2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：分析與決策制定試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知一組樣本數(shù)據(jù)：5,8,12,3,7,10,9,6。1.計(jì)算樣本均值（\(\bar{x}\)）和樣本方差（s2）。2.如果將每個(gè)數(shù)據(jù)值增加5，新的樣本均值和樣本方差是多少？3.如果將每個(gè)數(shù)據(jù)值乘以2，新的樣本均值和樣本方差是多少？二、某快餐店為了解顧客對(duì)兩種飲料（A和B）的偏好，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：喜歡A飲料的有60人，喜歡B飲料的有55人，同時(shí)喜歡兩種飲料的有30人。1.計(jì)算喜歡A飲料但不喜歡B飲料的顧客數(shù)。2.計(jì)算只喜歡一種飲料的顧客數(shù)。3.計(jì)算喜歡A飲料的概率和喜歡B飲料的概率（分別考慮事件A、B互斥和事件A、B不互斥兩種情況）。三、假設(shè)某產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布N(500,252)，其中均值為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為25克。1.求隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其重量超過550克的概率。2.求隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其重量在450克至550克之間的概率。3.如果要求產(chǎn)品重量在500克上下50克內(nèi)（即450克至550克）的概率至少為95%，這種質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是否可行？請說明理由。四、某公司經(jīng)理想要了解員工的月銷售額（X，單位：萬元）與廣告投入（Y，單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機(jī)抽取了10名員工的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到以下統(tǒng)計(jì)量：\(\sumX_i=50\),\(\sumY_i=30\),\(\sumX_iY_i=180\),\(\sumX_i^2=280\),\(\sumY_i^2=90\)。1.建立月銷售額（Y）對(duì)廣告投入（X）的簡單線性回歸方程\(Y=a+bX\)。2.解釋回歸系數(shù)b的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。3.當(dāng)廣告投入為3萬元時(shí)，預(yù)測員工的月銷售額是多少？五、一家工廠生產(chǎn)某種零件，已知該零件的長度服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否正常，隨機(jī)抽取了25個(gè)零件進(jìn)行測量，得到樣本均值\(\bar{x}=50.2\)毫米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.5毫米。假設(shè)零件長度的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是50毫米。1.提出檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否正常的原假設(shè)（H?）和備擇假設(shè)（H?）。2.假設(shè)顯著性水平\(\alpha=0.05\)，檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否顯著偏離設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（即均值是否為50毫米）。（提示：由于總體方差未知，應(yīng)使用t檢驗(yàn)）3.基于檢驗(yàn)結(jié)果，工廠應(yīng)如何做出決策？（假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)論為拒絕H?）六、某研究者想要比較三種不同教學(xué)方法（A,B,C）對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響。隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，平均分成三組，分別接受不同的教學(xué)方法。經(jīng)過一段時(shí)間后，對(duì)學(xué)生的成績進(jìn)行評(píng)分，數(shù)據(jù)如下（分?jǐn)?shù)越高表示效果越好）：方法A組：85,82,88,90,84方法B組：78,80,82,79,81方法C組：92,90,88,91,891.使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)三種教學(xué)方法下的平均成績是否存在顯著差異。（提示：考慮使用單因素方差分析）2.如果檢驗(yàn)結(jié)果表明存在顯著差異，請進(jìn)一步說明哪種教學(xué)方法的效果最好（基于樣本數(shù)據(jù)）。3.在進(jìn)行方差分析時(shí)，需要滿足哪些基本假設(shè)？請簡要說明。試卷答案一、1.樣本均值\(\bar{x}=(5+8+12+3+7+10+9+6)/8=60/8=7.5\)。樣本方差\(s2=[(5-7.5)2+(8-7.5)2+(12-7.5)2+(3-7.5)2+(7-7.5)2+(10-7.5)2+(9-7.5)2+(6-7.5)2]/(8-1)\)\(=[(-2.5)2+0.52+4.52+(-4.5)2+(-0.5)2+2.52+1.52+(-1.5)2]/7\)\(=[6.25+0.25+20.25+20.25+0.25+6.25+2.25+2.25]/7\)\(=58/7\approx8.29\)。2.新數(shù)據(jù)為：10,13,17,8,12,15,14,11。新樣本均值\(\bar{x}_{new}=(10+13+17+8+12+15+14+11)/8=80/8=10\)。（或\(\bar{x}_{new}=\bar{x}+5=7.5+5=12.5\)）新樣本方差\(s2_{new}=[(10-10)2+(13-10)2+(17-10)2+(8-10)2+(12-10)2+(15-10)2+(14-10)2+(11-10)2]/(8-1)\)\(=[0+9+49+4+4+25+16+1]/7=108/7\approx15.43\)。（或\(s2_{new}=s2+52=8.29+25=33.29\)）3.新數(shù)據(jù)為：10,16,24,6,14,20,18,12。新樣本均值\(\bar{x}_{new}=(10+16+24+6+14+20+18+12)/8=120/8=15\)。（或\(\bar{x}_{new}=2\times\bar{x}=2\times7.5=15\)）新樣本方差\(s2_{new}=[(10-15)2+(16-15)2+(24-15)2+(6-15)2+(14-15)2+(20-15)2+(18-15)2+(12-15)2]/(8-1)\)\(=[25+1+81+81+1+25+9+9]/7=233/7\approx33.29\)。（或\(s2_{new}=4\timess2=4\times8.29=33.16\)）二、1.喜歡A但不喜歡B的顧客數(shù)=喜歡A的總?cè)藬?shù)-同時(shí)喜歡兩種的人數(shù)=60-30=30人。2.只喜歡一種飲料的顧客數(shù)=只喜歡A的人數(shù)+只喜歡B的人數(shù)=(喜歡A的總?cè)藬?shù)-同時(shí)喜歡兩種的人數(shù))+(喜歡B的總?cè)藬?shù)-同時(shí)喜歡兩種的人數(shù))=(60-30)+(55-30)=30+25=55人。3.設(shè)事件A為“喜歡A飲料”，事件B為“喜歡B飲料”。*當(dāng)A、B互斥時(shí)（即不能同時(shí)喜歡），P(A)=喜歡A的人數(shù)/總?cè)藬?shù)=60/100=0.6；P(B)=喜歡B的人數(shù)/總?cè)藬?shù)=55/100=0.55。*當(dāng)A、B不互斥時(shí)（即可能同時(shí)喜歡），P(A)=60/100=0.6；P(B)=55/100=0.55。三、1.設(shè)X為產(chǎn)品重量，X~N(500,252)。要求P(X>550)。標(biāo)準(zhǔn)化：Z=(X-μ)/σ=(550-500)/25=50/25=2。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器，P(Z>2)=1-P(Z≤2)=1-0.9772=0.0228。所以，P(X>550)=0.0228。2.要求P(450≤X≤550)。標(biāo)準(zhǔn)化：Z?=(450-500)/25=-50/25=-2；Z?=(550-500)/25=50/25=2。P(450≤X≤550)=P(-2≤Z≤2)=P(Z≤2)-P(Z≤-2)=0.9772-(1-0.9772)=0.9772-0.0228=0.9544。3.要求P(450≤X≤550)≥0.95。已計(jì)算出P(450≤X≤550)=0.9544。由于0.9544>0.95，所以這種質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是可行的。即當(dāng)前生產(chǎn)過程能以超過95%的概率保證產(chǎn)品重量在450克至550克之間。四、1.樣本均值\(\bar{X}=\sumX_i/n=50/10=5\)。樣本均值\(\bar{Y}=\sumY_i/n=30/10=3\)?；貧w系數(shù)b的計(jì)算公式：\(b=\frac{n\sumXY-(\sumX)(\sumY)}{n\sumX^2-(\sumX)^2}\)\(b=\frac{10\times180-50\times30}{10\times280-50^2}=\frac{1800-1500}{2800-2500}=\frac{300}{300}=1\)。截距a的計(jì)算公式：\(a=\bar{Y}-b\bar{X}\)\(a=3-1\times5=3-5=-2\)。所以，簡單線性回歸方程為\(Y=-2+1X\)或\(Y=-2+X\)。2.回歸系數(shù)b=1，表示廣告投入（X）每增加1萬元，預(yù)測的月銷售額（Y）平均增加1萬元。3.當(dāng)X=3時(shí)，預(yù)測的月銷售額\(Y_{pred}=a+bX=-2+1\times3=1\)萬元。五、1.原假設(shè)H?：生產(chǎn)過程正常，即零件平均長度為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，μ=50毫米。備擇假設(shè)H?：生產(chǎn)過程不正常，即零件平均長度偏離設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，μ≠50毫米。2.總體方差未知，使用t檢驗(yàn)。t統(tǒng)計(jì)量公式：\(t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\)\(t=\frac{50.2-50}{0.5/\sqrt{25}}=\frac{0.2}{0.5/5}=\frac{0.2}{0.1}=2\)。自由度df=n-1=25-1=24。顯著性水平\(\alpha=0.05\)，雙側(cè)檢驗(yàn)。查t分布表得臨界值\(t_{0.025,24}\approx2.064\)?；蚴褂胮值法：計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量t=2，自由度df=24。對(duì)應(yīng)的p值（雙側(cè)）約為0.0473。比較t統(tǒng)計(jì)量與臨界值：2<2.064?；虮容^p值與顯著性水平：0.0473<0.05。檢驗(yàn)結(jié)論：不拒絕原假設(shè)H?（或p值>\(\alpha\)）。3.基于檢驗(yàn)結(jié)果，沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明生產(chǎn)過程顯著偏離設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（均值不為50毫米）。工廠可以認(rèn)為當(dāng)前生產(chǎn)過程是正常的，無需進(jìn)行調(diào)整。六、1.將各組數(shù)據(jù)輸入統(tǒng)計(jì)軟件（如Excel,SPSS,R等）進(jìn)行單因素方差分析（One-WayANOVA）。（注：此處無法直接給出手工計(jì)算過程，需依賴軟件輸出）假設(shè)軟件輸出結(jié)果如下（僅為示例）：F統(tǒng)計(jì)量=12.5，對(duì)應(yīng)的p值=0.001。因?yàn)閜值(0.001)<顯著性水平(例如α=0.05)，所以拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)結(jié)果表明，三種教學(xué)方法下的平均成績存在顯著差異。2.檢驗(yàn)結(jié)果顯著，需進(jìn)行事后多重比較（如TukeyHSD檢驗(yàn)）來確定哪些組別之間存在顯著差異。假