2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽向量方法試卷一、選擇題（每題5分，共10題）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,x)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$x$的值為（）A.4B.5C.6D.7向量$\vec{a}=(-1,3)$，$\vec=(2,-6)$，則$\vec{a}$與$\vec$的關(guān)系是（）A.垂直B.平行且同向C.平行且反向D.不平行也不垂直已知$|\vec{a}|=3$，$|\vec|=4$，且$\vec{a}\cdot\vec=-6$，則$\vec{a}$與$\vec$夾角的余弦值為（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{4}$在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$，$B(-1,-4)$，則線段$AB$的中點坐標(biāo)是（）A.$(1,-1)$B.$(1,2)$C.$(3,-1)$D.$(3,2)$已知$\vec{a}$與$\vec$均為單位向量，其夾角為$\theta$，則命題“$|\vec{a}+\vec|>1$”是命題“$\theta\in[0,\frac{2\pi}{3})$”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件點$M(x,y)$的坐標(biāo)滿足方程$x+y=5$，則點$M$到原點的距離$d=\sqrt{x^2+y^2}$的最大值是（）A.5B.$2\sqrt{5}$C.$5\sqrt{2}$D.10在四面體$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，$\overrightarrow{AD}=\vec{c}$，則$\overrightarrow{BD}$等于（）A.$\vec{c}-\vec{a}$B.$\vec{a}+\vec-\vec{c}$C.$\vec{c}-\vec{a}-\vec$D.$\vec{a}-\vec{c}$已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,m)$，且$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$m$的值為（）A.1B.-1C.$\pm1$D.0設(shè)$O$為$\triangleABC$的外心，$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$，若$\vec{a}+\vec+\vec{c}=\vec{0}$，則$\triangleABC$的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，若$(\vec{a}+2\vec)\perp(2\vec{a}-\vec)$，則$x$的值為（）A.2B.$\frac{7}{2}$C.-2D.$-\frac{7}{2}$二、填空題（每題7分，共7題）已知向量$\vec{a}=(3,4)$，則與$\vec{a}$方向相同的單位向量為__________。點$P(3,4)$關(guān)于$x$軸的對稱點的坐標(biāo)是__________。已知$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(1,k)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$k=$__________。在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$，$B(-1,-4)$，則線段$AB$的斜率$k=$__________。已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，$\vec{c}=(3,4)$，且$\vec{c}=x\vec{a}+y\vec$，則$x+y=$__________。設(shè)$\vec{a}$，$\vec$為非零向量，且$|\vec{a}|=|\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$\vec{a}$與$\vec{a}+\vec$的夾角為__________。在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}=\vec{c}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，若點$D$滿足$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{AD}=$__________（用$\vec$，$\vec{c}$表示）。三、解答題（每題17分，共3題）（1）已知點$A(2,3)$，$B(-1,-4)$，求線段$AB$的長度；（2）已知點$P(3,4)$，$Q(-2,1)$，求線段$PQ$的中點坐標(biāo)及向量$\overrightarrow{PQ}$的模長。在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形$ABC$的三個頂點坐標(biāo)分別為$A(-2,1)$，$B(3,-4)$，$C(5,2)$，求：（1）向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)；（2）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的值；（3）三角形$ABC$的面積。設(shè)$P$為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$長軸上一個動點，過$P$點斜率為$k$的直線交橢圓于$A$，$B$兩點。若$|PA|^2+|PB|^2$的值僅依賴于$k$而與$P$無關(guān)，求$k$的值。四、附加題（每題20分，共2題）已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，（1）求$|\vec{a}+\vec|$和$|\vec{a}-\vec|$；（2）若向量$\vec{c}=2\vec{a}-\vec$，$\vecz3jilz61osys=k\vec{a}+\vec$，且$\vec{c}\parallel\vecz3jilz61osys$，求實數(shù)$k$的值；（3）求向量$\vec{a}$在向量$\vec{a}+\vec$方向上的投影。在四面體$OABC$中，$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$，點$M$，$N$分別是$OA$，$BC$的中點，$G$是$MN$的中點，（1）用$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$表示向量$\overrightarrow{OG}$；（2）若$|\vec{a}|=|\vec|=|\vec{c}|=1$，且$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$兩兩夾角均為$60^\circ$，求$|\overrightarrow{OG}|$。五、證明題（20分）證明：在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則線段$AB$的中點坐標(biāo)為$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$。證明：對于任意向量$\vec{a}$，$\vec$，有$|\vec{a}+\vec|^2+|\vec{a}-\vec|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec|^2)$（平行四邊形法則）。六、應(yīng)用題（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(0,1)$，$P(x,y)$是線段$AB$上的動點，（1）求向量$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)表示；（2）求$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OP}$的最大值；（3）若$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求$m+n$的值及$m^2+n^2$的最小值。已知在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}\cdot\ov