北師大版八年級數(shù)學上冊《第一章勾股定理》單元檢測卷含有答案

學校:班級：姓名：考號：

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個

是正確的）（共8題；共24分）

1.（3分）已知△4BC的三條邊分別為a,b,c,下列條件不能判斷是直角三角形的是（）

A.a2=b2—c2B.a=6>b=8,c=10

C.4A=+D.乙A：乙B：z_C=5：12：13

2.（3分）如圖，三個四邊形均為正方形，則字母8所表示的值為（）

3.（3分）若一個直角三角形的兩直角邊長分別是5和12,則斜邊長為（）.

A.13B.7119C.7或17D.13或

4.（3分）如圖，三條直線a,kc互相平行，△4BC的三個頂點分別在三條平行線上.已知乙B4C=90°,

AB=AC,且a,b之間的距離為2,4c之間的距離為3,則AABC的面積為（）

A.6B.6.5C.10D.13

5.（3分）如圖，在A8、BC、CD、OE中是四根長度相同的小木棒，A、C、七三點共線，BC1CD

于點C,若AC=6,。石=8,則一根小木棒的長為（）

A.5B.6C.7D.8

6.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC=4,P是BC上異于B,C的一點，貝I」/IP?+BP?PC的值

是1）.

B

A.16B.20C.25D.30

7.（3分）如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC1BC,AC=BC,當梯子的頂端A沿AC方向下滑xm

時，梯足B沿CB方向滑動ym,則x與y的人小關系是（）.

A.x=yB.x>yC.x<yD.不確定

8.（3分）如圖，點ESADBC的邊DB上，點A在aDBC的內(nèi)部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=AE,

①BD=CE；@ZABD+ZECB=45°；③BD_LCE；@BE2=2（AD2+AB2）-CD2.

其中正確的是（）.

A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）（共5題；共15分）

9.（3分）若三角形的三邊之比為3:4:5,則此三角形為三角形.

10.（3分）有一組勾股數(shù)，知道其中的兩個數(shù)分別是24和7,則第三個數(shù)是.

11.（3分）如圖，網(wǎng)格小正方形邊長為1,以O為圓心04為半徑畫弧，交網(wǎng)格于點B,則8C長是

12.（3分）如圖，RMABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點P為AC邊上的動點，過點P作PD_LAB

于點D,則PB+PD的最小值為.

A

13.（3分）如圖，5x5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,點4,0在格點上，點8在網(wǎng)格線上，線段4B

的垂直平分線恰好經(jīng)過格點C,貝恒0的長是.

三、解答題（共7題；共61分）

14.（8分）河岸I同側(cè)的兩個居民小區(qū)A,B到河岸的距離分別為am、bm（如圖①所示，AAf=am,

BB'=bm）,AE=cm,現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為sm的綠化帶CD（寬度不計），使C到小區(qū)A的

距離與D到小區(qū)B的距離之和最小.

±\_BB

AfCsDBA'B'

圖①圖②

（I）（4分）在圖②中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程.

（2）（4分）求AC+BD的最小值.

15.（15分）根據(jù)下列條件，判斷以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形。

（1）（3分）a=7,b=8,c=10；

（2）（3分）a=35,b=12,c=37；

（3）（3分）Q="I,b=4,c=5；

（4）（3分）a=3n,b=4n,c=5n（n為正整數(shù)）；

（5）（3分）a：b：c=5：12：13。

(1)（2分）試畫出2次操作后得到的圖形.

（2分）已知最初的直角三角形斜邊長為1cm,寫出2次操作后得到的圖形中所有正方形的面

積和.

(3)(2分)如果一直畫下去，你能想象出它的樣子嗎?請借助數(shù)學軟件進行探索.

（4）（3分）重復上.述步驟若干次后得到的圖形稱為“畢達哥拉斯樹”.如果最初的直角三角形是等腰

直角三角形，那么此時“畢達哥拉斯樹”會是什么形狀?

20.（11分）解決下列幾個問題，并說明它們與本節(jié)課問題的區(qū)別與聯(lián)系.

（1）（3分）如圖，圓柱的高為13cm,底面周長為10cm,在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它

想吃到離上底面1cm的點B處的食物，那么它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

力D

（2）（4分）如圖，一，個長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm,8cm,12cm,一只螞蟻想從盒

底的點A處沿盒的外表面爬到盒頂?shù)狞cB處，你能幫螞蚊設計?條最短的路線嗎?螞蟻爬行的最短

路程是多少？

（3）（4分）為了營造節(jié)日氣氛，學校準備在大廳圓柱上纏繞彩帶.已知大廳圓柱的高為6m,底面

周長為2m.如果希望彩帶從圓柱底端繞圓柱4圈后正好到達頂端，那么至少需要彩帶多少米?

參考答案

1.【答案】D

【解析】【解答】解：??％2=匕2一。2,

a24-c2=b2?

???△ABC是直角三角形，故A不符合題意；

Va2+b2=624-82=100，c2=102=100，

a2+b2=c2>

???A48C是直角三角形，故B不符合題意；

'：LA=+乙C,Z.A+Z.B+LC=180°,

.\2Zi4=180°,

：.LA=90°,

是直角三角形，故C不符合題意；

'：LA-.乙B：Z.C=5：12：13，Z/14-Z5+ZC=180°,

13

：-cC=180°x工=78%

OIJL4"T"JLO

???△ABC不是直角三角形，故D符合題意；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，如果一個三角形的三邊滿足較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方,

那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此可判斷A、B選項；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理算出最大內(nèi)角的

度數(shù)，如果等于90。就是直角三角形，否則就不是，據(jù)此可判斷C、D選項.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖,

MN2=25,MR2=169,

在RlARMN中，由勾股定理得：MN?+NR2=MR2,

；?NR2=MR2-MN2=169-25=144,

，字母8所表示的值為144.

故答案為：C.

【分析】字母8所表示的值為直角三角形的直角邊的平方，用斜邊平方減去另一條直角邊的平方就可

以求得.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意得：斜邊長二552+12?=1由故答案為：A。

【分析】根據(jù)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和等于斜邊長的平方,

代入數(shù)據(jù)即可求解。

4.【答案】B

【廨析】【解答】解：過A作DEJ.Q于D,交直線c于點E,如圖所示：

VaIIbIIc,

：.DE1c,DE1b,

A.4D=2,AE=3,乙ADB=^AEC=乙BAC=90°,

：.LABD+乙DAB=4048+Z.CAE=90°,

C.LCAE=乙ABD,

\'AB=AC,

：.^ABDCAE(AAS),

:,BD=AE=3,

???在RtAABD中，AB2=ADZ+BD2=22+32=13,

；?SRABC=AC=^AB2=ix13=6.5.

乙乙乙

故答案為：B.

【分析】過A作0E1a于D,交直線c于點E,可得4。=2,HE=3,乙408=Z.AEC=乙BAC=90°,

證明得出BO=AE=3,根據(jù)勾股定理得出AB?的值，根據(jù)三角形面積公式即可得

到答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：作BG_LAC,DH1CE,如圖，

B

AGCHE

，乙8GC=乙DHC=90°,

:,乙BCG+乙CBG=90°,

VCD1BC,

:?乙BCG+乙DCH=90%

:?乙CBG=乙DCH,

在ABCG和△CDH中

NCBG=乙DCH

乙BGC=Z-CHD

BC=CD

A△BCG三ACDH(AAS),

???BG=CH,

TAB=BC,BGLAC,

:?CG=^AC=3,

乙

同理：CH=4,

，BG=4,

在RMDGC中，BC一1BG?十CG?=5,

故答案為：A.

【分析】作BG_LAC,DH1CE,利用“AAS”證明△BCGMACDH,則8G=CH,最后利用勾股定理

計算即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：過點A作AD_LBC于點D,

VAB=AC,

ABD=CD,

AP2+BP?PC=AP2+(BD-PD)(CD+DP)=AP2+BD2-PD2,

VAP2=AD2+PD2,

：.AP2+BP-PC=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2=AB2=42=16o

故答案為：A.

【分析】過點A作AD_LBC于點D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出BD二CD,然后根據(jù)勾股

定理得出AP2=AD2+PD2,進而得出AP?+BP-PC=AD2+PD2+BD2-PD2=AD2+BD2,進而根據(jù)勾股定理

得出答案。

7.【答案】B

【蚱析】【解答】解：設AC=BC=am,由勾股定理得

J02+02=J(a-x)2+(Q+y)2?

化簡得2a(x-y)=x2+y2>0,

/.x>y

故答案為：B.

【分析】設AC=BC=am,利用梯子下滑過程中AB的長度保持不變，建立a,x,y的等式.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：???NDAE=NBAC=90。，

AZDAB=ZEAC,

VAD=AE,AB=AC：

/.△DAB^AEAC,

ABD=CE,ZABD=ZECA,故正確，

AZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正確，

ZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=45°+45°=90°

AZCEB=90°,即CEJ_BD,故③正確；

ABE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正確，

故答案為：A.

【分析】只要證明4DAB且/XBAC,利用全等三角形的性質(zhì)即可——判斷.

9.【答案】直角

【解析】【解答】解：???三角形的三邊之比為3:4:5,設三角形三邊分別是3x、4x、5xo

(3x)2+(4x)2—(5x)2,

二此三角形是直角三角形，

故答案為：直角.

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應用?？梢愿鶕?jù)三邊比假設出三邊的長度，然后列示計算即

可得出該三角形是直角三角形。

10.【答案】25

【解析】【解答】解：設第三個數(shù)為X,

?.?是一組勾股數(shù)，

?山/+72=242,

解得％=限7(不合題意，舍去)，

②242+72=x2,

解得：%=25,

故答案為：25.

【分析】設第三個數(shù)為x,根據(jù)勾股數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

1L【答案】V6

【解析】【解答】解：如圖所示，連接08,

山勾股定理得；0B—0A-712+32-V10

BC=yJOB2-OC2=J(V10)2-22=V6-

故答案為：x/6.

【分析】根據(jù)方格，由勾股定理求出08=g,由BC="B2—OC2,計算求解即可.

12.【答案】.

【辭析】【解答】解：如圖，作點B關于AC的對稱點B,過點B'作BD1AB于點D,交AC于點P,

點P即為所求作的點，此時PB+PD有最小值，連接AB',根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，則BP=BP,

A

在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

?，.AB=〃d+Bd=5,ZACB=ZACB=90°,

在RSABC和RSAB'C中

AC=AC

^ACB=Z-ACB1

BC=B'C

???△ABC^AABC(SAS),

**.SAABC=SAABC，

SAABB=SAABC+SAABC=2SAABC；

HP1AB.BD=2X1BC*AC,

w乙

???AB?BD=2BC?AC,

A5BD=24,

??.BD咚.

J

故答案為：引.

【分析】

作點B關于AC的對稱點B',過點B'作BD_LAB于點D,交AC于點P,點P即為所求作的點，此時

PB+PD有最小值，連接AB,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得BP=BP,由題意用邊角邊可證△ABC^AABC,

由全等二角形的面積相等可得SAABC=SAAB-C,然后根據(jù)二角形ABB'面枳的構(gòu)成

SAABB?=S△ABC+SAAB?C=2S△ABC可得關于BD'的方程，解方程即可求得BD'的值，即為PB+PD的最小值.

13.【答案】Vio

【解析】【解答】解：連接如圖所示：

???線段的垂直平分線恰好經(jīng)過格點C,

：.BC=AC=Vl2+52=V26>

在Rt△CB。中，BD2=BC2-CD2=26-16=10,

???則BO的長是回，

故答案為：V10.

【分析】連接AC,BC,08,CO,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BC=AC,然后根據(jù)勾股定理求出BD長即

可.

14.【答案】(1)解：作法如圖：

￡憶.....J.W

①在線段AB，上取點F,使A'F=s；

②過F作EF_LA'B',且使EF=AA'：

③作E關于直線1的對稱點E',連接BE交AB，于點D：

④在AD上取一點C,使CD=s.則線段CD就是要畫的綠化帶.

(2)解：過點E作EM〃I交BB，延長線于M,根據(jù)勾股定理易求得AC+BD的最小值.

BE'=例2+E，M2=7(a+b)2+(c-s)2.

【解析】【分析】(1)分析題干可知，要使AC+BD有最小值，即線段之和最小，典型的將軍飲馬模型

變式，所以解決問題的關鍵就是找已知點的對稱點，并連接，與河岸的交點即是所要找的點；

(2)由圖得，AC+BD=BE',可以通過直角二角形構(gòu)建勾股定埋求得.

is.【答案】(1)解：???72+82=113*102,

???以7,8,10為邊長的三角形不是直角三角形.

(2)解：v122+352=1369=372,

???以35,12,37為邊長的三角形是直角三角形.

⑶解：?.?42+52=41=("1)2,

???以V41,,4,5為邊長的三角形是直角三角形.

(4)解：,:(3n)2+(4n)2=25n2=(5n)2,

???以3n,4n,5n(n為正整數(shù))為邊長的三角形是直角三角形.

(5)解：a:b:c=5:12:13,

???設a,b,c分別為5n,12n,13n(n為正整數(shù)).

v(5n)2+(12n)2=169n2=(13n)2,

???若a：b：c=5：12：13,則以a,b,c為邊長的三角形是直角三角形.

【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，利用兩個較小邊的平方和與較大邊的平方作比較解答即可.

16.【答案】解：由題意得，AB=AiB,ZBCAi=90°,

設BC=xm,則AB=AiB=(4-x)m,

在RsAiBC中,AiC2+BC2=AiB2,

即：22+x2=(4-x)2,

解得：x=1,

答：彎折點B與地面的距離為|米.

【解析】【分析】根據(jù)ZBCAi=900,利用勾股定理進行求解即可作答。

17.【答案】解：如圖進行點標注，則DF的長度為能放入電梯內(nèi)的最大長度.

在△力B。中，根據(jù)勾股定理，得BZ)2=/1。2+482=1.52+1.52=4.5,

在ABDF中,根據(jù)勾股定理，得。尸2=8。2+8尸2=4.5+2.22=9.34.

故3<DF<3.1.

所以能放入電梯內(nèi)竹竿的最大長度約是3米，，人買的竹竿至少為3.1米.

【解析】【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

18.【答案】（1）解：設弦長為c,因為弦與股的差為d,所以股長為c-d,勾長為a。

222

根據(jù)勾股定理可得：a+（c—d）=co

222

展開（c一d）2得-2cd+則方程變?yōu)镼2+C-2cd+d=c.

移項可得次+/=2cd,兩邊同時除以2d,解得c=Q里。

2d

因此，能用a,d表示c,c=°2十』

c2d0

（2）設木桿長高為h,表示繩長，利用勾股定理列方程解答即可.

【辭析】【分析】（1）設弦長為c,因為弦與股的差為d,所以股長為c-d,勾長為a,根據(jù)勾股定理列

方程，整理表示c的值解答即可；

（2）根據(jù)（1）的解題方法總結(jié)即可.

19.【答案】（1）解：2次操作后的圖形如圖所示

（2）解：如圖,根據(jù)規(guī)律可得52+S3=S+$5=$2,$6+S7=S3,$8+S9=Sq,S10+S“=L2+

Si3=S8S14+