2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)方程思想運(yùn)用試卷一、選擇題（每題5分，共30分）方程思想的核心是通過(guò)建立方程刻畫(huà)變量間的等量關(guān)系，其本質(zhì)在于（）A.數(shù)學(xué)建模與轉(zhuǎn)化思想B.代數(shù)運(yùn)算與符號(hào)表達(dá)C.邏輯推理與演繹證明D.空間想象與幾何直觀在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程思想的首要步驟是（）A.設(shè)元構(gòu)造等量關(guān)系B.直接代入公式計(jì)算C.繪制函數(shù)圖像分析D.分類(lèi)討論各種情況已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像過(guò)點(diǎn)$(1,2)$、$(2,5)$、$(3,10)$，則$f(x)$的解析式為（）A.$f(x)=x^2+1$B.$f(x)=x^2+x$C.$f(x)=2x^2-3x+2$D.$f(x)=x^2-x+2$若關(guān)于$x$的方程$x^2+(m-1)x+m=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則$m$的取值范圍是（）A.$m>3+2\sqrt{2}$或$m<3-2\sqrt{2}$B.$m>3-2\sqrt{2}$且$m\neq1$C.$m<3+2\sqrt{2}$且$m\neq-1$D.$m>1$或$m<-1$在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所對(duì)的邊分別為$a$、$b$、$c$，若$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{5}$，則$c$的值為（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{21}$C.$5$D.$\sqrt{31}$某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加成本10元，若每日的銷(xiāo)售額$R(x)$（元）與產(chǎn)量$x$（件）的函數(shù)關(guān)系為$R(x)=-0.01x^2+40x$，則每日的最大利潤(rùn)為（）A.20000元B.18000元C.16000元D.14000元二、填空題（每題5分，共30分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(x,4)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$x=$________。若等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1=1$，$S_3=9$，則公差$d=$________。曲線$y=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為_(kāi)_______。若變量$x$、$y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases}$，則$z=x+2y$的最大值為_(kāi)_______。從5名男生和3名女生中任選3人參加志愿者活動(dòng)，則所選3人中至少有1名女生的概率為_(kāi)_______。已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,x<0\x+1,x\geq0\end{cases}$，則$f(f(-1))=$________。三、解答題（共40分）（10分）已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)$（$a>0$且$a\neq1$）的圖像過(guò)點(diǎn)$(1,1)$。（1）求$a$的值；（2）若$f(x)\leq2$，求$x$的取值范圍。解析：（1）將點(diǎn)$(1,1)$代入$f(x)=\log_a(x+1)$，得$\log_a2=1$，解得$a=2$。（2）由（1）知$f(x)=\log_2(x+1)$，則$\log_2(x+1)\leq2$，即$0<x+1\leq4$，解得$-1<x\leq3$。（10分）在等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_4=16$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\log_2a_n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：（1）設(shè)公比為$q$，則$a_4=a_1q^3=2q^3=16$，解得$q=2$，故$a_n=2^n$。（2）$b_n=\log_22^n=n$，則$T_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。（10分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點(diǎn)。（1）求證：$AD\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求三棱錐$A_1-BDC_1$的體積。解析：（1）在直三棱柱中，$CC_1\perp$平面$ABC$，$AD\subset$平面$ABC$，故$CC_1\perpAD$。又$AB=AC$，$D$為$BC$中點(diǎn)，故$AD\perpBC$。由$BC\capCC_1=C$，得$AD\perp$平面$BCC_1B_1$。（2）$V_{A_1-BDC_1}=V_{C_1-A_1BD}=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1BD}\cdotC_1C$，$S_{\triangleA_1BD}=\frac{1}{2}\timesBD\timesAA_1=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times2=\sqrt{2}$，故體積為$\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。（10分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$、$B$兩點(diǎn)，若$OA\perpOB$（$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)），求$m$的取值范圍。解析：（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2$。將點(diǎn)$(2,1)$代入橢圓方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，故橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程：$\begin{cases}y=kx+m\x^2+4y^2=8\end{cases}$，消去$y$得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$。設(shè)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}$。由$OA\perpOB$得$x_1x_2+y_1y_2=0$，即$x_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=0$，整理得$(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，代入韋達(dá)定理得$5m^2=8k^2+8$。由$\Delta>0$得$64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0$，結(jié)合$5m^2=8k^2+8$，解得$m^2>\frac{8}{5}$，故$m>\frac{2\sqrt{10}}{5}$或$m<-\frac{2\sqrt{10}}{5}$。四、應(yīng)用題（共20分）某商場(chǎng)計(jì)劃銷(xiāo)售$A$、$B$兩種商品，已知銷(xiāo)售$1$件$A$商品和$2$件$B$商品可獲利$40$元；銷(xiāo)售$3$件$A$商品和$1$件$B$商品可獲利$50$元。（1）求$A$、$B$兩種商品每件的利潤(rùn)；（2）若該商場(chǎng)準(zhǔn)備用不超過(guò)$10000$元購(gòu)進(jìn)$A$、$B$兩種商品共$600$件，且$A$商品的數(shù)量不少于$B$商品數(shù)量的一半，問(wèn)如何進(jìn)貨才能使獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）設(shè)$A$商品每件利潤(rùn)為$x$元，$B$商品每件利潤(rùn)為$y$元，則$\begin{cases}x+2y=40\3x+y=50\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=12\y=14\end{cases}$。（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)$A$商品$m$件，$B$商品$n$件，則$\begin{cases}m+n=600\m\geq\frac{1}{2}n\12m+14n\leq10000\end{cases}$，目標(biāo)函數(shù)$z=12m+14n$。由$m=600-n$代入約束條件得$200\leqn\leq400$，$z=12(600-n)+14n=2n+7200$，當(dāng)$n=400$時(shí)，$z_{\text{max}}=8000$元，此時(shí)$m=200$，故購(gòu)進(jìn)$A$商品200件、$B$商品400件時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為8000元。五、拓展題（共20分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\geq0$對(duì)任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a$的值；（3）在（2）的條件下，證明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)$（$n\in\mathbb{N}^*$）。解析：（1）$f'(x)=e^x-a$，當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)>0$恒成立，$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a>0$時(shí)，令$f'(x)=0$得$x=\lna$，$x\in(-\infty,\lna)$時(shí)$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；$x\in(\lna,+\infty)$時(shí)$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x){\text{min}}=f(\lna)=a-a\lna-1$，令$g(a)=a-a\lna-1$，則$g'(a)=-\lna$，當(dāng)$a=1$時(shí)，$g(a){\text{max}}=0$，故$a=1$。（3）由（2）知$e^x\geqx+1$，即$x\geq\ln(x+1)$（當(dāng)且僅當(dāng)$x=0$時(shí)取等號(hào)）。令$x=\frac{1}{k}$（$k\in\mathbb{N}^*$），則$\frac{1}{k}>\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(k+1)-\lnk$，累加得$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)$。試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：知識(shí)覆蓋：本試卷涵蓋函數(shù)、數(shù)列、幾何、概率、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)核心模塊，重點(diǎn)考查方程思想在代數(shù)運(yùn)算、幾何計(jì)算、實(shí)際應(yīng)用中的滲透，如通過(guò)建立方程組求解析式（題3）