2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)計(jì)算廣告數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）某電商平臺的廣告投放數(shù)據(jù)顯示，用戶點(diǎn)擊量(y)（萬次）與廣告投入(x)（萬元）的關(guān)系近似滿足(y=2\ln(x+1)+3)。當(dāng)廣告投入從5萬元增加到10萬元時(shí)，點(diǎn)擊量的平均變化率為（）A.(\frac{2}{11}\ln2)B.(\frac{2}{11}\ln\frac{11}{6})C.(2\ln\frac{11}{6})D.(2\ln2)某短視頻平臺的廣告推薦算法中，用戶對廣告的興趣度(S)由三個(gè)特征值決定：歷史點(diǎn)擊量(a)、停留時(shí)長(b)、互動率(c)，且(S=0.4a+0.3b+0.3c)。若(a\in[0,5])，(b\in[0,10])，(c\in[0,2])，則(S)的最大值為（）A.5.6B.6.2C.7.0D.8.4某搜索引擎的廣告排序規(guī)則為：廣告質(zhì)量得分(q)與出價(jià)(p)的乘積決定排名，即(r=qp)。若商家A的質(zhì)量得分(q_A=4)，出價(jià)(p_A=10)元；商家B的質(zhì)量得分(q_B=5)，要使B的排名高于A，則B的出價(jià)(p_B)至少為（）A.7元B.8元C.9元D.10元某社交平臺的廣告曝光量(N)（萬次）與廣告時(shí)長(t)（秒）的關(guān)系滿足(N(t)=10t-t^2)（(0\leqt\leq5)）。為使曝光量最大，廣告時(shí)長應(yīng)設(shè)置為（）A.2秒B.2.5秒C.3秒D.5秒某品牌的廣告投放效果數(shù)據(jù)如下表所示，若用線性回歸模型擬合銷售額(y)（萬元）與廣告投入(x)（萬元）的關(guān)系，其回歸方程為(\hat{y}=\hatx+\hat{a})，則(\hat)的值為（）廣告投入(x)246810銷售額(y)59121518A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0某信息流廣告的定向投放中，目標(biāo)用戶群體包含“性別（男/女）”“年齡段（18-25/26-35/36-45）”“興趣標(biāo)簽（科技/美妝/運(yùn)動）”三個(gè)維度。若每個(gè)維度的選項(xiàng)至少選擇1個(gè)，則不同的定向組合方式有（）A.2×3×3=18種B.(2-1)×(3-1)×(3-1)=4種C.(2+1)(3+1)(3+1)=48種D.2×3×3-1=17種某電商平臺的廣告轉(zhuǎn)化率(r)（轉(zhuǎn)化量/點(diǎn)擊量）服從正態(tài)分布(N(0.05,0.01^2))。若隨機(jī)抽取一次廣告投放數(shù)據(jù)，其轉(zhuǎn)化率落在區(qū)間(0.03,0.07)內(nèi)的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9545)）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.9999某廣告公司為客戶設(shè)計(jì)A、B兩種投放方案：方案A的成本為(C_A=5x+20)（(x)為投放天數(shù)），收益為(R_A=10x)；方案B的成本為(C_B=3x^2+5)，收益為(R_B=20x)。若投放天數(shù)(x\geq1)，則兩種方案利潤相等時(shí)(x)的值為（）A.3B.4C.5D.6某直播平臺的廣告彈窗規(guī)則為：每小時(shí)隨機(jī)彈出1次，彈窗時(shí)間在整點(diǎn)后0-60分鐘內(nèi)均勻分布。若用戶在某小時(shí)內(nèi)的20-40分鐘之間活躍，則其看到彈窗的概率為（）A.(\frac{1}{6})B.(\frac{1}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{2}{3})某品牌在兩個(gè)城市投放廣告，城市甲的市場規(guī)模為100萬用戶，城市乙為200萬用戶。若廣告觸達(dá)率（觸達(dá)用戶數(shù)/市場規(guī)模）甲為30%，乙為20%，則兩個(gè)城市的平均觸達(dá)率為（）A.23.3%B.25.0%C.26.7%D.27.5%某廣告的ROI（投資回報(bào)率）計(jì)算公式為(ROI=\frac{廣告帶來的利潤}{廣告投入}\times100%)。若某廣告投入10萬元，帶來銷售額50萬元，產(chǎn)品利潤率為20%，則其ROI為（）A.20%B.50%C.80%D.100%某平臺的廣告競價(jià)系統(tǒng)中，5家商家的出價(jià)分別為（單位：元）：8，10，12，15，18。若采用第二價(jià)格密封拍賣（即最高出價(jià)者獲勝，但支付第二高價(jià)格），則獲勝商家的支付金額為（）A.10元B.12元C.15元D.18元二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某電商平臺的廣告推薦列表包含10個(gè)廣告位，其中3個(gè)為“熱門商品”廣告，7個(gè)為“普通商品”廣告。若隨機(jī)抽取3個(gè)廣告位，則至少有1個(gè)“熱門商品”廣告的概率為________。某廣告的用戶留存率(f(n))表示第(n)天仍活躍的用戶比例，滿足(f(n)=0.8^n)。若初始曝光用戶為1000人，則第3天的活躍用戶數(shù)為________人。某品牌的廣告投放預(yù)算為10萬元，計(jì)劃分配給電視廣告（(x)萬元）和社交媒體廣告（(y)萬元），且(x+y=10)。已知電視廣告的效果函數(shù)為(E_1=2\sqrt{x})，社交媒體廣告的效果函數(shù)為(E_2=3\sqrt{y})，則總效果(E=E_1+E_2)的最大值為________（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。某廣告的A/B測試中，方案A的轉(zhuǎn)化率為5%，樣本量為200；方案B的轉(zhuǎn)化率為8%，樣本量為150。則兩個(gè)方案的總轉(zhuǎn)化率為________%（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）某短視頻廣告的完播率(p)（觀看完整廣告的用戶比例）與廣告時(shí)長(t)（秒）的關(guān)系為(p(t)=\frac{1}{1+0.1t})（(t\in[10,60])）。（1）求當(dāng)(t=20)秒時(shí)的完播率；（2）若廣告收益(R=1000\timesp(t)\timest)（元），求廣告時(shí)長為多少時(shí)收益最大。（12分）某電商平臺的廣告投放數(shù)據(jù)如下表，其中(x)為廣告投入（萬元），(y)為銷售額（萬元）。(x)12345(y)357810（1）求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})；（2）若廣告投入為6萬元，預(yù)測銷售額；（3）若銷售額目標(biāo)為12萬元，估計(jì)所需廣告投入。（參考公式：(\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x})）（12分）某社交平臺的廣告定向投放中，用戶群體分為“學(xué)生”“上班族”“自由職業(yè)者”三類，比例分別為30%、50%、20%。已知學(xué)生群體的廣告點(diǎn)擊率為8%，上班族為5%，自由職業(yè)者為10%。（1）求該平臺廣告的總點(diǎn)擊率；（2）若某用戶點(diǎn)擊了廣告，求該用戶是“上班族”的概率。（12分）某品牌計(jì)劃在A、B兩個(gè)平臺投放廣告，總預(yù)算為20萬元。設(shè)投放在A平臺的費(fèi)用為(x)萬元，A平臺的曝光量為(f(x)=10x)（萬次），B平臺的曝光量為(g(x)=20\sqrt{20-x})（萬次）。（1）求總曝光量(Q(x)=f(x)+g(x))的表達(dá)式；（2）如何分配預(yù)算，使總曝光量最大？（12分）某廣告公司為客戶設(shè)計(jì)了三種廣告方案，其成本與收益如下表（單位：萬元）：方案成本收益（成功時(shí)）成功概率甲5200.6乙8300.7丙10400.8（1）分別計(jì)算三種方案的期望收益（期望收益=成功概率×收益-成本）；（2）若客戶預(yù)算為15萬元，可選擇兩種方案組合（每種方案最多選一次），求期望收益最大的組合。（12分）某搜索引擎的廣告排序算法中，廣告的綜合得分(S)由出價(jià)(p)（元）和質(zhì)量得分(q)決定，規(guī)則為(S=pq)。現(xiàn)有三個(gè)商家參與競價(jià)，數(shù)據(jù)如下表：商家出價(jià)(p)質(zhì)量得分(q)A104B123C85（1）按綜合得分排序，確定廣告展示順序；（2）若商家B提高出價(jià)，使其綜合得分超過商家A，求B的最小出價(jià)；（3）若質(zhì)量得分(q)的權(quán)重提高，新規(guī)則為(S'=pq^2)，重新排序并說明變化原因。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）（注：完整試卷需包含答案解析，此處僅示例部分題目思路）一、選擇題B提示：平均變化率為(\frac{y(10)-y(5)}{10-5}=\frac{2\ln11-2\ln6}{5}=\frac{2}{5}\ln\frac{11}{6})。C提示：(a=5)，(b=10)，(c=2)時(shí)，(S=0.4×5+0.3×10+0.3×2=7.0)。...二、填空題13.(\frac{17}{24})提示：對立事件為“無熱門商品廣告”，概率為(\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{24})，故所求概率為(1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24})。14.512提示：(f(3)=0.8^3=0.512)，活躍用戶數(shù)為(1000×0.512=512)。...三、解答題17.（1）當(dāng)(t=20)時(shí)，(p(20)=\frac{1}{1+0.1×20}=\frac{1}{3}\approx33.3%)；（2）(R(t)=1000×\frac{t}{1+0.1t})，求導(dǎo)得(R'(t)=1000×\frac{1}{(1+0.1t)^2})，令(R'(t)=0)，解得(t=