2026年中考數(shù)學高頻考點突破一反比例函數(shù)與三角形的綜合題

一、綜合題

1.如圖，在平面直角坐標系中.O4DOB,48LU軸于點C,點力（百，1）在反比例函數(shù)y=乜

X

（2）在;v軸上是否存在一點，使得S/4O，=AOB,若存在，求所有符合條件點r的坐標；

若不存在，簡述你的理由.

2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=y（z>0）的圖像經(jīng)過點4（4,|）,點8

在y軸的負半軸上，AB交x軸于點C,C為線段AB的中點.

（1）m=，點C的坐標為；

（2）若點D為線段AB上的一個動點，過點0作DE〃y軸，交反比例函數(shù)圖象于點E,

求△。。￡面積的最大值.

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=-與直線N2=〃?x+〃交于點力，E,力后交工軸于

X

點C,交歹軸于點，4B_Lx軸于點B,C為。3中點.若。點坐標為（0,-2）,且S力。。=4

(1)求雙曲線與直線4E的解析式；

(2)寫出￡點的坐標；

(3)觀察圖象,直接寫出y*2時k的取值范圍.

4.如圖，點4,B在x軸上，以AB為邊的正方形ABCD在x軸上方，點C的坐標為

(1.4),反比例函數(shù)y=4(kH0)的圖象經(jīng)過CD的中點E,尸是AD上的一個動點，將△

DEF沿EF所在直線折疊得到△GEF.

(1)求反比例函數(shù)y=乜@不U)的表達式；

(2)若點G落在y軸上，求線段0G的長及點F的坐標.

5.如圖1,在平面直角坐標系中，直線AB與反比例函數(shù)y=K(%>0)的圖象交于點A(l,3)和點

X

B(3,n),與x軸交于點C,與y軸交于點D.

（1）求反比例函數(shù)的表達式及n的值；

（2）將DOCD沿直線AB翻折，點O落在第一象限內(nèi)的點E處，EC與反比例函數(shù)的圖象交于

點F.

①請求出點F的坐標；

②在x軸上是否存在點P,笠得DDPF是以DF為斜邊的直角三角形?若存在，請求出所有符合條

件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

6.如圖，Rt^ABCzG4cB=90。，頂點A,B都在反比例函數(shù)y二＞0）的圖象

上，直線ACLx軸，垂足為D,連結(jié)OA,OC,并延長OC交AB于點E,當48=204

時，點E恰為AB的中點，若/.A0D=45°,。4=2衣.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求^EOD的度數(shù).

7.如圖，一次函數(shù)^=營+1的圖象與軸交于點4與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=幺（后0）

ZX

的圖象交于8,。兩點，且4C=8C.

（1）寫出點力，8的坐標；

（2）求出點。的坐標，并直接寫出當［＞1x4-1時，x的取值范圍；

（3）若尸是x軸上一點，尸MUc軸交一次函數(shù)于點M,交反比例函數(shù)于點M當O,C,M,N

為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點P的坐標.

8.在矩形4。8c中，分別以。8,。4所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.A點

坐標為（0,3），B點坐標為（4,0）,F是8C上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數(shù)

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)將□NOB沿人?軸向左運動，運動速度是每秒鐘3個些位長度，求口408與反比例函數(shù)圖象沒

有交點時.，運動時間/的取值范圍.

11.如圖，RCA48c中，乙4cB=90°,AC=8C,點C(2,0),點8(0,4),反比例函數(shù)y=[(x>0)

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)將直線。4向上平移m個單位后經(jīng)過反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上的點(3,九)，分別求

X

m與n的值.

12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x+l的圖象與反比例函數(shù)y=1(k=0)

的圖象交于一、三象限內(nèi)的A.B兩點，直線48與不軸交于點C,點8的坐標為(一2,兀).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△40B的面積；

(3)在x軸上是否存在一點P,使△/OP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不

存在，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：把人（V3,1）代入反比例函數(shù)y得：k=lxV3=V3,所以反比例函

(2)解：VA(V3,1),OADAB,ABDx軸于C,AOC=遍，AC=1,OA=y]AC2+OC2=

2.

*.*tanA=器=y/3，.,.□A=60°.

VOAIOB,/.UAOB=90°,AlB=30°,.e.OB=2OC=2V3,ASAOB=4OA-OB=Ax2x2

V3=2V3.

VSAOP=iSAOB,/-ixOPxAC=ix2A/3.

???AC=1,??.OP=2V3,.??點P的坐標為（-2百，0）或（2百，0）.

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）把A（百，1）代入反比例函數(shù)y=[,得出k的值，即可得出反比例函數(shù)

的表達式；

（2）由A（次，1）,OADAB,ABCJx軸于C,得出OC、AC及OA的值，由tanA=第=

V3，得出UA的度數(shù)，由SAOP=；SAOB,AC=1,得出OP的值，由此得出點P的坐標。

2.【答案】（1）6；（2,0）

（2）解：設(shè)直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=kx+b.

3

-

將4(4,1)，C(2,0)代入得4k+b2解得

0

乙(2k+b

所以直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=W.

1乙

因為點D在線段AB上，可設(shè)O（a,1a-1）（0<a<4）,

因為DE//y軸，交反比例函數(shù)圖象于點".所以E(a,|).

grspj°_1,63,3v_32io_3fI、2J_27

〃T以SA00E=)?Q?(萬-4。+曲=-gQ+,Q+3=-g(Q-l)+-Q-

所以當a=l時，△ODE面積的最大值為名.

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【解答］解：(I)把點力(4,1)代入反比例函數(shù)y=?Q>0)，得：*竿，

解得：m=6,

YA點橫坐標為：4,B點橫坐標為0,故C點橫坐標為：挈=2,

故答案為：6,(2,0);

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求出m的值，根據(jù)A點的坐標即可求得C的坐標；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，設(shè)D、E的坐標，再根據(jù)三角形面積公式得出

Sh0DE=一施+條由二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論。

3.【答案】(I)解：由題意得：m>0,/c>0,

將點D(0,-2)代入丫2=巾X+九得：n=-2,

y2=mx-2,

當為=。時，mx-2=0,解得x=/即6(^,0),

???C為。B中點，

???B(A，O)，OB=M

vD(0,-2),

0D2

=?

s

4

M=,

lOOD

14

。

-。8-4-X2-=4

22m

解得m=1,

則直線AE的解析式為y2=x-2,

又,??48_Lx軸，。8=3=4,

m

???點A的橫坐標為4,

對于一次函數(shù)y2=x-2,

當x=4時，丫2=4—2=2,即力(4,2),

將點4(4,2)代入反比例函數(shù)為=(得：k=4X2=8,

則反比例函數(shù)的解析式為=§；

(2)解：設(shè)點E的坐標為E(a,b)(a<0),

(a-2=b

則§=b,

a

解得K=2或?(舍去)，

3=-43=2

則點E的坐標為E(-2,-4)；

(3)x<-2或0<%工4

【知識點】反比例函數(shù)與?次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【解答】解：(3)以2%表示的是反比例函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的上方，

?.7(4,2),以-2,-4),

???>y2時，X的取值范圍為x<-2或0VXW4.

【分析】(1)需求出A的坐標，由SM00=4,點D(0,-2),可求出A的橫坐標；由C為。8中

點，可得OD=AB,求出縱坐標，從而求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)A、D兩點坐標求出一次函數(shù)解

析式；

(2)根據(jù)(1)所求出雙曲線解析式和直線AE的解析式組成方程組，求出X、Y的值，在根據(jù)E

所在的象限即可求出它的坐標；

(3)觀察函數(shù)圖象即可求解。

4.【答案】(1)設(shè)OC與y軸的交于點M,

??.BC=4,MC=1,

???四邊形ABCD正方形,

：.CD=BC=4,

丁點E是.CD的中點，

==2,

：.EM=EC-MC=1,

???E(-1,4),

:.k=%y=—1x4=—4,

?一4

?7?Vx=——；

(2)如上圖，過點F作尸Nly軸于點N,

由折疊可知，DE=EG=2,乙FGE=ZD=90°,

在Rt△GME中，Z-GME=90。，

:?MG=VEG2-ME2=V22-l2=V3，

???0G=0M-MG=4-g，

■:乙FNG=AFGE=JLGMF.=90°,

;?乙FGN+乙EGM=90。,乙FGN+乙GFN=9。。,

;?乙EGM=LGFN,

：.△EGMs〉GFN,

.EM_MG

?,麗=麗’

?1百

:,GN=V3，

：.ON=OM-MG-GN=4-y/3-V3=4-2V3，

.*.F(-3,4-2V3).

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)-動態(tài)

幾何問題

【解析】【分析】(1)設(shè)。C與y軸的交于點M,C(l,4),求出正方形ABCD的邊長，由點E

是CD的中點，CE=累D=2求出E點坐標F(-l,4)即可：(2)如圖，過點尸作FN_Ly軸

于點N,在Rt△GME中，乙GME=90。，由勾股定理得MG=V5，再求OG,證△EGM

GFN,由性質(zhì)需=舞，求出.GN=g，再求ON即可.

5.【答案】(1)解：,??直線AB與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點A(1,3)和點B

X

(3,n),

?，.把A(1,3)代入y=乜得,3=與，

XJL

.*.k=3,

，反比例函數(shù)的表達式為y=|,

把B(3,n)代入y=?得，n=5=1；

(2)解：①設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,

?fk+b=3

??l3k+b=l'

解得:f\=71,

，直線AB的解析式為:y=-x+4,

當y=0時，x=4,當x=0時，y=4,

???點C(4,0),點D(0,4),

.,.OC=OD=4.

???Z]COD是等腰直角三角形，

.,.□ODC=EOCD=45°,

:將1OCD沿直線AB翻折，

，四邊形OCED是正方形，

ADE=CE=4,

???E(4,4),

把x=4代入y=|中得，y="

人I

；.F(4,1)；

②存在，

理由：設(shè)點P(m,0),

.,.DP2=m2+I6,PF2=(4-m)2+(^)2,FD2=16+(4)2,

44

VJDPF是以DF為斜邊的直角三角形，

ADP2+PF2=FD2,

3

即m2+16+(4-m)2+(4)2=16+(4-4)2,

解得：m=l或m=3,

故在x軸上存在點P,使得IDPF是以DF為斜邊的直角三角形，此時點P的坐標為（1：0）或

(3,0).

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】Q）先求出k=3,再求出反比例函數(shù)的表達式為y=3,最后計算求解即可；

X

（2）①利用待定系數(shù)法先求出直線AB的解析式為：y=-x+4,再求出E（4,4）,最后計算求

解即可；

（3）先求出DP2+PF2=FD2,再列方程計算求解即可。

6.【答案】（1）VADDx$ft,匚AOD=45。，OA=2或，

AAD=OD=2,

AA（2,2）,

???點A在反比例函數(shù)圖象上，

Ak=2x2=4,

即反比例函數(shù)的解析式為y=2.

（2）??FABC為直角二角形.點E為AB的中點，

???AE=CE=EB,□AEC=2DECB,

VAB=20A,

AAO=AE,

:.□AOE=DAEO=2QECB,

V1ACB=9O°,ADUx軸，

?，RC〃x軸，

.?.□ECB=CEOD,

.,.□A0E=2DE0D,

??FAOD=45。，

??.Z]EOD=1DAOD=1x45°=15°.

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】Q）點A在反比例函數(shù)圖象上，得出k的值，即可得出反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)IIABC為直角三角形，點E為AB的中點，AB=20A,得出AE=CE=EB,

AEO20ECB,AO=AE,再根據(jù)12ACB=9O。,AD”軸,得出BC〃x軸，OECB=OEOD,

A0E=2DE0D,即可得出結(jié)論。

7.【答案】（1）解：令y=0,得到1x+l=O,

解得x=-2,

AA(-2,0)；

令x=0,得y=l,

AC(0,1)；

VAC=BC,

???點B在第一象限，

過點B作BEEJx軸,垂足為作則CO是DAEB的中位線,

ABE=2OC=2,AO=OE=2,

AB的坐標為(2,2)；

(2)解：??,點B(2,2)在y=K上，

X

/.k=4,

，

.*1.y=-x

/.ix+1=-,

2x

整理，得X2+2X-8=0,

解得打=2,x2=-4,

當x=-4時，y=-l,

AD(-4,-1)；

根據(jù)圖像可得，＞2x+1時，X的取值范圍是0VxV2或xV-4；

(3)P(?2痘，0)或P(20，0)或P(-2+2再，0)或P(-2-2V3,0)

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問

題

【解析】【解答］解：(3)設(shè)P(m0),則M(“，錄+1),點、N(?,),OC=1,

Za

???。，C,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形，

???COCIMV,RCO=MN,

?\|-a+[--|=1,

當y+l-H=1時'整理，得。2=8,

解得a=+2V2?

當獷1-A"時’整理，得小+4。-8=0,

解得。=—2士2>/3?

???點尸的坐標為尸（-2V2,0）或P（2魚，0）或P（-2+20，0）或P（-2-2V3,0）.

【分析】（1）首先求出一次函數(shù)與坐標軸的交點，進而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出B點坐

標，進而得出答案；

（2）首先求出反比例函數(shù)解析式，進而得出D點坐標，再利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍；

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)，進而表示出MN的長，再解方程求出a的值，即可得出P點坐標。

8.【答案】（1）解：???四邊形AOBC是矩形，A點坐標為（0,3）,B點坐標為（4,0）

A.4C=。8=4,BC=OA=3

VCF=2

???F的坐標為（4,1）

將F的坐標為（4,1）代入y=抻得1=1

解得A=4

..?反比例困數(shù)解析式為y=±

（2）解：將y=3代入y=[得3=]

解得％=J

???點E坐標為3）

4Q

???.4E=&CE=AC-AE=

?:BF=1

：.CF=2

，：SAE0F=S矩形AOBC_S&CEF一SAME-S&BOF

118141

-X。0X=3X4-X2X--X3X--X4X

=OAxOB-CFxCE-OAxAE2-23-23-2

乙Lr

1=12—2―2—2=竽.FIEOF的面積為竽cm?.

（3）解：設(shè)點卜坐標為（4,寺），則點E坐標為亭3）

???AE=2,BF=±

OI

12—〃1?—k

:?CE=AC-AE=CF=BC-BF=

34

12-k.

.更=工1=±

t9FC12—k3

~4~

，若是定值.

rC

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；兒何圖形的面積計算?害肝卜法；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）先求出點F的坐標，再將點F的坐標代入y=［求出k的值即可；

（2）先求出點E的坐標，再根據(jù)S^EOF=S矩%08「54的-5“0/-5"0?求解即可；

（3）設(shè)點F坐標為（4,務(wù)，則點E坐標為（。，3）,再表示出CE=AC-AE=CF=BC-

BF=124k,最后利用定=I?%=與計算即可。

~4~

9.【答案】（1）解：..,直線y=2x+6經(jīng)過點A（1,m）,Am=2x14-6=8,

???A（1,8）,

???反比例函數(shù)y=K（k>0）經(jīng)過點A（1,8）,???k=8,

X

?.?反比例困數(shù)的表達式為y=

（2）解：\,函數(shù)y=§,y=n時函數(shù)y=2x+6,y=n時x=%^,

???點M,N的坐標為M。，九），N（嶗，幾），

VO<n<8,即直線y=n（0<n<8）在點A下方，

???8n—6

MN=-n-------2?

:，SABMN=；MNXTI=：X（藍一^2^）xn=—^（n-3）2+空,

???:i=3時，匚BMN的面積最大，最大值為竽.

【知識點】反比例函數(shù)與?次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）先求出點A的坐標，再將點A的坐標代入反比例求出k的值即可；

（2）先求出點M、N的坐標，可得到MN的長，再利用三角形的面積公式可得S^MN=2MNxn=

；X哈一呼）X幾=一弘一3）2+導最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。

10?【答案】（1）解：???反比例函數(shù)y=-在第一象限內(nèi),

1

s

-

2

1

-

2

解得k=8,

???反比例函數(shù)解析式為y=2

人

（2）解：當A點恰好移到y(tǒng)=§上時,

VAB=8,即為點A的縱坐標的值，

8

-

???點A的橫坐標是:8

V0B=4,

???點A移動的距離是4-1=3,移動的時間是3+3=1杪，

所以若DAOB與反比例函數(shù)圖象沒有交點，則t>l

【知識點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)〃的幾何意義即可確定反比例函數(shù)解析式；（2）先求出力

點恰好移到反比例函數(shù)圖象上時點力的坐標，然后可得點力移動的距離和時間，進而可作判斷.

11.【答案】（1）解：如圖，過點A作4D_Lx軸于D,貝=90。，

：.LBCO+AACD=90°,

;乙BCO+乙CBO=90%

???LACD=乙CBO,

又W=8C,□BOC=DCDA=90°,

.*.△BOC=△CDA{AAS),

???點C的坐標為（2,0）,點B的坐標為（0,4）,

：,0C=2,OB=4,

：.CD=OB=4,AD=0C=2,

.\OD=OC+CD=6,

???點A的坐標為（6,2）,

把A點坐標代入到反比例函數(shù)y=［中，得k=2X6=12,

???反比例函數(shù)解析式為、=莖；

（2）解：???（3,n）在y=上上，

X

???n=4,

設(shè)直線OA解析式為y=k］X

???2=6自，

,?燈=守

???直線OA解析式為y=

???直線。A向上平移m個單位后的解析式為：y=lx+m,

???直線y=+m圖象經(jīng)過（3,4）

4=ix34-m解得：m=1

???n=4,m=1.

【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式：反比例函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）過點A作.4。J.X軸于D,證明△BOC三△C04可得OB=CD,