2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)航海技術(shù)觀試卷一、單項(xiàng)選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）某貨輪在A點(diǎn)測(cè)得燈塔B在北偏東60°方向，繼續(xù)航行10海里后到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得燈塔B在北偏東30°方向，則燈塔B與A點(diǎn)的距離為（）A.5海里B.5√3海里C.10海里D.10√3海里船舶航行時(shí)，GPS定位系統(tǒng)顯示當(dāng)前坐標(biāo)為（40°N，120°E），2小時(shí)后坐標(biāo)變?yōu)椋?0°N，122°E），若地球半徑取6370km，則該船的平均航速約為（）A.37.2km/hB.55.8km/hC.74.4km/hD.111.6km/h海浪的波動(dòng)函數(shù)為y=0.5sin(2πt/5+π/3)，其中t為時(shí)間（單位：秒），則海浪的周期和振幅分別為（）A.5s，0.5mB.10s，0.5mC.5s，1mD.10s，1m某海域的海底地形可近似看作拋物線z=x2/40-20（z為深度，單位：m；x為水平距離，單位：m），則該海域最深處的深度為（）A.10mB.20mC.30mD.40m船舶在靜水中的速度為15km/h，水流速度為3km/h，若要垂直河岸橫渡寬600m的河流，則船頭應(yīng)指向（）A.上游與河岸成arcsin(1/5)角B.上游與河岸成arccos(1/5)角C.下游與河岸成arcsin(1/5)角D.下游與河岸成arccos(1/5)角某燈塔的照明區(qū)域?yàn)橐詿羲橹行?、半?海里的圓形區(qū)域，若某船在直線航道x+y=10上行駛（單位：海里），則該船能被燈塔照明的航程為（）A.5√2海里B.5√3海里C.10√2海里D.10√3海里船舶的燃料消耗率P（單位：kg/h）與航速v（單位：kn）的關(guān)系為P=0.05v3+2v，當(dāng)航速為10kn時(shí)，燃料消耗的瞬時(shí)變化率為（）A.15kg/(h·kn)B.152kg/(h·kn)C.150kg/(h·kn)D.152kg/(h·kn)某港口的潮汐規(guī)律近似滿足函數(shù)h(t)=3sin(πt/6)+5（h為潮高，單位：m；t為時(shí)間，單位：h），則一天內(nèi)出現(xiàn)高潮的次數(shù)為（）A.1次B.2次C.3次D.4次在球面坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(5,π/3,π/4)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（）A.(5√6/4,5√2/4,5/2)B.(5√6/4,5√2/4,-5/2)C.(5√2/4,5√6/4,5/2)D.(5√2/4,5√6/4,-5/2)船舶穩(wěn)性計(jì)算中，橫搖角θ滿足方程θ''+0.5θ'+2θ=0，該方程的特征根為（）A.-0.25±i√(31)/4B.-0.25±√(31)/4C.-0.5±i√(15)/2D.-0.5±√(15)/2某海域的海流速度場(chǎng)為v(x,y)=(2x+y,x-2y)，則在點(diǎn)(1,1)處的旋度rotv為（）A.-2B.0C.2D.4船舶導(dǎo)航系統(tǒng)中，某雙曲線導(dǎo)航儀的兩個(gè)發(fā)射臺(tái)分別位于(-50,0)和(50,0)（單位：km），若船收到兩發(fā)射臺(tái)信號(hào)的時(shí)間差為0.0002s（信號(hào)傳播速度300000km/s），則船所在的雙曲線方程為（）A.x2/900-y2/1600=1B.x2/1600-y2/900=1C.x2/2500-y2/1600=1D.x2/1600-y2/2500=1二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）某船在北半球航行時(shí)，測(cè)得北極星的高度角為30°，則該船的緯度為________。船舶排水量與吃水深度的關(guān)系為D=0.5d3+2d（D單位：百噸，d單位：m），當(dāng)吃水深度為4m時(shí)，排水量的變化率為________百噸/m。用方位角表示“北偏東45°”為________度，“南偏西30°”為________度。某港口的潮位在24小時(shí)內(nèi)的變化數(shù)據(jù)如下表，用線性回歸模型預(yù)測(cè)t=18時(shí)的潮位高度為________m。|時(shí)間t（h）|0|6|12|24||------------|---|---|----|----||潮位h（m）|2|5|3|4|三、解答題（共6小題，共70分）（10分）某漁船在A處遇險(xiǎn)，向搜救中心發(fā)出求救信號(hào)。搜救中心測(cè)得A處在北偏東45°方向，距離10√2海里處?，F(xiàn)有兩艘搜救船，甲船位于搜救中心正東方向20海里的B處，乙船位于搜救中心正北方向15海里的C處。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若甲船速度為30海里/小時(shí)，乙船速度為20海里/小時(shí)，哪艘船能先到達(dá)遇險(xiǎn)地點(diǎn)？（12分）船舶在勻速航行時(shí)，受到的阻力F（單位：kN）與航速v（單位：m/s）的關(guān)系為F=kv2（k為常數(shù)）。已知當(dāng)v=5m/s時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率為750kW。（1）求常數(shù)k的值；（2）若發(fā)動(dòng)機(jī)最大功率為1500kW，求船舶的最大航速；（3）當(dāng)航速為10m/s時(shí)，求發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率。（12分）某海域有A、B兩個(gè)島嶼，A島在原點(diǎn)(0,0)，B島在(10,0)（單位：海里）?，F(xiàn)有一貨輪從A島出發(fā)，沿某條路徑航行至B島，要求航行路徑到兩島的距離之和為20海里。（1）求貨輪的航行路徑滿足的曲線方程；（2）若貨輪在航行過程中始終保持與A島的距離不小于5海里，求該路徑在曲線方程中的取值范圍。（12分）海浪的三維波動(dòng)模型可表示為z=0.3sin(0.5x-t)+0.2sin(x-2t)，其中x為水平距離（單位：m），t為時(shí)間（單位：s），z為波高（單位：m）。（1）求t=0時(shí)，海浪的波峰位置；（2）求x=10m處，海浪的振動(dòng)方程；（3）計(jì)算該海浪的傳播速度。（12分）船舶靠岸時(shí)，需要計(jì)算系泊纜繩的張力。如圖所示，纜繩一端固定在碼頭的A點(diǎn)，另一端系在船舷的B點(diǎn)，AB兩點(diǎn)水平距離8m，垂直距離3m。若纜繩與水平方向的夾角為θ，張力為T（單位：kN），則張力在水平方向的分力Tx=Tcosθ，垂直方向的分力Ty=Tsinθ。（1）用θ表示纜繩長度L；（2）若船舶受到的橫向力為50kN，求張力T與θ的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)θ為何值時(shí)，張力T取得最小值？最小值為多少？（12分）某集裝箱船的甲板上堆放著高為3m的集裝箱，每個(gè)集裝箱的長、寬、高分別為6m、2.5m、3m。船舶在航行中會(huì)產(chǎn)生橫搖，當(dāng)橫搖角為α?xí)r，集裝箱的重心偏移量為d=1.5tanα（單位：m）。（1）若安全標(biāo)準(zhǔn)要求重心偏移量d≤0.5m，求允許的最大橫搖角α；（2）橫搖角α隨時(shí)間變化的規(guī)律為α=0.1sin(πt/10)（單位：rad），求t=5s時(shí)的橫搖角速度；（3）若集裝箱與甲板的摩擦系數(shù)為0.3，重力加速度g=9.8m/s2，求集裝箱開始滑動(dòng)時(shí)的橫搖角α（靜摩擦力F=μmg，臨界狀態(tài)時(shí)F=mgsinα）。四、應(yīng)用題（共20分）（20分）某遠(yuǎn)洋貨輪從上海港（31°N，121°E）出發(fā)，前往紐約港（41°N，74°W），航線設(shè)計(jì)需考慮以下因素：（1）地球近似為半徑6370km的球體，計(jì)算兩港口之間的最短航程（大圓航線距離）；（2）若貨輪最大航速為20節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)，1海里=1.852km），考慮到北大西洋盛行西風(fēng)帶影響，實(shí)際航速會(huì)降低15%，求預(yù)計(jì)航行時(shí)間；（3）船舶燃油消耗率為25t/天（按24小時(shí)計(jì)算），油價(jià)為800美元/噸，計(jì)算本次航行的燃油成本；（4）若貨輪在北緯40°附近遭遇風(fēng)暴，需繞航至北緯50°，計(jì)算繞航后增加的航程百分比。（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.5150，sin41°≈0.6561，cos31°≈0.8572，cos41°≈0.7547，sin105°≈0.9659，π≈3.14）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、選擇題1-5:CBABA6-10:ABBAC11-12:AA二、填空題30°N14.24.515.45，21016.3.5三、解答題（1）坐標(biāo)系建立以搜救中心為原點(diǎn)，A(10,10)，B(20,0)，C(0,15)；（2）甲船需√[(10-20)2+(10-0)2]/30=√200/30≈0.47h，乙船需√[(10-0)2+(10-15)2]/20=√125/20≈0.56h，甲船先到達(dá)。（1）P=Fv=kv3，k=750000/(53)=6000N·s2/m2；（2）v=3√(1500000/6000)=3√250≈6.3m/s；（3）P=6000×103=6×10?W=6000kW。（1）橢圓方程x2/100+y2/75=1；（2）x∈[-10,-5]∪[5,10]（1）t=0時(shí)，z=0.3sin0.5x+0.2sinx，令導(dǎo)數(shù)為0得波峰位置x=2kπ+π/3；（2）z=0.3sin(5-t)+0.2sin(10-2t)；（3）傳播速度v=ω/k=2m/s（1）L=8/cosθ；（2）T=50/cosθ；（3）θ=0時(shí)，Tmin=50kN（1）α=arctan(1/3)≈18.43°；（2）α'=0.01πcos(πt/10)，t=5時(shí)α'=0；（3）α=arctan0.3≈16.7°（1）球面距離公式l=R·Δσ，Δσ=arccos(sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cosΔλ)=arccos(0.5150×0.6561+0.8572×0.7547×cos195°)≈arccos(-0.4226)=115°=2.007rad，l=6370×2.007≈12785km；（2）實(shí)際航速=20×1.852×0.85≈31.48km/h，時(shí)間=12785/31.48≈406h≈16.9天；（3）燃油成本=16.9×25×800