中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方程與不等式

一.解答題（共20小題）

1.閱讀下列材料：

我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；tiPU-|=|x-0|,這個(gè)結(jié)論可以推廣

為R-刈表示在數(shù)軸上數(shù)可、X2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；在解題過程中，我們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用絕對(duì)值的兒

何意義來幫助我們分析問題.

例如在解含有絕對(duì)值的方程|x-2|=1時(shí)，我們可以利用絕對(duì)?值的幾何意義把問題理解成在數(shù)軸上

找一點(diǎn)到2的距離等于1,如圖1所示，顯然這樣的點(diǎn)有2個(gè)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1,3,即原方程

的解為x=l或x=3；并且我們還可以把圖中陰影部分理解成到2的距離大于1的點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)

應(yīng)的取值范圍，即不等式田-2|>1的解可表示為x>3或x<l；同樣的，我們可以利用絕對(duì)值的幾

何意義把解方程k+11+Q2|=5的過程理解成在數(shù)軸上找到一點(diǎn)使它與-1和2的距離之和為5.

.|：二*：|,

-2-1O1234

圖1圖2

（I）參考以上閱讀材料，回答下列問題：

①求出方程k+3|=2的解為；

②若m=|x-2|-|x+4|,則m的取值范圍可表示為;

（2）現(xiàn)給出如下定義；對(duì)于數(shù)軸上的任意點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離為d（420）,則稱4

為點(diǎn)P到點(diǎn)Q的追隨值，記作d[PQ].例如，在數(shù)軸上點(diǎn)〃表示的數(shù)是2,點(diǎn)Q表示佗數(shù)是?5,

則點(diǎn)尸到點(diǎn)Q的追隨值為小PQ]=7.如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是1,在數(shù)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、8都沿

著正方向同時(shí)移動(dòng)，其中A點(diǎn)的速度為每秒3個(gè)單位，3點(diǎn)的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)4從點(diǎn)C

出發(fā)，點(diǎn)8從點(diǎn)。出發(fā)，點(diǎn)。表示的數(shù)是〃，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/>0）.

①當(dāng)〃=4時(shí)，問/為何值時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)8的追隨值成人用=2；

②若0</W3時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)笈的追隨值"[AH]W7,求〃的取值范圍.

-3-2-1012345678

2.已知關(guān)于x的多項(xiàng)式（〃+16）/-2?2"+9是二次多項(xiàng)式.如圖1,在數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，

且A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是〃、b、-21.有兩條動(dòng)線段PQ和MN（點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)

N與點(diǎn)、B重合,且點(diǎn)尸在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），尸Q=4,MN=8,線段MN從點(diǎn)8

開始沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，線段PQ

立即以相同的速度返回，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段PQ、MN同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒

（整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ和MN保持長度不變）.

（1）直接依次寫出。、）的值：。=,b=；

（2）如圖2,若線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)8開始沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ

以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C、Q、M中任意一點(diǎn)為其他兩點(diǎn)構(gòu)成

線段的中點(diǎn)時(shí)，求時(shí)間/;

（3）如圖3,若線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B開始沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ以每

秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩條線段有重合部分時(shí)，線段PQ的速度變?yōu)?/p>

4

原來的三倍，線段MN的速度變?yōu)樵瓉淼?倍，當(dāng)重合部分消失后速度恢復(fù)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段

PQ和MN重合部分長度為I時(shí)所對(duì)應(yīng)的t的值.

CA0B

圖1

PQMN

1■■j

CA0B

圖2

PQMN

111j

CA0B

圖3

3.汛期即將來臨.防汛指揮部在某水域?危險(xiǎn)地帶的兩岸各安置了?探照燈.便于夜間察看河水及

兩岸河堤的情況.如圖1，探照燈A射出的光束自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，探照燈4射

出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至6Q便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若探照燈A射出的光束的

轉(zhuǎn)動(dòng)速度是//秒，探照燈8射出的光束的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是///秒，且小〃滿足|a?3〃|+（什〃-4）2

=0.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即且/B4N=45°.

（1）求a,力的值.

（2）如圖2,兩探照燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在探照燈A射出的光束到達(dá)AN之前，兩探照燈射出的光束交

于點(diǎn)C,若N8CA=70°,求N84C的度數(shù).

（3）若探照燈3射出的光束先轉(zhuǎn)動(dòng)4（）秒，探照燈4射出的光束才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在探照燈3射出的

光束第一次到達(dá)6Q之前，當(dāng)兩探照燈的光束互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出探照燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間.

4.【問題背景】江津?yàn)I江路視野開闊，風(fēng)景怡人.濱江路上A和6兩地之間相距大約5千米，小明

騎電動(dòng)車從A地出發(fā)，以1千米/分鐘的速度向8地方向勻速行駛.小華騎自行車從8地出發(fā)，以

0.5千米/分鐘的速度向人地方向勻速行駛.兩人同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾分鐘小明、小華之間相距1千

米？

【問題解決】小豐同學(xué)在學(xué)習(xí)了《有理數(shù)》之后，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法建立數(shù)軸可以較快地

解決上述問題：如圖，將濱江路抽象為一條數(shù)軸，將點(diǎn)A與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，點(diǎn)8表示數(shù)5.小

明和小華分別用動(dòng)點(diǎn)P、。來表示，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1分鐘.

（1）/分鐘后點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)是；（用含/

的代數(shù)式表示）

（2）我們知道，如果數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)〃?，〃，則MN=依-〃試運(yùn)用該方法求經(jīng)過

幾分鐘P,。之間相距1千米？

（3）在A8上有一個(gè)標(biāo)記位置C,AC=4,若點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離為“，點(diǎn)。與點(diǎn)B之間的距

離為b.在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻/，使得。+〃=3?若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存

—?<—

4EcgB

在，請(qǐng)說明理由.o5

5.【問題初探】

（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1,點(diǎn)4在數(shù)軸上表示的數(shù)是2,點(diǎn)B在數(shù)軸上

表示的數(shù)是-3,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)

Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒，當(dāng)PQ=9時(shí)，求/的值.

①小強(qiáng)同學(xué)根據(jù)行程問題中的追及問題，給出如下思路：點(diǎn)尸與點(diǎn)。在起始位置時(shí)，PQ=5,點(diǎn)

。與點(diǎn)Q同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在前，點(diǎn)。在后，點(diǎn)Q每秒比點(diǎn)P多運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長度，從而可列

方程求解.

②小穎同學(xué)利用點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)求兩點(diǎn)間的距離，給出如下思路：用含/的代數(shù)式分別表示出

點(diǎn)P與點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)，根據(jù)PQ=9,從而可列方程求解.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路寫出求解過程.

（2）f為何值時(shí)，1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過景點(diǎn)C?并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車札遇過的次

數(shù).

發(fā)現(xiàn)：如圖2,游客甲在8。上的一點(diǎn)K（不與點(diǎn)8,C重合）處候車，準(zhǔn)備乘車到出口人，設(shè)CK

=x米.

情況一：若他剛好錯(cuò)過2號(hào)車，便搭乘即將到來的1號(hào)車；

情況二：若他剛好錯(cuò)過I號(hào)車，便搭乘即將到來的2號(hào)車.

比較哪種情況用時(shí)較多？（含候車時(shí)間）

決策：已知游客乙在DA上從D向出口A走去.步行的速度是50米/分.當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P（不

與點(diǎn)。，A重合）時(shí)，剛好與2號(hào)車迎面相遇.

（1）他發(fā)現(xiàn)，乘1號(hào)車會(huì)比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少，請(qǐng)你簡要說明理由；

（2）設(shè)用=s（0<5<800）米.若他想盡快到達(dá)出口人，根據(jù)s的大小，在等候乘1號(hào)車還是步

行這兩種方式中.他該如何選擇？

7.實(shí)驗(yàn)與操作：

小明是一位動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)，他用橡皮泥做成一個(gè)棱長為4cM的正方體.

（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長為的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊

的表面積為cm2；

（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個(gè)邊長

為1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為cm2；

（3）如果把（I）、（2）中的邊長為的通孔均改為邊長為（a^l）的通孔，能否使橡皮

泥塊的表面枳為U8o〃2?如果能，求出處如果不能，請(qǐng)說明理由.

8.在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差

公式和完全平方公式.

這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

【研完速算】

提出問題：47X43,56X54,79X71,…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10論兩個(gè)兩位

數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面枳表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47X43為例：

(1)畫長為47,寬為43的矩形，如圖3,將這個(gè)47X43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,

拼接到原矩形上血.

(2)分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47X43的矩形面積或(40+7+3)X40的矩

形與右上角3X7的矩形面積之和，即47X43=(40+10)X40+3X7=5X4X100+3X7=2021.

用文字表述47X43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100,加上個(gè)位數(shù)字3

與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果.

歸納提煉：

兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表

述).

【研究方程】

提出問題：怎樣圖解一元二次方程/+Zr-35=0(x>0)?

幾何建模：

(1)變形：x(1+2)=35.

(2)畫四個(gè)長為.葉2,寬為x的矩形，構(gòu)造圖4

(3)分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，(x+x+2)2或四個(gè)長工+2,寬x的

矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積.

即(X+A-+2)2=4X(X+2)+22

Vx(x+2)=35

:.(x+x+2)2=4X35+22

???(2x+2)2=144

Vx>0

歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x>0,b>0,c>0）的解.

要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)

線段的長）

【研究不等關(guān)系】

提出問題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的人小關(guān)系（其中y>0）?

幾何建模：

（1）畫長）葉3,寬y+2的矩形，按圖5方式分割

(2)變形：2y+5=(>-+3)+()葉2)

（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（>3）（廣2）；陰影部分面枳可以表示為（），+3）

XI,畫點(diǎn)部分的面積可表示為），+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）>（y+3）+

（y+2）,即（），+3）（），+2）>2y+5

歸納提煉：

當(dāng)〃>2,〃>2時(shí)，表示疝與a+力的大小關(guān)系.

根據(jù)題意，設(shè)。=2+加，》=2+〃（m>0,〃>0）,要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾

何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）

9.請(qǐng)閱讀下列材料:

問題：已知方程/+工-1=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為■則），=2x所以后冬

把尸哥弋入已知方程，得弓）2+5一1=0

222

化簡，得）2+2y-4=0

故所求方程為1y2+2），-4=0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求；把所求方程化為一般形式）；

（1）已知方程/+x-2=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求

方程為：:

（2）已知關(guān)于x的一元二次方程or2+云+c=0有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，

使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).

10.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：解一元二次不等式f-4>0

解：V?-4=（x+2）（x-2）

A?-4>0可化為

（x+2）（X-2）>0

由有理數(shù)的乘法法則”兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得

產(chǎn)>0,2+2<0

解不等式組①，得x>2,

解不等式組②，得xV?2,

???（x+2）（x-2）>0的解集為總>2或xV-2,

即一元二次不等式f-4>0的解集為x>2或x<-2.

（1）一元二次不等式16>0的解集為；

r—1

（2）分式不等式一二>0的解集為______________;

x-3

（3）解一元二次不等式2??3xV0.

11.書籍是人類進(jìn)步的階梯！為愛護(hù)書一般都將書本用封皮包好.

問題I：現(xiàn)有精裝詞典長、寬、厚尺寸如圖（1）所示（單位：cm）,若按圖（2）的包書方式，

將封面和封底各折進(jìn)去357.試用含4、仄C的代數(shù)式分別表示詞典封皮（包書紙）的長是

cm,寬是cni\

ccm

圖⑴圖（2）

問題2：在如圖（4）的組形包書紙皮示意圖中，虛線為折痕，陰影是裁剪掉的部分，匹角均為大

小相同的正方形，正方形的邊長即為折疊進(jìn)去的寬度.

（1）若有一數(shù)學(xué)課本長為26c7〃、寬為18.5°,〃、厚為Ion,小海寶用一張面積為1260m/的矩形

紙包好了這本數(shù)學(xué)書，封皮展開后如圖（4）所示.若設(shè)正方形的邊長（叩折疊的寬度）為x

則包書紙長為cm,寬為cm（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）請(qǐng)幫小海寶列好方程，求出第（1）題中小正方形的邊長xcm.

12.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：

設(shè)NB/lC=e（0。<0<903）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線

AB,ACAL.

活動(dòng)一：

如圖甲所示，從點(diǎn)4開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，AIA2為第1根

小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)A4I=AIA2=A*3=1.

①。=度;

②若記小棒A2”.1A2M的長度為曲（〃為正整數(shù),如442=41，A3A4=。2,…）求出此時(shí)02,43的

值，并直接寫出?。ㄓ煤ǖ氖阶颖硎荆?

國甲

活動(dòng)二：

如圖乙所不，從點(diǎn)4升始，用等長的小棒依次向右擺放，其中4A2為第1根小棒，且4A2=A4I.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若己經(jīng)擺放了3根小棒，01=,02=,03=；（用含0的式

子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求8的范圍.

圖7,

13.十一屆全國人大常委會(huì)第二十次會(huì)議審議的個(gè)人所得稅法修正案草案（簡稱“個(gè)稅法草案”），

擬將現(xiàn)行個(gè)人所得稅的起征點(diǎn)由每月2000元提高到3000元,并將9級(jí)超額累進(jìn)稅率修改為7級(jí)，

兩種征稅方法的1?5級(jí)稅率情況見下表：

稅現(xiàn)行征稅方法草案征稅方法

級(jí)月應(yīng)納稅額工稅率速算扣除數(shù)月應(yīng)綱稅額X稅率速算扣除數(shù)

1xW5005%0xW15005%0

2500V.W200010%251500VxW450010%

3200()VxW500015%1254500<x<900020%

4500020%375900025%975

2000035000

520000<x<25%137535000?30%2725

4000055000

注：“月應(yīng)納稅額”為個(gè)人每月收入中超出起征點(diǎn)應(yīng)該納稅部分的金額.

“速算扣除數(shù)”是為快捷簡便計(jì)算個(gè)人所得稅而設(shè)定的一個(gè)數(shù).

例如：按現(xiàn)行個(gè)人所得稅法的規(guī)定，某人今年3月的應(yīng)納稅額為2600元，他應(yīng)繳稅款可以用下面

兩種方法之一來計(jì)算：

方法一：按1?3級(jí)超額累進(jìn)稅率計(jì)算，即500乂5%+1500乂10%+600乂15%=265（元）.

方法二：用“月應(yīng)納稅額x適用稅率-速算扣除數(shù)”計(jì)算，即2600X15%-125=265（元）.

（1）請(qǐng)把表中空缺的“速算扣除數(shù)”填寫完整；

（2）甲今年3月繳了個(gè)人所得稅1060元，若按“個(gè)稅法草案”計(jì)算，則他應(yīng)繳稅款多少元？

（3）乙今年3月繳了個(gè)人所得稅3千多元，若按“個(gè)稅法草案”計(jì)算，他應(yīng)繳的稅款恰好不變,

那么乙今年3月所繳稅款的具體數(shù)額為多少元？

14.十字形的路口，東西、南北方向的行人車輛來來往往，車水馬龍.為了不讓雙方擠在一起，紅綠

燈就應(yīng)動(dòng)而生，一個(gè)方向先過，另一個(gè)方向再過.如在南稍門的十字路口，紅燈綠燈的持續(xù)時(shí)間

是不同的，紅燈的時(shí)間總比綠燈長.即當(dāng)東西方向的紅燈亮?xí)r，南北方向的綠燈要經(jīng)過若干秒后

才亮.這樣方可確保十字路口的交通安全.

那么，如何根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置紅綠燈的時(shí)間差呢？

如圖所示，假設(shè)十字路口是對(duì)稱的，寬窄一-致.設(shè)十字路口長為〃，米，寬為〃米.當(dāng)綠燈亮?xí)r最

后一秒出來的騎車人A,不與另一方向綠燈亮?xí)r出來的機(jī)動(dòng)車輛4相撞，即可保證交通安全.

根據(jù)調(diào)查，假設(shè)自行車速度為4〃心，機(jī)動(dòng)車速度為若紅綠燈時(shí)間差為/秒.通過上述數(shù)據(jù)，

請(qǐng)求出時(shí)間差，要滿足什么條件時(shí)，才能使車人不相撞.當(dāng)十字路口長約64米，寬約16米，路口

實(shí)際時(shí)間差t=Ss時(shí)，騎車人A與機(jī)動(dòng)車B是否會(huì)發(fā)生交通事故？

15.閱讀下列內(nèi)容后，解答下列各題：幾個(gè)不等于。的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.

例如：考查代數(shù)式(x-1)(x-2)的值與0的大小

當(dāng)xVl時(shí)，x-KO,x-2<0,:.(X-1)(x-2)>0

當(dāng)1VXV2時(shí),x-1>0,x-2V0,J(A--1)(x-2)<0

當(dāng)x>2時(shí),1>0,x-2>0，J(x-1)(x-2)>0

綜上：當(dāng)1VXV2時(shí)，(x-1)(x-2)<0

當(dāng)xVl或x>2時(shí)，(x-1)(x-2)>0

(1)填寫下表：(用“+”或“-”填入空格處)

(2)由上表可知，當(dāng)x滿足時(shí)，梟+2)(A+1)(x-3)(x-4)<0；

(3)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出當(dāng)x滿足時(shí)，(x-7)(x+8)(x-9)<

0.

xV-2-2<x<-1-l<x<33<x<4x>4

A+2++++

A+1--十十十

x-3---++

x-4----+

(x+2)(x+1)+-+

(x-3)(x

-4)

16.閱讀下列材料:

我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離：即因=卜-0|，也就是說，僅|表示在

數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離;

這個(gè)結(jié)論可以推廣為I.ILX2I表示在數(shù)軸上數(shù)XI,.12對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離;

在解題中，我們會(huì)常常運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義:

例1：解方程R=2.容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2,即該方程的x=±2；

例2：解不等式|x-">2.如圖，在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為

-1,3,則|x-1|>2的解為xV-1或x>3；

例3：解方程卜-l|+|x+2|=5.由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之

和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值.在數(shù)軸上，1和-2的距離為3,滿足方程的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或-2

的左邊.若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，如圖可以看出x=2；同理，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在-2的左邊，可得x=

-3.故原方程的解是x=2或x=-3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程氐+3|=4的解為：

（2）解不等式|x-3|+|x+4|29；

（3）若-3|-對(duì)任意的x都成立，求a的取值范圍.

17.閱讀并解答：

①方程f-2x+l=0的根是XI=X2=1,則有Xl+X2=2,X\X2=1.

②方程Zv2-X-2=0的根是XI=X2=’則有X\+X2=I，X\X2=-1.

③方程3X2+4X-7=0的根是XI=-Z,X2=l,則有Xl+X2=X\X2=-Z.

（1）根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想：如果關(guān)于k的一元二次方程（.#（））有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

為X2,那么R,X2與系數(shù)4、b、C有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明你的猜想；

（2）利用你的猜想結(jié)論，解次下面的問題；

已知關(guān)于x的方程,+（2A+1）x+F-2=0有實(shí)數(shù)根川，.⑵且靖+m2=1],求&的值.

18.先閱讀，再填空解答：

方程x2-3x-4=0的根是：xi=-1,xi=4,則XI+X2=3,XIX2=-4；

48

-

方程3廠+10/8=0的根是：川=-2,x=一3

23T學(xué)，3

（1）方程2x~+x-3=0的根是：XI=,X2=,則X]+X2

=9X\X2=；

（2）若用，a是關(guān)于x的一元二次方程ai2+bx+c=0（a區(qū)0,且a,b,c為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

那么X\+X2?XIX2與系數(shù)a,byC的關(guān)系是：X\+X2=,X\X2

（3）如果xi,X2是方程』+x-3=0的兩個(gè)根，根據(jù)（2）所得結(jié)論，求用2+m2的值.

19.附加題：（如果你的全卷得分不足150分，則本題的得分將計(jì)入總分，但計(jì)入總分后全卷不得超

過150分）

（I）解方程x（x-1）=2.

有學(xué)生給出如下解法：

Vx（x-1）=2=1X2=（-1）X（-2）,

??蓋L或仁乙或憶二-2或kIL

解上面第一、四方程組，無解；解第二、三方程組，得x=2或x=-l.

/.x=2或x=-1.

請(qǐng)問：這個(gè)解法對(duì)嗎？試說明你的理由.

（2）在平面幾何中，我們可以證明：周長一定的多邊形中，正多邊形面積最大.

使用上邊的事實(shí)，解答下面的問題：

用長度分別為2,3,4,5,6（單位：c切）的五根木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折

斷），求能夠圍成的三角形的最大面積.

20.下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它解的集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖，若方程組集合中的方程組自左

至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、…方程組〃.

方程組集合

對(duì)應(yīng)方程組

解的集合

(1)將方程組1的解填入圖中;

(2)請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，將方程組〃和它的解直接填入集合圖中;

⑶若方程組匕*I二1?的解是匕二%求機(jī)的值，并判斷該方程組是否符合(2)中的規(guī)律?

(X-Tny_io(y——v

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方程與不等式

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.閱讀下列材料：

我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|x|=|x?0|,這個(gè)結(jié)論可以推廣

為㈤-X2|表示在數(shù)軸上數(shù)與、X2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；在解題過程中，我們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用絕對(duì)值的幾

何意義來幫助我們分析問題.

例如在解含有絕對(duì)值的方程伙-21=1時(shí)，我們可以利用絕對(duì)值的兒何意義把問題理解成在數(shù)軸上

找一點(diǎn)到2的距離等于1,如圖1所示，顯然這樣的點(diǎn)有2個(gè)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1,3,即原方程

的解為4=1或X=3；并且我們還可以把圖中陰影部分理解成到2的距離大于1的點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)

應(yīng)的取值范圍，即不等式仇?2]>1的解可表示為x>3或xVl；同樣的，我們可以利用絕對(duì)值的幾

何意義把解方程卜+11+僅-2|=5的過程理解成在數(shù)軸上找到一點(diǎn)使它與-1和2的距離之和為5.

（I）參考以上閱讀材料，回答下列問題：

①求出方程|x+3|=2的解為-5或-I；

②若巾=|x-2|-卜+4|,則w的取值范圍可表示為-6WZ6；

（2）現(xiàn)給出如下定義：對(duì)于數(shù)軸上的任意點(diǎn)P、Q,若點(diǎn)〃到點(diǎn)。的距離為d1/20）,則稱d

為點(diǎn)P到點(diǎn)Q的追隨值，記作d[PQ].例如，在數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)是2,點(diǎn)Q表示的數(shù)是-5,

則點(diǎn)夕到點(diǎn)。的追隨值為$PQ]=7.如圖，點(diǎn)。表示的數(shù)是1,在數(shù)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、3都沿

著正方向同時(shí)移動(dòng)，其中A點(diǎn)的速度為每秒3個(gè)單位，8點(diǎn)的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)A從點(diǎn)C

出發(fā)，點(diǎn)8從點(diǎn)。出發(fā)，點(diǎn)。表示的數(shù)是〃，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/（f>0）.

①當(dāng)〃一4時(shí)，問，為何值時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)8的追隨值譏A陰一2；

②若0<W3時(shí)?，點(diǎn)A到點(diǎn)B的追隨值d[AB]W7,求〃的取值范圍.

-3-2-1012345678

【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】壓軸題；模型思想.

15

【答案】（I）①x=-I或x=-5；②-6W〃W6；（2）①U得秒或一秒；②0W〃W8.

【分析】（I）①根據(jù)材料可以知道，要求解|%+3|=2,可以把等式變形為卜一（-3）|=2,我們可

以利用絕對(duì)值的幾何意義把問題理解成在數(shù)軸上找一點(diǎn)到-3的距離等于2,顯然這樣的點(diǎn)有2個(gè),

對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為x=?5或I=?1.

②根據(jù)題意可知，工分三種情況：xV?4或?4VxV2或工>2,分別求解即可.

(2)①由題意可知，當(dāng)〃=4時(shí)，即。點(diǎn)位置表示的數(shù)為4,那么么滿足避40=2的點(diǎn)有兩個(gè),

進(jìn)而判斷可以得解；

②由題意可知，0W/W1時(shí)，可知IV〃W7,即可得出答案.

【解答】解：(1)①當(dāng)x>-3時(shí)，，|x+3|=x+3=2,解得X=-1,當(dāng)kV-3時(shí)，以+3尸-x-3=

2,解得x=-5；

故答案為：?1或-5.

②當(dāng)x<-4時(shí)，m=\x-2|-|A+4|=?X+2+X+4=6；

當(dāng)-4<x<2時(shí)，機(jī)=|x-2|-卜+4|=-x+2-x-4=-lx-2.

??-4<x<2,

:.-8<2r<4.

:.-4<-2A<8.

:.-6<-2A-2<6.

/.-6</zz<6.

當(dāng)x>2時(shí)，m=|x-2|-|x+4|=x-2-x-4=-6.

綜上，-6W/〃W6.

故答案為：-6&mW6.

(2)①①根據(jù)題意，點(diǎn)4所表示的數(shù)為1+33點(diǎn)B所表示的數(shù)為4+3

：.AB=\4+t-(l+3r)|=|3-2t\,

???AB=2,

???|3-2t\=2,

當(dāng)3?2『=2時(shí)，解得/=%當(dāng)3?2/=-2時(shí)，解得，=今

**./的值為:或q.

22

②當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)A左側(cè)或者重合時(shí)，此時(shí)〃《1,隨著時(shí)間的增大，4和8之間的距離會(huì)越來越大,

,.?0VW3時(shí)，點(diǎn)4到點(diǎn)8的d追隨值d[AB]W7,

1-n+3X(3-1)W7,

解得OW〃W1.

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，此時(shí)〃>1,

在A、8不重合的情況下，A和B之間的距離會(huì)越來越小，

當(dāng)〃=8時(shí)，兩點(diǎn)原始距離等于7,符合題意,

???后8,

???1V〃W8.

綜合兩種情況，〃的取值范圍是06〃W8.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及數(shù)軸的知識(shí)，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解決此題的關(guān)

鍵.

2.已知關(guān)于x的多項(xiàng)式（〃+16）--2/2"+9是一次多項(xiàng)式.如圖I,在數(shù)軸上有A、仄C三個(gè)點(diǎn)，

且4、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a、b、-21.有兩條動(dòng)線段PQ和MN（點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)

N與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），PQ=4,MN=8,線段MN從點(diǎn)8

開始沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，線段PQ

立即以相同的速度返回，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段P。、MN同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒

（整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ和MN保持長度不變）.

（1）直接依次寫出〃、%的值：a=-16,b=20；

（2）如圖2,若線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B開始沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ

以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C、Q、M中任意一點(diǎn)為其他兩點(diǎn)構(gòu)成

線段的中點(diǎn)時(shí)，求時(shí)間『；

（3）如圖3,若線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B開始沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ以每

秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩條線段有重合部分時(shí)，線段PQ的速度變?yōu)?/p>

4

原來的3倍，線段MN的速度變?yōu)樵瓉淼?倍，當(dāng)重合部分消失后速度恢復(fù)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段

PQ和重合部分長度為1時(shí)所對(duì)應(yīng)的I的值.

CA0B

圖1

PQMN

111.

CA0R

圖2

PQMN

11j

CA0B

圖3

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；數(shù)軸；多項(xiàng)式.

【專題】計(jì)算題：壓軸題：運(yùn)算能力.

【答案】（1）-16,20.

(2)時(shí)間為杪或飛■杪或24杪.

43,53,33,,

(3)時(shí)間為二■秒二■秒或T秒或22秒.

662

【分析】(I)由(〃+16)/-2*2"+9是二次多項(xiàng)式，得。+16=0,22=2,再計(jì)算即可.

(2)①當(dāng)點(diǎn)。未到達(dá)點(diǎn)B之前，Q表示的數(shù)為-16+3，，M表示的數(shù)為20-8-/=12-八當(dāng)。為

CM中點(diǎn)時(shí)，得-16+3/-(-21)=12-/-(-16+3/),解得/=*.當(dāng)M為CQ中點(diǎn)時(shí)，得12

~t-(-21)=(-16+3/)-(12-/)?解得t=第.②當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B之后，Q表示的數(shù)為

56-3/,例表示的數(shù)為20-8-=12-/.當(dāng)M為CQ中點(diǎn)時(shí)，得12-f-(-21)=56-3/-(12

-/),解得f=ll,經(jīng)檢驗(yàn)，不適合，舍去.當(dāng)Q為CM中點(diǎn)時(shí)，得56-3L(-21)=(12-8

-(56-3。，解得f=24.

(3)當(dāng)。與M相遇時(shí)，得相遇時(shí)間為：[20-8-(-16)]4-(3+1)=7(秒)，當(dāng)。位于M右

側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，時(shí)間為：1+(3xg+lX2)=|(秒)，共用時(shí)?：7+|=^(秒).當(dāng)P位

于N左側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，得13?17)+(3x4+lX2)=段(秒)，共用時(shí)：7+#="(秒).當(dāng)

3boo

P與N相遇時(shí)，相遇時(shí)間為：(13-1)+(3x:+1X2)=2(秒)，共用時(shí)：7+2=9(秒)，

當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，時(shí)間為：(20-13)+3=<(秒)，共用時(shí)：9+4二善(秒)，當(dāng)。追上N時(shí)，

時(shí)間為：(16-郛+(3-1)=竽(秒)，共用時(shí)：蘭+2=16(秒)，當(dāng)。位于N左側(cè)1

個(gè)長度單位時(shí)，得時(shí)間為1+(3x*lX2)=鼻秒)，共用時(shí)：16+2=苧(秒).當(dāng)”位于

Q左側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，時(shí)間為:[6-(-6)-l]-r(3x^-1X2)=告(秒),共用時(shí)：/~+—=--

J。266

(秒).

【解答】解：(1)???("16)/-2?2-。9是二次多項(xiàng)式.

?"16=0,22-6=2,

：.a--16,。-20.

故答案為:-16,20.

(2)①當(dāng)點(diǎn)Q未到達(dá)點(diǎn)8之前，

Q表示的數(shù)為?16+3，，M表示的數(shù)為20-8-Z=I2-z.

當(dāng)。為CM中點(diǎn)時(shí)，CQ=CM,

如圖：

—>QM<——

II------.1.1

CA0B

A-16?3r-(-21)=12-t-

23

當(dāng)M為CQ中點(diǎn)時(shí)，CM=MQ,

如圖:

----------?Q

CA0*B

A12-/-(-21)=(-16+3/)-(12-f),

61

Z=T-

②當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B之后,

Q表示的數(shù)為20—{20-(-16)}=56?3r,M表示的數(shù)為20?8T=12T.

當(dāng)M為CQ中點(diǎn)時(shí)，CM=QM,

A12-r-(-21)=56-3f-(12-z),

當(dāng)f=Il時(shí);。從4出發(fā)，位于：-16+3X11=17,未到8,故舍去.

當(dāng)。為CM中點(diǎn)時(shí)，CQ=MQ,

如圖:

A56-3/-(-21)=(12-r)-(56-3/),

Ar=24.

2361121

綜上所述，時(shí)間為7T秒或二秒或丁.

755

2361

答：時(shí)間為7秒或W秒或24秒.

(3)當(dāng)Q與M相遇時(shí)，如圖:

5

PQ

□——i=^|.J

CA°1M

相遇時(shí)間為：［20?8-(-16)吐(3+1)=7(秒)，

此時(shí)，。、何位于：-16+7X3=5,

位于；-16-4i3X7=l,N位于；13.

當(dāng)Q位于M右側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，如圖:

41

?秒

--(共用時(shí)：（秒）.

時(shí)間為:36X7+9=V

當(dāng)。位于N左側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，如圖：

，一P■—/一

CAW，B

MN

時(shí)間為：（13-1-1）（3x1+1X2）=同（秒），共用時(shí):7+^=^（秒）.

當(dāng)p與N相遇時(shí)，如圖：

9

1.P--->Q

》—N~~

相遇時(shí)間為：（137）4-（3xi+lX2）=2（秒），共用時(shí)：7+2=9（秒），

4

???/\N位于：l+3x4x2=9,

；?M位于：9-8=1,。位于：9+4=13.

當(dāng)。到達(dá)4時(shí)，如圖：

2N

2016B

—20

時(shí)間為：（20-13）4-3=^（秒），共用時(shí),：9+：=等1秒），

7?0

此時(shí)，N位于：9-lx^=y,P位于：20-4=16.

當(dāng)P追上N時(shí)，如圖：

2

-6%_______9

-]----------------!----------------*■

AFN6

2n143414

時(shí)間為：（16—至）4-（3-1）='j"（秒），共用時(shí)：一+—=16（秒），

33

此時(shí)，P、N位于：16-學(xué)'3=2,M位于：-6,。位于：6.

當(dāng)P位于N左側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，如圖:

二,

ifN

14-（3x1-1X2）=|（秒），共用時(shí)：16+2二苧（秒）.

。乙乙乙

當(dāng)M位于Q左側(cè)1個(gè)長度單位時(shí)，如圖：

PQ

N

4113311

時(shí)間為：［6-(-6)-1J4-(3x^-|X2)=荒(秒)，共用時(shí)：—+—=22(秒).

435333110

綜上所述，時(shí)間/為：二-秒二秒或'秒或丁秒.

6626

答：時(shí)間為竽秒竺秒或三秒或22秒.

662

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的