中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)命題與證明

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?梁溪區(qū)校級(jí)二模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

D.對(duì)■角線互相垂直平分的四邊形是正方形

2.（2024?松江區(qū)二模）下列命題中假命題是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

3.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）能說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)是假命題的一個(gè)反例可以是（

A.a—1B.a=41C.a=D.a=—2

4.（2024?芙蓉區(qū)校級(jí)模擬）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45?！睍r(shí),

首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中（）

A.兩個(gè)銳角都大于45。B.兩個(gè)銳角都小于45。

C.兩個(gè)銳角都不大于45。D.兩個(gè)銳角都等于45。

5.（2024?錫山區(qū)校級(jí)一模）下列命題中，真命題是（）

A.四邊相等的四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.正方形的兩條對(duì)角線相等，但不互相垂直平分

D.矩形、菱形、正方形都具有“對(duì)角線相等”的性質(zhì)

6.（2024?宣化區(qū)一模）要判斷命題”有兩個(gè)角是直角的圓內(nèi)接四邊形是矩形”是假命題，下列圖形

可作為反例的是（）

A.B.

7.（2024?綏化三模）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①內(nèi)錯(cuò)角相等；

②若函數(shù)y=（m-2）f”H+4是關(guān)于x的一次函數(shù)，則〃?的值是±2；

③三角形的三條高相交于同一點(diǎn)；

④在同一平面內(nèi)，若aJLZ?,〃_Lc,則a//c.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2024?肇源縣三模）下列命題：

①三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；

②二角形的外心到二個(gè)頂點(diǎn)的距離相等：

③相等的圓周角所對(duì)的弧相等；

④平分弦的直徑垂直于弦；

⑤半徑為5的圓中，有一條弦長(zhǎng)為8,則這條弦到它所對(duì)弧的中點(diǎn)的距離是2.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.0B.1C.2D.3

9.（2024?鳳凰縣模擬）下列命題中是直命題的是（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等

B.如果4，=/,那么a=Z?

C.對(duì)頂角相等

D.兩邊及其一角分別相等的兩個(gè)三角形全等

10.（2024?渠縣校級(jí)模擬）下列命題是真命題的是（）

A.三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角

B.〃（九.3）邊形的外角和為360。

C.矩形的對(duì)角線互相垂直且平分

D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

二.填空題（共10小題）

II.（2024?海淀區(qū)一模）2019年11月，聯(lián)合國(guó)教科文組織將每年的3月14日定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”，

也被許多人稱為“乃節(jié)”.杲校今年“萬(wàn)節(jié)”策劃了五個(gè)活動(dòng)規(guī)則見(jiàn)圖：

“幾節(jié)”活動(dòng)規(guī)則

?活動(dòng)前每人先發(fā)放一枚"幣”

活動(dòng)名稱獎(jiǎng)勵(lì)的，江幣”數(shù)量/枚

?每參與一個(gè)活動(dòng)消耗一概幣”

24點(diǎn)2

?沒(méi)有“萬(wàn)幣”不能參與活動(dòng)數(shù)獨(dú)2

?每個(gè)活動(dòng)至多參與一次華容道3

魔方3

?挑戰(zhàn)成功，按右表發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì)

魯班鎖4

?挑戰(zhàn)失敗，謝謝參與

小云參與了所有活動(dòng).

（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，則挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)名稱為—;

（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且她參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，則小云最終剩卜?的“萬(wàn)幣”數(shù)量的所有

可能取值為一.

12.（2024?長(zhǎng)春）一塊含30c角的直角三角板心。按如圖所示的方式擺放，邊.與直線/重合，

AB=\2cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑

13.（2024?連云港）如圖，在△ABC中，ZC=90°,々=30。，AC=2.點(diǎn)。在邊AC上，過(guò)點(diǎn)。

作P￡）_LA3,垂足為。，過(guò)點(diǎn)。作垂足為尸.連接尸產(chǎn)，取班的中點(diǎn)E.在點(diǎn)P從點(diǎn)A

到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

14.（2024?湖南三模）在一次游戲活動(dòng)中，鐘老師將三個(gè)顏色不同的小球分發(fā)給小雅、小培和小粹

三個(gè)同學(xué)，其中有一個(gè)小球顏色是紅色.

小雅說(shuō)：“紅色球在我手上”：

小培說(shuō)：“紅色球不在我手上”；

小粹說(shuō)：“紅色球肯定不在小雅手上”.

(2)證明；Dll±AC?

,-.ZA^D=90°=ZB

?AD平分/班C，

在4曲和ZW/D中,

ZB=NAHD

/RAD=/HAD

(??)

：.^ABD^MHD(AAs).

：.BD=DH.

S；=gABBD，

S^CD^ACDH,

乙

q

???一?

SgCD

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么—

22.(2024?紅山區(qū)二模)學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊

形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平

分.她的解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作

圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交ZX7于點(diǎn)￡,交AB于點(diǎn)、F,垂足為點(diǎn)O.(只保留作圖痕跡)

已知：如圖，四邊形ABC力是平行四邊形，AC是對(duì)角線，斯垂直平分AC,垂足為點(diǎn)O.

求證：OE=OF.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.DC//AB,

.?.ZECO二①,(②)

垂直平分AC,

.,.③，

又?.?N￡OC=@,(?,

..△COE工AAN（ASA）,

:.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形對(duì)角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段

均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)⑥.

23.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，NB=90。，A。平分NB4C.小明在愀,學(xué)完“三

角形全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出AA8D和AAC7）面積的比值與A5,AC兩邊

比值的關(guān)系.他的思路是：過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)〃，再根據(jù)三角形全等來(lái)證明A/WO和

A4CO的高相等，進(jìn)一步得到和A4CO的面積之比等于NBAC的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明

的思路完成以下作圖與填空：

（1）用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”（只保留作圖痕跡）.

（2）證明：DH±AC,

ZA/7D=90°=ZB.

仞平分N84C,

/.①.

在△鉆。和ZW/D中，

4B=/AHD

NBAD=NHAD

0②0

:.MBD^AAHD（AAS）.

.?.③.

.SMBD二A3

S&ACD4c

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么④.

24.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小高進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平

行四邊形一組對(duì)邊與同一條對(duì)角線所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對(duì)角線所得的線

段被對(duì)角線的交點(diǎn)平分，其解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她

的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作的平分線，交AC于點(diǎn)尸.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，在./WCD中，AC,BD交于點(diǎn)O,平分NAOA交47于點(diǎn)￡,BF平分NCBD交

AC于點(diǎn)F.

求證：OE=OF.

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AD//BC,08=?.

:.ZADB=NCBD.

又?BF平分4CBD、DE平分ZADB,

：./FB（）=L/CBD，②=ZADB.

2

:.AEDO=NFBQ.

XAFOB=?，OD=OB,

:NOD三bFOBqAS0.

；.OE=OF.

小高再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線截另一對(duì)角

線所得的線段均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線截另一對(duì)角線所得的線段④.

25.（2024?吉州區(qū)模擬〉如圖I,是一款常見(jiàn)的海綿拖把，圖2是其平面示意圖，￡77是拖把把手，

產(chǎn)是把手的一個(gè)固定點(diǎn)，海綿安裝在兩片活動(dòng)骨架B4,M上，骨架的端點(diǎn)?只能在線段尸〃上移

動(dòng)，當(dāng)海綿完全張開(kāi)時(shí)，PA,PB分別與HMHN重合;當(dāng)海綿閉合時(shí)，PA,PB與FH重合.已知

直桿￡7/-12（七〃，HI-2（）cni.

（1）若NAPB=90°,求EP的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若乙針8=26。,求M4的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（3）海綿從完全張開(kāi)到閉合的過(guò)程中，直接寫(xiě)出Q4的中點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù):

sin13°、0.225，cos13°?0.974,tan13°?0.23/取3.14）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)命題與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?梁溪區(qū)校級(jí)二模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)■角線相等的四邊形是矩形

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【答案】A

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定：命題與定理

【專題】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】根據(jù)平行四邊形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判斷即可.

【解答】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題，符合題意；

8、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；

C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，不符合題意；

。、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了判斷命題真假，平行四邊形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相關(guān)判定定

理是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?松江區(qū)二模）下列命題中假命題是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

【答案】D

【考點(diǎn)】正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定；菱形的判定與性質(zhì)；命題與定理

【專題】推理能力；推理填空題

【分析】由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，得。是假命題，而A，13,C是真命題，故選：

D.

【解答】解：由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，

得。是假命題，

而A,B,C是真命題，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了真命題，解題關(guān)鍵是正確判斷命題的真假.

3.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）能說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,是假命題的一個(gè)反例可以是（

）

A.a=\B.a—>/2C.a=—D.a=—2

3

【答案】D

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根；命題與定理

【專題】實(shí)數(shù)；推理能力

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、有理數(shù)的大小比較法則解答即可.

【解答】解：當(dāng)a=-2時(shí)，|。|=—。，

說(shuō)明命題”對(duì)于任何實(shí)數(shù)是假命題，

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題和定理，任何一個(gè)命題非真即假.要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推

理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.

4.（2024?芙蓉區(qū)校級(jí)模擬）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45?！睍r(shí)，

首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中（）

A.兩個(gè)銳角都大于45。B.兩個(gè)銳角都小于45。

C.兩個(gè)銳角都不大于45。D.兩個(gè)銳角都等于45。

【答案】A

【考點(diǎn)】反證法

【專題】常規(guī)題型

【分析】用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否

成立即可.

【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45?！睍r(shí)，

應(yīng)先假設(shè)兩個(gè)銳角都大于45。.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考

慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一

一否定.

5.（2024?錫山區(qū)校級(jí)一模）下列命題中，真命題是（）

A.四邊相等的四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是止方形

C.正方形的兩條對(duì)角線相等，但不互相垂直平分

D.矩形、菱形、正方形都具有“對(duì)角線相等”的性質(zhì)

【答案】B

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；正方形的判定：命題與定理

【專題】應(yīng)用題

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

【解答】解：A、可判斷為菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

8、對(duì)角線相等的菱形是正方形，故本選項(xiàng)正確，

C、正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

。、菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的

真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

6.（2024?宣化區(qū)一模）要判斷命題”有兩個(gè)角是直角的圓內(nèi)接四邊形是矩形”是假命題，下列圖形

可作為反例的是（）

A.B.

c.D.

【考點(diǎn)】Ol：命題與定理

【專題】67：推理能力；554：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)舉出反例即可得出答案.

【解答】解：如圖。所示，有兩個(gè)角是直角的圓內(nèi)接四邊形不一定是矩形，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考行了命題與定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2024?綏化三模）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①內(nèi)錯(cuò)角相等；

②若函數(shù)y=5-2）3—+4是關(guān)于x的一次函數(shù)，則〃?的值是±2；

③三角形的三條高相交于同一點(diǎn)；

④在同一平面內(nèi)，若a上b,blc,則a//c.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的定義；垂線；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；平行線的判定；三角形的角平分線、

中線和高命題與定理

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；線段、角、相交線與平行線；三角形；推理能力

【分析】利用平行線的性質(zhì)、?次函數(shù)的定義、三角形的高線的定義及兩直線的位置關(guān)系等知識(shí)分別

判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

②若函數(shù)），=（〃-2），詞T+4是關(guān)于％的一次函數(shù)，則〃?的值是-2,故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符

合題意；

③三角形的三條高所在直線相交于同一點(diǎn)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

④在同一平面內(nèi)，若a_LZ?,〃_Lc,則a//c,正確，是真命題，符合題意.

真命題有1個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大.

8.（2024?肇源縣三模）下列命題：

①三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；

②三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的咫崗相等；

③相等的圓周角所對(duì)的弧相等；

④平分弦的直徑垂直于弦；

⑤半徑為5的圓中，有一條弦長(zhǎng)為8,則這條弦到它所對(duì)弧的中點(diǎn)的距離是2.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周先定理.；確定圓的條件；三角形的外接圓與外心;

命題與定理

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力

【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)判斷選項(xiàng)的正確性.

【解答】解：①任意小在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤；

②三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，故原命題正確；

③同圓或等圓內(nèi)，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，故原命題錯(cuò)誤；

④平分弦的直徑垂直于弦，故原命題正確；

⑤如圖：

在UO中，弦A8=8,半徑08=5;

過(guò)圓心O作直徑MN,且A/N_LA8于點(diǎn)C,連接。8；

貝ljAC=8C」A8=4,OB=5,

2

由勾股定理得：0C=行二幣=3,

貝l」CM=5+3=8,CN=5-3=2；

MNLAB,且MN為O的直徑，

.??點(diǎn)M、N分別為AM8、4VB的中點(diǎn)，

」.AB弦中點(diǎn)到弦所對(duì)應(yīng)的弧的中點(diǎn)的距離分別為2或8,故原命題錯(cuò)誤;

綜上所述正確的有2個(gè).

故選；c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、三角形外心佗性質(zhì)和確

定圓的條件.

9.（2024?鳳凰縣模擬）下列命題中是真命題的是（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等

B.如果那么

C.對(duì)頂角相等

D.兩邊及其一角分別相等的兩個(gè)三角形全等

【答案】C

【考點(diǎn)】全等三角形的判定；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角：命題與定理

【分析】利用全等三角形的判定.根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，則“內(nèi)錯(cuò)角相等”是假命題，因此選項(xiàng)不符合題意；

B.如果"=從，那么勿，則“如果/=〃，那么a=b”是假命題，因此選項(xiàng)不符合題意；

C.對(duì)頂角相等，原命題是真命題，因此選項(xiàng)符合題意；

。.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，而兩邊及其一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)二角形不一

定全等，原命題是假命題，因比選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的判斷命題真假，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大.

10.（2024?集縣校級(jí)模擬）下列命題是真命題的是（）

A.三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角

B.邊形的外角和為36（）。

C.矩形的對(duì)角線互相垂直且平分

D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

【答案】B

【考點(diǎn)】命題與定理

【專題】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、多邊形的外角和、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題；

B、〃（九.3）邊形的外角和為360。,本選項(xiàng)說(shuō)法是真命題;

C、矩形的對(duì)角線相等且平分，不一定互相垂直，木選項(xiàng)說(shuō)法是假命題：

。、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形，本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題；

故選；B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的

真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

二.填空題（共10小題）

II.（2024?海淀區(qū)一模）2019年11月，聯(lián)合國(guó)教科文組織將每年的3月14日定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”

也被許多人稱為“4節(jié)”.某校今年“萬(wàn)節(jié)”策劃了五個(gè)活動(dòng)，規(guī)則見(jiàn)圖：

“紅節(jié)”活動(dòng)規(guī)則

?石切刖母人無(wú)反姒一自九串

活動(dòng)名稱獎(jiǎng)勵(lì)的，江幣”數(shù)量/枚

?每參與個(gè)活動(dòng)消耗概幣”

24點(diǎn)2

?沒(méi)有“產(chǎn)幣"不能參與活動(dòng)數(shù)獨(dú)2

.每個(gè)活動(dòng)至多參與一次華容道3

魔方3

?挑戰(zhàn)成功，按右表發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì)

魯班鎖4

?挑戰(zhàn)失敗，謝謝參與

小云參與了所有活動(dòng).

（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，則挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)名稱為魯班鎖：

（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且她參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，則小云最終剩下的“萬(wàn)幣”數(shù)量的所有

可能取值為.

【答案】（I）魯班鎖；

（2）1枚、2枚或3枚.

【考點(diǎn)】推理與論證

【專題】推理填空題；分類討論；猜想歸納；推理能力

【分析】（1）因?yàn)樾≡茀⑴c了所有活動(dòng)，且小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，所以推斷小云只能參與了魯班鎖，

且挑戰(zhàn)成功，贏得4枚“萬(wàn)幣”，足夠她參與其余四個(gè)活動(dòng)；

（2）小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，所以推斷小云參與的第一個(gè)活動(dòng)成功，且為

華容道、魔方或魯班鎖，分別討論參與的第一個(gè)活動(dòng)為華容道、魔方或魯班鎖，最終剩下的“萬(wàn)幣”

數(shù)量的可能.

【解答】解：（1）小云參與了所有活動(dòng)，且小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，

.??小云用活動(dòng)前發(fā)放的一枚““幣”參與了魯班鎖，且挑戰(zhàn)成功，贏得4枚“產(chǎn)幣”，再次參與了其

余四個(gè)活動(dòng)，未挑戰(zhàn)成功，

故答案為：魯班鎖；

（2）小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，

.??小云參與的第一個(gè)活動(dòng)成功，且為華容道、魔方或魯班鎖，

若參與的第一個(gè)活動(dòng)為華容道，則參與的第四個(gè)活動(dòng)可能為24點(diǎn)、數(shù)獨(dú)、魔方或魯班鎖，最終剩下

的“萬(wàn)幣”數(shù)量可能是1枚、2枚或3枚，

若參與的第一個(gè)活動(dòng)為魔方，則參與的第四個(gè)活動(dòng)可能為24點(diǎn)、數(shù)獨(dú)、華容道或魯班鎖，最終剩下

的“萬(wàn)幣”數(shù)量可能是I枚、2枚或3枚，

若參與的第一個(gè)活動(dòng)為魯班鎖，則參與的笫四個(gè)活動(dòng)可能為24點(diǎn)、數(shù)獨(dú)、華容道或魔方，最終剩下

的“用幣”數(shù)量可能是2枚或3枚，

故答案為：1枚、2枚或3枚.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了推理能力，關(guān)鍵是注意分類討論.

12.（2024?長(zhǎng)春）一塊含30c角的直角三角板A8C按如圖所示的方式擺放，邊與直線/重合，

AB=}2cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng)至少為_(kāi)84_cm.（結(jié)果保留九）

【答案】8乃.

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；軌跡

【專題】幾何直觀

【分析】根據(jù)很容易得出點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧A4'，再用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【解答】解：有題可知點(diǎn)4經(jīng)過(guò)的軌跡是以〃為圓心的弧A4'.

?.NA=30。，

.\ZABC=60P

ZCBC=120°,

ZA^4'=120。，

弧A4'得長(zhǎng)度為：擔(dān)士口=8%.

180

故答案為：8乃.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、弧長(zhǎng)公式，識(shí)別出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)

鍵.

13.（2024?連云港）如圖，在△ABC中，NC=90。，4=30°,AC=2.點(diǎn)尸在邊AC上，過(guò)點(diǎn)P

作〃D_LA〃，垂足為過(guò)點(diǎn)。作垂足為尸.連接"尸，取〃尸的中點(diǎn)￡.在點(diǎn)。從點(diǎn)A

到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為—乎

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；推理能力

【分析】以C為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)A尸=〃，則利用含30度角的直角三角形的性質(zhì),

求出點(diǎn)￡的坐標(biāo)，得到點(diǎn)￡在直線y=l-逑x(chóng)上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)P分別與A,C重合時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),

3

利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：方法一：以。為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)。作ZX7_LAC

設(shè)AP=a,則CP=2-a,

：.P(0,2-a),

ZB=30°,

.?.NA=6O。，

?.PD1AB,

NPDA=90。,

/.ZAPD=3O°，

/.AD=-AP=-

22f

DG±AC,

：.ZAGD=90°,

1Ji

AG=-AD=-,DG=yf3AG=—a,

244

DFiBC,DGYAC,ZACB=90°,

.??四邊形DGW為矩形，

:.DG=CF,

二F咚,0),

E為P,/的中點(diǎn)，

.口小.1、

??E(-------------(I)9

82

令

82

3

.?.點(diǎn)E在直線），=1-竽x上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)P與4重合時(shí),〃=(),此時(shí)E(OJ),

當(dāng)點(diǎn)?與C重合時(shí),a=2,此時(shí)

.??點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為:

方法二：P在AC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為線段，E為PF中點(diǎn)、,

「.E的運(yùn)動(dòng)路徑亦為線段，

.,當(dāng)月與A重合時(shí)，CE=l,當(dāng)尸與C重合時(shí)，CE=—

4

.??點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：Jf+（且族=匹,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)

間的距離，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?湖南三模）在一次游戲活動(dòng)中，鐘老師將三個(gè)顏色不同的小球分發(fā)給小雅、小培和小粹

三個(gè)同學(xué)，其中有一個(gè)小球顏色是紅色.

小雅說(shuō)：“紅色球在我手上”；

小培說(shuō)：“紅色球不在我手上”；

小粹說(shuō)：“紅色球肯定不在小雅手上”.

三個(gè)同學(xué)只有一個(gè)說(shuō)對(duì)了，則紅色球在小培的手上.

【考點(diǎn)】推理與論證

【專題】證明題；推理能力

【分析】分別假設(shè)小雅、小培和小粹三個(gè)同學(xué)，結(jié)合題意推論，得出結(jié)論.

【解答】解：假設(shè)小雅說(shuō)的是真話，則紅桃A在小雅手上，所以小培說(shuō)的是真話，不合題意，

假設(shè)小培說(shuō)的是真話，小雅說(shuō)的是假話，則小粹說(shuō)的是真話，不合題意，

假設(shè)小粹說(shuō)的是真話，則小雅說(shuō)的是假話，則小培說(shuō)的就是假話了，符合題意，

所以紅桃A在小培手上.

故答案為：小培.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是推理與論證，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?臨安區(qū)二模)關(guān)于一元二次方程ad+歷?+c=0Scw0),有以下命題：

①若則4ac..O；

②若該方程的兩根為-3和1,則3a+c=0；

③若上述方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則"?+法+c=-I必有實(shí)數(shù)根；

④若廠是該方程的一個(gè)根，則I一定是方程以+泳+〃=0的一個(gè)根.

r

其中真命題是①②④.(只需填寫(xiě)序號(hào))

【答案】①②④.

【考點(diǎn)】一元二次方程的解；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；命題與定理

【專題】一元二次方程及應(yīng)用：運(yùn)算能力

【分析】由a-》+c=。得〃=a+c,即將力2-4GC=S+C)2-4ac=(a-c)2..O,判斷①是真命題：由

該方程的兩根為—3和I得-3x1=￡,c=—3a,即得3a+c=0,判斷②是真命題；E&cix2++c=0

a

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根知b2-4ac=0,而64T2++c+1=0的判別式：

b2-4tzx(t?+l)=/?2-4ac+4a=-4a,因a的符號(hào)不確定,故方程公2+bx+c=-\根的情況不確定，

判斷③是假命題；由「是該方程的一個(gè)根得〃2+〃「+c=0,又「工0,即可得a+),+c-d)2=0,-

rrr

是ex2+Z?x+a=0的一個(gè)根，判斷④是真命題.

【解答】解：若a—Z?+c=0,則〃=a+c,

:.b?一4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2..O,故①是真命題；

若該方程的兩根為-3和1,則-3xl=￡,

a

c——3a?

3a+c=0,故②是真命題；

若依2+法+。=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則從一44=0,

ax2+/zr+c+l=0的判別式：b2-4ax(c+1)=。:一4ac-4a=-4a,

a的符號(hào)不確定，

二方程以2+版+c=T根的情;?兄不確定，故③是假命題；

若，,是該方程的一個(gè)根，則a/+/?+c=O,

ac*0，

/.廠工0，

ar2+br+c八

/.----；----=0,

廠

:.a+b-—+C'(-)2=0,

rr

是以2+公+。=0的一個(gè)根，故④是真命題；

r

.??真命題有：①??;

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.

16.(2024?包河區(qū)二模)命題“如果a,力互為相反數(shù)，那么a+Z?=0"的逆命題為：如果c;+b=0,

那么〃、〃互為相反數(shù).

【答案】如果4+〃=0,那么“、〃互為相反數(shù).

【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法；相反數(shù)；命題與定理

【專題】線段、角、相交線與平行線：推理能力

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，進(jìn)而利用舉反例判斷命題正確性即"J.

【解答】解：命題“如果4、〃互為相反數(shù)，那么。+。=0”的逆命題是：如果。+。=0,那么a、b

互為相反數(shù).

故答案為：如果4+6=0,那么a、b互為相反數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而

第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)

命題的逆命題.

17.(2024?江陰市校級(jí)模擬)“同位角相等”的逆命題是一相等的角是同位角.

【考點(diǎn)】。：命題與定理

【分析】“同位角相等”的題設(shè)為兩個(gè)角為同位角，結(jié)論為這兩個(gè)角相等，然后交換題設(shè)與結(jié)論即可

得到原命題的逆命題.

【解答】解：“同位角相等”的逆命題為：相等的兩個(gè)角為同位角.

故答案為：相等的角是同位角.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了逆命題，關(guān)鍵找出題設(shè)和結(jié)論部分，然后交換題設(shè)和結(jié)論即為逆命題.

18.（2024?宿遷）命題“兩更線平行，同位角相等.”的逆命題是同位角相等，兩貪線平行.

【考點(diǎn)】命題與定理

【分析】將原命題的條件與結(jié)論互換即得到其逆命題.

【解答】解：.?原命題的條件為：兩直線平行，結(jié)論為：同位角相等.

.??其逆命題為：同位角相等，兩直線平行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而

第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)

命題的逆命題.

19.（2024?河北模擬）已知正方形MVOK和正六邊形A8CDE/邊長(zhǎng)均為1,如圖所示，把正方形放

置在正六邊形外，使OK邊與邊重合，按下列步驟操作：

將止方形在正六邊形外繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使QV邊與3c邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；冉繞點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，使邊與8邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；此時(shí)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)為*江.若按此方式

-6-

旋轉(zhuǎn)，共完成六次，在這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)3,O之間距離的最大值是.

【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；AW：正多邊形和圓：04：軌跡

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；64：幾何直觀

【分析】通過(guò)旋轉(zhuǎn)，如圖，易知點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的角轉(zhuǎn)為150。，即可以求出點(diǎn)。的路徑的長(zhǎng)度即為BO'；

點(diǎn)8、點(diǎn)O的最大距離，即當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與點(diǎn)4的距離.

【解答】解：

如圖點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡如虛線所示，

第二次旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)。的位置為O',=—x2xlx^-=-^；

3606

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)8,O間的距離d的最大值為線段8K==+6

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳正多邊形的性質(zhì)，正多邊形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過(guò)畫(huà)圖理解并找出旋轉(zhuǎn)后

的位置變化.

20.（2024?清遠(yuǎn)模擬）已知下列命題：①若X=5,則|x|=5；②對(duì)頂角相等；③平行四邊形的對(duì)角

線互相平分；④相等的圓心角所對(duì)的弧相等，其中原命題與逆命題均為真命題的序號(hào)是③.

【答案】③.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；絕對(duì)值；平行四邊形的判定與性質(zhì)；命題與定理

【專題】線段、角、相交線與平行線；多邊形與平行四邊形：實(shí)數(shù)；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力

【分析】寫(xiě)出原命題的逆命題后分別判斷正誤即可;

【解答】解：①若大=5,則|x|=5,正確為真命題；逆命題為若|#=5,則x=5,錯(cuò)誤，是假命題，

不符合題意；

②對(duì)頂角相等為真命題；逆命題為相等的角為對(duì)頂角，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分，正確，為真命題;逆命題為對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

正確，為真命題，符合題意；

④相等的圓心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤，為假命題；逆命題為相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真

命題，不符合題意；

故答案為：③.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題，難度

不大.

三.解答題（共5小題）

21.（2024?重慶二模）如圖，在RtAABC中，N8=90°,力。平分NB4C.小明在剛學(xué)完“三角形

全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出AA&）和&48面積的比值與A3,AC兩邊比值

的關(guān)系.他的思路是：過(guò)點(diǎn)。作人C的垂線，垂足為點(diǎn)H,再根據(jù)三角形全等來(lái)證明AAA。和AACD

的高相等，進(jìn)一步得到A/記。和AACZ）的面積之比等于/B4C的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明的思路

完成以下作圖與填空：

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)〃（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，要下結(jié)論）.

（2）證明：?.DH±AC,

/.ZAW）=90°=ZB

?4）平分N8AC,

；,_ZBAD=ZHAD_.

在A/W。和W/D中，

4B=/AHD

?4BAD=/HAD

（??）

：.^ABD^^AHD{AAs).

.\BD=DH.

.S^BD_

???

s-----------

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：如果一個(gè)三角形滿足被其任意i內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么

4）=4）；—：這兩個(gè)三角形的面積之比，等于這個(gè)內(nèi)角的兩條鄰邊

AC

邊長(zhǎng)之比.

【考點(diǎn)】命題與定理；角平分線的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】推理能力；圖形的全等

【分析】（I）分別以A、C點(diǎn)為圓心，,AC長(zhǎng)為半徑在線段AC兩側(cè)畫(huà)弧，各有兩個(gè)交點(diǎn)，連接這

2

兩個(gè)交點(diǎn)交AC邊與“，則直線OH即為AC的垂線；

（2）根據(jù)A4S,再找一條公共邊，證明得到%>=￡歸，進(jìn)而將面積之比轉(zhuǎn)化長(zhǎng)相

應(yīng)邊的比.

【解答】（1）解：如圖，直線?！睘樗鞔苟?

(2)證明：DM±AC,

ZAHD=9(F=NB.

4)平分N84C，

.\ZBAI)=^HAD.

在A/WO和ZW/Z)中，

NB=NAHD

/BAD=NHAD,

AD=AD

:.MBD=/SAHD（AAS）.

：.BD=HD.

Sum=348?8。'

S9=；AC?！?

乙

.SMBD_AB

Smci〉A(chǔ)C

所以：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形的面積之比,

等于這個(gè)內(nèi)角的兩條鄰邊邊長(zhǎng)之比.

故答案為：ZBAD=ZHADxAD=AD；—：這兩個(gè)三角形的面積之比，等于這個(gè)內(nèi)角的兩條鄰

AC

邊邊長(zhǎng)之比.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2024?紅山區(qū)二模）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊

形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平

分.她的解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作

圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交左于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)、F,垂足為點(diǎn)O.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形”8是平行四邊形，AC是對(duì)角線，斯垂直平分AC,垂足為點(diǎn)O.

求證：OE^OF.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.DCf/AB,

：.ZECO=?_ZFAO_,(②)

EF垂直平分AC,

.?.③,

X-.-ZEOC=?,(⑤)

.\ACOE^AAOF(ASA),

:.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形對(duì)角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段

均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)⑥—.

【答案】ZFAO,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；OA^OCx/FOA,對(duì)頂角相等；平分.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理；作圖一復(fù)雜作圖

【專題】圖形的全等；推理能力

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

;.DC//AB.

：.NECO=4FAO,(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

垂直平分AC,

:.OA=OC，

又/EOC=/FOA(對(duì)頂角相等)，

:.^COE=^AOF(ASA).

:.OE=OFi

過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分，

故答案為：ZFAO,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；OA^OCx4FOA,對(duì)頂角相等；平分.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題與定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

23.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，NB=90。，AZ）平分NMC.小明在愀,學(xué)完“三

角形全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出A/WD和AACD面積的比值與4?,AC兩邊

比值的關(guān)系.他的思路是：過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”，再根據(jù)三角形全等來(lái)證明AABO和

A48的高相等，進(jìn)一步得到"曲和AACZ）的面積之比等于N84。的兩鄰邊邊長(zhǎng)之比.請(qǐng)根據(jù)小明

的思路完成以下作圖與填空：

（1）用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為點(diǎn)”（只保留作圖痕跡）.

（2）訐明：DH\AC,

ZAHD=9（F=NB.

?4）平分N84C，

:.?_ZBAD=

在和中，

NB=/AHD

NBAD=NHAD

（）②0

③.

SMHD=LABBD,

i\Anu2

S^CD=-ACDH,

.s-AB

"AC.

小明再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)三角形被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，均有此結(jié)論.請(qǐng)

你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么④—.

A

BC

D

【考點(diǎn)】命題與定理；角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖一基本作圖

【專題】推理能力；圖形的全等

【分析】（1）分別以4、c點(diǎn)為圓心，,4C長(zhǎng)為半徑在線段AC兩側(cè)畫(huà)弧，各有兩個(gè)交點(diǎn)，連接這

2

兩個(gè)交點(diǎn)交AC邊與H，則直線由即為人C的垂線；

（2）根據(jù)A4S，再找一條公共邊，證明4$。3得到BD=DH,進(jìn)而將面積之比轉(zhuǎn)化長(zhǎng)相

應(yīng)邊的比

,-.ZA^D=90°=ZB.

平分N84C,

:.ZBAD=ZHAD.

在A43。和AAHD中,

=/AHD

<ZBAD=ZHAD

AD=AD

:.AABD^^AHD(AAS).

:.BD=HD.

S“g=；ACDH,

所以：如果一個(gè)三角形滿足被其任意一內(nèi)角角平分線分為兩個(gè)三角形，那么這兩個(gè)三角形的面積之比,

等于這個(gè)內(nèi)角的兩條鄰邊邊長(zhǎng)之比.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.（2024?沙坪壩區(qū)自主招生）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小高進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平

行四邊形一組對(duì)邊與同一條對(duì)角線所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對(duì)角線所得的線

段被對(duì)角線的交點(diǎn)平分，其解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她

的思路完成以下作圖與填空:

用直尺和圓規(guī)，作NCA力的平分線，交人C于點(diǎn)尸.(只保留作圖痕跡)

已知：如圖，在，中，AC,BD交于點(diǎn)O,QE平分乙位犯交AC于點(diǎn)上，BF平分NCBD交

AC于點(diǎn)F.

求證：OE=OF.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ADWBC,OB=(D_OD_.

/.ZADB=NCBD.

又所平分NCBD,DE平分4SB,

NFBO=L/CBD,②=ZADB.

2

/EDO=/FBO.

又?/產(chǎn)以=③，OD=OB,

；.AEOD=MVB(ASA).

：.OE=OF.

小高再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線撤另一對(duì)角

線所得的線段均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線截另一對(duì)角線所得的線段④—.

【答案】OD,2ZEDO,ZEOD,被對(duì)角線的交點(diǎn)平分.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理；角平分線的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖；平行四邊