第二章有理數(shù)及其運算章節(jié)（27知識點回顧+55題型鞏固）目錄知識梳理1.用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量2.有理數(shù)3.相反數(shù)4.絕對值5.數(shù)軸6.相反數(shù)、絕對值的幾何意義7.比較有理數(shù)的大小8.有理數(shù)的加法法則9.有理數(shù)加法的運算律10.有理數(shù)的減法11.有理數(shù)的加減混合運算12.有理數(shù)加減混合運算的實際問題13.有理數(shù)乘法法則14.倒數(shù)15.有理數(shù)乘法法則的推廣16.有理數(shù)乘法的運算律17.有理數(shù)除法法則18.有理數(shù)的乘除混合運算19.乘方的意義20.乘方的運算21.的意義22.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)23.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)24.有理數(shù)混合運算的法則25.“24點”游戲26.利用計算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運算27.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)題型鞏固一、正負(fù)數(shù)的定義二、相反意義的量三、正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用四、有理數(shù)的定義五、0的意義六、有理數(shù)的分類七、帶“非”字的有理數(shù)八、數(shù)軸的三要素及其畫法九、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)十、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小十一、數(shù)軸上兩點之間的距離十二、數(shù)軸上點的平移（動點問題）十三、相反數(shù)的定義十四、化簡多重符號十五、相反數(shù)的應(yīng)用十六、絕對值的幾何意義十七、求一個數(shù)的絕對值十八、絕對值非負(fù)性十九、絕對值的其他應(yīng)用二十、有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用二十一、有理數(shù)加法運算二十二、有理數(shù)加法中的符號問題二十三、有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用二十四、有理數(shù)加法運算律二十五、有理數(shù)的減法運算二十六、有理數(shù)減法的實際應(yīng)用二十七、有理數(shù)的加減混合運算二十八、有理數(shù)加減中的簡便運算二十九、有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用三十、省略加法和括號的形式三十一、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)三十二、兩個有理數(shù)的乘法運算三十三、多個有理數(shù)的乘法運算三十四、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用三十五、倒數(shù)三十六、有理數(shù)乘法運算律三十七、有理數(shù)的除法運算三十八、有理數(shù)除法的應(yīng)用三十九、有理數(shù)乘除混合運算四十、有理數(shù)乘除中的簡便運算四十一、有理數(shù)四則混合運算四十二、有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用四十三、有理數(shù)冪的概念理解四十四、有理數(shù)的乘方運算四十五、有理數(shù)乘方逆運算四十六、乘方運算的符號規(guī)律四十七、乘方的應(yīng)用四十八、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)四十九、算“24”點五十、含乘方的有理數(shù)混合運算五十一、程序流程圖與有理數(shù)計算五十二、計算器——有理數(shù)五十三、求一個數(shù)的近似數(shù)五十四、求近似數(shù)的精確度五十五、近似數(shù)推斷取值范圍知識梳理知識點1.用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量1.用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量為了表示具有相反意義的量，我們可以把其中一個量規(guī)定為正的，用“+”來表示，而把與這個量意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用“－”來表示.特別提醒：相反意義的量的“兩要素”：(1)具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等，所以與一個量具有相反意義的量不止一個.示例具有相反意義的量具有相反意義增加10千克與減少2千克是具有相反意義的量具有數(shù)量具有相反意義上升與下降不是具有相反意義的量缺少數(shù)量2.正數(shù)：像+3，+1.8%，+7.5這樣的數(shù)叫作正數(shù).(正數(shù)前面的“+”可以省略不寫)3.負(fù)數(shù)：像－28，－3.5%，－5.7，－2這樣的數(shù)叫作負(fù)數(shù).4.0的意義：(1)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；(2)0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界；(3)0不僅可以表示“沒有”，還可以表示特定意義，如0℃表示一個確定的溫度.示例正數(shù)和負(fù)數(shù)省略了“+”的正數(shù)正數(shù)：+7，，0.032，+0.1%，…負(fù)數(shù)：－3，－2.7%，－，－8.1，…負(fù)數(shù)可看作是在正數(shù)前面加“－”的數(shù)知識點2.有理數(shù)1.整數(shù)正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，例如：1，2，0，－3，－2等都是整數(shù).2.分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)，例如：1，0.19，－2.35，－等都是分?jǐn)?shù).3.有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).4.幾個常用數(shù)學(xué)名詞的含義(1)正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù)的數(shù).(2)負(fù)整數(shù)：既是負(fù)數(shù)，又是整數(shù)的數(shù).(3)正分?jǐn)?shù)：既是正數(shù)，又是分?jǐn)?shù)的數(shù).(4)負(fù)分?jǐn)?shù)：既是負(fù)數(shù)，又是分?jǐn)?shù)的數(shù).(5)非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0.(6)非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0.(7)非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0.(8)非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和0.(9)自然數(shù)：正整數(shù)和0.5.有理數(shù)的分類(1)按性質(zhì)符號分類：(2)按定義分類：知識點3.相反數(shù)1.定義如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.2.性質(zhì)任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個.正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).0的相反數(shù)是0.3.相反數(shù)的求法求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)的前面加上“－”，即有理數(shù)a的相反數(shù)是－a，其實質(zhì)是改變這個數(shù)的符號.知識點4.絕對值1.定義一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值，如2和－2的絕對值都等于2，0的絕對值等于0.若表示一個有理數(shù)，則的絕對值記作||，讀作“的絕對值”.2.性質(zhì)?正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即：||=知識點5.數(shù)軸1.定義?在一條水平直線上取一點(稱為原點)表示0，選取某一長度作為單位長度，規(guī)定這條直線上向右的方向為正方向，那么相反方向就是負(fù)方向，像這樣，規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線稱為數(shù)軸.2.畫法步驟圖形一畫：畫一條水平直線二?。涸谥本€的適當(dāng)位置選取一點作為原點，該點表示數(shù)0三定：規(guī)定正方向(一般規(guī)定向右為正)，用箭頭表示出來四標(biāo)：選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示數(shù)1，2，3，…，從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示數(shù)-1，-2，-3，…，就得到了數(shù)軸3.對應(yīng)關(guān)系不都表示有理數(shù)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)知識點6.相反數(shù)、絕對值的幾何意義項目相反數(shù)絕對值幾何意義在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等在數(shù)軸上，一個數(shù)的絕對值就是這個數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離示例知識點7.比較有理數(shù)的大小1.兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟2.利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小的法則數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大.3.根據(jù)數(shù)軸的特征“原點的右側(cè)是正數(shù)，原點的左側(cè)是負(fù)數(shù)”，容易得到有理數(shù)大小的比較法則：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).知識點8.有理數(shù)的加法法則類型法則舉例同號兩數(shù)相加取相同的符號，并把絕對值相加異號兩數(shù)相加絕對值相等時和為02+(－2)=0絕對值不等時取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減較小的絕對值一個數(shù)同0相加仍得這個數(shù)(－4)+0=－4注意：有理數(shù)加法運算的關(guān)鍵步驟如下.知識點9.有理數(shù)加法的運算律1.有理數(shù)加法的運算律運算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎炯臃ń粨Q律兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變加法結(jié)合律三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變2.加法運算律的運用技巧(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；(2)符號相同的數(shù)先相加——“同號結(jié)合法”；(3)整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分母相同(或分母成倍數(shù)關(guān)系，易化成同分母)的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”；(4)相加得到整數(shù)的幾個數(shù)先相加——“湊整法”；(5)帶分?jǐn)?shù)相加時，可先拆成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再分別相加——“拆項結(jié)合法”.知識點10.有理數(shù)的減法1.法則減一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).用字母表示：－=+(－)，其中，表示任意有理數(shù).特別提醒：將減法轉(zhuǎn)化為加法的過程中，應(yīng)注意“兩變一不變”.“兩變”是指運算符號“－”變成“+”，減數(shù)變成它的相反數(shù)；“一不變”是指被減數(shù)不變.例如：2.兩數(shù)相減差的符號(1)較大的數(shù)－較小的數(shù)=正數(shù)，即若>，則－>0.(2)較小的數(shù)－較大的數(shù)=負(fù)數(shù)，即若<，則－<0.(3)相等的兩個數(shù)的差為0，即若=，則－=0.知識點11.有理數(shù)的加減混合運算1.運算方法在進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運算時，可以通過有理數(shù)的減法法則，把減法轉(zhuǎn)化為加法，將有理數(shù)的加減混合運算統(tǒng)一成加法運算.2.書寫形式在一個和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它們前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式.例如：3.算式的讀法省略加號和括號的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有兩種讀法：一種是按代數(shù)和所表示的意義讀，讀作“負(fù)9，負(fù)12，負(fù)3與正7的和”，另一種是按運算意義讀，讀作“負(fù)9減12減3加7”.4.運算律省略加號和括號的形式，可看成是有理數(shù)的加法運算，因此，可運用加法運算律來簡化計算：(1)在交換加數(shù)位置時，要連同加數(shù)前面的性質(zhì)符號一起交換；(2)在運用加法結(jié)合律時，有時把減號看作負(fù)號.知識點12.有理數(shù)加減混合運算的實際問題1.“水位變化”問題是典型的有理數(shù)加減混合運算的實際問題.解決此類問題要理解水位變化的含義，即正號表示水位比前一天上升，負(fù)號表示水位比前一天下降，參考對象是前一天的水位.此類問題還包括“股票價格變化”“產(chǎn)量變化”等實際問題.2.畫折線圖的步驟(1)明確所畫的折線圖表示的問題；(2)確定一個數(shù)為0點；(3)標(biāo)出橫線和縱線表示的量，明確折線圖表示的量的單位；(4)選擇合適的單位長度，使得最終畫出的折線圖有明顯的上升和下降的幅度，能清楚地看出變化情況；(5)通常情況下，縱線上選取的最高點比實際最大值略高，最低點比實際最小值略低.知識點13.有理數(shù)乘法法則類型運算法則運算步驟示例同號兩數(shù)同號得正，并把絕對值相乘先看有無為0的因數(shù)，若有，則乘積為0；(2)如果沒有為0的因數(shù)，則先確定乘積的符號，再求乘積的絕對值(+5)×(+3)=15，(－5)×(－3)=15異號兩數(shù)異號得負(fù)，并把絕對值相乘(－5)×(+3)=－15，(+5)×(－3)=－15一個因數(shù)為0任何數(shù)與0相乘，積仍為0(－5)×0=0，0×(+3)=0知識點14.倒數(shù)1.定義如果兩個有理數(shù)的乘積為1，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù).2.互為倒數(shù)與互為相反數(shù)的異同項目互為倒數(shù)互為相反數(shù)不同點特點不同兩數(shù)之積等于1兩數(shù)之和等于0性質(zhì)不同互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號相同互為相反數(shù)且不等于0的兩個數(shù)的符號一正一負(fù)范圍不同只有0沒有倒數(shù)任意一個數(shù)都有相反數(shù)相同點都是指兩個有理數(shù)之間的一種關(guān)系；(2)都具有規(guī)定性(可規(guī)定其中任意一個數(shù)是加另一個數(shù)的倒數(shù)或相反數(shù))、相對性(倒數(shù)或相反數(shù)是相對于另一個數(shù)而言的)、成對性(倒數(shù)或相反數(shù)是成對出現(xiàn)的)知識點15.有理數(shù)乘法法則的推廣1.幾個不等于0的有理數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積的符號為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積的符號為正，即“奇負(fù)偶正”.圖示：2.幾個有理數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，結(jié)果就是0；反之，若幾個有理數(shù)的乘積為0，則至少有一個因數(shù)為0.圖示：知識點16.有理數(shù)乘法的運算律運算律內(nèi)容用字母表示示例乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變6×(－8)=(－8)×6乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或先把后兩個數(shù)相乘，積不變[3×(－4)]×(－6)=3×[(－4)×(－6)]乘法對加法的分配律一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)同兩個數(shù)分別相乘再把積相加4×(－3+5)=4×(－3)+4×5知識點17.有理數(shù)除法法則1.法則(一)(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.例如：(2)0除以任何非0的數(shù)都得0.注意：0不能作除數(shù).2.法則二?(1)除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即：a÷b=a×1/b

(b≠0).例如：(2)運算步驟：先將除號變?yōu)槌颂?，將除?shù)變?yōu)槠涞箶?shù)，再運用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計算.知識點18.有理數(shù)的乘除混合運算1.有理數(shù)的乘除混合運算順序按照從左到右的順序計算，有括號的，先計算括號里面的.2.有理數(shù)的乘除混合運算法則有理數(shù)乘除混合運算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個有理數(shù)相乘的法則計算.知識點19.乘方的意義1.乘方的意義?求n個相同因數(shù)a的積的運算叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪.一般地，

個記作，其中叫作底數(shù)，n叫作指數(shù).讀作“的n次冪”(或“的n次方”).2.乘方與乘法的關(guān)系表示n個相同因數(shù)的積，其中相同的因數(shù)是底數(shù)，因數(shù)的個數(shù)是指數(shù)，因此，可以把相同因數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為乘方或把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.知識點20.乘方的運算有理數(shù)乘方的符號法則有理數(shù)的乘方運算有理數(shù)的乘方運算同有理數(shù)的乘法運算一樣分兩步走：一是確定結(jié)果的符號；二是確定結(jié)果的絕對值.，－及(－)的異同點與聯(lián)系項目－(－)不同點意義不同n個相乘的積n個相乘的積的相反數(shù)n個－相乘的積底數(shù)不同－相同點指數(shù)都是n聯(lián)系n為正奇數(shù)－=(－)，且－，(－)均與互為相反數(shù)(≠0)n為正偶數(shù)=(－)，且，(－)均與－互為相反數(shù)(≠0)n為正整數(shù)=－=(－)=0(=0)知識點21.的意義表示1后面有n個0的數(shù)，即特別解讀表示n個10相乘的積.知識點22.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)科學(xué)記數(shù)法定義一般地，一個大于10的數(shù)可以表示成×的形式，其中1≤<10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法確定的方法將原數(shù)的小數(shù)點移到最高數(shù)位的數(shù)字后邊即可得到的值確定n的方法①用整數(shù)的位數(shù)來確定n，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.②按小數(shù)點移動的位數(shù)來確定n，小數(shù)點向左移動了幾位，n就等于幾知識點23.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原方法?把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)×還原成原數(shù)時，只需把中的小數(shù)點向右移動n位，并去掉乘號和即可，若向右移動的位數(shù)不夠，則用0補(bǔ)足.注意還原時，不要弄錯原數(shù)的位數(shù).知識點24.有理數(shù)混合運算的法則1.有理數(shù)的混合運算法則先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的.2.有理數(shù)的混合運算需注意的幾個問題(1)有理數(shù)的運算，加減法是第一級運算；乘除法是第二級運算；乘方是第三級運算.一個式子中含有多級運算時，先做第三級運算，再做第二級運算，最后做第一級運算，有括號時，先做括號內(nèi)的運算，一般按照小括號、中括號、大括號的順序進(jìn)行運算.(2)靈活運用運算律，改變運算順序，可以簡化計算.知識點25.“24點”游戲“24點”游戲是這樣進(jìn)行的：從一副撲克牌(去掉大、小王)中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運算(每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號)，使得運算結(jié)果為24或－24.其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù),黑色撲克牌代表正數(shù)，A，J，Q，K分別代表1，11，12，13.由于任意取出的四張牌上的數(shù)字經(jīng)過什么運算才能得到24或－24具有不確定性，因此大家要靈活運用有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算，要多嘗試、多探索.知識點26.利用計算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運算1.利用計算器進(jìn)行有理數(shù)的基本運算利用計算器進(jìn)行簡單計算時，遵循“從左到右”的原則進(jìn)行，即與算式的書寫順序相同，尤其是有理數(shù)的混合運算，也是從左到右，而無需考慮“先乘方，再乘除，最后加減”的運算順序.開機(jī)2.使用計算器進(jìn)行簡單運算的步驟與方法開機(jī)(1)開機(jī)：按開機(jī)鍵，以接通計算器的電源；(2)輸入：按照算式的書寫順序輸入數(shù)據(jù)，即從左往右依次輸入，最后按EXE鍵顯示計算結(jié)果；(3)關(guān)機(jī)：先按鍵，再按AC鍵，關(guān)閉計算器.知識點27.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)1.準(zhǔn)確數(shù)與實際完全相符的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).2.近似數(shù)與實際非常接近，但存在一定偏差的數(shù)叫近似數(shù).在實際問題中有的量不可能或沒有必要用準(zhǔn)確數(shù)表示，而用一個有理數(shù)近似地表示出來，這個數(shù)就是這個量的近似數(shù)(或近似值).3.近似數(shù)的精確度近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，用精確度表示.一個數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，如2=2.333…，結(jié)果取2，就說精確到個位；取2.3，就說精確到十分位(或精確到0.1)；取2.33，就說精確到百分位(或精確到0.01).例如：48000精確到萬位，則48000≈5×.4.近似數(shù)的精確度的表達(dá)方法(1)用數(shù)位表示，如精確到百分位，千分位等；(2)用小數(shù)表示，如精確到0.1，0.01等；(3)對帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到kg，m等.題型鞏固題型一、正負(fù)數(shù)的定義1．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）北宋沈括在《夢溪筆談》中提到“算法用赤籌、黑籌，以別正、負(fù)之?dāng)?shù)”，古人用紅色、黑色算籌分別表示具有相反意義的正數(shù)和負(fù)數(shù)，下列各數(shù)中不是負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C．1 D．【答案】C【知識點】正負(fù)數(shù)的定義【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，判斷每個選項是否為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)是小于的數(shù)．本題主要考查負(fù)數(shù)的定義，熟練掌握“小于的數(shù)是負(fù)數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)．故選：．題型二、相反意義的量2．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）請任意寫出一個的實際意義：．【答案】規(guī)定地上1層記為，那么地下2層記為（答案不唯一）【知識點】相反意義的量【分析】本題考查了負(fù)數(shù)的實際意義．結(jié)合實際情況作答即可．【詳解】解：的實際意義：規(guī)定地上1層記為，那么地下2層記為，故答案為：規(guī)定地上1層記為，那么地下2層記為（答案不唯一）題型三、正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用3．（24-25七年級上·貴州遵義·階段練習(xí)）學(xué)校對七年級學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試，在引體向上項目中，男生引體向上個數(shù)為10個以上記為優(yōu)秀，9~10個記為良好，4~8個記為及格，低于4個記為不合格．以9個為標(biāo)準(zhǔn)，超過的個數(shù)用正數(shù)表示，不足的個數(shù)用負(fù)數(shù)表示，其中12名男生的成績記錄如下表：序號1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號11號12號成績（個）0(1)表中“”表示的意義是___________；(2)這組男生引體向上的成績優(yōu)秀率是多少？(3)你對成績沒有達(dá)到良好的同學(xué)有些什么建議？【答案】(1)比個少做個引體向上(2)(3)多在課余時間加強(qiáng)鍛煉【知識點】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得到“”的實際意義解答即可；（2）先找出成績優(yōu)秀人數(shù)，然后計算優(yōu)秀率解答即可；（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)提出合理建議即可．【詳解】（1）解：“”表示的意義是比個少做個引體向上，故答案為：比個少做個引體向上；（2）解：達(dá)到優(yōu)秀的有3人，∴優(yōu)秀率為，答：這組男生引體向上的成績優(yōu)秀率是；（3）解：建議：多在課余時間加強(qiáng)鍛煉．題型四、有理數(shù)的定義4．（24-25七年級上·廣東肇慶·階段練習(xí)）下列各數(shù)，，0，π，0.0123中，有理數(shù)的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【知識點】有理數(shù)的定義【分析】本題考查了有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義解答即可，掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在，，0，π，0.0123中，有理數(shù)有，，0，0.0123，共4個，故選：A．題型五、0的意義5．（22-23七年級上·全國·期中）關(guān)于“零”的說法正確的是（）（1）是整數(shù)，也是有理數(shù)；（2）不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；（3）不是整數(shù)，是有理數(shù)；（4）是整數(shù)，不是自然數(shù)．A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3）【答案】C【知識點】0的意義【分析】本題主要考查有理數(shù)的初步認(rèn)識，0的意義；根據(jù)有理數(shù)的初步認(rèn)識逐一判斷即可．【詳解】解：0是整數(shù)，也是有理數(shù)，0不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0也是自然數(shù)．∴（1）（2）正確故選：C．題型六、有理數(shù)的分類6．（24-25七年級上·貴州黔東南·期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．（填序號即可）①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧正有理數(shù)集合：{

…}；負(fù)有理數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；負(fù)整數(shù)集合：{

…}；有理數(shù)集合：{

…}．【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧【知識點】有理數(shù)的分類【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，熟練掌握有理數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．根據(jù)有理數(shù)的定義作答即可．【詳解】正有理數(shù)集合：{①③④⑧…}；負(fù)有理數(shù)集合：{②⑤⑦…}；整數(shù)集合：{①④⑤⑥…}；負(fù)整數(shù)集合：{⑤…}；有理數(shù)集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…}題型七、帶“非”字的有理數(shù)7．（24-25七年級上·四川巴中·期中），，，，，，，中，非負(fù)數(shù)有個．【答案】【知識點】帶“非”字的有理數(shù)、化簡多重符號【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，化簡多重符號，熟練掌握概念是解決本題的關(guān)鍵．由非負(fù)數(shù)的概念，即“大于或等于0的數(shù)”，由此概念判斷即可．【詳解】解：，根據(jù)非負(fù)數(shù)的概念可知，，，，，，是非負(fù)數(shù)，共個．故答案為：．題型八、數(shù)軸的三要素及其畫法8．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列說法不正確的是（

）A．?dāng)?shù)軸是一條直線B．若a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點右邊C．在數(shù)軸上表示2和的點到原點的距離相等D．?dāng)?shù)軸上一定取向右的方向為正方向【答案】D【知識點】數(shù)軸的三要素及其畫法【分析】本題考查數(shù)軸的基本知識，數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．根據(jù)數(shù)軸的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A.數(shù)軸是一條直線,說法正確；B.若a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點右邊,說法正確；C.在數(shù)軸上表示2和的點到原點的距離相等,說法正確；D.數(shù)軸的正方向可以根據(jù)實際需求定義，通常默認(rèn)向右為正方向，但并非絕對，故該選項說法不正確；故選D．題型九、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)9．（2025七年級上·河南開封·專題練習(xí)）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)．，，，，，【答案】見解析【知識點】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【分析】本題考查了數(shù)軸的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義和表示方法以及正負(fù)數(shù)知識，根據(jù)圖示，數(shù)軸上的一個格表示1，結(jié)合分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義和表示方法以及正負(fù)數(shù)知識，解答即可．【詳解】解：如圖題型十、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小10．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）已知點M，N，P，Q在數(shù)軸上的位置如圖，其中離原點距離最遠(yuǎn)的點是．【答案】Q【知識點】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。苯痈鶕?jù)數(shù)軸作答即可．【詳解】由數(shù)軸可知，離原點距離最遠(yuǎn)的點是Q故答案為：Q題型十一、數(shù)軸上兩點之間的距離11．（2023七年級上·湖南邵陽·競賽）已知數(shù)軸上有三點，且點在點的右側(cè)，點表示的數(shù)分別是1、3，若，則點表示的數(shù)是（

）A． B．7 C．4 D．0【答案】B【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用兩點間距離公式求出的長度，再結(jié)合與的關(guān)系求出點的位置．先根據(jù)、表示的數(shù)求出的距離，再由求出的長度，最后根據(jù)點在點右側(cè)，求出點表示的數(shù)．【詳解】解：數(shù)軸上兩點間的距離為兩點所表示數(shù)的差的絕對值，點表示的數(shù)是1，點表示的數(shù)是3，因此，已知，結(jié)合，可得，因為點在點的右側(cè)，點表示的數(shù)是3，所以點表示的數(shù)為．故選：B．題型十二、數(shù)軸上點的平移（動點問題）12．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)是8，若動點從原點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達(dá)原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)當(dāng)時，求點到原點的距離；(2)當(dāng)時，求點到原點的距離；【答案】(1)(2)【知識點】數(shù)軸上點的平移（動點問題）【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，兩點間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．（1）計算出點Q運動的路程，即可解答；（2）計算出點Q的運動路程，即可解答；【詳解】（1）解：∵動點從原點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，∴當(dāng)時，，∵在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，∴，∴，∴當(dāng)時，點到原點的距離為6；（2）解：∵動點從原點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動∴當(dāng)時，點運動的距離為，∵在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，∴，∴，∴當(dāng)時，點到原點的距離為2；題型十三、相反數(shù)的定義13．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）5月2日的世界泳聯(lián)跳水世界杯總決賽上，中國跳水女將全紅嬋與陳芋汐憑借出色的表現(xiàn)獲得女子雙人10米跳臺的冠軍．10的相反數(shù)是（

）A．10 B． C． D．【答案】B【知識點】相反數(shù)的定義【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，0的相反數(shù)是0，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的定義作答即可．【詳解】10的相反數(shù)是，故選：B題型十四、化簡多重符號14．（2023七年級上·廣西南寧·競賽）化簡：【答案】【知識點】化簡多重符號【分析】本題主要考查化簡多重符號，熟練掌握運用相反數(shù)的定義化簡多重符號是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義化簡多重符號即可．【詳解】解：．故答案為：題型十五、相反數(shù)的應(yīng)用15．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（都不為零）的商為（）A． B．1 C．0 D．不確定【答案】A【知識點】相反數(shù)的應(yīng)用【分析】本題考查相反數(shù)，掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義，兩個互為相反數(shù)的數(shù)之和為0，其中一個數(shù)為a，另一個數(shù)為．計算它們的商即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這兩個數(shù)分別為a和（a≠0），則它們的商為：，無論以哪一個數(shù)作為被除數(shù)，結(jié)果均為?1．因此，互為相反數(shù)的兩個非零數(shù)的商恒為?1．故選A．題型十六、絕對值的幾何意義16．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，且，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點】絕對值的幾何意義【分析】本題考查絕對值，根據(jù)絕對值的定義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的定義逐項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．若，則，即，也就是，所以，因此選項A不符合題意；B．若，則，即，所以，因此選項B不符合題意；C．若，則，即，所以，因此選項C符合題意；D．若，則，即，所以，，因此選項D不符合題意．故選：C．題型十七、求一個數(shù)的絕對值17．（24-25七年級上·貴州黔東南·期中）有理數(shù)2024的絕對值是（）A．2024 B． C． D．【答案】A【知識點】求一個數(shù)的絕對值【分析】本題考查了絕對值的意義，表示一個數(shù)a的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．一個正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．根據(jù)絕對值的意義作答即可【詳解】有理數(shù)2024的絕對值是2024故選：A題型十八、絕對值非負(fù)性18．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）已知．(1)求x，y的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)，(2)【知識點】相反數(shù)的定義、絕對值非負(fù)性【分析】本題主要考查了絕對值非負(fù)性和解一元一次方程等知識點，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性求出x、y的值；（2）先根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出，再結(jié)合（1）中的結(jié)果即可求出z的值；【詳解】（1）解：∵，又，，∴，，∴，；（2）解：∵，∴由（1）知，，∴與互為相反數(shù)∴．題型十九、絕對值的其他應(yīng)用19．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）若是實數(shù)，則的最小值為．【答案】【知識點】絕對值的其他應(yīng)用【分析】根據(jù)，及三種情況，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，確定出的最小值即可．此題考查了絕對值函數(shù)的最值，絕對值，利用了分類討論的思想，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，，此時，∵，∴，即；當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時，∵，∴，即，綜上，，即最小值為．故答案為：．題型二十、有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用20．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）以下我國四個湖的平均海拔高度，最低的是（

）A．艾丁湖 B．鄱陽湖 C．陽澄湖 D．洞庭湖【答案】A【知識點】有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較（海拔高度的比較），解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則，即負(fù)數(shù)小于正數(shù)，兩個正數(shù)比較時數(shù)值小的更?。扰袛喔鬟x項海拔的正負(fù)屬性，艾丁湖海拔為負(fù)數(shù)，其余三個湖海拔均為正數(shù)；根據(jù)有理數(shù)大小關(guān)系，負(fù)數(shù)小于所有正數(shù)，故直接確定艾丁湖海拔最低．【詳解】解：艾丁湖海拔為，是負(fù)數(shù)，即選項A是負(fù)數(shù)，其他選項均為正數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)小于一切正數(shù)可知，海拔最低的是A選項；

故選：A．題型二十一、有理數(shù)加法運算21．（2023七年級上·北京東城·競賽）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】有理數(shù)加法運算【分析】本題考查了運用有理數(shù)加減運算法則進(jìn)行求解，解題關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定結(jié)果的符號和計算方法．（1）先確定結(jié)果是負(fù)數(shù)，再用-17的絕對值減+8的絕對值；（2）先確定結(jié)果是負(fù)數(shù)，再用-0.9的絕對值加0.87的絕對值；（3）運用減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行求解；（4）運用任何數(shù)加上0等于它的本身進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．題型二十二、有理數(shù)加法中的符號問題22．（22-23七年級上·四川樂山·期中）已知兩數(shù)的和為正，下面的判斷中，正確的是（

）A．兩個加數(shù)必須都為正數(shù) B．兩個加數(shù)都為負(fù)數(shù)C．兩個加數(shù)中至少有一個正數(shù) D．兩個加數(shù)必須一正，一負(fù)【答案】C【知識點】有理數(shù)加法中的符號問題【分析】根據(jù)有理數(shù)加法計算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，并不一定兩個加數(shù)都是正數(shù)，說法錯誤，不符合題意；B．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，說法錯誤，不符合題意；C．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，即兩個加數(shù)中至少有一個正數(shù)，說法正確，符合題意；D．若兩數(shù)的和為正，則絕對值大的那個數(shù)的符號為正，兩個加數(shù)可以都是正數(shù)，說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法計算，熟知兩個有理數(shù)相加，符號取絕對值較大的數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵．題型二十三、有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用23．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）下列問題情境，能用加法算式表示的是（

）A．水位先下降，又下降后的水位變化情況B．將原點先向左移動10個單位長度，再向右移動2個單位長度后表示的數(shù)C．某日最低氣溫為，溫差為，該日的最高氣溫D．?dāng)?shù)軸上表示與10的兩個點之間的距離【答案】C【知識點】有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用【分析】本題考查了加法算式的實際意義．逐一判斷即可．【詳解】A．水位先下降，又下降后的水位變化情況：，不能用加法算式表示；B．將原點先向左移動10個單位長度，再向右移動2個單位長度后表示的數(shù)，用加法算式表示，故不符合題意；C．某日最低氣溫為，溫差為，該日的最高氣溫：，能用加法算式表示；D．?dāng)?shù)軸上表示與10的兩個點之間的距離：，不能用加法算式表示；故選：C．題型二十四、有理數(shù)加法運算律24．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列各式中，與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】有理數(shù)加法運算律【分析】本題主要考查加法交換律，熟練掌握加法交換律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)加法交換律直接進(jìn)行排除選項即可．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選C．題型二十五、有理數(shù)的減法運算25．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：．【答案】【知識點】有理數(shù)的減法運算【分析】本題考查有理數(shù)的減法運算，根據(jù)絕對值的意義和有理數(shù)的減法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．題型二十六、有理數(shù)減法的實際應(yīng)用26．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）某《科技名人辭典》記載：斯特拉博，古希臘地理學(xué)家、歷史學(xué)家．如果公元前記為“”，斯特拉博活了歲．【答案】86【知識點】有理數(shù)減法的實際應(yīng)用【分析】本題考查有理數(shù)減法的應(yīng)用，根據(jù)題意可得23減去即為所求．【詳解】解：（歲）．故答案為：86．題型二十七、有理數(shù)的加減混合運算27．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算的結(jié)果是（

）A．3 B．5 C．7 D．15【答案】B【知識點】有理數(shù)的加減混合運算【分析】此題考查了有理數(shù)加減混合運算．把原式變?yōu)槭÷约犹柡屠ㄌ柕募臃ㄓ嬎慵纯桑驹斀狻拷猓汗蔬x：B．題型二十八、有理數(shù)加減中的簡便運算28．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）請判斷下列計算過程是否正確．若不正確，請說明從哪一步開始出現(xiàn)錯誤及出現(xiàn)錯誤的原因，并給出正確的計算過程．

第一步

第二步．

第三步【答案】計算過程不正確，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是添加括號后未變號，正確計算過程見解析．【知識點】有理數(shù)加減中的簡便運算【分析】本題考查了有理數(shù)加減的運算，加法交換律和結(jié)合律，理解有理數(shù)加法運算法則是解答關(guān)鍵．從第①步開始添括號時應(yīng)是，而原計算過程還是，然后按正確的計算方法來求解．【詳解】解：計算過程不正確，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是添加括號后未變號．正確的計算過程如下：．題型二十九、有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用29．（2023七年級上·湖北十堰·專題練習(xí)）銀行卡上一般存入為正，支出為負(fù)．淘氣媽媽的工資卡上有5000元，6月20日她支出3000元，6月28日又存入1500元，現(xiàn)在媽媽工資卡上有元．【答案】3500【知識點】有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用【分析】本題考查有理數(shù)加減法的實際應(yīng)用，正負(fù)數(shù)來表示具有相反意義的兩種量：存入記為正，則支出為負(fù)，由此得出支出3000元就記為元；求現(xiàn)在媽媽工資卡上的錢數(shù)，就用原有的5000元減去支出的3000元再加上又存入的1500元即可．【詳解】解：由題得：（元）故答案為：3500.題型三十、省略加法和括號的形式30．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）將寫成省略括號的形式是．【答案】【知識點】省略加法和括號的形式【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運算中括號的省略方法，解題的關(guān)鍵是掌握“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”及省略括號的規(guī)則．根據(jù)有理數(shù)減法法則，將式子中的減法轉(zhuǎn)化為加法，再省略加號和括號，得到省略括號的形式．【詳解】解：．故答案為：．題型三十一、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)31．（24-25七年級上·北京·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、有理數(shù)的減法運算【分析】本題考查了數(shù)軸和絕對值，有理數(shù)的減法．利用數(shù)軸知識可得a，b，c的大小，再根據(jù)絕對值，相反數(shù)，有理數(shù)的減法逐項判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，，∴，，，，∴只有B選項正確，符合題意．故選：B題型三十二、兩個有理數(shù)的乘法運算32．（22-23七年級上·湖北十堰·開學(xué)考試）如果acbd=ad?bc，那么【答案】【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算【分析】本題考查了新定義下的有理數(shù)的混合運算，解決本題的關(guān)鍵是理解已知信息．根據(jù)已知信息的計算規(guī)則，列式求解即可．【詳解】解：∵acbd∴32故答案為：．題型三十三、多個有理數(shù)的乘法運算33．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：；【答案】【知識點】多個有理數(shù)的乘法運算【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則求解即可．【詳解】解：．故答案為：．題型三十四、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用34．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)在地面的氣溫是，某飛機(jī)在該地上空處．若高度每增加，氣溫下降，則此時飛機(jī)所在高度的氣溫是多少？【答案】此時飛機(jī)所在高度的氣溫是【知識點】有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用【分析】題目主要考查有理數(shù)的乘法運算及加法運算的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】解：，．故此時飛機(jī)所在高度的氣溫是．題型三十五、倒數(shù)35．（2023·四川達(dá)州·中考真題）的倒數(shù)是（

）A． B． C．2023 D．【答案】B【知識點】倒數(shù)【分析】本題主要考查倒數(shù)的概念，掌握其概念及計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)的定義“乘積為的兩個數(shù)互為倒數(shù)”，由此即可求解，【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是．故選：B．題型三十六、有理數(shù)乘法運算律36．（2025七年級上·全國·單元測試）張麗用計算器計算“”時，發(fā)現(xiàn)鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結(jié)果的是（

）．A． B． C．【答案】B【知識點】有理數(shù)乘法運算律【分析】本題考查了乘法運算的靈活應(yīng)用，以及通過分解、轉(zhuǎn)化等方法解決實際問題的能力，解題的關(guān)鍵是在避免直接使用數(shù)字“9”的情況下，等價表示9.9．據(jù)題意，由于計算器的“9”鍵損壞，需將9.9轉(zhuǎn)換為不含數(shù)字9的表達(dá)式進(jìn)行計算，同時驗證各選項是否與原式等價．【詳解】解：A、，計算正確，故此選項不符合題意；B、正確拆分應(yīng)為，但選項B直接減去0.1，無法得到正確答案，故此選項符合題意；C、根據(jù)乘法分配律，，計算正確，故此選項不符合題意；故選：B．題型三十七、有理數(shù)的除法運算37．“題載思想”，劉聰同學(xué)常對自己的錯題進(jìn)行“究錯”，以下是摘自她的一篇究錯日記，請你對劉聰所編的習(xí)題進(jìn)行解答．【錯題日期】9月23日【錯題來源】當(dāng)堂測驗【錯題重現(xiàn)】用簡便方法計算：【所屬考點】有理數(shù)的運算【錯因分析】有理數(shù)的加法運算算理不透，誤把寫成，導(dǎo)致本題錯誤．【劉聰編題】用簡便方法計算：【答案】【知識點】有理數(shù)的除法運算【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化的思想．將化為，再利用乘法分配律計算．【詳解】解：．題型三十八、有理數(shù)除法的應(yīng)用38．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十……”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米）．其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米……”．問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為升．【答案】18【知識點】有理數(shù)除法的應(yīng)用【分析】本題考查了有理數(shù)乘除法的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出式子.根據(jù)題目列出式子，再按照法則計算.【詳解】解：（升）答：可以換得的糲米為升.故答案為：．題型三十九、有理數(shù)乘除混合運算39．（2025七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)100(2)(3)0(4)【知識點】有理數(shù)乘除混合運算【分析】此題考查有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘除混合運算法則是解題的關(guān)鍵：（1）按照從左到右的順序計算即可；（2）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，除法化為乘法，再計算乘法；（3）根據(jù)0乘以任何數(shù)都等于0解答；（4）按照從左到右的順序計算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．題型四十、有理數(shù)乘除中的簡便運算40．（2025七年級上·全國·周測）計算：．【答案】10【知識點】有理數(shù)乘除中的簡便運算【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，先利用乘法分配律計算，然后求和，最后運算除法解答即可．【詳解】解：原式．題型四十一、有理數(shù)四則混合運算41．選擇你喜歡的方法進(jìn)行計算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)123(2)(3)(4)【知識點】有理數(shù)四則混合運算【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運算，熟練掌握其運算規(guī)則，先乘除后加減，有括號先算括號內(nèi)的是解題的關(guān)鍵．（1）先計算乘法，最后計算減法即可；（2）先計算乘法，再計算括號內(nèi)的減法，最后再計算除法即可；（3）先計算乘法，最后計算加法即可；（4）先進(jìn)行括號內(nèi)的運算，最后再計算除法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．題型四十二、有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用42．小學(xué)六年級畢業(yè)時，一個學(xué)習(xí)小組的4名成員互相交換禮物，每人都收到本小組所有其他成員的禮物，這個小組共送出禮物（

）A．3件 B．6件 C．12件 D．16件【答案】C【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用【分析】本題考查的是有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，根據(jù)題意列出有理數(shù)混合運算的式子進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵一個學(xué)習(xí)小組的4名成員互相交換禮物，每人都收到本小組所有其他成員的禮物，∴每個人收到件禮物，∴這個小組共送出禮物為：（件）．故選：C．題型四十三、有理數(shù)冪的概念理解43．（2025·吉林長春·二模）對于式子，下列說法正確的是（

）A．指數(shù)是 B．底數(shù)是3 C．冪是9 D．表示2個3相乘【答案】C【知識點】有理數(shù)冪的概念理解【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，中a為底數(shù)，b為指數(shù)，結(jié)果為冪，表示b個a相乘，由此逐項判斷即可．【詳解】解：對于式子，指數(shù)是2，故A選項錯誤；底數(shù)是，故B選項錯誤；，即冪是9，故C選項正確；表示2個相乘，故D選項錯誤；故選：C．題型四十四、有理數(shù)的乘方運算44．（2023七年級上·廣西南寧·競賽）計算的結(jié)果是（

）．A．5 B． C．9 D．【答案】C【知識點】有理數(shù)的乘方運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方的運算，掌握底數(shù)為負(fù)數(shù)時的有理數(shù)乘方運算是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求解即可．【詳解】解：．故選C．題型四十五、有理數(shù)乘方逆運算45．（24-25七年級上·福建廈門·期中）若，則．【答案】【知識點】有理數(shù)乘方逆運算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘方的逆運算，根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．題型四十六、乘方運算的符號規(guī)律46．（22-23七年級上·山東濟(jì)南·期末）記：，，，…，．(1)計算的值；(2)計算的值；(3)猜想與的關(guān)系．【答案】(1)(2)0(3)互為相反數(shù)【知識點】乘方運算的符號規(guī)律、數(shù)字類規(guī)律探索【分析】（1）根據(jù)已知算式即可求解；（2）觀察已知算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求值；（3）分兩種情況討論，當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)時，為偶數(shù)和奇數(shù)，進(jìn)而可以說明．【詳解】（1）解：（1），，，，的值為：；（2）的值為：；（3）與的關(guān)系：互為相反數(shù)的關(guān)系．理由如下：，，當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，與互為相反數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，與互為相反數(shù)；所以與的關(guān)系：互為相反數(shù)的關(guān)系．【點睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察已知條件尋找規(guī)律并運用規(guī)律．題型四十七、乘方的應(yīng)用47．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）綜合與實踐二維碼在日常生活中應(yīng)用廣泛，使用若干個與二進(jìn)制相對應(yīng)的幾何圖形來表示數(shù)值（黑色代表1，白色代表0）．如圖1，是小明同學(xué)的準(zhǔn)考證號的二維碼的簡易編碼，其中第一行代表二進(jìn)制的數(shù)字，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為24；同理第二行至第五行代表二進(jìn)制的數(shù)字分別轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的兩位數(shù)，依次組合到一起就是小明同學(xué)的準(zhǔn)考證號2412072813．(1)圖2是小輝同學(xué)的準(zhǔn)考證號的二維碼的簡易編碼．①直接寫出第一行，第二行分別代表二進(jìn)制的數(shù)字；②直接寫出小輝同學(xué)的準(zhǔn)考證號；③若將第一行至第五行代表的5個二進(jìn)制的數(shù)字相加，直接寫出用二進(jìn)制數(shù)與四進(jìn)制數(shù)分別表示這5個數(shù)字的和．(2)二維碼不僅能儲存數(shù)字信息，還能通過代碼將數(shù)字信息轉(zhuǎn)換成字母語言信息．將大寫英文26個字母作為明碼，它對應(yīng)數(shù)字暗碼如下表：明碼ABCDEFGHIJKLM暗碼12345678910111213明碼NOPQRSTUVWXYZ暗碼14151617181920212223242526若二維碼的簡易編碼所對應(yīng)的數(shù)值m小于27，則設(shè)的值為二維碼的簡易編碼所對應(yīng)暗碼，若二維碼的簡易編碼所對應(yīng)的數(shù)值m大于或等于27，則二維碼的簡易編碼所對應(yīng)的明碼為空格，如圖1中第一列所對應(yīng)的二進(jìn)制的數(shù)字10010轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)18，則暗碼為，則對應(yīng)的明碼為“Ⅰ”，第二列中所對應(yīng)的二進(jìn)制的數(shù)字11011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)27，則此時二維碼的簡易編碼所對應(yīng)的明碼為空格．①直接寫出圖2中從左到右五列對應(yīng)的明碼分別是什么？②請在圖3中畫出一個明碼為“LUCKY”的的二維碼．【答案】(1)①；或；②2410272108；③；(2)①EYOU．或E（空格）YOU．②見解析【知識點】乘方的應(yīng)用【分析】本題考查了進(jìn)制，解題關(guān)鍵是理解數(shù)位的進(jìn)制，準(zhǔn)確進(jìn)行計算求解；（1）①根據(jù)題中的規(guī)則求解；②根據(jù)題中的規(guī)則化二進(jìn)制為十進(jìn)制；③根據(jù)進(jìn)制進(jìn)行二進(jìn)制、四進(jìn)制與十進(jìn)制進(jìn)行換算求解；（2）①根據(jù)代碼進(jìn)行換算；②先把代碼換算成二進(jìn)制，再畫二維碼．【詳解】（1）解：根據(jù)黑色代表1，白色代表0①第一行代表的二進(jìn)制的數(shù)字為，第二行代表的二進(jìn)制數(shù)字為或；②轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為；同理，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為10；轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為27；轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為21；轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為08；小輝同學(xué)的準(zhǔn)考證號為：2410272108；③將第一行至第五行代表的5個二進(jìn)制的數(shù)字相加得：，，用二進(jìn)制表示為；，用四進(jìn)制表示為（2）（2）①轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為22