4.7正、余弦定理的綜合應(yīng)用

'考試要求

1.會(huì)利用正、余弦定理及三角恒等變換解決三角形中的最值、范圍問題.

2.會(huì)利用正、余弦定理求解平面多邊形、三角形的中線、高線、角平分線等問題.

塊鍵能力提升互動(dòng)悚究?考點(diǎn)精講「

考點(diǎn)1多邊形中的解三角形問題

[例1]如圖，四邊形A8C。為梯形，A8〃CQ,A8=2CO=6/LtanA=￥，cosNAO8

D.____

ajC

(1)求cosN8QC的值；

(2)求BC的長(zhǎng).

【解】(1)因?yàn)閠an4=興4=乎，且sii12A+cos24=1,解得sinA=坐,cosA=華而

COS/i/。。

cos，所以sinNADB=71—cos2/AD8=-^-,所以cos/AB￡>=cos(n-A-ZADB)

=-cos{A+Z.ADB)=—(cosAcossinAsin/ADB)=十=書,因

JJJJy

為AB//CD,所以NBOC=NA8。，所以cosZBDC=cosNABD=*.

(2)在△ABO中，由正弦定理得悠=應(yīng)普麗，因?yàn)樗栽隆?巖溫=

3小.在△C8D中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-213D-CDcosN8OC=27+18—2義3小

X3，5x坐=33,所以

/規(guī)律總結(jié)

平面幾何中解三角形問題的求解思路

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理

求解.

(2)尋找各個(gè)三角形之司的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】如圖所示，在平行四邊形A8C。中，有4。8$/847=(2從8—80

cosZ.ABC.

(1)求NA8C的大小；

(2)若BC=3,AC=?求平行四邊形ABC。的面積.

解：(1)由題意得ACcosZBAC=(2AB-BC)cos/ABC,

由正弦定理得2sinZACBcosZABC=sinZBACcosZABC+sinZABCcosNZMC,

A2sinZACBcos/ABC=sin（NBAC+/4BC）=sin（九一NACB）=sinNACB,

又???/4。8￡（0,兀），

；?sinNACBWO,/.cosZABC=^

VZA5Ce(0,7t),AZABC=^.

(2)在平行四邊形A8CD中，ZABC=^,BC=3,AC=①

在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2-iBC2-2ABXBCcosZABC,即7=A4+9—

2XABX3x1,

解得AB=1或AB=2,

當(dāng)AB=\時(shí)，平行四邊形ABCD的面積為S=2S&ABC=2X：ABXBCsin^=2x1

X1X3X羋=挈；

當(dāng)AB=2時(shí)，平行四邊形ABCD的面積為S=2S^ABC=2X^ABXBCsin^=2x1

X2X3X乎=3小.

故平行四邊形ABCD的面積為:秒或3小.

考點(diǎn)2三角形中的最值、范圍問題

【例2】(2024?河北衡水一模)在△ABC中，N6AC,ZABC,NAC8所對(duì)的邊分別

是。，b,c,三角形面積為S,若。為AC邊上一點(diǎn)，滿足八B_L8。，BD—2,旦/一一邛飛

-\~abcosNACB.

(1)求4BC；

91

(2)求病+為的取值范圍.

【解】⑴cosNAC8,

?*.cr=—^~absinZ.ACB-\-abcosZ.ACBy

即a=—個(gè)。sinZACB+bcosZACB,

由正弦定理得，

sinN8AC=-坐sinZ.ABCsinNAC8+sinZ.ABCcosZ.ACB,

，sin(/4BC+ZACB)=-^sinZABCsin/ACB+sinZABCcosZACB,

?-“R近/AR—/“R

..cosZABCsinNAC8=—亍sinZABCsinNACB,

,?，sinNACBfO,，tanN44C=一小，

由0<NABC<TT,得NABC=中.

(2)由(1)知，ZABC=y,a：ABVBD,

???乙鉆。=],ZDBC=1,

在△℃￡＞中，由正弦定理。sin，18C=sin合C8'

2sinT.

______o________]

即DC=sinZACB=sinZACBf

在RtAABD中,

dsin*Lsin%。

?_2_J_______2

,?而+而=-2+—sinZBAC4-sinZACB,

sinABACsinZACB

VZv4BC=y,

g-NAC8)

=sinN8AC+sinZ4CB=sin+sinNACB=sin^cosZ.ACB

"A。'CD

-cospinZACB+sinZACB=sin(N4CB+§,V0<ZACB<1,/.Z.ACB+5

喏,縱'sin(NACB+驊售I,

???京+±的取值范圍為(坐，1]

」規(guī)律總結(jié)

1.三角形中的最值、范圍問題的解題策略

(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相

關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

=sinZ.BACcosZ.ABC+cosABACsinZABC,

；?sinNRACsinNA8C=cosNBACsinN4BC,又/ABC￡(0,兀),；?sinNA800,

/.sinZBAC=cosZBAC,tanZBAC=1,

又NBAC￡(O,7t),???NBAC=(

(2)根據(jù)余弦定理有a2=h2+c2-2bccosZBAC,

則有5=〃+2—2"解得2=3或人=一1(舍去),

如圖，???。為BC的中點(diǎn),

：.AD=^(矗+危),

.*.Ab2=1(加+/2+2病比)=1x

近

?"。=2.

/規(guī)律總結(jié)k

中線的相關(guān)結(jié)論

如圖，在ZXABC'中，。是6c■的中點(diǎn)，/6AC,ZABC,/AC6所對(duì)的邊分別為a,b,

(1)向量形式：(記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶)

核心技巧：2Ab=Q+/；

結(jié)論：AD2=1(Z?2+C24-2/7CCOS^BAC).

(2)角形式:

NAQ8+NAOC=7t=cosZADB+cosZADC=().

DA2+DB2-AB2

在△AOB中，cos^ADB=

2DAXDB

D42+DC2-AC2

在△AQC中，cosZADC=

2DAXDC

命題角度2高線

【例4】(2024?山東棗莊一模)在△A8C中，ABAC,NABC,NAC8的對(duì)邊分別為

且為NAC3

b.=sinZBACtan-2--

⑴求NAC8；

(2)若a=8,b=5,C”是邊A3上的高，且37=/疝+疝L求彳.

【解】(1)因?yàn)檠?sinNBACtan由正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得

/0?ksinZBACsin.

sinNBAC_________________2._____sinZzDBAC

2sinZACB=NAC8'由倍角公式將'ZACB'ZACB

cos—2-4sin-—cos—5—

ZACB

sinNBACsin——

ZACB

cos—5—

又因?yàn)镹B4C,ZACB為4ABC的內(nèi)角，所以N8AC￡(0,n),——e(^0,習(xí)，所以

ZACB

sinNBACWO,cos—-W0.

/ACBZACBZ.ACBnn

所以sin---2-=^—2-=,則有-2-=6?所以N4C8=?

7T一>>>

(2)如圖，由題意知。=8,b=5,NAC4=彳，CACli=\CA\\CB\cos,ZACB=abcosZACB

J

2222

=5X8Xcosj=20,CA=b=25yCB=a=64,

由題意知C〃_LAB,所以①府=0,即(wCA+nCfe)?(CB-CA)=(〃?一〃)(ch-CA)

一mCA2+nCB2=20(zn-〃)一25〃？+64〃=0.

in44

所以5/〃=44〃，所以7"=彳.

,規(guī)律總結(jié)

高線的相關(guān)結(jié)論

(1)高的性質(zhì)：hi,力2,加分別為△43C邊〃，b,c上的高，則hi：h2:%3=:：|：!=

1.1.1

sinA'sinB'sinC'

(2)求高一般采用等面枳法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長(zhǎng)度.

命題角度3角平分線

【例5】(2024?山東淄博一模)如圖，在△ABC口，ZBAC=y,NB4C的平分線交

BC于點(diǎn)P,AP=2.

A

BPC

(1)若8c=8,求△ABC的面積：

(2)若CP=4,求BP的長(zhǎng).

【解】(1)Z\A8C中，設(shè)/8AC,ZABC,

NAC8的對(duì)邊分別為“，b,c,

在AABC中，由余弦道理得BC2=AB2+AC2-2AB.4CCOS/C4B,

即64=c2+b2+h-c?.

因?yàn)镾△八8C=SAA8P+S"CP,所以與坐=守?坐+摯幸，整理得力Y=2/?+2@,

由①②解得"c=2+2V記，

1^3+7195

所以S:\ABC=~=}bcsinNBAC=-------------.

(2)因?yàn)锳P=2,CP=4,ZMC=1,所以在△APC中，由余弦定理，可得。尸2=乂尸2+

AC2-2APACCOSZCAP,

所以16=4+4。2-24。，解得4c=1+行,

j\PPC

由正弦定理得sin/ACB=sinNC4P'

____________加

即sinCAC廠去解得,訪ZAC5=4，所以cosZ.ACB=-\l1—sin2Z/lCS=^—,

2

sinZAZ?C=sin(ZZ?AC4-ZACB)=sinZBACcosN4C4+cosZBACsinZACB

V39-V3

=~8~，

ACBC

在“BC中，由正弦定理得sinZBACy

1+xTHBCI4+2J13

則再二百二百，解得BC=-3—

8-2

14+2^132+2回

所以BP=BC-PC=-4=-3-

/規(guī)律總結(jié)k

角平分線的相關(guān)結(jié)論

如圖，在△ABC中，AO平分N84C,NBAC,ZABC,

乙4cB所對(duì)的邊分別為小仇c.

ABABBD

（）內(nèi)角乎分線定理;

1BDAC-DC-

Q）等面積法:

11NBAC1

S△八BC=SMM+S△八Dc=>5A3XACXsinZBAC=^ABXADXsin—z—+zACXADXsin

/BAC

~~2-*

(3)角形式：

NAQ8+NAOC=TI=COSZADB+COSZADC=0.

222

人入./DA-1-DB-AB

在△AOB中，cosZADB=—；

￡L)/\AL)l5

,,DA2+DC2-AC2

在△AQC中，cosZADC=——

ZU/\AZ7C

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?黑龍江哈爾濱二模）在△ABC中，ZBAC,/ABC,NACB的

a、,八口工,,2bcosZABC,八?sinN8AC

對(duì)邊分別為小b,c,已知b=4,----------------=cosZBAC+--777G.

ctanNACB

(1)求/48。的大??；

(2)已知4。為NAAC的平分線，且與AC交十點(diǎn)。，若以)=平,求△ABC的周長(zhǎng).

⑺,csinZBAC

解：(1)由已知，cosZABC=ccosZ.BAC-\-'-----,,

lanz/ix/iCr/Dj

sinNACBsinNR4C

根據(jù)正弦定理，得2sinZABCcosNA4C=sinZACBcosZBAC+

tanZ.ACB

即2sinZABCcos,ZABC=sin/BACcosZACB

4-cosABACsinZACB,

即2sinZABCcos乙48C=sin(N8AC+ZACT)=sinN44C,

由于OVNAACVTT,所以sinN46O0,所以cosNABC=*所以NA8C=?

⑵因?yàn)镾^ABC=S^ABD+SABCD,

所以JocsinZABC=7BDcsinZAI3D-i^BDas\nNCBD,

因?yàn)?。為/ABC的平分線，所以48。=/圓。=；乙48。=去

所以44cx坐則小ac=^^(a+c),即ac=^^(a+c),

由余弦定理得〃=/+，-2accosNA8C,即16=/+，一

、、2,后l—4加

所以16=(a+c)~—3ac=(a+c)-—(a+c),解得a+c=2*\/6或a+c=-―(舍),

故△43C的周長(zhǎng)為2、后+4.

課時(shí)作業(yè)31

/亞基礎(chǔ)鞏固.

1.(16分)(2024?四川成都三模)在△A8C中，BC=5,AC=6,cosZABC=1.

(1)求4B的長(zhǎng);

(2)求4c邊上的高.

解：(1)設(shè)NBAC,ZABC,NACB的對(duì)邊分別為a,b,。，則4=5,b=6,cosZABC

1|25+?-36

="o,由余弦定理得R=TTT7解得c=4,即A8=4.

ooZA3(?y

(2)在△ABC中，cosZABC=g,

所以sinNA4C=￥^,設(shè)AC邊上的高為h,則!〃?=!℃sinZABC,即6〃=5X4x￥^,

oZZo

5s

解得力=4

所以AC邊上的高為

2.(16分)(2024?北京東城區(qū)一模)在△A8C中，/B4C,NABC,/ACB所對(duì)的邊分

別為a,b,c,滿足acosN4CB+ccosNB4c=^^/，cosN48c.

(1)求NA8C；

(2)若以=12,。為4c邊的中點(diǎn)，且4。=3,求〃.

解：(1)因?yàn)閍cosNAC3+ccoscos/A8G所以sinNZMCcosN4C8+

oA

sinZ.ACBcosZBAC=_^~sinZ.ABCcosNA8C,

2s

所以sin(ZHAC+N/C6)=-^sinNAAC'cosZAHCt

2\[3

所以sinZ/\BC=,=^_sinZABCcosNABC,

又因?yàn)閟in/4BCH0：所以1=￥cos/ABC,解得cos/ABC=乎，又因?yàn)?ABC￡(0,

J4

n),所以NABC=器.

(2)如圖，因?yàn)?。?c邊的中點(diǎn)，。=12,所以8。=。。=6,在△A3。中，由正弦定理

…BD_______AQ

可^sinABAD=sinNABD'

A

BDC

即sin]BAD=%6,解得sin/ZMO=l,又因?yàn)镹3AQ￡(0,n),所以/84。=4，

2

在RtAABD中，AB=y/BD?-AD?=yj6?-3?=34,

在△"(7中，A3=3?3c=12,/48。=*，

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABACcosNABC=27+144-2X3小X12乂孚=

63,

所以AC=3幣，即力=3幣.

3.(17分)在△ABC中，/B4C,NA8C,N4CB的對(duì)邊分別是a,b,c,滿足3+8

+c)(a+b—c)=ab.

⑴求NAC3：

(2)若點(diǎn)。在48上，CD=2,ZBCD=90°,求△ABC面積的最小值.

解：(1)由(a+/+c)(a+b—c)=而,可得/+〃一/=一〃力，

cr+lr-c2ab12n

AcosZ.ACB==~2^b=-2?又NAC8￡(0,兀),，NAC8=丁.

(2)*.*SA4BC=SMCD+SLXACD,

sin苧一/X2a+、X2$in

乎a匕=a+；入272Gb,

工〃心苧，當(dāng)且僅當(dāng)6=2a,即力=理^時(shí)取等號(hào),

8、Q

???△ABC面積的最小值為年.

4.（17分）如圖，在凸四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,且BE=ED,AE

=2EC,A8=4,AD=2小.

⑴若EC=I,求N84。的余弦值;

(2)若求邊8c的長(zhǎng).

解：（1）因?yàn)镋C=1,所以AE=2EC=2,4C=3,設(shè)BE=EO=x,

心+/亦一人序（2啦>+（2x）2—42f-2

在△A80中，cosNADB=-WED-=詬=詬]

AD^+ED^AE2（2志尸+/一22『+4

在△AEO中，cosZADB=_2AD.ED-=

F—2F+4

所以公區(qū)瓦'解得"=2小‘所以""=4/’

A^+A/y-BD2

在△48。中，cosNBAD=---2ABAD----

424（26）2—（4Wf_^2

2X4X2吸=-4*

⑵在△ABO中，由正弦定理得器7/族=而7而方，

所以sinZADB=^in/八月。=壺sinI,又/ADB為三角形的內(nèi)角，所以/人所

=看所以BO=A￡>=2吸，I3E=ED=y[2,且AE=y/AD2+ED?：?,

所以cosZAED=cosN8EC=^^=W，EC=TAE=^4^,

ZB乙乙

在△BCE中，?C2=?E2+EC2-2?E-ECCOSZBEC=2+1-2XV2X^X^=1,所以

BC碧

5.（17分）（2024?山東濟(jì)南二模）如圖，已知平面四邊形4BC7）中，AB=BC=2"CD

=2,AD=4.

（1）若A,B,C,。四點(diǎn)共圓，求邊AC的長(zhǎng)：

（2）求四邊形ABCZ）面積的最大值.

解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2—2A8-8CCOSNA8C=8+8—

2X8XcosNABC=16-16cosNABC?,

在△AC。中，由余弦定理得4C2=AD2+CD2-2AD?C。cosZADC=16+4-2X8cos

ZADC=20-I6cosZADC?,

因?yàn)锳,B,C,。四點(diǎn)共圓，所以NABC+NAOC=TI,因此COSN4DC=-COSNABC,

因此①十②，得2Ad=36,所以AC=36（負(fù)值已舍去）.

(2)由(1)得16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化簡(jiǎn)得cosZADC-cosN48C=；,

則cos2ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=-^),

四邊形ABCD的面積S=588CsinNA8C+14/>CDsinZADC=^X2y{2X

26sin/4BC+^X4X2sin/AOC=4(sin/A/)C+sinNABC),

s

整理得sinZADC+sinZABC=^,

則sin2Z4DC+2sinZADCsinZ^?C+sin2Z4^C=-^@,

1+S2

③+④得2-2(cosN4OCcosNABC-sinZADCsinNABC)=-

1+52

即2—2cos(NAOC+ZABC)=—

由于Ov/ADCQt,0<ZABC<ny所以當(dāng)且僅當(dāng)N4DC+N48c=TI時(shí)，cos(ZADC+

NA3C）取得最小值一1,

I+S2

此時(shí)四邊形ABC。的面積最大，由=4,解得S=3幣,

16

故四邊形ABCD面積的最大值為36.

過素養(yǎng)提升4

6.（17分）已知銳角AABC中，ZBAC,NABC,NACB所對(duì)的邊分別為“，b,c,其

a_si/N/MC-sin2/ACB

中4=8,c=1+sinZBC'且4#C.

（1）求證：N