幾何模型之瓜豆原理（點(diǎn)在直線上）

1.（2025?泰安）如圖，在矩形A8CD中，AB=5,故?=5有，點(diǎn)P在線段6。上運(yùn)動(dòng)（含8、。兩點(diǎn)），連接

",以點(diǎn)A為中心，將線段A尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,連接。Q,則線段DQ的最小值為（）

D

P

「5G

B.5近D.3

13

2.（2025?安徽一模）如圖，正方形ABC。的邊長為5,E為8C上一點(diǎn)，且鹿=2,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接EF,以所為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最，:、值為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

3.（2025?新泰市模擬）如圖，長方形ABC。中，AB=3fBC=4,石為8C上一點(diǎn)、,且BE=1,尸為A8邊上的

一個(gè)劫點(diǎn)，連接EF,將反繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接EG和CG,則CG的最小值為（）

B.1+迪

A.2c.2y/2

21

4.（2025?海珠區(qū)校級(jí)二模）如圖.在矩形A8CZ）中,AB=3.8C=4.2是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),連接。P.將

直線。P繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使"尸G=ND4C,且過。作DG_L〃G,連接CG,則CG最小值為

（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知正方形A3CD的邊長為1,

EFA.BE,使EF=BE,連接所交AQ于點(diǎn)G,E/交A￡＞于點(diǎn)以下結(jié)論正確的是

?^BCE^\EDH：

@ZfiGE=ZDGE：

③點(diǎn)F到直線GE的距離最大值為夜；

④點(diǎn)〃到直線GE的距離最大值為l.

4

6.（2D25?婺城區(qū)模擬）如圖，44。3=30°,8=4,當(dāng)點(diǎn)C在04上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰RMCDE,CD=DE,則

O,石兩點(diǎn)間距離的最小值為

7.（2025?宿城區(qū)二模）如圖，矩形A8CZ）中，AD=6,￡>C=8,點(diǎn)￡為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，BEA.BF,

BE4

——=-,BGLEF于點(diǎn)G,連接CG,當(dāng)CG最小時(shí)，CE的長為__________

BF3

8.（2025?海州區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形八86的邊長為7,E為BC上一點(diǎn)、,且BE=6,廣為AB邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接日"以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

9.（2025秋?東臺(tái)市期中）如圖，在知形A8C。中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)、O,AB=6,〃4。=60°,點(diǎn)尸在

線段A。上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接Db,以。尸為邊作等邊三角形。莊，點(diǎn)石和點(diǎn)A分別位于。尸兩側(cè)，則點(diǎn)￡

運(yùn)動(dòng)的路程長是.

10.（2025?東臺(tái)市一模）如圖，已知點(diǎn)4-3,0）,僅0,3）,C（-l,4）,動(dòng)點(diǎn)戶在線段/W上，點(diǎn)尸、C'、M按逆時(shí)

針順序排列，且NCQA/=90。，CP=MP,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為

11,（2025?秦都區(qū)模擬）如圖11.方形的邊長為2,E為RC上一點(diǎn),旦跳=1,"為AA邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接砂，以所為底向右側(cè)作等腰直角AE戶G,連接CG,則CG的最小值為

12.（2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形A3C。的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)、,且BE=1,F為AB邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡7"將環(huán)繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到EG,連接CG,則CG的最小值為

13.（2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在A48C中，AB=ACfBC=6ttan乙4c8=26，點(diǎn)尸在邊AC上運(yùn)動(dòng)

（可與點(diǎn)A,C重合），將線段研繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OP,連接3。，CD,則CD長的最小值

17.(2025秋?武昌區(qū)期末)如圖1,在AA6C中，BE平分ZABC,CF平分NACB,BE與CF交于點(diǎn)、D.

(1)若/以C=740,則NBDC=:

(2)如圖2,ZE4C=90°,作M/)_L4￡交AB于點(diǎn)"，求證：DM=DE:

(3)如圖3,NB4c=60。，ZABC=80°,若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線8C上，

連接MG,將線段GM繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得GN,NG=MG,連接ON,當(dāng)ON最短時(shí)，直接寫出NMGC的

度數(shù).

18.(2025?沈陽)【特例感知】

(1)如圖1,和△(%%＞是等腰直角三角形，NAO4=NCOD=90。，點(diǎn)C在04上，點(diǎn)。在30的延長線上，

連接4),BC,線段AD與3c的數(shù)量關(guān)系是;

【類比遷移】

(2)如圖2,將圖1中的ACOD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(00＜二＜90°),那么第(1)問的結(jié)論是否仍然成立？如果

成立，證明你的結(jié)論：如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

(3)如圖3,若/W=8,點(diǎn)。是線段旗外一動(dòng)點(diǎn)，4c=36，連接BC.

①若將C8繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到C￡＞,連接AO,則AO的最大值是;

②若以8C為斜邊作RtABCD(B,C,。三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，ZCDB=90°,連接A￡),當(dāng)NC8￡)=NZMB=30°

時(shí)，直接寫出AO的值.

19.(2025?新市區(qū)校級(jí)一模)如圖①，二次函數(shù))，=-/+云+。的圖象與x軸交于點(diǎn)4—1,0)、伏3,0),與V軸交

于點(diǎn)C,連接3C,點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)點(diǎn)夕不與點(diǎn)A、3重合時(shí)，作直線AP,交直線3。于點(diǎn)Q,若A43Q的面積是ABP。面積的4倍，求點(diǎn)P

的橫坐標(biāo).

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)?在第一象限時(shí)，連接AP,交線段8C于點(diǎn)M,以/W為斜邊向外作等腰直角三前形

AMN,連接AN,A4BN的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出AABN的面積；如果變化，請(qǐng)說明理由.

20.如圖，在等邊AABC中，AB=6,BD1AC,垂足為。，點(diǎn)E為AB邊上中點(diǎn)，點(diǎn)歹為直線8。上一點(diǎn).當(dāng)

點(diǎn)M為8E■中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且ON=2NC,點(diǎn)尸從3。中點(diǎn)。沿射線,Q。運(yùn)動(dòng)，將線段E戶繞點(diǎn)E順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60°得到線段砂，連接尸P,當(dāng)+最小時(shí)，直接寫出ADqV的面積.

M

N

P

H

1.（2025?泰安）如圖，在矩形"8中，A3=5,8。=56，點(diǎn)P在線段4c上運(yùn)動(dòng)（含2、。兩點(diǎn)），

連接AP,以點(diǎn)A為中心，將線段AQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,連接。Q,則線段。。的最小值為（）

D

BP

A.-B.572C.巫D.3

23

【解答】解：如圖，以為邊向右作等邊MBA作射線尸。交4）于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作O”_LQ￡于H.

四邊形A3CQ是矩形,

/.ZABP=ZZi4D=90o,

MBF,AAPQ都是等邊三角形，

ZB/4F=ZPAe=6O°,I3A=FAtPA=QA,

/BAP=NFAQ,

在MAP和AE4Q中，

BA=FA

-ZBAP=ZFAQ,

PA=OA

.?.AZMP=AEAQSAS),

/.ZABP=ZAF0=9O°,

NQE=90°—60°=30。，

/.ZAEF=900-300=6()0

?/AB=AF=5?AE=AF+cos30°=""

3

.?.點(diǎn)Q在射線正上運(yùn)動(dòng),

AD=BC=58,

DE=AD-AE=--,

3

DH1EF,ZLDEH=ZAE/'=60。，

.?.D/7=￡>Esin60°=—x—=-,

322

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，OQ的值最小，最小值為3,

2

故選：A.

2.（2025?安徽一模）如圖，正方形A48的邊長為5,E為BC上一點(diǎn),且跳：=2,產(chǎn)為A4邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接E”,以所為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

【解答】解：由題意可知，點(diǎn)廠是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌

跡上運(yùn)動(dòng)，

將AE小繞點(diǎn)石旋轉(zhuǎn)60°,使叮與EG重合，得到AEF82AEHG,

:.BE=EH,N8￡H=60。，ZGHE=90°,

.?.A￡S〃為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于迸的直線4N上，

作CM_L”N,則CM即為CG的最小值，

作EP_LCM,口J知四邊形"EPM為矩形，

ZPEC=180°-/PEH-NBEH=180°-90°-6()°=30°,

/.PC=-CE

2f

貝IJCM=MP+CQ=，E+L￡：C=2+3=2,

222

故選：D.

3.（2025?新泰市模擬）如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點(diǎn)、,且晅=1,F為

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡F,將石廠繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG和CG,則CG

的最小值為（）

【解答】解：如圖，將線段8E繞點(diǎn)石順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段ET,連接GT,連接DE交CG于J.

?四邊形A8CD是矩形，

.?.48=8=3,/B=/BCD=9O。,

?.NBET=/FEG=45。，

:.ZBEF=ZTEG，

在AE8P和A￡7G中,

EB=ET

<NBEF=/TEG,

EF=EG

:.AEBF^AETG(SAS),

.?.ZB=Z￡TC=90°,

.?.點(diǎn)G的在射線TG上運(yùn)動(dòng),

.?.當(dāng)CG_L7G時(shí)，CG的值最小,

8C=4,BE=l,(JL)=5,

;.CE=CD=3,

...ZCED=ZB￡T=45°,

.-.Z7E7=90o=Z￡TC=ZJGT=90°,

.??四邊形ETC/是矩形,

:.DEHGT,GJ=TE=BE=\,

:.CJ工DE,

JE=JD?

日13夜

CJ=-DE=-----,

22

:.CG=CJ+GJ=\+—

2f

??.CG的最小值為1+述,

2

故選：B.

填空題（共13小題）

4.（2025?海珠區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,尸是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連

接03將直線。尸繞點(diǎn)?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使NDPG=ZZMC,且過。作Z）GJLPG,連接CG,則CG最小值

為史

【解答】解：如圖，作￡>H_LAC于”，連接"G延長"G交CZ）于尸，作“EJ.8于E.

:.ADGP=/DHA,

NDPG=/DAH,

:.MDH^^PEKJ,

NADP=NHDG,

/DHG=NDAP=定值，

.??點(diǎn)G在射線HF上運(yùn)動(dòng)，

??.當(dāng)CG_L時(shí)，CG的值最小，

?四邊形A3C。是矩形，

ZADC=90°，

ZADH+/HDF=舜,

?.NDAH+ZADH=90°,

/.ZHDF=ZDAH=ZDHF，

:.FD=FH,

ZFCH+ZCDH=90°fZFHC+ZFHD=90°,

"FHC=/FCH,

:.FH=FC=DF=\5,

在RtAADC中，?.ZADC=90°,AJ)=4,6=3,

￡37T<門口AD,DC12

AC=\l3+4=5,DH=-----------=—,

AC5

...CH=slcD2-DH2=1,

eDHCH36

CD25

-ZCFG=ZHFEfZCGF=^HEF=9(ffCF=HF,

:.ACGF合MIEF(AAS),

:.CG=HE=-

25f

二.CG的最小值為迎，

25

故答案為史.

25

5.(2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)如圖，已知正方形ABCO的邊長為1,點(diǎn)石是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)、E作EF工BE,使EF=BE,連接B尸交4)于點(diǎn)G,EF交AD于點(diǎn)、H.以下結(jié)論正確的是①

①M(fèi)CEs^EDH;

②4BGE=/DGE;

③點(diǎn)尸到直線G石的距離最大值為&;

④點(diǎn)“到直線宓的距離最大值為I

【解答】解：①正方形40?中，ZZ?=ZC=ZD=90°.

;EF上BE,

:.ZFED=9(r.

如圖：NCBE+/CEB=9QP,ZDE77+ZCE5=180o-90o=90°;

:.ADEH=/CBE.

②當(dāng)點(diǎn)E向左移動(dòng)時(shí)，ZDGE逐漸減小，而ZBGE增大;故②錯(cuò)誤.

③延長DC至尸，使CP=AG,連接BP.

:.ABCP合△BAG(SAS),

:"CBP=ZABG,BP=BG.

\EFA.BE,EF=BE,

:.ZGBE=45°.

NABG+NGAE+NEBC=90°,

/.ZEBP=/EBC+NCBP=/EBC+ZABG=90°-/GBE=90°-45°=45°=Z.GBE,

:.XGBE三"BE(SAS).

；.NGEB=/CEB.

NGEB+Z.FEG=NCEB+ZCBE=90°.

:.ZFEG=ZCBE.

過/作FM±EG的延長線于M.

:.AFEM^^EBC(AAS).

:.FM=CE.

點(diǎn)E是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，CE,,1,故③錯(cuò)誤.

④過H作MVJ.EG于N.

/FEG=NEBC=NDEH,

^HNE三SHDE(AAS),

：.HN=DH.

AEDH^ABCE，

空=匹；即：DH=ECDE,

ECBC

2

設(shè)EC=x,貝I：DH=x(\-x)=-x^xt

當(dāng)x=1時(shí)，。”取得最大值：-.故④正確；

24

故答案為：①④.

6.（2025?婺城區(qū)模擬）如圖，ZAOB-30P,OD-4,當(dāng)點(diǎn)C在。4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰RtACDE,

CD=DE,則O,E■兩點(diǎn)間距離的最小值為_2+26

【解答】解：?；ZAO8=30°,07）=4,點(diǎn)C在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=DE,CDA.DE,

，C為主動(dòng)點(diǎn)，E為從動(dòng)點(diǎn)，。為定點(diǎn)，

由“瓜豆原理”，C在04上運(yùn)動(dòng)，則石在垂直。4的直線上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)DC_LOA時(shí)，如答圖：

答圖

過后作EM_LQA于交08于N,則直線MN即為E的運(yùn)動(dòng)軌跡，的長為O,E兩點(diǎn)間距離的

最小值，

.4O?=30°,00=4,DCJ_CM,

：.(JL)=Z,

?:CD=DE,

；.DE=2,

vZOCD=ZCDE=90°,

:.DE//OAf

而EM±OAf

乙DEN=90°,/EDN=30°,

.?.在ADEN中可得ON=迪,

3

.?.ON=4+迪，

3

△OWN中可得OM=2^x(4+—)=2+2x/3,

23

故答案為：2+2&

7.（2025?宿城區(qū)二模）如圖，矩形A3CZ）中，AD=6,DC=8,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

BE上BF,—=BG上EF于點(diǎn)G,連接CG,當(dāng)CG最小對(duì)，CE的長為—.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)8作HP_L4C于點(diǎn)P,連接PG,

:2BCs?BF、

NCAB=/FEB,

ZAPB=NEGB=W,

ABEB1AC5

?____________________ZABP=/EBG,

PB~GB~sin/8AC-BC13’

:.ZABE=NPBG,

:?MBES"BG,

：.5P(S=5AE,

即在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，4尸G的大小不變且等于ZBAC,

當(dāng)CG_LPG時(shí)，CG最小，

設(shè)此時(shí)AE=x,

AEAB5

----=-----=-，

PGPB3

3

/.PG=-x,

5

vCGIPG,

ZPCG=Z.BPG=ABAC，

CP5

???———9?

PG3

代入PG=」x,解得。=X,

5

1Q

?/CP=BCsin4cBp=BCsinABAC=—,

3

18

??X=—，

s

故答案為：費(fèi).

8.（2025?海州區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形ABCZ）的邊長為7,E為BC上一點(diǎn)、,且BE=6,F為AB

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接所，以EF為邊向右側(cè)作等邊AEAG,連接CG,則CG的最小值為

7+V3

2一.

【解答】解：AEPG為等邊三角形,

:.EF=EG,

把AE3/繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A￡"G,如圖，延長"G交CQ于M,過。點(diǎn)作CQ_LHM,過E點(diǎn)

作EPLCQ,

.?.NaH=60。，EB=EH=6,N￡HG=N及卞=90°,

即G點(diǎn)在過H點(diǎn)且垂直于EH的線段上,

易得四邊形HEPQ為矩形,

：.PQ=EH=也,”￡夕=90。，

■.ZCEP=90°-^BEH=30°,

:.CP=-CE=^^-1

22

.?.CQ=b+PQ=j^+G=.

一一22

.?CG的最小值為姿.

9.（2025秋?東臺(tái)市期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,皮＞相交于點(diǎn)O,AB=6,

zmc=60°,點(diǎn)尸在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接。尸，以"'為邊作等邊三角形。正，點(diǎn)石和

點(diǎn)A分別位于小兩側(cè)，則點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)的路程長是_26_.

,?四邊形是矩形,

/.AO=DO,ND48=90。，

-.zmc=60°,

」.ADA。是等邊三角形，

：.DA=DO,ZADO=60°,

ADFE是等邊三角形，

:.DE=DF,N￡7W=60。，

/ADF=〃JDE,

又=DF=DE,

/.AADF^AODF(S4S),

;.OE=AF,/DOE"DAO,

???點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，且OE=AF,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，

.,.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程是AO,

在RtAADB中，設(shè)A￡)=x,則/比)=2x,

：.(2X)2-X2=62,

解得(負(fù)值舍去)，

AD=AO=2y/3f

即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為26，

故答案為：2G.

10.(2025?東臺(tái)市一模)如圖,己知點(diǎn)4(-3,0),8(0,3),C(-l,4),動(dòng)點(diǎn)尸在線段AB上，點(diǎn)尸、C>

M按逆時(shí)針順序排列，且NC/〉M=90。，CP=MP,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑

【解答】解：?.,點(diǎn)4一3,0),5(0,3),

.?.4B=3&,

C(-1.4),動(dòng)點(diǎn)尸在線段45上，ZCPM=90°,CP=MP,

/.—=—,P為主動(dòng)點(diǎn)，”為從動(dòng)點(diǎn)，C為定點(diǎn)，

CM2

由“瓜豆原理”得尸運(yùn)動(dòng)路徑(A8)與M運(yùn)動(dòng)路徑之比等于色,

CM

.?.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為3衣子包=6,

2

故答案為：6.

11.（2025?秦都區(qū)模擬）如圖，正方形ABC/）的邊長為2,七為8C上一點(diǎn)，且比=1,〃為4y邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡F,以所為底向右側(cè)作等腰直角AEFG，連接CG,則CG的最小值為

【解答】解：如圖1,過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，GQ_L4c于點(diǎn)Q,連接

根據(jù)題意知，ZABC=90°,ZPGQ=90°.

/.ZPGF+NFGQ=/QGE+NFGQ=90°.

...ZPGF=NQGE.

又?.AE尸G是等腰直角三角形，且/月GE=90°,

:.GF=GE.

在K3PF與M3QE中，

NGPF=NGQE=9。。

?NPGF=NQGE,

GF=GE

:.^GPF^AGQE（AAS）.

:.GP=GQfNGBP=NGBE=；AABC.

.?.點(diǎn)G在8。所在的直線上運(yùn)動(dòng).

?.?尸為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如圖2,

A

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)G的位置如圖所示.

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，記點(diǎn)G的位置為G〃.

.??點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段GGn.

過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，.

r

：\CG\tvi=CG=^BD.

.?正方形A4CD的邊長為2,

:.BD=2x/2.

?*|CGU=>/2.

故答案為：友.

12.（2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形A88的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)、,且3E=1,F為AB

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接叮，將燈繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60c得到EG,連接CG,則CG的最小值為

【解答】解：將線段繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至M,連接GM,過。作CN_LGM于N,過E作￡P(guān)_LCN

于P,如圖：

./BEM=4FEG=8T,

ZBEF=ZMEG，

在和M^IEG中，

BE=ME

,Z.BEF=NMEG,

EF=EG

.-.ABEF^AMEGiSAS）,

NGME=ZB=90。,

.?.G在射線MG上運(yùn)動(dòng)，

vGVlGM,

??.CN的長度即是CG的最小值，

-.CN1GM,EPA.CN>4GME=師，

四邊形為矩形，

，NP=ME=BE=I,

RtAEPC中，EC=BC-BE=3,APEC=180°-Z.BEM-ZMEP=30°,

I3

:.CP=-EC=-y

22

:.CN=CP+NP=-,

2

故答案為：2.

2

13.（2025秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，AB=AC.8C=6,tan乙48=26，點(diǎn)?在邊AC

上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A,C重合），將線段8尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OP,連接班）,CD,則

CD長的最小值為史畫.

一13一

【解答】解：如圖所示，以8c為底邊向上作等腰A8QC,使NBQC=120。，連接PQ.

由題意可得ABQC和NSPD均為頂角為120。的等腰三角形,

可得理二絲二」，Z0BC=ZPBD=3O°,

BCBDg

：.ZQBC-4QBD=/PBD-ZQBD,

/PBQ=/DBC,

PQBQ1

~DC~~BC~^3'

當(dāng)尸Q_LAC時(shí)，有尸Q最小，即比時(shí)CD最小,

如圖所示，設(shè)O/，_LAC,延長A。與8c?交K,此時(shí)Q尸為QP的最小值，

可得人K_LBC,

?.?MiQC中，NBQC=120°,BC=6,

:.BK=3,NQ8K=30°,

...QK二注=6,

J3

VtanZACZ^=2>/3=—,KC=3,

KC

:.AK=2+KC=66,

:.AQ=AK-QK=5y/3,ACZAK'K。=3屈,

ZAP'Q=ZAKC=90°,ZQAP1=ZCAK,

y

.?.zMQ7szMCK，

?.?AQ=QP，

ACKC

5G_QP1

?,乖F'

,QP，=返,

13

.?.C:。=6。產(chǎn)=業(yè)叵.

13

14.（2025?祁江區(qū)校級(jí)一模）如圖，菱形八4c力的邊長為4,々=120。，石是AC的中點(diǎn),產(chǎn)是對(duì)角

線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將線段所繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，G為點(diǎn)七對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接CG,則CG

的最小值為_忘_.

BEC

【解答】解：如圖取CD的中點(diǎn)K,連接小，KG,EK,延長KG交3C于人作C〃_LJK于”.

1D

BEJC

四邊形48CD是菱形，

：.ZFCE=ZFCKfCB=CD,ABMCD,

??.ZDC3+4=180°,

?.?ZB=120°,

;.NDCB=&甲,

BE=EC,CK=KD,

;.CK=CE,

^ECK是等邊三角形，

CF=CF,乙FCK=4FCE,CK=CE,

:.AFCK三AFCE(SAS),

:.FK=FE,

FG=FE,

：.FE=FG=FK,

NEKG=L/EFG=\50,

NCKE=60°,

Z.CKJ=45°,

.??點(diǎn)G在直線KJ上運(yùn)動(dòng),

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與H重合時(shí),CG的值最小,

在R3CKH中，,：/CKH=45。，NC〃K=90。,CK=—CD=2,

2

:.CH=KH=近,

??.CG的最小值為夜，

故答案為x/2.

15.（2025秋?忠縣期末）如圖，在AA3C中，ZACB=9O。，點(diǎn)。在8c邊上，BC=5,CD=2,點(diǎn)E是

邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接將繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DP,連接M,則M

的最小值為

【解答】解：如圖，以或＞為邊作等邊三角形。8”,連接￡77,過有、H作HNA.BD于N,

BC=5,CD=2,

BD=3，

ADHB是等邊三角形,HN1BD,

3

:.DN=BN=-、DB=DH,ZHD/?=60°,

:,CN=-,

,?將DE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得至IjDF,

：.DE=DFtN&邛=600,

:.ZEDF=ZHDB,

:.占DH=/FDB,

在拉加￡和M)BF中，

DE=DF

-NEDH=4FDB,

DH=DB

:.M)HE^M)BF(SAS),

:.EH=BF,

當(dāng)上”有最小值時(shí)，必有最小值，

由垂線段最短可得：當(dāng)￡77_LAC時(shí)，E77有最小值，

此時(shí)，?.EHA.AC,ZAC3=90°,HN工DB,

四邊形CM花是矩形，

:.HE=CN=—7，

2

故答案為：--

2

16.（2024秋?兩江新區(qū)期末）已知邊長為6的等邊中，￡是高4）所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接8E,將線段8石繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到斯，連接叱，則在點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段。尸長

度的最小值時(shí)，OE的長度為攣.

—2—

【解答】解：連接b,

.,等邊A4BC,

/.AB=BC,

線段BE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至ljBF,

..BE=BF,ZABE=NCBF,

..AABE^ABCHASA),

尸點(diǎn)在直線CF上運(yùn)動(dòng)，

:.CF=AE,ZBCF=3(r,

二.廠點(diǎn)在直線CF上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)_Lb時(shí)，。尸最小，

?.?8=3,

9.30

??C尸-9

2

.A1730

??AE=，

2

AD=3g,

.?.DE=---9

2

故答案為也.

三.解答題（共4小題）

17.（2025秋?武昌區(qū)期末）如圖1,在4W3C中，跖平分ZA4C,b平分ZAC3,BE與CF交于點(diǎn)、

D.

（1）若NS4C=74。，貝1」4吐=_127。_;

（2）如圖2,ZBAC=90°,作MDLBE交AB于點(diǎn)M,求證：DM=DE;

（3）如圖3,ZfiAC=60°,ZABC=80。,若點(diǎn)G為C￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線8C上，

連接MG,將線段GW繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得GN,NG=MG,連接ON,當(dāng)ON最短時(shí)，直接寫出

ZMGC的度數(shù).

【解答】(1)解：?.?NAAC=74。，

.-.ZABC+Z4C6=106°,

BE平分ZABC,C77平分NAC3，

/./DBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

/.ZDBC+ZDCB=1(ZABC+ZACB)=53°,

..."7X7=127。，

故答案為：127。；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)〃作于G,/)"_LAC-于〃，/"JL/C于產(chǎn),

“力三分ZA4C,8平分ZAC",DG_L/W于G,O〃_LAC于，，OPJ_3c于尸,

:.DP=DH=DG,

MD工BE,

:.ZMDE=ZA=90Pf

：.ZAMD+ZAED=\S(f,

NAMD+NZWG=180。，

:.QMG=ZAED,

又NDG4=NO〃￡=90°,

tsDMG=M)EH(AAS),

：.DM=DE;

(3)如圖3,過點(diǎn)G作GQ_LOC,且GQ=GC,連接QN,

7.Z4CB=400,

.?/ACT)=20。，

?將線段GM繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9D°得GN,

/.MG=GN,/MGN=90°=Z.QGC.

/MGC=NQGC,

又：GQ=GC,MG=GN,

/.AMGC=^NGQ(SAS),

/.ZQ=ZMCG=20°,

A

BMT

.??點(diǎn)N在直線QN上運(yùn)動(dòng)，圖3N

.?.當(dāng)DV_LQN時(shí)，ON有最小值為。M,

此時(shí)，延長MG交6。干丁，連接MAT,設(shè)NQ與6c的交點(diǎn)為H,

\DNrLQN,BC工NQ,

:.DN'MBC,/BHQ=90°,

AN'DG=/BCD,ZTHN'=90。，

??,點(diǎn)G是8的中點(diǎn)，

/.DG—CG，

又?.?ZDGM=NCG7,

△DN'G三bCTN'（AS0,

:.TG=GN'，

；.TG=GN'=GM'，

.\Z7MV=90°,

.??點(diǎn)AT與點(diǎn)H重合，

,.GM'=GN',ZA/3'=90°,

NGMW'=45°,

...NQGN'=25。,

":/QGC=/M'GN'=%。,

NM'GC=/QGN'=25。,

.??當(dāng)ON最短時(shí)，NMGC的度數(shù)度數(shù)為25。.

18.（2025?沈陽）【特例感知】

（1）如圖1,AAOK和△”>/）是等腰直角三角形，N4OB=NC8=90°,點(diǎn)。在。4上，點(diǎn)。在的延

長線上，連接AD,BC,線段4）與8c的數(shù)量關(guān)系是_AD=BC_;

【類比遷移】

（2）如圖2,將圖1中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0（0。<a<90。），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然

成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

(3)如圖3,若AB=8,點(diǎn)C是線段外一動(dòng)點(diǎn)，AC=3樞，連接.

①若將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接4),則4)的最大值是;

②若以8c為斜邊作R3BCD(B,C,。三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，ZCDB=90°,連接4),當(dāng)

NCBD=NZ)AB=30。時(shí)，直接寫出AD的值.

【解答】解：(1)AD=BC.理由如下:

如圖1,AAOA和ACOD是等腰直角三角形，ZAOB=NCOD=9Q0,

OA=OB?OD=OC，

在AAOD和ABOC中，

OA=OB

</AOO=N8OC=90。,

OD=OC

:.AAOD^ABOC(SAS),

AD=BC，

故答案為：AD=BC\

(2)A￡>=8。仍然成立.

證明：如圖2,-.-ZAOB=ZCOD=90°,

ZAOB+ZAOC=ZAOC+ZCOD=90°+，

即/BOC=ZAOD,

在AAO/)和ABOC中，

()A=OB

,ZAOD=ZBOC,

OD=OC

...AAODNABOC(SAS),

/.AD=BC;

(3)①過點(diǎn)A作A7_LAB,使AT=/W,連接取，AD,DT,BD,

ZW</1和ACH)都是等腰直角三角形，

/.BT=42AB,BD=4iBC,ZABT=NCBD=45"

/.—=—=V2,ZABC=/TBD,

ABBC

:2BCS.BD,

.?.更="=上，

ACAB

DT=&AC=g3G=3瓜,

AT=AB=S,DT=3在,

.??點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以丁為圓心，3G為半徑的圓，

.?.當(dāng)。在AT的延長線上時(shí)，AD的值最大，最大值為8+36，

故答案為：8+3x/6:

②如圖4,在上方作ZA"=30。，過點(diǎn)A作A7_L87于點(diǎn)T,連接4）、BD、DT,過點(diǎn)了作

TH工AD于點(diǎn)H,

—=—=cos30°=—,ZABC=Z7BD=30°+Z7BC,

ABBC2

：.ABAC^ABTD,

DTBDg

...-----=----=----,

ACBC2

V3x/3rz9

..DT=—AC=—x3\/3=—，

222

在RlAABT中，AT=ABsinZ4B7'=8sin300=4,

，?Zfi4r=90o-30°=60°,

Z7X//=Z^47'-ZmB=60°-30o=30°,

?THlADt

TH=AT-sinZ.TAH=4sin30。=2,AH=AT-cosZTAH=4cos300=，

在RtADTH中，DH=ylDT2-TH2=22

/.AD=AH+DH=2y/3+—;

2

如圖5,在AB上方作ZA8E=30。，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,連接。石,

M.IBEBD_\/3

貝I」一=—=cos30°=—,

ABBC2

ZEBD=ZABC=ZABD+30°，

:.MDEs2CA,

DEBEx/3

/.--=--=--，

ACAB2

/.￡>￡=—AC=-x3>/3=-,

222

,ZBAE=90°-30o=60°,AE=A4sin30。=8x'=4,

」.ZDAE=NDAB+ZBAE=30°+60°=90°,

圖5

圖4

D

圖2

A

19.(2025?新市區(qū)校級(jí)一模)如圖①，二次函數(shù))，=-/+隊(duì)+c的圖象與x軸交于點(diǎn)4(-1,0)、4(3,0),

與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)點(diǎn)2不與點(diǎn)A、8重合時(shí)，作直線”，交直線8c于點(diǎn)Q,若AABQ的面積是ABPQ面積的4

倍，求點(diǎn)〃的橫坐標(biāo).

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時(shí)，連接AP,交線段8C于點(diǎn)以AM為斜邊向外作等腰

直角三角形AMN,連接BN,的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出AABN的面積；如果變化,

請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)?,?二次函數(shù)經(jīng)過A(T0),(3,0),

0=-(-l)2+^(-l)+c

代入得

0=-32+3b+c

解得［二；

c=3

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為＞，=-寸+2%+3.

(2)①如圖所示，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

過點(diǎn)尸作PF_Lx軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)E作QE_Lx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BG_LAP于點(diǎn)G,

可得AAQESAA尸產(chǎn)，

AQAEQE

-----=------=------,

APAFPF

cA—,AQ,HG“I

3M必，=2=絲

Sw，c1LQP.BG

.AQ4

..-----=—,

AP5

AQAEQE4

"~AP=~AF=~PF='5"

設(shè)點(diǎn)P(4,-a~+2(i+3),

/.OF=a,PF=—a2+勿+3,

44

AF=a-