=2a_1+3d=10)，解得(d=\frac{8}{3})，故(a_n=1+(n-1)\times\frac{8}{3}=\frac{8n-5}{3})。（2）(b_n=2^{a_n}=2^{\frac{8n-5}{3}})，數(shù)列({b_n})是首項(xiàng)為(2^{\frac{3}{3}}=2)，公比為(2^{\frac{8}{3}})的等比數(shù)列，(S_n=\frac{2(2^{\frac{8n}{3}}-1)}{2^{\frac{8}{3}}-1})。（1）由頻率和為1，得((0.004+a+0.018+0.022+0.028+0.010)\times10=1)，解得(a=0.018)。（2）平均數(shù)為(45\times0.04+55\times0.18+\dots+95\times0.10=74.2)；中位數(shù)在([70,80))內(nèi)，設(shè)為(x)，則(0.04+0.18+0.18+(x-70)\times0.022=0.5)，解得(x\approx73.6)。（3）成績(jī)?cè)?[40,50))的有2人，([50,60))的有9人，總基本事件數(shù)為(C_{11}^2=55)，至少1人在([40,50))的事件數(shù)為(C_2^1C_9^1+C_2^2=19)，概率為(\frac{19}{55})。（1）以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，(A_1(0,0,4))，(B(2,0,0))，(M(0,2,2))，(\vec{A_1B}=(2,0,-4))，(\vec{AM}=(0,2,2))，(\vec{A_1B}\cdot\vec{AM}=0)，故(A_1B\perpAM)。（2）(V=\frac{1}{3}S_{\triangleABM}\timesAA_1=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times4=\frac{8}{3})。（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，及點(diǎn)(P(2,\sqrt{2}))在橢圓上，得(\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=4)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)。（2）設(shè)直線(xiàn)(l:x=my+2)，聯(lián)立橢圓方程得((m^2+2)y^2+4my-4=0)，(M(\frac{4}{m^2+2},\frac{-2m}{m^2+2}))，由(OM\perpF_1M)得(\vec{OM}\cdot\vec{F_1M}=0)，解得(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2})，直線(xiàn)(l)的方程為(\sqrt{2}x\pmy-2\sqrt{2}=0)。（1）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，當(dāng)(a=1)時(shí)，(f'(1)=0)，(f(1)=-1)，切線(xiàn)方程為(y=-1)。（2）(f'(x)=\lnx-2a(x-1))，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，令(f'(x)=0)，得(x=1)或(x=e^{2a-1})，分類(lèi)討論單調(diào)性。（3）由極大值條件得(a>\frac{1}{2})。（1）(C_1:(x-2)^2+y^2=1)，(C_2:x^2+(y-2)^2=4)。（2）(|PQ|)的最小值為(|C_1C_2|-r_1-r_2=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}-1