定積分的概念與性質（1）6.1.1主講人：xxx第六章定積分導入近日有一則新聞，日本在課本中添加“釣魚島是日本領土”，中方回應“釣魚島自古以來是中國固有領土，中國堅決捍衛(wèi)領土主權，不允許受到一絲一毫的侵犯”，既然涉及到一絲一毫，說明了釣魚島面積計算要求的精確性，那么我們該如何精確的計算釣魚島面積?圖1釣魚島導入釣魚島是帶有曲邊的不規(guī)則圖形，通過分割將不規(guī)則圖形面積的計算問題轉化為曲邊梯形的面積計算。圖2不規(guī)則圖形面積？？？？？？？？A引例1曲邊梯形的面積數(shù)學思想動態(tài)過程引例2變速直線運動的路程定積分的定義引例1曲邊梯形的面積Part011一、引例1曲邊梯形的面積

由連續(xù)曲線y=f(x)(設f(x)≥0)，直線x=a，x=b和x軸(y=0)所圍成的曲邊梯形。

如何求曲邊梯形面積？矩形面積=ah梯形面積=h2(a+b)hahaby=f(x)yxab0ABS一、引例1曲邊梯形的面積y=f(x)yxab0ABS

矩形的高是不變的，矩形的面積=高×低，而曲邊梯形在底邊上各點處的高由f(x)的值決定，它是變動的。因此它的面積不能用初等數(shù)學的方法來解決，于是人們產生了如下想法：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)函數(shù)，在很小的一段區(qū)間上它的變化很小。因此，可以用平行與y軸的直線將曲邊梯形切割成若干個窄曲邊梯形，每個窄曲邊梯形可以近似地看成窄矩形，把這些窄矩形的面積累加起來，就得到曲邊梯形面積的一個近似值，當分割得無限細時，這個近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積。一、引例1曲邊梯形的面積y=f(x)yxab0ABS根據上述分析，曲邊梯形的面積可按下述步驟來計算：用分點把區(qū)間分成個小區(qū)間：其中第個小區(qū)間長度為

，，，，（1）分割——在區(qū)間[a,b]插入n-1個分點。一、引例1曲邊梯形的面積y=f(x)yxab0ABS（2）取近似——用窄矩形面積近似代替窄曲邊梯形面積。在每一小區(qū)間內任取一點，以為底邊、為高作小矩形，其面積一、引例1曲邊梯形的面積y=f(x)yxab0ABS當

很小時，，曲邊梯形的面積近似地等于所有小矩形面積之和。．一、引例1曲邊梯形的面積（3）求和。將各窄曲邊梯形面積的近似值加起來即得所求曲邊梯形面積的近似值。y=f(x)yxab0ABS．y=f(x)yxab0ABS一、引例1曲邊梯形的面積（4）取極限。y=f(x)yxab0ABS記Δx=max{Δxi}，當Δx→0時，取上述和式的極限，得曲邊梯形的面積為：求曲邊梯形的面積就歸結為求上述這種和式的極限。y=f(x)yxab0AB數(shù)學思想Part022二、數(shù)學思想整體與部分對立統(tǒng)一；以直代曲，由已知探索未知；量變引起質變。動態(tài)過程Part033三、動態(tài)過程Part044引例2變速直線運動的路程四、引例2變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知其速度v是時間t的函數(shù)v(t)，求物體從時刻t=T1到t=T2這段時間內所經過的路程S。四、引例2變速直線運動的路程我們知道，勻速直線運動的路程公式是S=VT。但在我們的問題中，速度是隨時間而連續(xù)變化的。因此不能直接用這個公式計算路程。但是在很短一段時間內，速度的變化很小，近似于勻速。因此，把時間間隔分小，在小段時間內，用勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的路程。這樣，就可以仿照求曲邊梯形面積的方法與步驟來計算變速直線運動的路程S。分析四、引例2變速直線運動的路程（1）分割

將時間區(qū)間任意分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間所表示的時間為，各區(qū)間物體運動的路程記為。（2）近似在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的路程：在每個小區(qū)間上任取一時刻，以速度近似代替時間段上各個時刻的速度，則有。四、引例2變速直線運動的路程（3）求和（4）取極限

將所有這些近似值求和，得到總路程S的近似值，即對時間間隔分割越細，誤差越小。為此，當時和式的極限便是所求路程S，即。四、引例2變速直線運動的路程解決問題的方法步驟相同：分割、近似，求和，取極限。上述兩個問題的共性：所求量極限結構式相同：特殊乘積和式的極限類似這樣的實際問題還有很多，撇開這些問題的具體意義，抓住它們的數(shù)量關系上共同的本質與特性，可以抽象出定積分的概念。定積分的定義Part055五、定積分的定義定義

設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，任取分點a=x0＜x1＜x2＜．．．＜xi-1＜xi＜．．．＜xn-1＜xn＝b把區(qū)間[a,b]任意分成n個小區(qū)間[xi-1,

xi]，每個小區(qū)間的長度為，記，在每個小區(qū)間[xi-1,

xi]上任取一點，作和式五、定積分的定義

不論對[a,b]怎樣分割，也不管在小區(qū)間上如何取點，只要當時，和式Sn總趨向于確定的極限，則稱這個極限為f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。記作五、定積分的定義符號說明積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和[a,b]稱為積分區(qū)間于是，前述曲邊梯形的面積S即為f(x)（f(x)≥0）在區(qū)間[a,b]上的定積分，即S＝

。變速直線運動的物體所走過的路程S等于速度V(t)在時間間隔[T1,T2]上的定積分，即。五、定積分的定義定積分定義的幾點說明關于定積分的定義，還應注意以下幾點：（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；閉區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數(shù)也是可積的。五、定積分的定義（2）定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值。它只與被積函數(shù)f(x)以及積分區(qū)間[a,b]有關，而與積分變量的記號無關。即（3）在定積分的定義中，假設a<b。為了以后應用方便，當a<b時，我們規(guī)定拓展提升定積分的數(shù)學思想化整為零、化簡為繁，由已知探索未知，在學習中也適用。在學習中，將大問題盡可能切分成若干小問題，分步驟各個擊破，先解決小問題，從而最終解決大問題。我們更應懂得，再復雜的事情都是由簡單的事情組起來的，需要我們用智慧去分解，理性平和的去做事，化大為小，化為繁，由已知探索未知。課堂小結兩個引例思想方法030201定積分定義定積分的概念與性質（2）6.1.2主講人：xxx第六章定積分定積分的幾何意義定積分的性質Part011定積分的幾何意義一、定積分的幾何意義y=f(x)yxab0ABS由曲邊梯形面積問題的討論及定積分的定義，容易得到定積分的幾何意義。（1）在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0，定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a，x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，即一、定積分的幾何意義yxab0（2）如果在[a,b]上f(x)≤0時，則定積分在幾何上表示由曲線y=f(x)與直線x=a，x=b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的負值；y=f(x)y=-f(x)一、定積分的幾何意義（3）在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)既取得正值又取得負值時，函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方，而其他部分在x軸下方，此時定積分表示x軸上方圖形面積減去軸下方圖形面積所得之差，即各部分曲邊梯形的面積的代數(shù)和。yxab0y=f(x)S1S2S3一、定積分的幾何意義例1yx-2022利用定積分的幾何意義，求。解令，，顯然y≥0，則由和直線y=0圍成的圖形是半徑為2的圓位于x軸的上方的半圓。如右圖所示。由定積分的幾何意義，。定積分的性質Part022性質1

兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即性質2被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即二、定積分的性質這個性質可以推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情形。（k為常數(shù)）性質3

（積分的可加性）對任意三個實數(shù)a，b，c，有性質4若在區(qū)間[a,b]上f(x)=1，則二、定積分的性質性質5

如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥0，則性質6如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則二、定積分的性質保號性保序性二、定積分的性質例2解因為在區(qū)間[0,1]上，有x2≥x3，由性質6得比較定積分與的大小。二、定積分的性質例3將定積分分成初等函數(shù)的定積分之和。解因為在，由積分區(qū)間的可加性，課堂小結定積分的幾何意義（3種情形）定積分的性質（6個）0201主講人：xxx第六章定積分——微積分基本公式6.2定積分的計算引入由定積分的概念知，物體以速度v=v(t)作直線運動，在時間段[a,b]所經過的路程

。另一方面，如果已知位移函數(shù)s=s(t)，在時間段[a,b]所經過的路程s=s(b)-s(a)。綜合以上兩個方面可得，其中s'(t)=v(t)，即位置函數(shù)s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù)，這個結論具有普遍性。微積分基本定理若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則定理上式可改寫為這就是牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。微積分基本定理不定積分原函數(shù)定積分牛頓一萊布尼茨公式把定積分與原函數(shù)聯(lián)系了起來，它近一步揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系。由牛頓-萊布尼茨公式可知，求定積分分為兩步：（1）先求

的一個原函數(shù)；（2）求值微積分基本定理例1計算定積分x33解因為是x2的一個原函數(shù)，所以按牛頓一萊布尼茲公式，有微積分基本定理例2解因為sinx是cosx的一個原函數(shù)，所以計算微積分基本定理例3解將被積函數(shù)中的絕對值符號去掉，變成分段函數(shù)，由定積分的區(qū)間可加性，得計算微積分基本定理例4計算定積分解

課堂小結牛頓萊布尼茨公式被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)時，需要分段積分。0201主講人：xxx第六章定積分定積分的換元積分法6.3引入由牛頓-萊布尼茨公式可知，計算定積分的直接方法是把它轉化為求的原函數(shù)增量。而用換元積分法可以求已知函數(shù)的原函數(shù)。結合起來，可以得到定積分的換元積分法。定積分的換元法定理

注意

1）換元必換限，上限對上限，下限對下限；

2）原來的變量不必代回。若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，作變換，如果

1）在區(qū)間[α,β]上單調、且有連續(xù)導數(shù)，

2）當t在[α,β]上變化時，的值在[a,b]上變化，且

，則定積分的換元法例1計算解設t=cosx，則dt=-sinxdx，當x=0時，t=1；x=時，t=0。于是π2也可用“湊微分法”求，即定積分的換元法例2計算解令則x=t2，dx=2tdt。當x=0時，t=0；x=4時t=2。于是定積分的換元法（1）使用定積分的換元積分法，積分限必須由原來的積分限換為新變量的積分限，即“換元必換限”。換元后，按新的變量進行定積分計算，不必回代原來的變量。（2）用“湊微積分法”求定積分時，可以不設中間變量，因而積分的上、下限也不用變換。只要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，直接用牛頓—萊布尼茨公式求解。注意定積分的換元法例3計算解

定積分的換元法結論由定積分的換元法，易得以下結論設f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，則偶倍奇零1）如果f(x)為奇函數(shù)，則2）如果f(x)為偶函數(shù)，則利用這個結論，可簡化偶函數(shù)，奇函數(shù)在對稱于區(qū)間上的定積分的計算。定積分的換元法例4解因為f(x)=x3cosx在區(qū)[-1,1]間上是奇函數(shù)，

計算課堂小結定積分的換元積分法：換元必換限配元不換限邊積邊代限主講人：xxx第六章定積分定積分的分部積分法6.4復習不定積分分部積分公式關鍵：恰當選取u和dv；右邊的積分比左邊更易求出。解決部分被積函數(shù)是乘積的不定積分選取u的順序：“反、對、冪、三、指”。定積分的分部積分公式

說明：定積分的分部積分法的做題技巧和適應的函數(shù)類型與不定積分的分部積分法完全一樣。設函數(shù)u=u(x)，v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)導數(shù)，則有這就是定積分的分部積分公式。簡記為定積分的分部積分公式例1解

計算定積分的分部積分公式例2解

計算定積分的分部積分公式例3解

計算定積分的分部積分公式例4換元積分法和分部積分法結合使用計算解令，x=t2，則dx=2tdt；當x=0時，t=0，x=1時，t=1

課堂小結定積分的分部積分法：主講人：xxx第六章定積分定積分在幾何中的簡單應用6.5走進趙州橋感受千年文化問題引入——如何計算趙州橋拱形的面積？復習——定積分的幾何意義aby

f(x)x

yOaby

f(x)Ox

y（圖1）=S（圖2）=-S（1）當f(x)≥0時，在幾何上表示由y＝f(x)、x＝a、x＝b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；（2）當f(x)≤0時，由y＝f(x)、x＝a、x＝b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，積分為面積的相反數(shù)。熱身練習計算下列定積分的值（用幾何意義）（1）（2）（圖3）（圖4）yx-2022yx-π0π平面圖形面積計算設函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥g(x)，求曲線y=f(x)，y=g(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積S（如圖）（圖5）yxa0xbx+dxy

f(x)y

g(x)平面圖形面積計算我們用元素法來求它的面積。（1）取橫坐標x為積分變量，x∈[a,b]（2）在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，該區(qū)間上的小曲邊梯形面積可用高為f(x)-g(x)，底為dx的矩形的面積近似代替。因此面積元素為ds=[f(x)-g(x)]dx。（3）在區(qū)間[a,b]上積分，即得所求圖形的面積平面圖形面積計算類似地，由曲線x=φ(y)，x=ψ(y)，且φ(y)≥ψ(y)及直線y=c，y=