2025年下學期高中非正式教育數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+ln(3-2x)的定義域是（）A.[1,3/2)B.(1,3/2]C.[1,+∞)D.(-∞,3/2)已知向量a=(2,m)，b=(m,8)，若a∥b，則m的值為（）A.4B.-4C.±4D.16某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7若直線l：y=kx+1與圓C：(x-2)2+(y-3)2=4相切，則k=（）A.0B.3/4C.0或3/4D.0或4/3已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，則數(shù)列{a?}的前5項和S?=（）A.15B.31C.32D.63執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=5，則輸出的S=（）A.10B.15C.20D.25函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√3，且過點(2,√6)，則雙曲線C的標準方程為（）A.x2/2-y2/4=1B.x2/4-y2/2=1C.x2/3-y2/6=1D.x2/6-y2/3=1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-1,3)D.(-3,1)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=________。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期為π，且f(0)=1，則φ=________。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|=3，則|BF|=________。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?=2，a?+a?=16。（1）求數(shù)列{a?}的通項公式；（2）設(shè)b?=a?·2?，求數(shù)列{b?}的前n項和T?。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計男生402060女生103040合計5050100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“學生的性別與體育鍛煉情況有關(guān)”；（2）從經(jīng)常鍛煉的學生中按性別分層抽樣抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1名女生的概率。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k?)0.0500.0100.001k?3.8416.63510.828（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，D為BC的中點。（1）求證：A?B∥平面ADC?；（2）求二面角C?-AD-C的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x（a∈R）。（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為{x=1+tcosα,y=tsinα}（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）。（1）求曲線C的普通方程和直線l的普通方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，點P(1,0)，求|PA|+|PB|的最大值。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.A3.C4.B5.B6.C7.B8.B9.B10.B11.A12.A二、填空題√214.π/615.3/216.π/3三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，由a?+a?=16得2a?+6d=16，又a?=2，解得d=2，所以a?=2n。（5分）（2）由（1）知b?=2n·2?=n·2??1，T?=1×22+2×23+…+n×2??1，2T?=1×23+2×2?+…+n×2??2，兩式相減得-T?=22+23+…+2??1-n×2??2=4(2?-1)/(2-1)-n×2??2=(1-n)2??2-4，所以T?=(n-1)2??2+4。（10分）（1）K2=100×(40×30-20×10)2/(60×40×50×50)=25/3≈8.333>6.635，故有99%的把握認為“學生的性別與體育鍛煉情況有關(guān)”。（6分）（2）按分層抽樣抽取的5人中，男生4人（記為A,B,C,D），女生1人（記為E），從中隨機抽取2人，共有10種情況，其中至少有1名女生的情況有4種，概率為4/10=2/5。（12分）（1）連接A?C交AC?于點O，連接OD，易證OD為△A?BC的中位線，所以A?B∥OD，又OD?平面ADC?，A?B?平面ADC?，故A?B∥平面ADC?。（6分）（2）以A為原點建立空間直角坐標系，求得平面ADC?的法向量為n=(1,1,1)，平面ADC的法向量為m=(0,0,1)，則cos<n,m>=√3/3，即二面角C?-AD-C的余弦值為√3/3。（12分）（1）由離心率e=c/a=√3/2得c=√3/2a，又a2=b2+c2，所以b2=a2/4，將點(2,1)代入橢圓方程得4/a2+1/(a2/4)=1，解得a2=8，b2=2，橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（2）當直線l斜率存在時，設(shè)l：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)，由OA⊥OB得x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入韋達定理得5m2=8(1+k2)，即m=±2√10/5√(1+k2)，此時直線l過定點(±2√10/5,0)，經(jīng)檢驗定點(0,0)不符合題意，故直線l恒過定點(±2√10/5,0)。（12分）（1）當a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx-2x+2，令g(x)=lnx-2x+2，g'(x)=1/x-2，當x∈(0,1/2)時g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x∈(1/2,+∞)時g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，又g(1)=0，g(1/2)=2-ln2>0，g(e?2)=-2-2e?2+2=-2e?2<0，所以存在x?∈(0,1/2)使g(x?)=0，故f(x)在(0,x?)單調(diào)遞減，(x?,1)單調(diào)遞增，(1,+∞)單調(diào)遞減。（6分）（2）f'(x)=lnx-2ax+2a，f''(x)=1/x-2a，若a≤0，則f''(x)>0，f'(x)單調(diào)遞增，又f'(1)=0，所以當x<1時f'(x)<0，x>1時f'(x)>0，f(x)在x=1處取得極小值，不符合題意；若a>0，令f''(x)=0得x=1/(2a)，當1/(2a)=1即a=1/2時，f'(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(1,+∞)單調(diào)遞減，f'(x)≤f'(1)=0，f(x)無極值；當1/(2a)>1即0<a<1/2時，f'(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(1,1/(2a))單調(diào)遞減，(1/(2a),+∞)單調(diào)遞增，此時f(x)在x=1處取得極大值；當1/(2a)<1即a>1/2時，f(x)在x=1處取得極小值，綜上，a的取值范圍是(0,1/2)。（12分）（1）曲線C的普通方程為x2/4+y2=1，直線l的普通方程為y=tanα(x-1)（α≠π/2）或x=1（α=π/2）。（6分）（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得(1+3sin2α)t2+2cosα·t-3=0，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t?，t?，則t?+t?=-2cosα/(1+3sin2α)，t?t?=-3/(1+3sin2α)，因為點P(1,0)在直線l上，所以|PA|+|PB|=|t?|+|t?|=|t?-t?|=√[(t?+t?)2-4t?t?]=√[4co