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2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)知識創(chuàng)新能力試卷一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)若集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-4x+a=0},且A∩B=B,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[4,+∞)B.(-∞,4]C.{4}D.[3,4]在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為(1,-4),且過點(3,0),則該拋物線的解析式為()A.y=x2-2x-3B.y=x2+2x-3C.y=2x2-4x-6D.y=-x2+2x-5如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以點C為圓心,r為半徑作圓,若圓C與斜邊AB相切,則r的值為()A.2B.2.4C.3D.4已知關(guān)于x的分式方程$\frac{x}{x-2}+\frac{a}{2-x}=2$的解為正數(shù),則a的取值范圍是()A.a<4且a≠2B.a>4C.a<4D.a≤4且a≠2在△ABC中,∠A=60°,AB=2,AC=3,則BC的長為()A.$\sqrt{7}$B.$\sqrt{19}$C.5D.7若點P(m,n)在函數(shù)y=-2x+3的圖像上,且m>0,n>0,則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值為()A.4B.$2\sqrt{2}$C.6D.$3+2\sqrt{2}$如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,將矩形沿EF折疊,使點B與點D重合,則折痕EF的長為()A.$\frac{15}{2}$B.$\frac{15}{4}$C.7.5D.10已知數(shù)據(jù)x?,x?,...,x?的平均數(shù)為$\bar{x}$,方差為s2,則數(shù)據(jù)3x?+2,3x?+2,...,3x?+2的平均數(shù)和方差分別為()A.$3\bar{x}+2$,$3s2$B.$3\bar{x}+2$,$9s2$C.$3\bar{x}$,$9s2$D.$3\bar{x}+2$,$9s2+2$若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k≥-1D.k≥-1且k≠0如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AE=1,則EC的長為()A.1.5B.2C.2.5D.3二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)分解因式:$x^3y-4xy^3=$__________。已知扇形的圓心角為60°,半徑為6,則該扇形的面積為__________(結(jié)果保留π)。若關(guān)于x的不等式組$\begin{cases}x-a>0\2x-3<1\end{cases}$無解,則a的取值范圍是__________。在一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別,從中隨機(jī)摸出一個球,記下顏色后放回,再隨機(jī)摸出一個球,則兩次摸出的球都是紅球的概率為__________。如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點D是BC的中點,以點D為圓心,r為半徑作圓,若圓D與AB相切,則r的值為__________。觀察下列等式:$1^3=1^2$$1^3+2^3=3^2$$1^3+2^3+3^3=6^2$$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$根據(jù)以上規(guī)律,第n個等式為__________。三、解答題(本大題共8小題,共62分)17.(6分)計算:$(\pi-3.14)^0+(-\frac{1}{2})^{-2}-|1-\sqrt{3}|+2\cos30°$18.(6分)先化簡,再求值:$(1-\frac{1}{a-1})\div\frac{a^2-4a+4}{a^2-1}$,其中$a=3$。19.(8分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E、F分別在AD、BC上,且AE=CF。求證:BE=DF。20.(8分)某校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果分為A(每天鍛煉>2小時)、B(1-2小時)、C(0.5-1小時)、D(<0.5小時)四個等級,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖。(1)求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù);(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;(3)若該校共有2000名學(xué)生,估計每天鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人數(shù)。21.(8分)某商店銷售一種商品,每件成本為40元,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品的銷售單價x(元)與日銷售量y(件)之間滿足關(guān)系y=-10x+800。設(shè)該商品的日銷售利潤為w元。(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)銷售單價為多少元時,日銷售利潤最大?最大利潤是多少?22.(8分)如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,AD⊥CD于點D,且AC平分∠DAB。(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若AD=3,AC=5,求⊙O的半徑。23.(10分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D是BC的中點,點E在直線AD上,且BE=BA。(1)求∠CBE的度數(shù);(2)若BC=6,求AE的長。24.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點。(1)求拋物線的解析式;(2)點P是拋物線上一動點,且在第一象限,連接PA、PB,設(shè)△PAB的面積為S,求S的最大值及此時點P的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,點Q是拋物線對稱軸上一點,是否存在點Q,使得以A、P、Q為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每小題3分,共30分)A2.A3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.B10.A二、填空題(每小題3分,共18分)$xy(x-2y)(x+2y)$12.$6\pi$13.$a\geq2$14.$\frac{9}{25}$15.$\frac{6\sqrt{5}}{5}$16.$1^3+2^3+\dots+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$三、解答題解:原式=1+4-($\sqrt{3}-1$)+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$(3分)=1+4-$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{3}$(5分)=6(6分)解:原式=$\frac{a-2}{a-1}\times\frac{(a+1)(a-1)}{(a-2)^2}$(3分)=$\frac{a+1}{a-2}$(4分)當(dāng)$a=3$時,原式=$\frac{3+1}{3-2}=4$(6分)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC(2分)∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF(4分)又∵DE∥BF,∴四邊形DEBF是平行四邊形(6分)∴BE=DF(8分)解:(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為$12\div30%=40$(人)(2分)(2)B等級人數(shù)為$40-4-12-8=16$(人),補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖略(4分)(3)估計每天鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人數(shù)為$2000\times\frac{4+16}{40}=1000$(人)(8分)解:(1)$w=(x-40)y=(x-40)(-10x+800)=-10x^2+1200x-32000$(4分)(2)$w=-10(x-60)^2+4000$(6分)∵$-10<0$,∴當(dāng)$x=60$時,w有最大值,最大值為4000元(8分)(1)證明:連接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA(1分)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA(2分)∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°(3分)∴∠OCA+∠ACD=90°,即OC⊥CD(4分)∵OC是⊙O的半徑,∴CD是⊙O的切線(5分)(2)解:在Rt△ADC中,$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{25-9}=4$(6分)∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°=∠ADC(7分)∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB(8分)∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{3}{5}=\frac{5}{AB}$,解得$AB=\frac{25}{3}$,∴⊙O的半徑為$\frac{25}{6}$(10分)解:(1)連接BD,∵AB=AC,∠BAC=120°,D是BC中點,∴AD⊥BC,∠BAD=60°(2分)∵AB=BE,∴△ABE是等邊三角形,∠ABE=60°(4分)∵∠ABC=30°,∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°(5分)(2)∵BC=6,∴BD=3,在Rt△ABD中,$AD=BD\tan30°=\sqrt{3}$(7分)∵AB=BE=$\frac{BD}{\cos30°}=2\sqrt{3}$,∴AE=AB=2$\sqrt{3}$(10分)解:(1)由題意得A(3,0),B(0,3),代入拋物線解析式得$\begin{cases}-9+3b+c=0\c=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=2\c=3\end{cases}$,∴$y=-x^2+2x+3$(3分)(2)設(shè)P$(x,-x^2+2x+3)$,過點P作PH⊥x軸于H,則$S=S_{梯形OBPH}+S_{\triangleAPH}-S_{\triangleAOB}$=$\frac{1}{2}(3+x)(-x^2+2x+3)+\frac{1}{2}(3-x)(-x^2+2x+3)-\frac{1}{2}\times3\times3$(5分)=$-x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=-(x-\frac{3}{4})^2+\frac{81}{16}$(7分)∴當(dāng)$x=\frac{3}{4}$時,S有最大值$\frac{81}{16}$,此時P$(\frac{3}{4},\frac{75}{16})$(8分)(3)拋物線對稱軸為x=1,設(shè)Q(1,m),①若∠APQ=90°,則$(\frac{3}{4}-1)^2+(\frac{75}{16}-m)^2+(\frac{3}{4}-3)^2+(\frac{75}{16})^2=(3-1)^2+m^2$,解得$m=\frac{75}{16}\pm\frac{3\sqrt{17}}{16}$;②若∠AQP=90°,則$(3-1)^2+m^2+(\frac{3}{4}-1)^2+(\frac{75}{16}-m)^2=(\frac{3}{4}-3)^2+(\frac{75}{16})^2$,解得$m=\frac{75}{16}\pm\frac{\sqrt{17}}{16}$;③若∠PAQ=90°,則$(\frac{3}{4}-3)^2+(\frac{75}{16})^2+(3-1)^2+m^2=(\frac{3}{4}-1)^2+(\frac{75}{16}-m)^2$,解得$m=-\f
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