高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一_數(shù)列的概念及等差數(shù)列專題

知識(shí)點(diǎn)?梳理

一、數(shù)列的概念

①數(shù)列的概念：按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為數(shù)列；記作｛〃〃｝.

②數(shù)列的分類

1）按照項(xiàng)數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.

2）按照變化趨勢(shì)分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列.

③數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列｛〃〃｝可以看成是一個(gè)自變量為N*的函數(shù).

④數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式

1）遞推公式：如果數(shù)列相鄰兩項(xiàng)（多項(xiàng)）的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，這個(gè)式子叫做遞推公式.

2）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列第〃項(xiàng)與序號(hào)〃的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，這個(gè)公式叫做通項(xiàng)公式.

⑤數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.

1）我們把數(shù)列｛4｝從第一項(xiàng)到第n項(xiàng)的和稱為數(shù)列的n項(xiàng)和，記為S”=q+%，?.+%.

n=1

2）S”與乙的關(guān)系:a3

nIs.以n>2

二、等差數(shù)列

①等差數(shù)列的有關(guān)概念

1）等差數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的

數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公差.

2）等差數(shù)列定義式：4-4T=d（〃N2,d為常數(shù)）.

3）等差中項(xiàng)：若0G〃成等差數(shù)列，則2G=a+〃.

4）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：q=4+（〃一1"或4〃

5）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：5“=①缺或5”=的+嗎4".

②等差數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和.

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1)若6+〃=〃+p,q￡N*),則有ain+atl=ap+aq.

2）等差數(shù)列｛q｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛q｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，｛%｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)d=（）時(shí)，｛（｝是常數(shù)數(shù)列.

3）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，公差為d,則4,%爐%2,“，……卜/〃￡'*）成等差數(shù)歹1」.

4）數(shù)列Sm，S癡-S,”』-S2m……成等差數(shù)列?

5）若數(shù)列包｝是等差數(shù)列，則｛勺｝成等差數(shù)列.

/\

6）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，5n=nan+i；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn=-%+%.

V2122+lJ

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重點(diǎn)題型?歸類精講

題型一數(shù)列的概念及其表示

【例1-1](2024年真題)己知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和S〃=，/+〃，則其通項(xiàng)q=

【例1-2]己知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為%且S.=3〃2+2〃，則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式%=.

【變式1]已知5,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且滿足S“=〃2+2“+2(〃wN]iNl),則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式

題型二等差數(shù)列基本?計(jì)算

【例2-1】在等差數(shù)列｛4｝中,

(1)已知6=2,d=3,〃=10,求％；(2)已知。=3,%=21，d=2,求〃;

(3)已知4=12,4=27,求d；(4)已知d=-;，/=8,求4.

【例2-2】(2023年真題)記S”為等差數(shù)列｛qJ的前n項(xiàng)和.若％=5,S6=36,則為=()

A.17B.19C.21D.23

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(5)己知q=7,4=16,求％；(6)己知4+/=12,4=7,求為.

(7)已知4=10,%=19,求首項(xiàng)〃與公差d；(8)己知%=九佝=3,求通項(xiàng)劣.

【變式2］(2010年真題)等差數(shù)列｛4｝中，6=2,公差d」,若數(shù)歹U前〃項(xiàng)和S.=0,則

A、5B、9C、13D、17

【變式3】(2008年真題)已知｛(｝是等差數(shù)列，q+%=%=6,則｛%｝的通項(xiàng)公式冊(cè)=

【變式4】(2005年真題)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知％=16,$6=105,則/=

A、235B、175C、205D、265

【變式5］已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和工，且S?+4=9則邑=()

A.10B.15C.30D.3

【變式6］已知等差數(shù)列也｝,若4+&+%=12,&+%+《=18,則《+%+/=()

A.30B.360.24D.48

【變式7】已知S“為等差數(shù)列｛“的前〃項(xiàng)和，若其=9,。4+6+4=7,則S「S?=()

A.3B.5C.7D.8

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題型三等差數(shù)列的性質(zhì)

【例3-1］（2021年真題）已知數(shù)列｛〃“｝滿足q=2,且%~+3,則/=（）

A.2A?B.3H-1C.3?-4D.5/1-3

【例3-2】（2020年真題）1,3的等差中項(xiàng)是

A、1B、2C、3D、4

【例3-3】（2019年真題）記等差數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和為5“，若％+&+%=15,則配=

A、110B、80C、55D、30

【例3-4】（2013年真題）等差數(shù)列共有2（）項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為130,偶數(shù)項(xiàng)之和為150,則該數(shù)列

的公差為一

【例3-5】（2004年真題）在等差數(shù)列｛%｝中，若6+%+%+4+%=450,則。2+6的值是

A、45B、75C、90D、180

【例3-6】（2003年真題）在數(shù)列｛4｝中，若q=-2,且對(duì)任意〃wN,有則數(shù)列｛4｝的

前10項(xiàng)和為

215

A、5B、一C.-D、25

22

【變式1】已知數(shù)列的｝是等差數(shù)列，/=64=3,則%=（）

A.9B.0C.-3D.-6

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【變式2】在等差數(shù)列｛4｝中，4+4=40,則線+/+/=（）

A.36B.48C.60D.72

【變式3】等差數(shù)列｛q｝中，q+&+4=39,6+&+&=27,則該數(shù)列｛《,｝的公差為（）

A.-2B.2C.-3D.3

【變式4］已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為165,求這5個(gè)數(shù).

課后模擬?鞏固練習(xí)

1、己知數(shù)歹的前〃項(xiàng)和為S”=3,/+〃，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=

2、（多選）已知數(shù)列上則下列說法正確的是（）

A.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是而B.8是它的第32項(xiàng)

C.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是GD.8是它的第4項(xiàng)

3、已知數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和S?="+1,則an=.

4、等差數(shù)列｛4｝中，%+%+%+%+。6=90,求4+%=（）

A.45B.15C.18D.36

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5、在等差數(shù)列｛4｝中,

(1)已知4=31,%=76,求q和公差力(2)已知％=4,%=-4,求%;

(3)已知%-7,%=16,求40；(4)已知%+%=12,%=7,求為.

(5)已知4=3,d=2,n=6,求q；(6)已知4=1,d=2,4=15,求〃；

3

(7)已知4=g,n=5,4=8，求d；⑻已知1=-3，71=12,q=-8,求q.

6、己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，〃€N,6=3,則與=()

A.60B.45C.30D.15

7、已知等差數(shù)列｛4｝的公差d=g,%+4+—+/0=80,那么品2=()

A.80B.120C.135D.160

8、已知等差數(shù)列｛q｝的公差d=g,%+4+-?+400=8(),那么九0二()

A.80B.120C.135D.160

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9、一個(gè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)之和為84,奇數(shù)項(xiàng)之和為51,最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為63,則該數(shù)

列公差為.

10、已知+b=y/3-yf2i則。、人的等差中項(xiàng)為()

A.&B.75C.三D?美

11、在等差數(shù)列｛6｝中，4+2%+%=96,則2佝-%=()

A.24B.48

C.20D.16

12、已知S”是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，/+%+%+%=12,則品=()

A.22B.33C.40D.44

13、設(shè)等差數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和S,,若工=9,邑=36,則%+%+%=()

A.18B.27C.45D.63

14、已知｛叫為等差數(shù)列，若邑=3,邑=24,則工二()

A.73B.120C.121D.122

15、一個(gè)等差數(shù)列共1()0項(xiàng)，其和為8(),奇數(shù)項(xiàng)和為30,則該數(shù)列的公差為()

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I12

A."B.2C."D.~

16、數(shù)列｛q｝滿足%=2,%-an=3（〃wN"）,則4=（）

A.25B.22C.17D.14

17、已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%=6嗎+/+%=27,貝1]56=

A.45B.60C.160D.80

18、在等差數(shù)列｛〃"｝中，42+〃4=-1，4+%+%=/，則-%3=（）

A.等B.竽C.1345D.2345

19、已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=6,Ss=18,則兀=

20、已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且以=12,兀=15,貝26=

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數(shù)列的概念及等差數(shù)列

I知識(shí)點(diǎn)?梳理］

一、數(shù)列的概念

①數(shù)列的概念：按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為數(shù)列；記作｛〃〃｝.

②數(shù)列的分類

1）按照項(xiàng)數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.

2）按照變化趨勢(shì)分類：涕增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列.

③數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列｛4｝可以看成是一個(gè)自變量為N*的函數(shù).

④數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式

1）遞推公式：如果數(shù)列相鄰兩項(xiàng)（多項(xiàng)）的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，這個(gè)式子叫做遞推公式.

2）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列第〃項(xiàng)與序號(hào)〃的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，這個(gè)公式叫做通項(xiàng)公式.

⑤數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S〃

1）我們把數(shù)列｛%｝從第一項(xiàng)到第n項(xiàng)的和稱為數(shù)列前n項(xiàng)和，記為S”=q+〃2

n=1

2）S“與/的關(guān)系：%

3“一n>2

二、等差數(shù)列

①等差數(shù)列的有關(guān)概念

1）等差數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的

數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公差.

2）等差數(shù)列定義式：4-41=4〃22］為常數(shù)）.

3）等差中項(xiàng)：若a,G,b成等差數(shù)列,則2G=〃+b.

4）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a”=q或a”=4“+（〃-〃z）d.

5）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：S"九或S"=〃q

②等差數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

1）若/〃+〃=〃+4（〃7,心〃，4￡77。，則有金+4〃=%+%.

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2）等差數(shù)列｛q｝的單調(diào)性：當(dāng)d〉0時(shí)，｛4,｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，｛q｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)d=0時(shí)，｛《1｝是常數(shù)數(shù)列.

3）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，公差為4,則%%爐%2,“，……化〃zeN*）成等差數(shù)列.

4）數(shù)列靠&一S,”,S3,”-S21n……成等差數(shù)列.

5）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則｛｝｝成等差數(shù)列.

/

6）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，S.=〃％+i；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S=-a+a

-ft2Uttrfl1

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重點(diǎn)題型?歸類精講

題型一數(shù)列的概念及其表示

【例1-1](2024年真題)己知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和S〃=/+〃，則其通項(xiàng)凡=

【答案】2n

a122

[解析]n-S”=(〃?+〃)-[(〃一I]+(〃-1)]=n+n-(/?-2n+\+n-\^=n~+n-(n-/?)=2/?

q=￡=2=2x1,同樣適合通項(xiàng)公式，故q=2〃

【例1?2】已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S.=3〃2+2〃，則數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式?！?.

【答案】6/2-1

2

【解析】由題知，Sn=3n+2nt

則S,i=3(〃-if+2(〃-1)=3/r-4/i+l(n>2),

41=S“-S“T=6〃-1(〃N2),

又4=5=5,符合上式，

所以。,=6〃-l(〃wN)

故答案為：6〃-1

【變式1】己知5“是數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，且滿足S“=〃2+2”+2(〃eN*,〃Nl),則數(shù)列包｝的通項(xiàng)公式

.e心、5,〃=1

【口案】q=[2〃+1,〃22

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，6f1=5)=14-2+2=5,

當(dāng)〃N2時(shí)，a“=S“-S”T=，/+2〃+2-(〃2-2〃+1+2〃-2+2)=2〃+1,

5,〃=1

顯然2xl+l=305,故4=?

2〃+1,〃22

5,〃=1

故答案為：%=’

2n+\,n>2

題型二等差數(shù)列基本量計(jì)算

【例2-1】在等差數(shù)列｛%｝中,

第13頁(yè)共26頁(yè)

(1)已知4=2,d=3,310,求%；

(2)已知4=3,q=21,d=2,求〃;

(3)已知4=12,%=27,求d；

(4)已知〃=一5，%=8,求％.

【答案】(1)29(2)10(3)3(4)11

【解析】(1)由％=2,d=3,〃=10,則4=%=4+(10-l)d=2+3x9=29.

(2)由4=3,4=21,4=2,則q=4+(，Ll)d=3+2(〃-l)=21,解得〃=10.

(3)由馬=12,4=27,貝1］"=

d=——cQ=a-(7-l)t/=8-6x

(4)由2,%=8,則7

【例2-2】(2023年真題)記S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和若％=5a=36,則為=()

A.17B.19C.21D.23

【答案】B

［解析］56=4+%+%+%+。5+。6，。1+。6=+&+。6=%+。4，§6=3x(《+%)=36,4+%=

12,%=5,%=1,d=2,。］0=%+71=5+7x2=19

提示:當(dāng)算出e=5,4=7，也可以把數(shù)列的每個(gè)數(shù)一個(gè)一個(gè)列出來，即％=5嗎=7,%=9,牝=11,

a-,=13,%=15,%=17,?10=19

方法二：

q=q+2d=5,S。=q+/+%+4+%+&=q+q+d+a\+2d+q+3d+%+4d+%

+5d=6a)+15cl=36

,上式乘以6,下式減上式得3d=6,d=2,代入上式，解得q=1M。=%+9d=1+9

x2=19同理算出6和d之后，也可以把數(shù)列每個(gè)數(shù)一個(gè)一個(gè)列出來。

【例2-3】（2022年真題節(jié)選）已知函數(shù)/*）=」+；+",｛%｝是等差數(shù)列，且

。2=61），4=〃2），。4=/（3）.

⑴求｛%｝的前〃項(xiàng)和；

第14貝共26貝

解:=L]=2+b

,c\2’+2+Z?h

%=八2)=―—=5+Q

4=〃3)=^^=10+g

?；｛4｝為等差數(shù)列

a+a=26,HP2+Z?+10+—=2x5+—|,12+—/?=10+Z?

243\2)3

解得b=-6

.?.%=2+b=2+(-6)=T

a=10+-=10+—=8

433

.,.｛(｝公差d=8-2=6,首項(xiàng)4=-4-6=-10,%=q+(H-l)cf=-10+(/i-l)x6=6n-16

、,.the(4+a”)〃(-10+6n-16)xn

前n項(xiàng)和S〃=L=I-----------1_=3/_13〃

22

【例2-4】(2017年真題)已知等差數(shù)列｛q｝的公差為3,%=24,則｛叫的前12項(xiàng)和為一

【答案】90

【解析】/=24,q=-9,幾=(《+々)x12=(-9+；)xl2=%

【例2-5】（2014年真題）己知-5,7,3,…是等差數(shù)列，則其第16項(xiàng)的值是一

【答案】55

【解析】首項(xiàng)為-5,公差為4,通項(xiàng)公式勺=[1（"1）"=5I（〃1）X4=4T?9,《6=4X169-55；

【例2-6】（2012年真題）等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=1，4=19,SA=100,則攵=

A、8B、9C、10D、11

【答案】C

【解析】s*=（q+1）欠二（1+19）、”]00,&-]0

22

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【例2-7】(2011年真題)S”是等差數(shù)列(可)的前〃項(xiàng)和，己知S3=-12,S6=-6,則公差d=

A、-IB、-2C、1D、2

【答案】D

【解析】

S3=-12,S6=—6,S6—=a4++%=6,S3=q+a)+生=—12

4+%+4-(4+〃?)+《)=3d+3d+3d=6—(—12)=18,9d=18,d=2

【變式1】在等差數(shù)列｛4｝中，

(1)己知4=T,d=3,求/；

(2)已知4=4,%=-4,求d；

(3)已知％=1,〃=3,4=2017,求兒

(4)已知3=31,ch=76,求4,d：

(5)已知％=7,%=16,求％0；

(6)已知％+心=12,%=7,求a”

(7)已知4=1。，%=19,求首項(xiàng)。與公差d;

(8)已知/=9,%=3,求通項(xiàng)％.

【答案】(l)4o=26(2)d=—2(3)〃=673(4)4=22,1=9；(5)28；⑹17.⑺4=1,d=3；(8)4=-〃+12.

【解析】(1)由a“=4+(〃T)d知：4o=q+9d=-l+9x3=26；

(2)因?yàn)?=4,%=-4,所以4-卬=(8-4時(shí)=44,所以(Y)—4=4d,解得"=一2；

(3)由/=%+(〃-1”知：2017=1+(〃-1*3二3〃-2,解得〃=673.

(4)在等差數(shù)列｛4｝中，由生=31,%=76得：2解得4=22,4=9,

4+6J=76

所以。=22,4=9.

⑸設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為(由6=7,4=16得：t：：：二；6'解得4=33，

所以q°=q+9d=28.

第16頁(yè)共26頁(yè)

(6)沒等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,由q+%=12,4=7得：:?；：：；2,解得a|，d=2,

4/j+—/

所以%=4+84=17.

%=%+3d=104=1

(7)由已知可得，，解得

a-j=%+6"=19d=3.

(8)由己知可得『二%：；/=：解得］所以，4=q+5-l)d=U-(〃T)=f+12.

%=4+8d=3［rf=-l

【變式2】(2010年真題)等差數(shù)列｛“〃｝中，4=2,公差d=-g,若數(shù)列前幾項(xiàng)和S〃=0,則〃=

A、5B、9C、13D、17

【答案】B

【解析】列舉等差數(shù)列，看前多少項(xiàng)的和為0,

3113

,故前9項(xiàng)的和為0

【變式3】(2008年真題)己知幾｝是等差數(shù)列，4+生=弓=6,則｛%｝的通項(xiàng)公式〃.=

【答案】2〃

【解析】a3=6,al+a2=(a3-2^)+(a3—e/)=6-2cf+6-^=12-3d=6,d=2f

故q=2,q=a］+(/i-l)J=2+2(〃-1)=2〃

【變式4］(2005年真題)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，已知％=16$=105,則岳。二

A、235B、175C、205D、265

【答案】A

a

［解析］%=4+2d=16;$6=q+%+%+%+%+牝=4+4+〃+\+2d+q+3d+a｝+4d+q

+5d=6q+15d=105;解得d=3,q=KXq。=a｝+9d=10+9x3=37,5l0=(q4-6t10)x10-s-2=

(10+37)x104-2=235

【變式5］已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和且邑+%=9則55=()

A.10B.15C.30D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)椋鹮｝是等差數(shù)列，豆+4=9,

7x1

所以2%+-Y~d+4+5<Z=9,則4+2d=3,

第17頁(yè)共26頁(yè)

所以S$=5q+:d=5(q+2d)=5x3=15.

故選：B

【變式6］已知等差數(shù)列也｝,若q+&+。5=12,&+G+4=I8,則4+/+4=()

A.30B.36C.24D.48

【答案】A

【解析】己知等差數(shù)列｛q｝,4+4+45=12①，4+4+4=18②，

設(shè)數(shù)列幾｝的公差為d,

②一①得3d=6,

貝|J4+%+/=/+/+4+9d=12+18=30.

故選：A.

【變式7】已知5“為等差數(shù)列｛〃/的前.〃項(xiàng)和，若其=9,4+出+%=7,則S-S6=()

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

???%56-53況-56成等差數(shù)歹1」，

而§3=9,S^-S?=4+4+%=7,

/.(S9-S6)+9=2X7,S9-S6=5,

故選：B.

題型三等差數(shù)列的性質(zhì)

【例3-1](2021年真題)已知數(shù)列｛〃“｝滿足％=2,且《川=%+3,則%=()

A.2nB.3〃一1C.3〃一4D.5/?-3

【答案】B

【解析】4=2,數(shù)列首項(xiàng)為2;4+1=4+3,%-%=3,

公差d=3,a“=%+(〃-l)d=2+(〃-1)x3=3??-1

【例3?2](2020年真題)1,3的等差中項(xiàng)是

A、1B、2C、3D、4

【答案】B

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【解析】有一列有規(guī)律的數(shù)，差相等，1和3中間那個(gè)數(shù)就是2,2比1大1,3比2大1,故等差，

也就是說2是1和3的等差中項(xiàng)。

【例3-3】（2019年真題）記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若生+&+%=15,則S”=

A、110B、8（）C、55D、30

【答案】C

【解析】4是%和〃7的等差中項(xiàng)，4+%=2〃6

?/G+%+%=15,%+=2%

2a6+&=15,34=15,綜=5

S[[=4]+?+%+。4+%+。6+。7+。8+。9+。10+41

。6是％和%的等差中項(xiàng)，6+%=2。6=1。

同理4也是％和％的等差中項(xiàng)，%+%=2%=10,%+%=2%=10

Su=114=55

【例3-4】（2013年真題）等差數(shù)列共有20項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為130,偶數(shù)項(xiàng)之和為150,則該數(shù)列

的公差為一

【答案】2

【解析】10個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，10個(gè)偶數(shù)項(xiàng),差10個(gè)d,即101=150-130=20,d=2

【例3-5】（2004年真題）在等差數(shù)列｛4｝中，若/+%+%+。6+%=450,則。2+6的值是

A、45B、75C、90D、180

【答案】D

【解析】6+4+%+4+%=5%=450,a5=90,%+%=2%=180

【例3-6】（2003年真題）在數(shù)列｛q｝中，若《=-2,且對(duì)任意〃cN,有則數(shù)列｛4,｝的

前10項(xiàng)和為

215

A、5B、一C、二D、25

22

【答案】C

【解析】數(shù)列｛《｝首項(xiàng)弓=-2,公差da=；,所以前10項(xiàng)分別是：

-2-1.5,-1-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,首尾相加最后結(jié)果2、5

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4o=q+9d=-2+9x5=2.5

(4+4o)xlO(2+2.5)xl0<

10-2-2一?

【變式1】己知數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列，%=64=3,則%=()

A.9B.0C.-3D.-6

【答案】B

【解析】???數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列???%+%=2,又％=6,%=3「.%=0故選：B.

【變式2】在等差數(shù)列｛4｝中，6+%=40,則4+%+4=()

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【解析】由題設(shè)，%+%=2%=40,則%=20,所以《+%+%=3%=60.故選：C

【變式3】等差數(shù)列也｝中，4+4+4=39,&十4+4=27,則該數(shù)列｛qj的公差為()

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，

,+《+%=39①

[6+《+佝=27②

則②-①可得：&1=-12,

所以"=-2.

故選：A.

【變式4]已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為165,求這5個(gè)數(shù).

【答案】見解析

【解析】根據(jù)題意設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2<

皿|[("-2d)+(a-")+a+(a+d)+(a+2d)=51?=1

'J[(?-2r/)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=165?(5?2+lO6/2=165*

解得a=l,d=±4.

當(dāng)〃=1,d=4時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為T-3,1,5,9；

當(dāng)a=1/=7時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為9,5J-3,-7.

課后模擬?鞏固練習(xí)

第20頁(yè)共26頁(yè)

1、已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為5“=3/+〃，則數(shù)列｛〃.｝的通項(xiàng)公式可=.

【答案】6〃-2

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，4=5=4；

22

當(dāng)“22時(shí)，an-Sn-SM_1=3z?+/?-3(//-1)-(??-1)=6//-2；

顯然〃=1時(shí)也符合上式,所以q=6,-2.

故答案為：6/:-2

2、(多選)已知數(shù)列也已而2近…,則下列說法正確的是()

A.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是后B.8是它的第32項(xiàng)

C.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是GD.8是它的第4項(xiàng)

【答案】AB

【解析】數(shù)列&,2,瓜2衣…,即在"，拈瘋…,

則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為歷，A正確，C錯(cuò)，令后=8,解得〃=32,故B正確，D錯(cuò).

故選：AB

3、已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S.="+1,則見=.

【口案】

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，q=S=2,

22

當(dāng)〃22時(shí)，^=5n-S^=/2+l-[(n-l)+1]=2/2-1,

2=1

q=2不滿足上式.故?！?｛'n一

2n-\,n>2,neN

\fd、12,〃=1

故合案為：z*

2n—l,n>2,weN

4、等差數(shù)列｛q,｝中，%+%+%+%+%=90,求q+%=()

A.45B.15C.18D.36

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以%+%+/+%+4=5%=90,解得q=18,

所以％十%=2%=36,

第21頁(yè)共26頁(yè)

故選：D

5、在等差數(shù)列｛q｝中，

(1)已知4=31,%=76,求q和公差d；

⑵己知&=4,仆=-4,求%;

(3)已知6=7,=16,求與；

(4)已知4+4=12,a4=7,求仁.

(5)已知=3,4=2,〃=6,求可；

(6)己知q=1,4=2,勺=15,求〃;

(7)已知q=g,n=5,a?=8,求“；

3

(8)已知”二一3，〃=12,q=-8,求

17451517

【答案】(1)4=彳，d=-;(2)-12(3)28(4)17.(5)13(6)8(7)f(8)-

454517

【解析】(1)%—〃3=4d=45,d=—,a｝=^—2^=31—2x—=—；

(2)小一〃4=4d=_8,d=-2t4?=4+4d=_12；

(3)為一。3=3d=9,4=3,aiQ=a6+4</=28；

(4)4+4=2q+5,=12,〃4=q+3d=7,上兩式聯(lián)立：d=2,q=1,=?,+8J=17.

1745

故答案為：4=一，4=彳，-12,28,17.

24

(5)解：因?yàn)閿?shù)列｛叫為等差數(shù)列，4=3,d=2,〃=6,

所以=4+(〃-l)d=3+(〃-l)x2=2〃+l,所以4=2x6+1=13；

(6)解：因?yàn)閿?shù)列也｝為等差數(shù)列，4=1,d=2,4=15,

所以15=l+(〃-l)x2,解得〃=8；

(7)解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，4=；,〃=5,。“=8,

所以6=不+(5-1)d=8,解得d=q；

Zo

(8)解：因?yàn)閿?shù)列｛q｝為等差數(shù)列，d2,〃=12,勺=-8,

所以出，+(12-1六(-￡|=-8,解得q=]

第22頁(yè)共26頁(yè)

6、已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為I,〃wN*,4=3,貝lj$5=()

A.60B.45C.30D.15

【答案】B

Um因?yàn)?=3,所以幾=譬"=45.故選：B.

7、己知等差數(shù)列｛4｝的公差d=g,4+/+…+~=8(),那么5儂=()

A.80B.120C.135D.160

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛q｝中，公差△=/+《+…+~=80,

所以％+。3+…+。99=%+4+―?+。|以-504=80-50x1=55,

所以品o=卜4+%+…+%)+(%+《+…+400)=80+55=135,

故選：C

8、己知等差數(shù)列｛4｝的公差d=g,%+《+…+400=80,那么S網(wǎng)=()

A.80B.120C.135D.160

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛q｝中，公差〃=；,/+%+-?+~=80,

所以％+%+…+%9=%+&+…+，-50J=80-50x1=55,

2

所以5a)=(4+/+…+頰)+(4+4+…+4a))=80+55=135,

故選：C

9、一個(gè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)之和為84,奇數(shù)項(xiàng)之和為51,最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為63,則該數(shù)

列公差為.

【答案】3

【解析】題知不妨設(shè)等差數(shù)列為&｝,首項(xiàng)為勺，公差為應(yīng)項(xiàng)數(shù)為2〃,〃uZ,

故有S優(yōu)=〃&；〉”)==84,

)"I,

可2

兩式相減S偶一5哥=叫.「y=nd=33,

因?yàn)樯?4=(2n-\)d=63,

第23頁(yè)共26頁(yè)

,,nd11

“乂(2〃-l)d21*

故〃=ll,d=3.

故答案為：3

10、已知a=6+&,〃=G-&,則。、〃的等差中項(xiàng)為()

A.&B,x/3C.tD?美

【答案】B

【解析】。、力的等差中項(xiàng)為但=回包蟲紀(jì)回=&.故選：B

22

11、在等差數(shù)列｛4｝中，％+2仆+%=96,則2%-％。=()

A.24B.48

C.20D.16

【答案】A

【解析】因?yàn)閿?shù)列上｝為等差數(shù)列，因?yàn)?+2%+a=96,得4%=96,所以6=24,

所以249-%0=60+仆-%0=%=24,故A項(xiàng)正確.故選:A.

12、已知S”是等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，/+%+%+%=12,則品=()

A.22B.33C.40D.44

【答案】B

【解析】解法一：因?yàn)椋鹮｝是等差數(shù)列，

所以外+%+%+/=2&+2為=46=12,

則6=3,所以》="("；*=*等=11%=33.

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

則由《+q+%+為=12得，4(4+%)=12,得4+5d=3,

所以S”=1lq+—x11x1Of/=11(4+5d)=33.

故選：B

13、設(shè)等差數(shù)列｛%