專題04分式及分式的基本性質(zhì)

一.選擇題（共11小題）

X

1.（2022春?江陰市期中）要使分式―門有意義，則X的取值應(yīng)滿足（）

X-2022

A.x=2022B.x>2022C.x<2022D.*2022

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式組求解.

【解答】解：由題意可得x?2022,0,

解得#2022,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關(guān)鍵.

a1a2—ab+b2

2.（2022春?吳中區(qū)校級期中）如果工=大則———=（）

b2a2+b2

53

--c2

3D.5D.

【分析】根據(jù)題意，得到力=2”，代入消元化簡計算即可.

【解答】解：?*二；，

b2

:.b=2a?

a2-ab+b2a2-2a2+4a23

?,a2+d2=a2+4a2=9

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了條件型分式求值，熟練掌握變形消元代入求值的方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?靖江市校級期中）下列各式也、:二；、f+1、二2中分式有（）

Q2nl27rb3

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)分式的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：下列各式也、:；、2+1、W2中分式有色、廣、三+1，共3個.

a2m2TIh3a2mh

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是分式的定義，解答此題時需注意兀是常數(shù)，不是分母.

4.（2022春?寶應(yīng)縣期中）下列分式中，字母x的取值是全體實數(shù)的是（）

2+x3x5x4-62X-1

A.------B.——C.——D.——

x1一次x2-lx2+l

【分析】根據(jù)分式有意義的條件，分母不為0,逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、---（入￥0）,故A不符合題意；

x

3%

B、-——-（,#±1）,故B不符合題意：

1-田

5x+6

C、——（A#±l）,故C不符合題意；

x2-l

D、竽二（x取全體實數(shù)），故D符合題意；

xz+l

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

x+1

5.（2022春?涕水區(qū)期中）關(guān)于分式一;的判斷，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x=2時，分式的值為零

B.當(dāng)x=-1時，分式無意義

C.當(dāng)今2時，分式有意義

D.無論x為何值，分式的值總為負(fù)數(shù)

【分析】利用分式有無意義、值為0的條件，逐個判斷得結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)x=2時，分式無意義，故A說法錯誤；

當(dāng)x=-I時，分式的值為0,故B說法錯誤；

當(dāng)H2時，分式有意義，故C說法正確；

當(dāng)x=3時，分式的值不為負(fù)數(shù)，故D說法錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了分式有無意義及值為。的條件.當(dāng)分式的分母為。時，分式無意義；當(dāng)分式的分子

為0,分母不為0時分式的值為0；當(dāng)分式的分母不為0時，分式總有意義.

x-2

6.（2022春?儀征市期末）當(dāng)上滿足什么條件時，分式一;的值為（）.（）

x+2

A.x=-2B.x=2C./-2D..#2

【分析】根據(jù)分子等于零，且分母不等于零時，分式的值為零解答即可.

x-2

【解答】解：當(dāng)分式一二（）時，x-2=0,且x+2#）,

x+2

解得：x=2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式等于0的條件，熟練掌握分式的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?淮陰區(qū)校級期中）將分式急中的x,y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則該分式的值（）

A.變?yōu)樵瓉淼?倍B.變?yōu)樵瓉淼?倍

C.不變D.變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，分式的值不變.即

可判斷.

【解答】解.：???分式^中x、＞的值都變?yōu)樵瓉淼?倍,

???分式會”

xy4xy2xy

x+y2(x+y)x+y

則該分式的值變?yōu)樵瓉淼?倍.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)握分式的基本性質(zhì).

8.（2022春?東?？h期中）下列等式一定成立的是（）

aa+1aabaa2aa-c

A.-=------B.-=—C.-=—D.-=——

bb+1bb2bb2bb-c

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：A、f工段，故A不符合題意；

bb+1

aab

B.-=—.故B符合題意；

bbz

c、￡工旨，故C不符合題意；

bb2

D、T*故D不符合題意：

bb-c

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?廣陵區(qū)期末）下列分式從左到右變形錯誤的是（）

c133+b

4―B■—■

5c54a4a+b

11a2-4a-2

C.-----=-------D.------------=------

a-bb-aaz+4a+4a+2

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：A、三二"故A不符合題意；

5c5

33Ib

B、「工----故B符合題意；

4a4a+b

【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，掌握整體代入的思想和降次是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共11小題）

x+3

12.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）若分式一的值為零，則/=?3.

x

【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得x+3=0,且.#0,再解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

rx+3=0

&工0'

解得x=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于

零.注意：“分母不為零''這個條件不能少.

4

13.（2022春?常熟市期末）分式一的值是整數(shù)，則正整數(shù)，〃的值等于2,3,5.

m1

【分析】根據(jù)題意分情況討論，正整數(shù)〃?，即〃L1>0,〃L1#）,進(jìn)行計算即可得出答案.

4

【解答】解：要使分式一;的值是整數(shù)，

771-1

4

當(dāng)機(jī)=2時，——=4,

771-1

4

當(dāng)初=3時，——=2,

m-1

,,4

當(dāng)m=5M,-------=i,

m-1

所以正整數(shù)機(jī)的值等于2,3,5.

故答案為:2,3,5.

【點(diǎn)評】本題主要考查了分式的值，熟練掌握分式的值計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

x+3

14.（2022?黃岡模擬）要使分式一:有意義，則字母x的取值范圍是a-4.

【分析】根據(jù)分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：盧4翔，

解得：*?4,

故答案為：存?4.

【點(diǎn)評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵.

15.（2022春?射陽縣期中）當(dāng)。=2022時，分式巴二的值為2024.

a-2------

t分析】先化簡分式，再代入求值即可得出答案.

【解答】解：原式=空普芻

=。+2,

當(dāng)4=2022時，

原式=2022+2

=2024.

故答案為：2024.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的值，掌握。2-廬=（。+6）（4?人是解題的關(guān)鍵.

x+1X

16.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）當(dāng)式=-1時，分式一;的值為0.當(dāng)x*3時,分式一有意義.

--------------X-2-----x-3

【分析】先根據(jù)分式的值為。的條件列出關(guān)于X的不等式組，求出X的值，再根據(jù)分式有意義的條件列

出關(guān)于X的不等式，求出工的取值范圍即可.

T4-1

【解答】解：???分式一;的值為0,

X2

弋黑就，解得一1;

X

:分式一;有意義，

x-3

?”-3和，即/3.

故答案為：=-1,H3.

【點(diǎn)評】本題考查的是分式的值為。的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解

答此題的關(guān)鍵.

12

17.（2022春?淮陰區(qū)期末）已知一=1,則一4-X-1=3.

x-1x-1

【分析】先解分式方程，然后瘠X的值代入求解.

【解答】解：解方程」7=1得，x=2,

x-1

將x=2代入方程得：2+2-1=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的值，求解x的值是解答本題的關(guān)鍵.

11

18.（2022春?江寧區(qū)期末）分式fF■和一兀:的最簡公分母為2（。+方）（a-b）.

a2-b22a+2b-------------------------------

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義即可得出答案.

【解答】解：分式￡工=，，兩個分式的最簡公分母為（）（）

a2-b2（a+b,）（a-b7）2a+2b=72（^a+7b7）2a+ba-b,

故答案為：2(a+b)(a-b).

【點(diǎn)評】本題考查最簡公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冢的積作公分母，

這樣的公分母叫做最簡公分母，這是解題的關(guān)鍵.

;

19.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）下列4個分式：①/工；?x2_y2③2/n；中最簡分式有_2

個.

【分析】根據(jù)確定最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)即分子，分母中不含有公因式，不能再約分，即可得出答案.

【解答】解：是最簡分式；

②：一丫2=7—~T7~—?=不是最簡分式；

（x+y）（x-y）x+y

③一7=h匚，不是最簡分式；

2mzn2mn

是最簡分式；

最簡分式有①④，共2個；

故答案為：2.

【點(diǎn)評】此題考查了最簡分式，最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分.判斷的方

法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同

的因式從而進(jìn)行約分.

345ab—bc+ac7

=

20.（2022春?泰興市期中）若一=-=則分式2八2~777,

abc~SU~

【分析】可以設(shè)之二：二兮二；,則〃=3也b=4匕c=5k,把這三個式子代入所要求的式子再進(jìn)行化簡

abck

就得到式子的值.

3451

【解答】解：設(shè)一=-=-=則a=3k,b=4k,c=5k,

abck

r,八,ab-bc+ac3k4k-4k-5k+3k-5k7k27

則分式----------=--------------------=-----=—

a2+b2+C29fc2+16fc2+25/c250k250

7

故答案為W?

50

【點(diǎn)評】掌握本題的設(shè)法，把多個未知數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一個未知數(shù)的問題.

2

21.（2022春?姜堰區(qū)期中）化簡：a~2fl+1=1.

1-a

【分析】先將分子利用完全平方公式變形，再進(jìn)行約分即可.

【解答】解：原式=畸￥=-（。-|）=1-〃?

故答案是1

【點(diǎn)評】本題考有了約分.要注意完全平方公式的運(yùn)用.

222

22.（2022春?洪澤區(qū)期中）給出下列分式：（1）警，（2）嚅~，（3）與昌，（4）忌，仃）/寢彳其

中最簡分式有（2）.（填序號）

【分析】直接利用分式的性質(zhì)性質(zhì)分別化簡，再結(jié)合最簡分式的定義得出答案.

8bc4bc

?：(.)-=-

4a2-b2(2a+b)(2a-b)

(3)=2a+b；

2a-b2a-b

a-b

(4)----=—1,

b-a

a2-b2(a+匕)(a-b)a-b

(5)

a2+2ab+b2(a+b)2a+b'

a2+b2

則最簡分式有（2）

a+b'

故答案為：（2）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了最簡分式,正確掌握最簡分式的定義是解題關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題）

3a2b

23.（2022春?泗陽縣期中）（1）約分:

Gab

（2）通分：言與專

【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而得出答案;

（2）首先得出最簡公分母，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：（I）原式=粼=*

（2）；'與三，最簡公分母為：3辦5

3a2be

c,2b2bbe2b2c

則----=--------=--------,

'3a23a2.be3a2fec，

aa3a23a3

be3a2bc3a2bc'

【點(diǎn)評】此題主要考查了通分與約分，正確掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

24.（2022春?鼓樓區(qū)期中）閱讀材料.

x「求2x

已知,?的值.

x2+l3x2+x+l

2

X1ZI,X+1

解:由西T^—=3,

X+%+1

顛倒分了與分母的位置為

r2+x+lX

「,x2+x+lx2+l

因為-------=-----+1=3+1=4,

XX

所以=±

xz+x+l4

回答問題：

ab1be1ac1abc”

已知m江c為非零實數(shù)，,一.-_?-求代數(shù)I式v..的Jt值.

a+b6b+c8a+c10ab+bc+ac

【分析】先分別求得勺，［土，上土的倒數(shù)，再將計算結(jié)果代入丁第一的倒數(shù)進(jìn)行計算即可.

a+b匕+ca+cab+bc+ac

【解答】解：???￡=="be1ac1

a+b6b+c8'a+c10'

a+bb+ca+c

=6>=8,------=10>

ab-------be---------ac

a+bb+ca+c

=6+8+10,

abbeac

c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)=

abcabcabc

ac+bc+ab+ac+ba-^-bc

------------------------------=24,

abc

2(ab+bc+ac')

??=24,

abc

ab+bc+ac

=12,

abc

abc1

ab+bc+ac12

【點(diǎn)評】此題考查的是分式的計算，能夠根據(jù)已知等式進(jìn)行正確變形是解決此題的關(guān)鍵.

25.（2022春?洪澤區(qū)期中）小紅、小剛、小明三位同學(xué)在討論：當(dāng)x取何整數(shù)時，分式絲三的值是整數(shù)？

x+1

小紅說：這個分式的分子、分母都含有X，它們的值均隨X取值的變化而變化，有點(diǎn)難.

小剛說：我會解這類問題：當(dāng)工取何整數(shù)時，分式上的值是整數(shù)？3是x+1的整數(shù)倍即可，注意不要忘

X+1

記負(fù)數(shù)哦.

小明說：可將分式與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比.本題可以類比小學(xué)里學(xué)過的“假分?jǐn)?shù)”，當(dāng)分子大于分母時，可以將“假

73X2+111

分?jǐn)?shù)”化為一個整數(shù)與“真分?jǐn)?shù)”的和.比如：二==一二2+自（通常寫成帶分?jǐn)?shù)：2-）.類比分式，當(dāng)

3333

分子的次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時，可稱這樣的分式為“假分式”，若將竺工化成一個整式與一個“真分

%+1

式”的和，就轉(zhuǎn)化成小剛說的那類問題了!

小紅、小剛說：對！我們試試看！…

（1）解決小剛提出的問題；

（2）解決他們共同討論的問題.

【分析】（1）只要3是產(chǎn)1的倍數(shù)即可；

（2）將分式化成一個整式與一個真分式的和，5是x+l的倍數(shù)即可.

【解答】解：⑴當(dāng)1―3時，分式.的值是整數(shù),

Ax=O,-2,2,-4.

3K—23(%+1)-55

(2)--------=—~—=3

x+1x+1x+lf

當(dāng)x+l=±l,±5時，分式的值為整數(shù),

/.x=0,-2,4,-6.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的整數(shù)值，考查學(xué)生的計算能力，看懂題意是解題的關(guān)鍵.

八,m2+5m+6

26.已知：分式m

(1)當(dāng)，〃滿足什么條件時，分式有意義？

,,,,m2+5m+6

(2)約分：——D；

mz-4

(3)當(dāng)，〃滿足什么條件時，分式值為負(fù)？

【分析】（1）分母不等于。時分式有意義，據(jù)此求解可得;

（2）將分子與分母因式分解，再約去公因式即可得;

⑶由分式的值為負(fù)數(shù)知會＜D.據(jù)此得m+3>0戈

解之可得?

m-2V(T

【解答】解：⑴當(dāng)蘇?4聲0,分式有意義,

解得：

2

(2)-m-+-5-m-+6=-(-m-+-2)-(m-+-3)=-m-+-3；

m2-4(m+2)(7n-2)m-2

⑶由題意知黑＜0,

m+3>0?m+3<0

或

m—2<0.771—2>0

解得：-3〈機(jī)V2,

即-3y"?V2,且時■2時,分式的值為負(fù).

【點(diǎn)評】本題主要考查約分，由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、

分母的最大公因式并約去，也考查了分式有意義的條件.

27.有趣的“約分”

33+133+153+235+2

“約去”指數(shù)：如你見過這樣的約分嗎？面對這荒謬的約分，一笑之后，再

33+233+253+335+3

認(rèn)真檢驗，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果竟然是王確的，這是什么原因？

仔細(xì)觀察式子，我們可作如下猜想：：你能證明嗎?

a3“+(叱a-d)、3=a+:(a-b)

2

【友情提示：。3+〃3=(〃+》)(a-