第3講專題強(qiáng)化：帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界、多解問題

面題型突破題曳探究?髭力提升1

題型一帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題

解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至

少”等為突破口，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾

何關(guān)系求解。

1.臨界條件

帶電粒子剛好穿出（不穿出）磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相

切，故邊界（邊界的切線）與軌跡過切點(diǎn)的半徑（直徑）垂直，

2.幾種常見的求極值情況（速度一定時(shí)）

（1）最長時(shí)間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切。

圓形邊界：公共弦為邊界圓直徑時(shí)，出現(xiàn)極值，即當(dāng)運(yùn)動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑

時(shí)，以磁場直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動時(shí)間最長。

（2）最短時(shí)間：弧長最短（弦長最短），入射點(diǎn)確定，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線與邊界垂直。

如圖所示，〃為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)，此時(shí)在磁場中運(yùn)動時(shí)間最短。

"x'X'x

單邊界磁場平行邊界磁場

3.判斷臨界問題的三種常用方法：“平移圓法”“旋轉(zhuǎn)圓法”“放縮圓法”。

考向1“平移圓法”的應(yīng)用

速度大小粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上的同種帶

一定，方電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射速度

向一定，大小為如，則半徑R=鬻，如圖所示

適用但入射點(diǎn)

XXXXXXX

條件在同一直

線上

軌跡圓圓

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在同一直線上

心共線

將半徑為/?=鬻的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子運(yùn)動的臨界條件，這種

界定方法

方法叫“平移圓法”

【典例1］如圖所示，在直角三角形。加區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為瓦大量均勻分布在曲邊的同種帶電粒子（質(zhì)量為加，電荷量為+g）以相同的速度

沿紙面垂直于"邊射入場區(qū)，結(jié)果有一半的粒子從權(quán)?邊射出。已知權(quán)?邊長為L,be與ac

的夾角為60。，不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用。下列說法正確的是（B）

A.粒子的入射速度為鬻

B.粒子的入射速度為“鬻

C.從前邊射出的粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動的最長時(shí)間為就

D.若射入的粒子為負(fù)電荷，要使一半的粒子射出反，則粒子的入射速度至少為嗎黑

【解析】如圖甲所示，設(shè)d為4。的中點(diǎn)，滿足條件的臨界情況為從d點(diǎn)射入的粒子軌

跡與兒相切，航道半徑為門，根據(jù)幾何關(guān)系得〃QLcos30。=尊，血根據(jù)牛頓第

二定律得亞出=〃丹，聯(lián)立得力=坐警，故A錯(cuò)誤，B正確；從從邊射出的粒子在磁場中

/I1

運(yùn)動的最長時(shí)間為:7，r=1r=1x￡^=Y^.故C錯(cuò)誤：

jjjqH3qH

帶負(fù)電粒子從d點(diǎn)射入磁場臨界情況的軌跡如圖乙所示，由幾何關(guān)系得「2=半，根據(jù)

牛頓第二定律得解得力=嘮叱故D錯(cuò)誤。

考向2“旋轉(zhuǎn)圓法”的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場

適用條速度大小一定，時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射入初速度

件方向不同

為。0,則圓周運(yùn)動半徑/?=,，如圖所示

丁

P5

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點(diǎn)P為圓

軌跡圓圓心共圓

心、半徑尺=翳的圓上

將一半徑R=翳的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子

界定方法

的臨界條件，這種方法叫“旋轉(zhuǎn)圓法”

【典例2】如圖所示，豎直平面內(nèi)有一工O)，平面直角坐標(biāo)系，第一、四象限中存在垂

直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小記為僅3未知)。坐標(biāo)原點(diǎn)。處有一放射源，放

射源可以源源不斷向一、四象限180。范圍內(nèi)均勻地幅射出質(zhì)量為加、電荷量為4的正離子。

在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN,M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2a),當(dāng)輻射

的離子速率為例時(shí)離子打在收集板上的位置最遠(yuǎn)到N點(diǎn)，最近到M點(diǎn)。不計(jì)離子的重力及

離子間相互作用的影響。求：

(1)恰好打到歷點(diǎn)的離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間；

(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。

【解析】(1)由題意可知，沿x軸正方向出射的離子，經(jīng)半圓到達(dá)N點(diǎn)，由此可得/?=〃,

可知通過M點(diǎn)的離子有兩個(gè)出射方向，如圖甲，一個(gè)軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為60。，即/1=卷7；

另一個(gè)軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為300。，即禹子做勻速圓周運(yùn)動，周期7=等，即T=色,

OVo

解得「效，T

(2)如圖乙所示，由旋轉(zhuǎn)圓法分析結(jié)果可知，能打到攻集板上的離子分布在速度方向與x

軸正方向成60。角的范圍內(nèi)，因?yàn)榉派湓淳鶆虼虺鲭x子，因此打到收集板上的離子數(shù)占輻射

D.A8邊上有粒子射出的區(qū)域長度為坐+IL

【解析】當(dāng)粒子從.4。邊離開時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，如圖甲所示,

由圖可知粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為/皿、=黑7=4乂筆=舞，故A錯(cuò)誤：

.*OUOC/lJJC/IJ

當(dāng)粒子運(yùn)動軌跡剛好與人8邊相切時(shí)，如圖乙所示，

.泮

?30°：

D1.............................JC

乙

根據(jù)幾何關(guān)系可得力+risin300=看由洛倫茲力提浜向心力得的8=碌聯(lián)立解得從

A3邊射出粒子的最小速度為0=罌，故B錯(cuò)誤：

當(dāng)粒子運(yùn)動軌跡剛好與CO邊相切時(shí)，如圖丙所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可得〃=L,由洛倫茲力提供向心力得聯(lián)立解得從CO邊射出

粒子的最小速度為。2=嚕，故C正確；由乙、丙圖中幾何關(guān)系可得A8邊上有粒子射出的

區(qū)域長度為Ax=rz+r2cos300—ncos30°=（1+當(dāng)）L,故D正確。

題型二帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題

1.帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，由于多種因素的影響，使問題形成多解。

多解形成的原因一般包含四個(gè)方面：

類型分析圖例

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也

可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子

帶電粒XX/Xx\

在磁場中運(yùn)動軌跡不同，形成多解。

子電性

如圖，帶電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若

不確定

帶正電荷，其軌跡為“，若帶負(fù)電荷，其軌跡為

b

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁場方

向時(shí)，必須考慮由于磁場方向的不確定而形成多

磁場方

解。

向不確

如圖，帶正電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，

定

若磁場方向垂直紙面向里，其軌跡為4,若磁場

方向垂直紙面向外，其軌跡為方

A

粒子速有些題目只告訴了帶電粒子的電性，但未具體指

度不確出速度的大小或方向，此時(shí)必須考慮由于速度的zyxxx\

/xXX\

定不確定而形成的多解

/迎Ac

o

；X

臨界狀帶電粒子飛越有界磁場時(shí)，可能穿過磁場飛出，

\yx>\x

態(tài)不唯也可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面一側(cè)反向飛出，形成

|z

多解1.

2.求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動多解問題的技巧

（1）分析題目特點(diǎn)，確定題目多解形成的原因。

（2）作出粒子運(yùn)動軌跡示意圖（全面考慮多種可能性）。

（3）若為周期性的多解問題，尋找通項(xiàng)式；若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的

條件。

考向1帶電粒子電性不確定的多解問題

【典例4】（多選）（2025?河南開封重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）如圖所示，兩平行線E/和MN招磁場

分割為上、下兩部分，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為從方向垂直紙面向里?，F(xiàn)有一質(zhì)量為"人

電荷量為q的帶電粒子（不計(jì)重力）從EF線上的A點(diǎn)以速度。斜向下射入EF下方磁場，速度

與E尸成30。角，經(jīng)過一段時(shí)間后粒子正好經(jīng)過C點(diǎn)，經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度方向斜向右上方，與

￡產(chǎn)也成30。角。已知A、C兩點(diǎn)間距為L兩平行線間距為d,下列說法正確的是（BCD）

xxxxBxxx

M---------------------N

E一。F

XXXXX

A.粒子不可能帶負(fù)電

B.磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能為8=翳

C.粒子到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間可能為瑞+￥

D.粒子的速度大小可能為。=誓

【解析】若粒子帶負(fù)電，其運(yùn)動軌跡可能如圖甲所示，粒子可以經(jīng)過。點(diǎn)，故粒子可

能帶負(fù)電，A錯(cuò)誤：若粒子帶正電，第一次到達(dá)E尸時(shí)經(jīng)過C點(diǎn)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系

可知，粒子軌跡半徑為L,由q0B=*~,可解得5=力，B、D正確；若粒子帶正

電，其運(yùn)動就跡也可能如圖丙所示，在下方磁場中運(yùn)動一次的時(shí)間。=（=魏，在上方磁場

中運(yùn)動一次的時(shí)間/2=罌，在無磁場區(qū)域中做一次直線運(yùn)動的時(shí)間為八=4,則粒子到達(dá)C

JDCIV

點(diǎn)的時(shí)間可能為/=吉+邛，C正確。

3qHV

考向2磁場方向不確定的多解問題

【典例5】（多選）如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子,

離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在0尸之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場。

已知0、A兩點(diǎn)間的距離?為s,負(fù)離子的比荷為條，速率為。，。尸與0Q間的夾角為30°,則

所加勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是（BD）

.尸

2融…小飛

A.箸，垂直紙面向里

B.垂直紙面向里

C.B>*垂直紙面向外

夕,、

D.B>-垂直紙面向外

【解析】當(dāng)磁場方向垂直紙面向里時(shí)，離子恰好與O戶相切的軌跡如圖甲所示，切點(diǎn)

為M,設(shè)軌跡半徑為門，由幾何關(guān)系可知，sin30-^,可得由廣蕭可得小.

當(dāng)磁場方向垂直紙面向外時(shí)，其臨界軌跡如圖乙所示，切點(diǎn)為N,由幾何關(guān)系知S=}-

dill

n,得，2=*,又冷="先所以82=電配，綜合上述分析可知B、D正確，A、C錯(cuò)誤。

31102qs

考向3粒子速度不確定的多解問題

【典例61（多選）（2022?沏北卷）在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)

域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面

向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為從SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度

大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30。角。已知離子比荷為匕不

計(jì)重力。若離子從P點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為仇則離子的入射速度和對應(yīng)

夕角的可能組合為（BC）

A.gkBL,0°B.如L,0°

C.kBL,60°D.2kBL,60°

【解析】若離子最后經(jīng)過下部分磁場從P點(diǎn)射出，如圖甲，則。=6（）。，R=，=l,3,

“RRLRJ

5,???）,又/8="N，可得。=~^~=：~5=1，3,5,???）：若離子最后經(jīng)過上部分磁場從

jnRR

尸點(diǎn)射出，如圖乙，則夕=0°,R=~（n=2,4,6,…），又qvB="年,可得。=障-==（〃

=2,4,6,…）。綜上可知，B、C可能，A、D不可能。

甲乙

【典例7]如圖所示，xO.v坐標(biāo)系內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大

小為8,MN為垂直于），軸且與x軸重合的足夠大的吸收平板。大量質(zhì)量為〃?，帶電荷量為+

幽＞0）的粒子，以相同的速率。=嚕，從。沿垂直磁場方向均勻射入第一象限。不計(jì)重力及

粒子間相互影響，粒子可能經(jīng)過區(qū)域的面積是（B）

B

XXXXXX

MON

A.0.5兀7?B.nl}+l}

C.1.5過2D.0.5nL2-L2

V2

【解析】粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力eB=〃N，解得R=L,粒子在以工軸

為邊界的磁場中做勻速圓周運(yùn)動，粒子從工軸進(jìn)入磁場，后離開，沿X軸正方向的剛好進(jìn)入

磁場轉(zhuǎn)一個(gè)圓周，沿y軸正方向進(jìn)入的剛好轉(zhuǎn)半個(gè)圓周，如圖甲在兩圖形的相交的部分是粒

子不經(jīng)過的地方，圖乙陰影面積為S=5R2+，I（2R）2=1.5"2,如圖丙設(shè)粒子不經(jīng)過的地方面

積為S2,

2

由幾何關(guān)系得S2+2S]=Z?,2SI+2S2=^TIL,粒子可能經(jīng)過區(qū)域的面積為S，=S—S2,解

得￡=兀/?+嚴(yán)，故選B。

考向4臨界狀態(tài)不唯一的多解問題

【典例8】（多選）長為/的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為8,板間距離為/,極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為機(jī)、電荷量為。/的帶正電粒子（不計(jì)

重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度。水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可

采用的方法是（AB）

+q?v

xBx

A.使粒子的速度仍罌

B.使粒子的速度器

C.使粒子的速度v寫

D.使粒子的速度為鬻〈。舞

【解析】如圖所示，若帶包粒子剛好打在極板右邊濠，有3=（門一/j+Z2,又因?yàn)閲?yán)田

=〃"，解得黑若粒子剛好打在極板左邊緣，有「2=；,又qv?B=碎,解得蟲=需。

欲使粒子不打在極板上，應(yīng)使或故A、B正確，C、D錯(cuò)誤。

課時(shí)作業(yè)57

/亞基礎(chǔ)鞏固4

1.（5分）如圖所示，在x軸的上方。，20）存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場（未畫出），磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小為屏在原點(diǎn)。有一個(gè)離子源向x軸上方的各個(gè)方向發(fā)射出質(zhì)量為〃人帶電荷

量為q的正離子，速率都為以對那些在X0），平面內(nèi)運(yùn)動的離子，在磁場中可能到達(dá)的位置

中離x軸及），軸最遠(yuǎn)距離分別為（A）

2mv2mvnw2mv

A-次謫B-"入

2mvnwmvnw

c謫，話D?遏.

解析：若讓沿工軸正方向射出的離子的軌跡圓繞。點(diǎn)緩慢轉(zhuǎn)動如圖所示，不難得出離y

軸最遠(yuǎn)為|x|=2r="^"，離x軸最遠(yuǎn)為），=24=彳嬴，所以A正確。

2.（5分）如圖所示，空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域，半徑為R,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為力

磁場方向垂直紙面向外。一電子以初速度。從圓心。沿0C方向射入磁場，恰好由A點(diǎn)射出。

弧A。對應(yīng)的圓心角為60’，要使電子從弧A。之間射出（不包括A、。兩點(diǎn)），電子從。點(diǎn)

射入的初速度可能是（不計(jì)電子的重力）（B）

:?

:?\D

Ov

V3v

A.2B.T

C.2vD.3v

解析：根據(jù)題意，速度為。時(shí)，恰好由A點(diǎn)射出，如圖中枕跡I,由幾何關(guān)系可得r=*

由牛頓第二定律有/心=〃,，聯(lián)立可得笈=鬻，要使電子恰好從。點(diǎn)射出，如圖中軌跡H,

根據(jù)幾何關(guān)系可得/=R,則有R=常,解得?！?2〃，要使電子從弧A。之間射出，電子從。

點(diǎn)射入的初速度應(yīng)大于。，小于2。，故選B。

3.（5分）如圖所示，真空中垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場只在兩個(gè)同心圓所夾的環(huán)狀區(qū)域

存在（含邊界），兩圓的半徑分別為R、3R,圓心為。。一重力不計(jì)的帶正電粒子從大圓邊緣

的尸點(diǎn)沿PO方向以速度內(nèi)射入磁場，其運(yùn)動軌跡如圖，軌跡所對的圓心角為120。。當(dāng)將該

帶電粒子從夕點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)椤?時(shí)，不論其入射方向如何，都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)

域，則6：02至少為（B）

A.羋B.小

C.D.2-73

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由幾何知識得〃=京斌=小心洛倫效力提供

向心力，由牛頓第二定律得解得5=坐等,粒子豎直向上射入磁場，恰好不

能進(jìn)入小圓區(qū)域時(shí)粒子的狀跡半徑正=穴，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得儼28=

布、解得V2="§,則簟1：。2至少為小，B正確。

4.（5分）如圖所示，在40），平面的第1、IV象限內(nèi)有一圓心為0、半徑為R的半圓形勻

強(qiáng)磁場，線狀粒子源從），軸左側(cè)平行于X軸正方向不斷射出質(zhì)量為〃h電荷量為，八速度大

小為的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為魏、方向垂直X。,，平面向里。不考慮粒子

間的相互作用，不計(jì)粒子受到的重力。所有從不同位置進(jìn)入磁場的粒子中，在磁場中運(yùn)動的

時(shí)間最長為（C）

A，S

TIR

.赤

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力有夕。（）B=〃7,解得r=2R,

如圖所示，當(dāng)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角最大時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，

由于sina=半，要使圓心角a最大，則/E最長，經(jīng)分析可知，當(dāng)粒子從y軸上的。點(diǎn)射入、

OP1

從X軸上的E點(diǎn)射出磁場時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長，有sinim=一解得Qm=

n.62nrynR,,…八

不則n加=蘇?布，解得加=而;，故選C。

I

XX%'

5.（5分）如圖所示，在直角坐標(biāo)系xO.v平面的y軸與直線x=d之間有垂直坐標(biāo)平面向外

的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為瓦在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一粒子源，在坐標(biāo)平面內(nèi)沿與y軸正方

向成。=30。的夾角向磁場內(nèi)射入大量質(zhì)量為加，電荷量為q的帶正電粒子，這些粒子的速度

。滿足0<oW的,已知這些粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間是最短時(shí)間的5倍，不計(jì)粒子的重力

和粒子間的相互作用，sin30。斗cos30。=坐，則如等于（B）

x=d

小qBd2小qBd

/>?c

事“Bd2gBd

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，令枕跡對應(yīng)的圓心角為a,則粒子在磁場中運(yùn)動

的時(shí)間，=徐丁=熟片，可知就跡對應(yīng)圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，故當(dāng)粒

3OU1oU（JL5

子從），軸離開磁場時(shí)，軌跡對應(yīng)圓心角最大，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長，根據(jù)幾何關(guān)系可

知，此時(shí)軌跡對應(yīng)的圓心角為300。。因?yàn)榱Ｗ釉诖艌鲋羞\(yùn)動的最長時(shí)間是最短時(shí)間的5倍，

2

則運(yùn)動時(shí)間最短時(shí)對應(yīng)的軌跡的圓心角為60。，由于/4=寫~,解得R=吟，速度越大，枕

ACfn

道半徑越大，在上述磁場中運(yùn)動時(shí)間越短，所以最大速度粒子對應(yīng)的時(shí)間最短，即其軌跡對

應(yīng)的圓心角為60°,由幾何關(guān)系可知粒子將垂直于磁場右邊界飛出磁場，則有d=Rsin60。，

解得軌道半徑為結(jié)合上述解得最大速度為如=叫等，故選B。

6.（5分）如圖是帶電粒子收集器的示意圖，直角三角形人8c區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外、

磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為4的勻強(qiáng)磁場，AC邊長為L,NA=30。。一束帶正電的粒子流以相同速度

在C。范圍內(nèi)垂直AC邊射入，從。點(diǎn)射入的粒子恰好不能從A4邊射出。已知從BC邊垂直

射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為夕，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子所用時(shí)間為4/,則

（C）

A.粒子的比荷為良

B.粒子運(yùn)動的軌跡半徑為點(diǎn)心

C.粒子射入磁場的速度大小為普

D.這束粒子在磁場中掃過的面積為售詈Z?

解析：從8C邊垂直射出的粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為3f=￡,解得運(yùn)動周期7=121,根

據(jù)洛倫茲力提供向心力得卯8=華，7=岑，可知/=繆，解得三=梟，故A錯(cuò)誤；在磁

K0（/￡>1110151

場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，4/=TT,^=TX360°=120°,由幾何關(guān)系有R

JJ

sin30°+黑。=」,解得故B錯(cuò)誤；由qvB=^~,解得。=照，故C正確；粒子

COSOU3A10/

D2Ig

在磁場中掃過的面積如圖中灰色部分所示，則5=凡/^^30。+呼=胃勺？，故D錯(cuò)誤。

7.（5分）（多選）（2024.山東濟(jì)南高三質(zhì)檢）根據(jù)地磁監(jiān)測數(shù)據(jù)，從北京時(shí)間2024年3月24

H23時(shí)開始，到3月25日23時(shí)為止，地球經(jīng)歷了一場持續(xù)3小時(shí)的特大地磁暴，6小時(shí)中

等地磁暴，地磁暴是太陽活動帶來的一種自然災(zāi)害，它是由太陽帶電粒子對地球磁場的干擾

引起的。某同學(xué)針對此現(xiàn)象展開以下理論推導(dǎo)，假設(shè)在直角三角形AC。區(qū)域內(nèi)存在著垂直平

面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,A。邊存在粒子收集器，已知NACO=30。，DA邊

的長度為L有一群質(zhì)量為〃?、電荷量為，/的帶負(fù)電粒子以不同的速度從C。邊的中點(diǎn)垂直

CD邊射入磁場中，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，則能從AD邊收集到的粒子的速

度可能為（CD）

小qBL2小網(wǎng)

jm3/n

小qBL小qBL

J2mJ4w

解析：粒子從E點(diǎn)垂直CD邊射入，若粒子恰好從。點(diǎn)射出，則由幾何關(guān)系可知其運(yùn)動

半徑,二九A）。=乎心，根據(jù)亞出=/*可得了=1產(chǎn)，若粒子枕跡與AC邊相切，則由

幾何關(guān)系可知9=；［上>=坐心，根據(jù)=/滯可得。2="|誓匕可知粒子能被AQ邊收

4Idl1DU412

集到的速度范圍為吟髻穹警，故選CD。

/亞綜合提升4

8.（5分）如圖所示，在絕緣板MN上方分布了水平方向的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面向

里。距離絕緣板d處有一粒子源S,能夠在紙面內(nèi)不斷地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射電荷量為〃、質(zhì)

量為機(jī)、速率為。的帶正電粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，已知粒子做圓周運(yùn)

動的半徑也恰好為d，則（B）

A.粒子能打到板上的區(qū)域長度為26d

B.能打到板上最左側(cè)的粒子所用的時(shí)間常

C.粒子從發(fā)射到打到板上的最長時(shí)間喏

D.同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到板上的最大時(shí)間差為當(dāng)

解析：粒子受到的洛倫茲力提供向心力，粒子運(yùn)動的軌跡半徑/?=，粒子運(yùn)動到絕綠板

的兩種臨界情況如圖甲所示，由幾何關(guān)系可知，左側(cè)最遠(yuǎn)處與5之間的距離恰好是圓的直徑,

則左側(cè)最遠(yuǎn)處A到C距離為小d,右側(cè)離C最遠(yuǎn)處為優(yōu)距離為d,所以粒子能打在板上的

區(qū)域長度是（小+1）4,故A錯(cuò)誤；左側(cè)最遠(yuǎn)處與S之間的距離恰好是圓的直徑，所以從S到

A的時(shí)間恰好是半個(gè)周期，則人=亨=空=邛，故B正確：打在板上的粒子中，在磁場中運(yùn)

?nJ

動時(shí)間最長和最短的粒子運(yùn)動軌跡示意圖如圖乙所示，粒子做整個(gè)圓周運(yùn)動的周期7'=十,

由幾何關(guān)系可知，最短時(shí)間/2=17=粉，最長時(shí)間/|=17=巖^,△/=0-/2=[^,故C、D

錯(cuò)誤。

9.（5分）（2024?四川自貢高三診斷）一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為4,方向垂直于紙面向

外，其邊界如圖中虛線所示，ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子，在紙面內(nèi)從。點(diǎn)垂

直于,力射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。已知『He粒子的質(zhì)

量為3〃?，電荷量為僅下列說法正確的是（C）

..........*.t*.*.:

ab：：：：：ef

c.........d

A.粒子能到達(dá)de中點(diǎn)

B.從/“?邊界射出的粒子運(yùn)動時(shí)間相等

C.在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動速率為。=署

D.粒子在磁場中運(yùn)匆的最長時(shí)間為舞

?LC{r>

解析：加e粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，故跡如圖甲所示，由圖可知，粒子要在。cde

區(qū)域運(yùn)動，在經(jīng)e點(diǎn)時(shí)就跡半徑最大，此時(shí)粒子沒能到達(dá)"e中點(diǎn)，因此粒子不能到達(dá)"e中

點(diǎn),A錯(cuò)誤；

設(shè)粒子的運(yùn)動就逃過，"加上的某一點(diǎn)g,O為粒子做圓周運(yùn)動軌跡的圓心，當(dāng)NCag最

大時(shí)，粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動時(shí)間最長，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)c點(diǎn)與g

點(diǎn)重合時(shí)，粒子運(yùn)動時(shí)間最長，即從秘邊界射出的粒子運(yùn)動時(shí)間不相等。如圖乙所示，設(shè)運(yùn)

動半徑為R,由幾何關(guān)系有(2L—R)2+Z?=R2,解得R=],已知外怙粒子的質(zhì)量為36，電荷

量為久其在磁場中做勻這圓周運(yùn)動，本qvB=3睚,解得。=鬻"，B錯(cuò)誤，C正確：^He

粒子在磁場中運(yùn)動的周期為7=邛=震，在△。機(jī)?中，設(shè)/反九?為a,NaOc?為仇由幾何

T4

關(guān)系可得tana=『=彳，可得a=53°,8=180°—53°=127°,則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)

360。―127。233°233兀小

間為/=~360°-r-360°r-60qBD錯(cuò)誤。

10.(15分)如圖所示，邊長為￡的正三角形4CQ是用絕緣材料制成的固定框架，史在垂

直框架平面向里的勻強(qiáng)磁場中，AO邊的中點(diǎn)有一小孔S,在框架平面內(nèi)垂直A。方向從小孔

S射入質(zhì)量為加、電荷量為+6/的粒子。已知粒子射入框架時(shí)速率為。，與框架的碰撞為彈性

碰撞，粒子重