安徽省合肥市百花中學等四校聯(lián)考2024-2025學年高一下學期期末考試數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()

A./(!+/)B.(1+/)2C./2(l+z)D./(1+/)2

2.已知籃球運動員甲、乙的罰球命中率分別為0.9,0.8,且兩人罰球是否命中相互獨立.若甲、乙各罰球一

次，則恰有一人命中的概率為()

A.0.26B.0.28C.0.72D.0.98

3.在VZ8C中，角的對邊分別為。八。，若bcos4=acosB,則V/8C的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

4.在正方體力8。。-48￡2中，￡為棱CG的中點，則異面直線與。。所成角的正切值為

A.正B.包C.正D.在

2222

5.從長度分別為3,4,5,6的4條線段中任取3條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為()

A-4B-|JD-1

2f2_2

6.己知分別為VX8C內(nèi)角兒B,C的對邊，V48c的面積S=00一。，則。二()

4

A.90:B.60°C.4SD.30°

7.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為4

和公若92,則3=()

D乙，乙

1

A.x/3B.2及C.MD.r—

二、多選題

8.已知也〃表示兩條不同直線，。表示平面，則下列選項正確的是()

A.若〃?〃a,n//ct,則加〃〃B.若“？〃“，mla,則〃JLa

C.若〃?_La,m_L〃，則〃〃aD.若〃？_La,〃ua,則加_L〃

9.有一組樣本數(shù)據(jù)占/2,…，XG，其中當是最小值，%是最大值，則（）

A.的平均數(shù)等于不移…，工6的平均數(shù)

B.》2，0凡,毛的中位數(shù)等于不巧，…，4的中位數(shù)

C.馬.一4，.。,毛的標準差不小于七,工2,…/6的標準差

D.X2,X3,X4,X5的極差不大于不42,…66的極差

10.已知向量3=（1,3）,—,則（）

A.#=?B.（2a+b）//b

C.（a+6）laD.￡在B方向上的投影向量的坐標為（一,2）

11.如圖，正方體力8CQ-44GA的棱長為2,E是棱。。的中點，尸是側(cè)面。AG上的動點，且滿足

8/〃平面則下列結(jié)論中正確的是（）

9

A.平面A、BE截正方體ABCD-A出2cA所得截面面積為:

7T

B.點廠的軌跡長度為?

4

C.存在點尸，使得87_LC4

D.直線昆尸與平面CD2G所成角的正弦值的最大值為拽

5

三、填空題

12.已知平面內(nèi)有。、A、B、C四點，其中A,B,。三點共線，且玩=xHi+y麗，則x+P=.

13.已知三棱錐S-4?C的所有頂點都在球0的球面上,SC是球。的直徑若平面SCAI平面SCB,SA=AC,

SB=BC,三棱錐S-川?。的體積為9,則球。的表面積為.

14.V/8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知osinScosC+csin4cos4=—^/>，b=JJ,a>by

2

則2a+c的最大值為,

四、解答題

15.已知復數(shù)z滿足(2+i)z-7i=|26-2i

(1)求復數(shù)z

(2)若復數(shù)z是關(guān)于x的方程2-+必+6=0伍6€1<)的一個根，求。，/)的值

16.在A48。中，內(nèi)角A,B.C的對邊a,b,c,且已知成灰=2，cos4=g,b=3,求:

(1)a和c的值;

(2)cos(8-C)的值.

17.某研究機構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度，隨機選取了20()名年齡在［20,45］內(nèi)的市民

進行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一?五組區(qū)間分別為［20,25),［25,30),

(1)求選取的市民年齡在［40,45］內(nèi)的人數(shù);

(2)利用頻率分布宜方圖，估計200名市民的年齡的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；

(3)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言，求作

重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在［35,40)內(nèi)的概率.

18.如圖，在梯形中，而=2反，ZBAD=90°,AB=AD=2,E為線段8C的中點，記而=a~AD=b.

安徽省合肥市百花中學等四校聯(lián)考2024-2025學年高一下學期期末考試數(shù)學試題參考答案

題號12345678910

答案BABCCCCBDBDACD

題號11

答案AC

1.R

詳解:i(l+j)=-l+z,(1+/)2=2/,+=,Z(1+O2=2J2=-2,

通過比較可以知道，只有2,為純虛數(shù)，故選B.

2.A

【詳解】設(shè)“籃球運動員甲、乙的罰球命中”分別為事件48,“恰有一人命中”為事件C,

則p(c)=尸(痛+M)=P(/可+P(M)=P(4)P(^)+P(7)(8)

=0.9X(1-0.8)+(1-0.9)X0.8=0.26.

故選：A.

3.B

【詳解】因Aos/=a8s8,由正弦定理,sinBcosA=sinAcosB,即sin((-3)=0,

因0＜44＜幾,則一兀＜《一8〈兀，故，A-B=0^A=B,故VZBC是等腰三角形.

故選:B.

4.C

【詳解】在正方體48co-44G"中，CD//AB,所以異面直線/也與CO所成角為NE//,

設(shè)正方體邊長為2a,則由K為棱CG的中點，可得CE=a,所以8七二石〃，

則—嚼=碧邛.故選C.

AB

5.C

【詳解】從4條線段中取3條的組合數(shù)為：C>具體為：①3,4,5：②3,4,6；③3,5,6：@4,5,6.

設(shè)三角形邊長為a,b,c,c為最大邊，則：

a+6>c,三角形成立

鈍角三角形的滿足條件為：

222

a+b<ct鈍角三角形成立，

[3+4>5,三角形成立

-且口①：[32+42=52,鈍角三角形不成立

戶+4>6,三角形成立

「且口②：[32+42=52<62,鈍角三角形成立

13+5>6,三角形成立

'[32+52=34<62,鈍角三角形成立

組合④?尸+5*三角形成立

[42+52=41>62,鈍角三角形不成立

綜上，滿足鈍角三角形的組合數(shù)為2,概率P=；2=1

故選：C.

6.C

【詳解】由余弦定理得/+方2-/=2"85。，

又三角形面積公式得S=gaAinC,

,,1，.-2abcosC

故一a/）sinC=--------,

24

又。>0力>0,故列￡=1,即tanC=l,

cosC

又Ce（O,兀），故。=45。.

故選：C

7.C

【詳解】設(shè)甲、乙兩個圓錐的母線長均為/,底面半徑分別為，i，G

貝1」國=整=2=2,所以『2々①，

5/兀弓/々

因為側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，

所以"+竺=2兀，即，i+G=/②，

2I

由①@解得4=『/=『，

所以甲圓錐的高々="2一當2=q/,

乙圓錐的高為=

所以？

93=Vio.

/乙

6雪

93

故選:c.

8.BD

【詳解】對于A,若機〃a,〃〃a,則m〃〃或者也〃異面,或者〃?，〃相交，故A錯誤,

對于B,若〃[〃〃，mA.a,則〃_La,故B正確，

對于C,若〃?J_a,〃?_L〃，則〃〃a或者〃ua,故c錯誤，

對于D,若〃?_La,〃ua,則m_L〃，D正確，

故選：BD

9.BD

【詳解】對于A,不妨取x，w，…，/為LI』，1』"，其平均數(shù)為，(1+1+1+1+1+7)=2,

6

/戶3/4，七為1」」「，，其平均數(shù)為1，

此時吃,看,.9戶5的平均數(shù)不等于與如…，X6的平均數(shù)，A錯誤；

對于B,不妨設(shè)2K…工/，則中位數(shù)為受產(chǎn)，

馬,0/4，/的中位數(shù)也為%|土,故B正確；

對于C,取玉,々產(chǎn)?,兀為2,4,6,8,10,12,平均數(shù)為，(2+4+6+8+10+12)=7,

6

其標準差為*=jL(2—7)2+(4—7尸+(6—7)2+(8-7)2+(1()-7)2+(12—77]=嶇^

V63

X,X3,X4.A-5即為4.6.8.10,平均數(shù)為』(4+6+8+10)=7,

4

2

則其標準差為邑=也(If+(6_7)2+(8_7)2+(10-7)]=?,

因為迺＞石，所以＞＞今，

3

此時42，巧，七戶5的標準差小于X”孫…,工6的標準差,故C錯誤;

對干D,不妨設(shè)陽Kx2K…4人，

則見-士之七一8，當且僅當菁=3七=4時等號成立，

即々戶3，%4,3的極差不大于不毛，…，46的極差，故D正確.

故選：BD.

10.ACD

【詳解】選項A:已知向量值二(1,3),5=(2,-4),

-r[?很2—12\[2一3兀

所以"凡八麗二而兩=一三,9=彳,故A對；

選項B:因為%+3=(4,2),而4x(-4)-2x2=-20w0,故B錯；

選項C:因為萬十萬=(3,-1),R+B)U=3-3=O,故C對：

(、

選項D:根據(jù)投影向量公式：:彳=(二2](2,4)=(1,2),故D對.

Ak20)

故選:ACD.

11.AC

【詳解】

己知正方體力44Gq的棱長為2,E是棱。R的中點，F(xiàn)是側(cè)面CQQC上的動點,

且滿足〃平面月出七，取C。的中點G,連接BG、EG,

則等腰梯形A.EGB(BG//CDJ/A.B，且A.E=BG)為其截面,

V2+2V2F\9

面積為--------x5一一=-故A對;

2V22

取GA中點M,CG中點N,連接BM,BM,MN,

由題可得B\NHA.E,MNHAfi，且4B,u平面AXBE,

所以4N〃平面力山￡,MN〃平面44E,

又B\N與MN是平面B、MN內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面4MN//平面所以點尸的運動軌跡為線段MN,長度為拉，故B錯;

取MN中點凡因為△4MN為等腰三角形，所以8/1MN,

又因為MN//C",所以BF工CR,故C對.

因為與G1平面CDD,C,,所以/R尸G為片廠與平面CDDg所成的線面角，

所以sin/詆=舞

因為用。=2,且時片“最小，滿足題設(shè)正弦值最大，

./…_B￡_2_141

所以s,"'l麗-卜+，也、f工,孚〉子，故口錯.

故選:AC.

12.1

【詳解】因為A,B,。三點共線，所以存在卅使得亞="而

由玩一方二/〃(0》反=(1_〃?)況+/〃麗

所以x=l-m,y=〃？

^x+y=\

故答案為：1

13.36兀

(詳解】三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面.匕SC是球0的直徑，

若平面SCA_L平面SCB，SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,

可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r,

—x2rxrxr=9,解得r=3.

32

球0的表面積為：4不/=36萬.

14.2x/7

h

【詳解】由題得sinAsin8cosc+sinCsin8cos4=—sinB,

因為sin8w(),

所以sinAcosC+sinCcosA=—，

2

所以sin(4+C)=立，sinB=—.

22

因為力，所以力>8=(.

a石

2,.'.a=2sinA,c=2sinC

由正弦定理得忑7一w一菽

2

所以2。+c=4sinJ+2sinC=4sinA+2sin(A+—)=5sinJ+VJcosJ

3

=2>/7sin(/l+^),

所以2。+c的最大值為26，此時sin（J+^）=1.

故答案為：2五

15.(l)z=3+2i

(2)a=-\2yb=26

【詳解】(1)因為(2+i)z-7i=|2x/J-2i=?2可+(—2『=4'

所以患于2

（2）因為復數(shù)z是關(guān)于x的方程2r+?+/）=0（”〉eR）的一個根,

所以2(3+2i)2+“3+2i)+6=2(9+12i-4-34+25+6=10+34+力+^+24i)=0,

1()+3。+力=()

所以2"24=0'解得"=T2,'=26.

23

16.(1)。=3,。=2；(2)—

27

【詳解】

（1）由0?元=2得，喉?疑殺黑5=￡，又cos8=；,所以ac=6.

由余弦定理，^-a2+c2=b2+2accosB.

又b=3,所以/+c?=9+2x2=13.

iac=6

解<、.,得a=2,c=3或a=3,c=2.

I優(yōu)+c'13

因為a>c,?二a=3,c=2.

:2夜

(2)在A/18C中，sin8=-cos?8=

3

由正弦定理，得sinC=￡sin4=2?逑=逑，又因為〃=所以C為銳角，因此

b339

7

cosC=Vl-sin2C=

9

于是cos(8-C)=cos8cosc+sinAsinC=L.2+.^2.=W

393927

考點：1.解三角形；2.三角恒等變換.

17.⑴20

（2）平均數(shù)32.25;第80百分位數(shù)37.5

嗚

【詳解】（1）（1）由題意可知，年齡在［40,45］內(nèi)的頻率為2=0.02x5=0.1,

故年齡在［40,45］內(nèi)的市民人數(shù)為200x0.1=20.

(2)(2)22.5x0.01x5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25

32.25;

前三組的頻率和為0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7,

第四組的頻率為0.04x5=0.2,所以第80百分位數(shù)在第四組,

第g。百分位數(shù)為35+臚5=37.5.

（3）（3）易知，第3組的人數(shù)，第4組人數(shù)都多于20,且頻率之比為3:2,

所以用分層抽樣的方法在第3、4兩組市民抽取5名參加座談,

所以應(yīng)從第3,4組中分別抽取3人，2人.

記第3組的3名分別為4,4,第4組的2名分別為從，打，則從5名中選取2名作重點發(fā)言的所有

情況為（4,4），（4,4），（4闖，（4應(yīng)），（4,4），（4由），（4出），（4中）,（4也）,（綜不）,

共有10種.

其中第4組的2名4,當至少有一名被選中的有：（4再），（4也）,（4酒），（4也），（4,4）,（4,層）,

（B㈤,共有7種,

7

所以至少有一人的年齡在[35,40）內(nèi)的概率為需.

—31-

18.（1）JF=—a+—b

“42

⑵手

2

3）V26

【詳解】（1）如圖，連接力。，

所以M（而+正），因為酢=2成，所以反二g〃，

一—一一|一一1

由向量的加法法則得力。=/1。+。。=力。+$力8=Z>+]G,

故;（刀+刀）（己+刃二^^葉瓦即荏成立.

（2）由于N3/1Z）=9（T,口J得Q.B=0，又看同=2,忖=2,