重難點(diǎn)培優(yōu)03線面、面面平行與垂直的重難題型突破

錄

01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基......................1

02題型精研?技巧通法提能力.......................................................5

題型一四點(diǎn)共面（★★★★★）...................................................................................................................5

題型二面面平行證明線面平行（★★★★）.................................................7

題型三線面平行的性質(zhì)定理（★★★★★）.................................................8

題型四線段成比例證明平行（★★★★）...................................................9

題型五垂直問(wèn)題中全等三角形條件突破（★★★★）..............................................................................10

題型六線面垂直證線線垂直（★★★★★）................................................II

題型七面面垂直的性質(zhì)定理（★★★★★）................................................13

題型八證面面垂直（★★★★★）.......................................................15

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效......................................................17

檢測(cè)I組重難知識(shí)鞏固..................................................................17

檢測(cè)0組創(chuàng)新能力提升..................................................................23

01

知識(shí)重構(gòu)-重難梳理固根基

一、證明垂直的常見(jiàn)方法

（I）等腰三角形（等邊三角形）的“三線合一

如圖：AB=AC,D為BC中點(diǎn)，則AO_L3c

（2）勾股定理的逆定理

如圖：如果則ACJ,3C

R

(3)正方形、菱形的對(duì)角線互相垂直。

如圖：四邊形ABCD是菱形，所以AC_L4O

(4)直徑所對(duì)的圓周角是90°

如圖：AB是圓的直徑，/4CB=90'

(5)通過(guò)證線面垂直證線線垂直

mua

注：若題目要證/_La,已知〃?ua且機(jī)，/是異面直線，要證一般是證機(jī)_!_/所在的平面。

(6)平移法：通過(guò)三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行平移

二、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)此直線/與平面a平行，記作/〃a

2、判定方法(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這個(gè)平/〃4、

線〃線=面內(nèi)的?條直線平行，那么這條直4ua■=>I//a

線〃面線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線/__/l(Za

平行=>線面平行

如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平allB'

?=a/邛

面〃面=>面內(nèi)的所有直線都平行于另-個(gè)aua

線〃面平面

三、兩個(gè)平面平行

1、定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面。和夕，若則Q〃4

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相

線〃面=交的直線都平行于另一個(gè)a//B，b〃B=B

面〃面平面，那么這兩個(gè)平面平行

（簡(jiǎn)記為“線面平行=面

面平行

線，面口如果兩個(gè)平面同垂直于一/J.a]

\0a〃B

面〃面條直線，那么這兩個(gè)平面平

行/■/

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

兩平行直線中有一b

條與平面垂直，則a!lb

平行與垂直的關(guān)系h■=>bA.a

另一條直線與該平a_La

面也垂直

五、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過(guò)另一bLa]

$=>a_L/

個(gè)平面的垂線，則bug\口

這兩個(gè)平面垂直7

2、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一a1/3

個(gè)平面內(nèi)垂直于交acp=a

b?=>p1a

buQ

線的直線與另一個(gè)

乙/bla

平面垂直上

02

題型精研-技巧通法提能力

?題型一四點(diǎn)共面?

1.如圖，在正方體ABCO-ABCOI中，E,F分別是棱AA，CC1的中點(diǎn).證明：E,B,F,R四點(diǎn)

共面

2.在正方體48CO—A8CQ中，E,尸分別為A。，CC的中點(diǎn)，若點(diǎn)G滿(mǎn)足西=4力G,證明：B,E,

G,〃四點(diǎn)共面.

3.如圖所示的幾何體中，底面A3CQ是菱形，AD=DB=2,我/）_1平面人38,ED//CF,BF=FE,且

平面五￡厲_1_平面瓦陽(yáng).在線段初上是否存在點(diǎn)M,使得ACM,/四點(diǎn)共面？若存在，請(qǐng)給出證明；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.（2025?云南紅河?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,等腰梯形AHC7）中，AB/；CD,AA=4,CD=6,五尸分別為A8,CO

的中點(diǎn)，且EF=衣,將梯形AE/7）沿石/翻折至梯形AE尸A，使得平面AEF。，平面8EFC,得到如圖2

的多面體A8EACR

圖1圖2

⑴證明：48CR四點(diǎn)共面;

5.如圖，在多面體中，AE_L平面ABC。，AE//BFt四邊形ABC。為梯形，BCHXD,

BC=BF=2AB=2,AD=6,AE=3.

E

⑴若G是VAOE的重心，證明：E,F,CG四點(diǎn)共面;

?題型二面面平行證明線面平行?

【技巧通法?提分快招】

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果兩個(gè)平面平行，那么

面〃面=>

在一個(gè)平面中的所有直//a//B}

線〃面

線都平行于另外一個(gè)平au(/

面//

1.如圖，四棱錐2-八"6中，是A8上靠近點(diǎn)A的網(wǎng)等分點(diǎn)，尸是PC上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn),

證明：￡F//平面月40.

2.如圖①，在直角梯形A3cp中，AP//BC,AP±AB,AB=BC=；AP,。為”的中點(diǎn)，￡￡G分別

為PCPDCB的中點(diǎn)，將△月（刀沿C。折起，得到四棱錐P-ABC。，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，

AP〃平面EFG.

圖②

3.如圖，在四棱錐P-A8CO中，平面B4OJ_底面A8CO,側(cè)棱尸A=PO=及，底面A8CD為直角梯形,

其中8C〃ADAB_L4D4O=2.AB=2BC=2,。為A。中點(diǎn).線段PO上是否存在點(diǎn)Q,使得CQ〃平面

PAB?

?題型三線面平行的性質(zhì)定理?

【技巧通法?提分快招】

線面平行性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和一個(gè)1//a

平面平行，經(jīng)過(guò)這條lu0

線〃面n線〃線直線的平面和這個(gè)平

面相交，那么這條直

線就和交線平行

1.如圖，四棱錐P-A48的底面為正方形，且PD_L面A48.設(shè)平面外。與平面P4C的交線為/.證明:

1//CB.

2.如圖所示，在四棱錐P-4KCO中，底面ABCO為平行四邊形，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).設(shè)平面/腌與直線

尸。相交于點(diǎn)八求證：所〃平面A8CZ).

3.（2024?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ACbE,AE=1,AE_L平面A38,ABI/CD,/胡。=90。，

AB=\,。=2,平面AOr與棱跖交于點(diǎn)G.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為

已知.

（1）求證：AG/JDF；

?題型線段成比例證明平行?

【技巧通法?提分快招】

如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的

第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時(shí)，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線

平行，進(jìn)而得到線面平行

1.如圖，在四楂錐P-A8C。中，底面A8CO為等腰梯形，AD//BC,AB=I3C=^ADtM為PC上一點(diǎn),

⑴求證：〃平面8D%

2.如圖，四棱錐夕-/WO底面/WC。為菱形，定=3配，點(diǎn)E在底面ABCD的投影恰好為△BCD的

⑴求證：EF//平面PAB；

(2)求證：PC1BD.

3.(2025.福建三明?模擬預(yù)測(cè))如圖，等腰梯形A4CO中，ABNCD,CD=2AI3=4,AELCD,垂足為

E,將VAQK*咎AE翻折，得到四棱錐P-AKCE.在四棱錐尸-AACE中，點(diǎn)M,N分別在線段依，AC

「口ANBM

上’且近二而=2.

⑴求證：肥%//平面尸口；

?題型五垂直問(wèn)題中全等三角形條件突破?

1.如圖，直角三角形ABC所在平面外有一點(diǎn)S,且SA=S3=SC,。為斜邊AC的中點(diǎn).求證:SOJ_平面A8C.

A

2.（25-26高三上?河北?開(kāi)學(xué)考試）如圖，四棱錐S-ABCD中，5^_1_平面人^6,底面四邊形/WC。為正

方形，S8=A8,點(diǎn)E尸分別為棱8C、CO的中點(diǎn).

（1）證明：AE_L平面S8/；

3.（24-25高三上?上海?期中）如圖所示四棱錐尸-A88,其口

AB=AD=AP=45,CB=CD=CP=2底AC交4D于點(diǎn)0.

⑴求證：ACJL平面P4D；

4.（24-25高三上?湖北荊州?月考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A6c。-44GR中，“、可、。分別為棱和口

、BB|、A4的中點(diǎn).

（1）求證：AN_L平面A"Q：

?題型六線面垂直證線線垂直?

【技巧通法?提分快招】

(1)證明：SGA.AC；

(2)已知所E,G,尸四點(diǎn)共面，求DG的長(zhǎng).

2.如圖，人4，B片為圓柱。。的母線，8c是底面圓。的直徑，D,E分別是人4，C4的中點(diǎn)，?！?，面

CBB].

(1)證明：AB1AQ；

3.(2526高三上?河南新鄉(xiāng)，開(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐。一八AC力中，ADUBC,ZABC=90,PBA.AC,

且PC=3C=X/5A4=3AO=3.

BC

(1)求證：ACLPDx

4.（2025?山西太原?一模）如圖，在多面體A8CD四中，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且/24。=60,

O￡_L平面ABC。，平面8CAJ■平面ABC。，VBCF是等邊三角形.

(1)求證：ADLEF;

5.（24-25高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知三棱柱ABC-A4G，平面平面A8C,

48c=90。，BC=x/3,/84。=30。，44=4。=4。,￡/分別是人。，4局的中點(diǎn).

（1）證明：EFJ.BC；

?題型七面面垂直的性質(zhì)定理?

【技巧通法?提分快招】

面面歪直也質(zhì)兔理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

I.（25-26高三上?河北衡水?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在多面體ABCQEf'中，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為4的菱形,

ZBCD=60°,AC與8。交于點(diǎn)。，平面E8C_L平面ABC。，EF//AB,FB=FC,EF=2.

（1）證明：平面4BCD.

2.（2S-26高三上.浙江.月考）如圖，在四棱錐。一〃/7）中，平面PA8_L平面4月。），ABI/CD.BC±AB,

AB=\+5CD=?BC=PB=2,且四棱錐尸一人AC力的體積為邁里.

(1)證明：ABLPD^

3.（25-26高三上?廣東湛江?月考）如圖1,在直角梯形A8CO中，AD//BC,ZADC=90,BC=4,AD=3,

NZMO=I20,點(diǎn)M在A。上，且AM=Afi=2.將△ABM沿8W折起，使得平面ABMJL平面8CDW,如圖

2.

⑴求四棱錐A—BC7W的體積；

pc3

（2）若點(diǎn)P在圖2中線段AC上，且二二二二，證明：P。//平面4

AC4

4.如圖，在三棱柱ABC-481G中=3,AB=AC=2,4c=2及，平面八ACJ?平面ACGA，平面八AC_L

平面點(diǎn)。，E分別在棱4A，上，且4。=8￡：=1.

⑴求證：/A>4,1BC；

5.如圖，在四棱錐P-/WC。中，平面Q48L平面A4C。，平面R4OL平面"8,底面ABC。為直角梯

形，AD=2BC=2,CD1BC,AC與8。相交于點(diǎn)N,點(diǎn)M滿(mǎn)足兩=2破，且8M_LAC

P

(1)求證：PA_L平面A8CO；

(2)求。。的長(zhǎng)度；

?題型八證面面垂直?

【技巧通法?提分快招】

平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過(guò)另一bla]八

>=>a1/3

bu隊(duì)產(chǎn)

個(gè)平面的垂線，則h

這兩個(gè)平面垂直Z

1.(25-26高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在梯形ABC。中，NABC=NR4O=90。，AD=2BC=^AB=2,

E為AO的中點(diǎn)，將△鉆￡沿跖折起至△P8E的位置，PC=1.

p

⑴求證：平面/?石。_!_平面人8。＞：

2.(25-26高三上?廣西南寧?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐A4CO中，AB//CD,AB=2DC,NABC=90°,

△PAO為等腰直角三角形，AD為斜邊，其中AB=2,0O=BC=1,M=PC.

3.（24-25高三下?河南開(kāi)封?月考）如圖，在四棱錐P-A88中，N84O=/CD4=60,N48C=90,4）=4,

CD=2,PB=3,PA=2瓜,平面PDC_L平面A&D.

(1)求證:平面正8_L平面"CD

4.如圖，在三棱錐。-A3。中，A8=夜,8C=2,。B=。C=6且ABJ.8CAC,8C,AQ,8。的中點(diǎn)分別

為E,F,M,N,且8MJ_CO.

(1)證明：EM//平面ANF；

(2)證明：平面BEM±平面ANF；

5.(25-26高三上?福建福州?開(kāi)學(xué)考試)如圖，四面體A8C。中，ADYCD,AD=CD,ZADB=/CDB,

E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面8￡D_L平面AC。；

03

實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)-分層突破驗(yàn)成效

?檢測(cè)I組重難知識(shí)鞏a?.........--

1.如圖，在四棱錐Q-ABCD中，AD//BC,4)=2,BC=3,E是PZ)的中點(diǎn)，分別在上,

且=證明：瓦尸,AM四點(diǎn)共面；

33

2.如圖，已知正方體ABCO-A8CA的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)E滿(mǎn)足。E=3E4,點(diǎn)尸是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿(mǎn)足

3

DG=|GD,

(I)求證：8、E、G、r四點(diǎn)共面;

3.如圖，已知四棱錐P-A4c。，尸A_L平面A4CO,平面A4C_L平面PCD,24=2,AO=3,BC=1.

(1)證明：CDJ_平面P4C；

4.如圖，在四棱錐中，平面PC力_L平面從4c。，四邊形A8co為等腰梯形，且43=3。。=1,

△PC。為等邊三角形，平面246c平面尸8=直線/.證明：〃/平面A38.

AB

5.如圖，在四棱錐P-A&7)中，平面/WCOJ_平面PCD,底面人AC。為正方形，旦尸分別為A。,PC的

中點(diǎn)，設(shè)平面pen平面。跖=/.

(1)求證：BC1DF；

(2)求證：DF/h

6.如圖，在正方體ABC。-48cA中，E,尸分別為A4與8cl上的點(diǎn)，且八石=4斤.求證：瓦7/平面ABCD.

AMDN

7.如圖，點(diǎn)S是oA8C￡）所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是S4,8。上的點(diǎn)，且.求證：MN//平

SMNB

面S8C.

8.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)/WCO-AMGR中，RO_L平面4BCDA8=CO=4,

AD=BC=2A,D}=2,/BCD=6）.

⑴求證：BD1AD1；

9.（2025?湖南湘潭?一模）如圖，在四棱錐2-/WC。中，底面A8CO是菱形，側(cè)面。4O_L底面A8CQ,34。

為正三角形，E,尸分別是棱A。，0c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在側(cè)棱PO上，且PG:GD=3:1.

⑴求證：依〃平面EFG；

10.(25-26高三上?四川綿陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)如圖甲，在梯形A3CQ中，AD//BC,NADC=90。，

BC=CD=2AD=4,E是CO的中點(diǎn)，將VAOE沿月E折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，如圖乙，且PC=2j§.

(1)求證：平面尸AE_L平面A8CE；

11.在三棱臺(tái)AAC-A4G中，A4=AC=28C=6,NA8A=N4?C=6()。.證明：平面人88八，平面A8c.

12.如圖，點(diǎn)氏C為半圓O圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，PA±AD,PCLCD,E為P。的中點(diǎn).

(1)證明：CE//平面幺8：

(2)證明：平面BOE_L平面E4C.

13.(23-24高三下?浙江?月考)如圖，三棱臺(tái)A8C-A8G，A8JL8cAe_L84,平面A8■/\_L平面

ABC,AB=6,3c=4,=2,AG與AC相交于點(diǎn)Q,荏=2麗，且OE//平面比匕出.

4B

(1)求三棱錐C-4MG的體積;

14.如圖，在四棱柱中，平面CDRGJ■平面A8CQ,AB//CD,AD1CD,AB=B1C=3,

AA,=2AD=2CD=2.

(1)證明：MJ.平面48c。；

15.在梯形P4BC中，ABRPC,PA=AB=BC、PC=2PA.。為PC的中點(diǎn)，G為4。的中點(diǎn).將△尸4。所

在平面沿AQ翻折，使構(gòu)成的四棱錐P-ABC力體積最大.

(1)求證：86_1平面24。；

(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在校PC上找到一點(diǎn)尸，使平面OEE_L平面A3CD?并證明你的結(jié)論.

16.如圖，在正四棱錐尸-八"8中，OG分另I」是線段4c,24的中點(diǎn)，瓦廠分別