2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)規(guī)律觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.數(shù)列規(guī)律探索觀察數(shù)列：2，5，11，23，47，…，則該數(shù)列的第7項(xiàng)是（）A.95B.109C.115D.127規(guī)律提示：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系為“后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1”，如5=2×2+1，11=5×2+1，依此類推。2.函數(shù)圖像規(guī)律函數(shù)$f(x)=\frac{x}{|x|+1}$的圖像可能是（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)B.關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)C.過原點(diǎn)的增函數(shù)D.與x軸無交點(diǎn)的減函數(shù)規(guī)律提示：通過分類討論$x>0$和$x<0$時(shí)的解析式，結(jié)合奇偶性定義判斷對(duì)稱性。3.幾何圖形規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系中，依次連接點(diǎn)$A_1(1,0)$，$A_2(1,1)$，$A_3(-1,1)$，$A_4(-1,-1)$，$A_5(2,-1)$，$A_6(2,2)$，…，按此規(guī)律，點(diǎn)$A_{2025}$的坐標(biāo)是（）A.(507,-506)B.(506,-505)C.(507,-507)D.(506,-506)規(guī)律提示：每4個(gè)點(diǎn)為一組，每組對(duì)應(yīng)一個(gè)“正方形擴(kuò)展”周期，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值隨組數(shù)遞增。4.概率模型規(guī)律袋中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無放回地摸球，每次摸1個(gè)，若首次摸到紅球的概率為$P_1$，首次摸到黃球且第二次摸到紅球的概率為$P_2$，則$P_1$與$P_2$的大小關(guān)系是（）A.$P_1>P_2$B.$P_1=P_2$C.$P_1<P_2$D.無法確定規(guī)律提示：通過分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算兩種事件的概率，注意“無放回”條件對(duì)樣本空間的影響。5.三角函數(shù)規(guī)律已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$的部分圖像如圖所示，若圖像與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{\pi}{2}$，且過點(diǎn)$(\frac{\pi}{3},1)$，則$\omega+\varphi$的值是（）A.$\frac{5\pi}{6}$B.$\frac{7\pi}{6}$C.$\frac{4\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{3}$規(guī)律提示：由周期$T=\pi$可得$\omega=2$，再代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)求解$\varphi$。6.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律若函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,\frac{5}{4}]$B.$(-\infty,1]$C.$[\frac{5}{4},+\infty)$D.$[1,+\infty)$規(guī)律提示：通過導(dǎo)數(shù)$f'(x)\geq0$在$(2,+\infty)$上恒成立，轉(zhuǎn)化為$a\leq\frac{x^2+1}{2x}$的最小值問題。7.不等式規(guī)律已知$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為（）A.$3+2\sqrt{2}$B.$5$C.$4\sqrt{2}$D.$3+\sqrt{2}$規(guī)律提示：利用“1的代換”將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為$(\frac{1}{a}+\frac{2})(a+b)=3+\frac{a}+\frac{2a}$，再用基本不等式求最值。8.立體幾何體積規(guī)律在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E$、$F$分別為棱$BC$、$CC_1$的中點(diǎn)，過點(diǎn)$A$、$E$、$F$的平面截正方體所得截面的面積是（）A.$\frac{9}{2}$B.$\frac{3\sqrt{10}}{2}$C.$\frac{3\sqrt{5}}{2}$D.$3\sqrt{2}$規(guī)律提示：通過延長$EF$與$AD_1$相交確定截面形狀為梯形，再計(jì)算上底、下底和高。9.向量運(yùn)算規(guī)律已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}$與$\vec{a}+\vec$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$(-\frac{5}{3},+\infty)$B.$(-\frac{5}{3},2)\cup(2,+\infty)$C.$(-\infty,-\frac{5}{3})$D.$(-\frac{5}{3},2)$規(guī)律提示：夾角為銳角需滿足$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)>0$且$\vec{a}$與$\vec{a}+\vec$不共線。10.解析幾何規(guī)律已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$、$F_2$，過$F_2$的直線與雙曲線右支交于$A$、$B$兩點(diǎn)，若$|AF_1|=|AB|$，且$|AF_2|=2|BF_2|$，則雙曲線的離心率$e$為（）A.$\frac{\sqrt{13}}{3}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$D.$\frac{4}{3}$規(guī)律提示：利用雙曲線定義$|AF_1|-|AF_2|=2a$，結(jié)合勾股定理構(gòu)建關(guān)于$a$、$c$的方程。11.邏輯推理規(guī)律甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后猜測(cè)成績：甲說：“我不是最后一名”；乙說：“丙是第一名”；丙說：“丁是最后一名”；丁說：“我不是第一名”。若四人中只有一人說假話，則第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.丁規(guī)律提示：通過假設(shè)法逐一驗(yàn)證每個(gè)人的陳述是否符合“僅一人假話”的條件。12.數(shù)學(xué)文化規(guī)律《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”若設(shè)人數(shù)為$x$，物價(jià)為$y$，則下列規(guī)律方程正確的是（）A.$\begin{cases}8x-y=3\y-7x=4\end{cases}$B.$\begin{cases}8x-y=3\7x-y=4\end{cases}$C.$\begin{cases}y-8x=3\7x-y=4\end{cases}$D.$\begin{cases}y-8x=3\y-7x=4\end{cases}$規(guī)律提示：“盈”即“人出的錢-物價(jià)=多余的錢”，“不足”即“物價(jià)-人出的錢=缺少的錢”。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)迭代規(guī)律已知函數(shù)$f(x)=2x+1$，定義$f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$（$n\geq2$，$n\in\mathbb{N}^*$），若$f^1(x)=f(x)$，則$f^5(x)$的解析式為________。規(guī)律提示：迭代函數(shù)的解析式呈現(xiàn)“一次函數(shù)系數(shù)指數(shù)增長”規(guī)律，如$f^1(x)=2x+1$，$f^2(x)=2(2x+1)+1=4x+3$，$f^3(x)=8x+7$，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為$2^n-1$的形式。14.二項(xiàng)式定理規(guī)律$(x^2+\frac{2}{x})^n$的展開式中，若第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中$x^6$的系數(shù)為________。規(guī)律提示：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：$C_n^k=C_n^{n-k}$，由$C_n^2=C_n^4$可得$n=6$，再通過通項(xiàng)公式$T_{r+1}=C_6^r(x^2)^{6-r}(\frac{2}{x})^r$求解$r$。15.立體幾何折疊規(guī)律在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=2$，將$\triangleABD$沿$BD$折起，使點(diǎn)$A$折至點(diǎn)$A'$，若$A'C=2\sqrt{3}$，則二面角$A'-BD-C$的大小為________。規(guī)律提示：折疊前后不變的量為線段長度，通過計(jì)算$BD$中點(diǎn)$O$到$A'$和$C$的距離，利用余弦定理求二面角的平面角。16.數(shù)列與不等式綜合規(guī)律已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，若對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^*$，不等式$a_1+a_2+\dots+a_n<m$恒成立，則實(shí)數(shù)$m$的最小值為________。規(guī)律提示：先通過倒數(shù)法證明${\frac{1}{a_n}}$是等差數(shù)列，求出$a_n=\frac{1}{n}$，再利用裂項(xiàng)相消法求和$S_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$，結(jié)合調(diào)和級(jí)數(shù)的單調(diào)性判斷$S_n$的取值范圍。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）數(shù)列規(guī)律與求和已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$a_1=1$，$S_{n+1}=2S_n+n+1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${n(a_n+1)}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。規(guī)律分析：（1）通過$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$轉(zhuǎn)化遞推關(guān)系，得到$a_{n+1}=2a_n+1$，進(jìn)而構(gòu)造$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，證明等比數(shù)列；（2）由（1）得$a_n+1=2^n$，則$n(a_n+1)=n\cdot2^n$，利用錯(cuò)位相減法求和，核心規(guī)律為“差比數(shù)列求和=錯(cuò)位相減消項(xiàng)”。18.（本小題滿分12分）三角函數(shù)規(guī)律與解三角形在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的對(duì)邊分別為$a$，$b$，$c$，且滿足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大小；（2）若$b=2\sqrt{3}$，求$\triangleABC$面積的最大值。規(guī)律分析：（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合$A+B+C=\pi$和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，得到$\cosB=\frac{1}{2}$；（2）由余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，結(jié)合基本不等式$a^2+c^2\geq2ac$，求出$ac$的最大值，進(jìn)而得到面積$S=\frac{1}{2}ac\sinB$的最大值。19.（本小題滿分12分）立體幾何規(guī)律與空間向量如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$為$A_1B_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$CD\perp$平面$A_1ABB_1$；（2）求二面角$A-CD-B$的余弦值。規(guī)律分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，證明向量$\overrightarrow{CD}$與平面$A_1ABB_1$內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直；（2）利用空間向量法求二面角，核心規(guī)律為“法向量夾角與二面角的關(guān)系”，需通過觀察圖形判斷銳角或鈍角。20.（本小題滿分12分）概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律與期望某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級(jí)，其中一等品率為$\frac{1}{2}$，二等品率為$\frac{1}{3}$，次品率為$\frac{1}{6}$。每件一等品可獲利10元，二等品可獲利5元，次品虧損2元。（1）求生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤；（2）若從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品的總利潤為$X$，求$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望$E(X)$。規(guī)律分析：（1）平均利潤=各等級(jí)利潤×對(duì)應(yīng)概率之和，即$E=10\times\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{3}+(-2)\times\frac{1}{6}$；（2）總利潤$X$的取值由抽取的一等品、二等品、次品數(shù)量決定，利用組合數(shù)計(jì)算概率，期望$E(X)=3E$（由期望的線性性質(zhì)，$n$次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的期望為$n$倍單次期望）。21.（本小題滿分12分）解析幾何規(guī)律與定點(diǎn)問題已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，若以$AB$為直徑的圓過原點(diǎn)$O$，求證：直線$l$過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。規(guī)律分析：（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$和$a^2=b^2+c^2$，結(jié)合點(diǎn)$(2,1)$代入方程求解$a^2=8$，$b^2=2$；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示$x_1+x_2$和$x_1x_2$，由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$（直徑所對(duì)圓周角為直角）得到$m$與$k$的關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)直線方程$y=kx+m$為過定點(diǎn)的形式。22.（本小題滿分12分）導(dǎo)數(shù)規(guī)律與函數(shù)綜合已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)