3.3垂徑定理同步練習(xí)

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.如圖，/B是。0的弦，半徑0clAB于點D.若力8=8,。。=5,則。。的長是（）

（4）

A.3B.2C.6D.1

2.如圖所示，弦CD垂直于O0的直徑AB,垂足為點E,且CD=oP3~人

2/2，BD=則/IB的長為（）

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，48是。。的弦，半徑0C1A8,垂足為。.若48=6,/、

D/\

CD=2,則。。的直徑為（）

13D"\[J

A.yB.6C.5

,半徑。0J./18,垂足為點E,LC=C/

4.如圖,0。為△力8c的外接圓“°④C

45c,0E=4,則的長為（）

A.2/2B.4/2C.10

5.如圖所示，。。的直徑為20,強48的長度是16,ONLAB,垂足為

N,則ON的長度為（）

JN7B

6.往半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬48=24cm,則水的最大深

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

7.在數(shù)學(xué)綜合與實踐課上，同學(xué)們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，

小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點4B,連接力B,作4B的垂直平分.一

線CD交4B于點D,交AB于點C,測出力8=16cm,CD=4cm,則圓形工件的嬖二二二\

半徑為（）：J\

A.20cmB.14cmC.10cmD.8cm

8.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有圓材，D

埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”其意思為：現(xiàn)有圓（'

柱狀的木材，埋在墻壁里.不知道其寬度的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它，當(dāng)量得深{°\

度為一寸的時候；鋸開的寬度為一尺（一尺等于十寸），問木材的直徑是多少？如圖所Avzfc7

C

示，用數(shù)學(xué)語言可表示為：“如圖，為。。的直徑，弦A81CD,垂足為線段OC上

的一點E,CE=1寸，AB=10J*,求直徑CD的長.”那么直徑CD的長為（）

A.5B.12C.13D.26

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.某施工隊在修建高鐵時，需修建隧道，如圖是高鐵隧道的橫截面，若它的形狀是以。C

為圓心的圓的一部分，路面AB=24米，凈高CD=18米，則此圓的半徑。4的長,'

為一UL

ADB

10.直徑為20cM的0。中，弦/〃=10c7n,則弦/。的弦心距為____cm.

11.如圖，AB是。。的直徑，點。在。。上，于點D.已知=4,AD=2,則。。的半徑

12.如圖，這是用于液體蒸鏘或分儲物質(zhì)的玻璃容器，其底部是圓球形.球的半徑為10cm,瓶內(nèi)液體的最

大深度CD=4cm,則截面圓中弦48的長為cm.

13.如圖所示的是一個半圓形拱橋的截面示意圖，圓心為。，直徑48是

河底線，弦C。是水位線，已知拱橋的跨度=13m,若測得某時水面

寬度CD=12m,則水深OE為_____.

14.如圖，工程上常用鋼珠米測量零件I：小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是107H771,測得鋼珠頂端離零件

表面的距離為8mm,則這個小圓孔的寬口48的長度為mm.

15.如圖，48是。。的直徑，弦CD14B于點E,0C=10cm,CD=12cm,則OE=cm.

16.如圖，。。的半徑為5,弦4811勺長為8,C是弦48上的動點，則線段。。長的最小值為

O

AB

20.（本小題8分）

如圖，隧道的截面由半徑為5米的半圓構(gòu)成.

（2）如圖2,如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，一輛寬為4/n,高為2.7m的貨車能駛?cè)脒@個隧道嗎？

（3）如圖3,如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為「安全起見，在隨道正中間設(shè)有0.6m的隔離帶，則一輛寬為2.8m,

高為4nl的貨車—通過隧道（填“能”或“不能”）.

21.（本小題10分）

九年級某數(shù)學(xué)興趣小組通過研究發(fā)現(xiàn)，利用圓可以作出正方形他們的作法如下：在圓中作兩條相等且互相

垂直的弦力B、CD.垂足為E,再過圓心0作兩條弦的垂線，垂足分別為G、F,則四邊形OGE廣為正方形.

下面給出了不完整的“已知”和“求證”，請根據(jù)上面的作法補充完整，并寫出證明過程.

己知：如圖＜〃、CO是O。中的兩條弦，AB±CD,垂足為E,且

求證:

A

?0

F

fD

B

22.（本小題10分）

如圖1,月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，放稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，

但真正在美學(xué)與功能上成熟于宋代，北宋建筑學(xué)家李誡編撰的僧造法式》是中國古代最完整的建筑技術(shù)

典籍之一.如圖2是古人根據(jù)信造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計圖，月洞門呈圓弧形，用

病表示，點。是髓所在圓的圓心，

48是月洞門的橫跨，C。是月洞門的拱高.現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計圖.如圖3,

已知月洞門的橫跨為48,拱高的長度為a.作法如下：

①作線段48的垂直平分線MN,垂足為D；

②在射線DM上截取DC=a；

③連接AC,作線段AC的垂直平分線交CD于點0；

④以點。為圓心，。。的長為半徑作彳游.

則而就是所要作的圓弧.

請你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

圖1圖2圖3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???半徑0cl48于點D,

:.AD=^AB=1X8=4,

CA=0C=5,

GD=>/OA2-AD2=3.

故選：A.

由垂徑定理求出4)=\AB=4,由勾股定理即可求出。。的長.

本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到力。由勾股定理求出。。的長.

2.【答案】B

【解析】解：連接0。，

???CD=2/2,CD1AB,

ED=\CD=/2,

???BD=

:.ER=\!BD2-ED2

設(shè)圓。的半徑為R，

在RtaOOE中，OE=R-1,DE=

則R2=（JI）2+（R-I）2,由此得2R=3,

AB=3.

故選:B.

先根據(jù)垂徑定理求出ED的長，再由勾股定理求出￡8的長，設(shè)圓。的半徑為R,在RCAOOE中，利用勾股定

理即可得出結(jié)論.

本題考查得出垂徑定理、勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：連接。4

C

?半徑。ClAB,

:.AD==2=3，

設(shè)00的半徑為r,則0A=0C=r,0D=0C-CD=r-2,

在ReaA0D中，

根據(jù)勾股定理。42=4。2+0。2,

即產(chǎn)=32+0-2)2,

解得丁=學(xué)，

4

.--0。的直徑為2r=2x=y.

故選：A.

根據(jù)垂徑定理求出AD的長，在心△/。。中由勾股定理求出半徑。4的長，進而可得出結(jié)論.

本題主要考杳了垂徑定理及勾股定理，在解答此類問題時往往先構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求

解.

4.【答案】D

【解析】解：如圖，連接08,￡

由圓周角定理得：/-AOB=2ZC=2x45°=90°,/\\

-0D1AB,\Z__klV

；.AE=BE,D

:.AB=20E=8,

故選：D.

連接。8,根據(jù)圓周角定理得到，408=90。，根據(jù)垂徑定理得到力E=BE,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中

線的性質(zhì)計算即可.

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問題.

根據(jù)。。的半徑為10,弦A8的長度是16,ONLAB,可以求得AN的長，從而可以求得ON的長.

【解答】

解：由題意可得，

OA=10,"NA=90°,AB=16,

：.AN=8,

ON=y/0A2-AN2=V102-82=6,

故選瓦

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考杳了乖徑定理、勾股定理.

連接。8,過點。作。于點D,交。。于點C,先由垂徑定理求出BO的長，再根據(jù)勾股定理求出。。的

長，進而得出C。的長即可.

【解答】

解：連接。8,過點。作OC14B于點。，交。。于點C,

vAB=24cm,

BD=\AB=12(cm),

GB=OC=13(cm),

在At△08D中，OD=y/OB2-BD2=V132-122=5(cm)，

CD=OC-OD=13-5=8(cm),

即水的最大深度為8cm.

7.【答案】C

【解析】解：???CD垂直平分4B,

.??圓的圓心。在CD上，如圖，連結(jié)。4設(shè)。。的半徑為rem,^\0D=(r-

4)cm,

vOD1AB,

1i

AD=BD=豺B=jx16=8(cm),

在Re△A。。中，82+（r-4）2=r2,

解得r=10,

即圓形工件的半徑為10cm.

故選：C.

先利用“弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧”可判斷圓的圓心。在CD上，如圖，連結(jié)

。4設(shè)。0的半徑為rsn,則OD=(r-4)cm,然后在Rt△4。。中利用勾股定理得到8?+(r-4￥=

r2,然后解方程即可.

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓

心，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理.

8.【答案】D

【解析】解：連接。4如圖所示，

設(shè)直徑CD的長為2%寸，則半徑OC=%寸,

vCD為。。的直徑，弦AB1CD于E,AB=10寸,

AE=BE=\AB=2x10=5寸，

連接OA,則04=%寸，

根據(jù)勾股定理得,OA2=AE2+OE2,

X2=52+（X—1）2,

解得％=13,

CD=2x=2x13=26（寸）.

故選：D.

根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.

本題考查了垂徑定理和勾股定理.正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】13米

【解析】解：???CO148且CD經(jīng)過點0,

AD=\AB=12(米)，

vCD=18米，

CD=(18-r)米，

在股△40。中根據(jù)勾股定理可得，

r2=122+(18-r)2,

解得：r=13.

故答案為：13米.

根據(jù)垂徑定理可得力。=\AB=12,用半徑表示出0D=18-r,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.

本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理，勾股定理是關(guān)鍵.

10.【答案】5/3

【解析】解：如圖，故。作。于H,/一

:.AH=x10=5(cm),(“0

?9。的直徑是20cm,\H

<

:.G/1=1x20=10(cm)?

???GH=>/0A2-AH2=573(cmi，

???弦AB的弦心距為5y/~3cm?

故答案為：5\/~3.

故0作。，_L4B于H,由垂徑定理得到4,=；力8=5(cm),由勾股定理即可求出0〃的長.

本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到由勾股定理求出?！ǖ拈L.

11.【答案】5

【解析】連接0C.設(shè)。。的半徑為r,則OC=r,。0=。4一力。=r-2.在Re△CD。中，0C?=+

0D2,即產(chǎn)=42+&-2)2,解得r=5.，O0的半徑為5.

12.【答案】16

【解析】本題考查勾股定理、垂徑定理，掌握勾股定理、垂徑定理是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理、垂

徑定理進行計算即可.

【詳解】解：在中，設(shè)0/1=10cm,MOC=10-4=6cm,

由勾股定理得，AC=0A2-OC2=V102-62=8cm,

:.AB=2AC=16c77i,

故答案為：16.

13.【答案】2.5m

【解析】解：如圖所示，連接。C,

vOE1CD,

EC=\CD=1x12=6(m),

???OC=^AB=1x13=6.5(m),

???GE=y/OC2-CE2=2.5(m)>

水深OE為2.5m.

故答案為：2.5m.

連接。C,利用垂徑定理得到CE=6m,再利用勾股定理求出OE的長.

本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到EC的長，由勾股定理求出OE的長.

14.【答案】8

【解析】【分析】

本題考查的是垂徑定理在實際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

連接48,OA,過點。作。D14B于點D,先根據(jù)鋼珠的直徑是IDmrn,鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm

求出OA及。。的長，再根據(jù)勾股定理即可求出力D的長，由垂徑定理即可得出結(jié)論.

【解答】

解:連接AB,OA,過點。作OD1AB于點

???鋼珠的直徑是10mm,鋼珠頂端離零件表面的距離為8m771,

/.OA=5mm,OD=8—5=3mm,

???OD1AB,

???在Rt△。力。中，AD=0A2—OD2=4mm

??.AB=2AD=8mm.

故答案為8.

15.【答案】8

【解析】略

16.【答案】3

【解析】略

17.【答案】解：(1)如圖，連接AB,BC,分別作線段A8,8C的垂直平分線，相交于點P,

則點P即為所求.

(2)由勾股定理得，AC=V42+22=2V~5.

【解析】(1)連接BC,分別價線段力8,BC的垂直平分線，交點即為過4B,C三點的圓的圓心P.

(2)利用勾股定理計算即可.

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理、勾股定理是解答本題的關(guān)

鍵.

18.【答案】解：???OM_L/18,.“IB=直徑是10cm,二。力=gx10=5(cm).

22

,:OM=4cmf:，AM=VOA—0M=3cm.AB=2AM=6cm.

【解析】略

19.【答案】解：連接0A、OC,0C交力8于D,

由題意得：0力=。。=6米，0CL4B,

AD=BD=^AB=4米，Z-ADO=90°,

GD=VOA2—AD2=V62-42=2V3迷),

CD=OC-OD=(6-26)米，

答：點C到弦48所在直線的距離是(6-20)米.

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

20.【答案】能;

能；

不能.

【解析】解：(1)如圖1所示，

設(shè)CD14B于點D,CD=4m,

0C=5m,

0D=V52-42=3(m)?

o、5.0

.??這輛車能通過該隧道；

(2)設(shè)CD_L218于點0,OD=4m,連接OC,如圖2所示,

OC=5m,

2222

ACD=VOC—OD=V5-4=