2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)電池”中的數(shù)學(xué)知識試題（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|y=\ln(x-2)})，則(A\capB=)（）A.([-2,5])B.((2,5])C.([-2,2))D.((2,+\infty))若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{10}}{2})B.(\sqrt{5})C.(\frac{5}{2})D.(5)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.(-10)B.(-5)C.(5)D.(10)函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的圖象大致為（）（選項(xiàng)略，需結(jié)合奇偶性與單調(diào)性分析：(f(x))為奇函數(shù)，當(dāng)(x>0)時，(f(x)>0)，且在((0,+\infty))上單調(diào)遞增）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.(3)B.(-4)C.(3)或(-4)D.(-3)或(4)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖與側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為矩形，其中直角邊長分別為3、4、5）A.(10,\text{cm}^3)B.(20,\text{cm}^3)C.(30,\text{cm}^3)D.(40,\text{cm}^3)已知(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，則(\cos\alpha=)（）A.(\frac{3\sqrt{3}-4}{10})B.(\frac{4\sqrt{3}-3}{10})C.(\frac{3\sqrt{3}+4}{10})D.(\frac{4\sqrt{3}+3}{10})執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始(S=0)，(i=1)；循環(huán)條件(i\leqn)，執(zhí)行(S=S+\frac{1}{i(i+1)})，(i=i+1)）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{5}{6})C.(\frac{1}{6})D.(\frac{4}{5})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線交(C)于(A)，(B)兩點(diǎn)，過(A)作(l)的垂線，垂足為(M)，若(|AF|=3)，則(|BM|=)（）A.(2)B.(3)C.(4)D.(5)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，若(f(a)=f(b)=f(c))，且(a<b<c)，則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((-1,0))B.((0,1))C.((1,2))D.((2,3))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(29\pi)D.(34\pi)已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})），若對任意(x\geq0)，(f(x)\geq0)恒成立，則(a)的最大值為（）A.(0)B.(1)C.(e)D.(e^2)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最小值為________。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的一條漸近線方程為(y=\frac{3}{4}x)，且焦距為(10)，則雙曲線(C)的方程為________。已知隨機(jī)變量(X)服從正態(tài)分布(N(2,\sigma^2))，若(P(X<4)=0.8)，則(P(0<X<2)=)________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+2a_n})，則數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，且(2b\cosC=2a-c)。（1）求角(B)的大??；（2）若(b=2\sqrt{3})，(a+c=6)，求(\triangleABC)的面積。解析：（1）由正弦定理得(2\sinB\cosC=2\sinA-\sinC)，又(\sinA=\sin(B+C)=\sinB\cosC+\cosB\sinC)，代入化簡得(2\sinB\cosC=2(\sinB\cosC+\cosB\sinC)-\sinC)，整理得(2\cosB\sinC=\sinC)，因?yàn)?\sinC\neq0)，所以(\cosB=\frac{1}{2})，又(B\in(0,\pi))，故(B=\frac{\pi}{3})。（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，代入(b=2\sqrt{3})，(B=\frac{\pi}{3})，得(12=a^2+c^2-ac)，又(a+c=6)，則((a+c)^2=36=a^2+c^2+2ac)，聯(lián)立得(36-3ac=12)，解得(ac=8)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times8\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3})。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生“數(shù)學(xué)電池”知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，將成績（滿分100分）整理后得到頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績分組為([40,50))，([50,60))，([60,70))，([70,80))，([80,90))，([90,100])。（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從成績在([80,100])的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績在([90,100])的概率。解析：（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，得((0.005+0.015+0.020+a+0.025+0.010)\times10=1)，解得(a=0.025)。（2）平均數(shù)(\bar{x}=45\times0.05+55\times0.15+65\times0.2+75\times0.25+85\times0.25+95\times0.1=73.5)；中位數(shù)位于([70,80))，設(shè)中位數(shù)為(m)，則(0.05+0.15+0.2+(m-70)\times0.025=0.5)，解得(m=74)。（3）成績在([80,90))的學(xué)生有(0.25\times100=25)人，([90,100])的學(xué)生有(0.1\times100=10)人，總?cè)藬?shù)為35人，記事件(A)為“至少有1人成績在([90,100])”，則(P(A)=1-\frac{\binom{25}{2}}{\binom{35}{2}}=1-\frac{300}{595}=\frac{59}{119})。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是菱形，(PA\perp)平面(ABCD)，(PA=AB=2)，(\angleABC=60^\circ)，(E)為(PC)的中點(diǎn)。（1）證明：(BE\parallel)平面(PAD)；（2）求二面角(E-BD-C)的余弦值。解析：（1）取(PD)中點(diǎn)(F)，連接(AF)，(EF)，因?yàn)?E)，(F)分別為(PC)，(PD)中點(diǎn)，所以(EF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)，又菱形(ABCD)中(AB\parallelCD)且(AB=CD)，故(EF\parallelAB)且(EF=AB)，所以四邊形(ABEF)為平行四邊形，從而(BE\parallelAF)，又(AF\subset)平面(PAD)，(BE\not\subset)平面(PAD)，故(BE\parallel)平面(PAD)。（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB)，(AD)，(AP)所在直線為(x)，(y)，(z)軸建立坐標(biāo)系，則(B(2,0,0))，(D(0,2,0))，(C(2,2,0))，(P(0,0,2))，(E(1,1,1))，設(shè)平面(EBD)的法向量(\vec{n}=(x,y,z))，(\vec{BD}=(-2,2,0))，(\vec{BE}=(-1,1,1))，由(\vec{n}\cdot\vec{BD}=-2x+2y=0)，(\vec{n}\cdot\vec{BE}=-x+y+z=0)，取(x=1)，得(\vec{n}=(1,1,0))，平面(BCD)的法向量(\vec{m}=(0,0,1))，故(\cos\langle\vec{n},\vec{m}\rangle=\frac{0}{\sqrt{2}\times1}=0)，即二面角的余弦值為(0)。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases})，消去(y)得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{(kx_1+m)(kx_2+m)}{x_1x_2}=k^2+\frac{km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，代入化簡得(2m^2=8k^2+1)，弦長(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(1+4k^2-m^2)}}{1+4k^2})，原點(diǎn)到直線(l)的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，面積(S=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{2(1+4k^2-m^2)}}{1+4k^2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，代入(2m^2=8k^2+1)，化簡得(S=\sqrt{2})，為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)，令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減，(g(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}-1+2=1-\ln2>0)，(g(1)=0)，(g(e^2)=2-2e^2+2=4-2e^2<0)，故存在(x_0\in(\frac{1}{2},1))，使得(g(x_0)=0)。當(dāng)(x\in(0,x_0)\cup(1,+\infty))時，(f'(x)<0)；當(dāng)(x\in(x_0,1))時，(f'(x)>0)，所以(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((x_0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((0,x_0))，((1,+\infty))。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，若(f(x))在(x=1)處取得極大值，則(f'(1)=0)，且在(x=1)左側(cè)(f'(x)>0)，右側(cè)(f'(x)<0)，令(h(x)=\lnx-2a(x-1))，則(h'(x)=\frac{1}{x}-2a)，當(dāng)(a\leq0)時，(h'(x)>0)，(h(x))單調(diào)遞增，(x>1)時(h(x)>h(1)=0)，不符合題意；當(dāng)(a>0)時，(h(x))在((0,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞增，在((\frac{1}{2a},+\infty))單調(diào)遞減，若(\frac{1}{2a}>1)，即(0<a<\frac{1}{2})，則(h(x))在((1,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞增，(h(x)>h(1)=0)，不符合題意；若(\frac{1}{2a}=1)，即(a=\frac{1}{2})，(h(x)\leqh(1)=0)，不符合題意；若(\frac{1}{2a}<1)，即(a>\frac{1}{2})，則(h(x))在((1,+\infty))單調(diào)遞減，(h(x)<h(1)=0)，且在(x\in(\frac{1}{2a},1))時，(h(x)>h(1)=0)，符合題意，故(a)的取值范圍為((\frac{1}{2},+\infty))。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的極坐標(biāo)方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）與曲線(C_1)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，與曲線(C_2)交于(M)，(N)兩點(diǎn)（(A)，(M)在第一象限），求(|AM|-|BN|)的值。解析：（1）曲線(C_1)的普通方程為((x-2)^2+y^2=4)，即(x^2+y^2-4x=0)，化為極坐標(biāo)方程：(\rho^2-4\rho\cos\theta=0)，即(\rho=4\cos\theta)；曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程為(x^2+y^2=4y)，即(x^2+(y-2)^2=4)。（2）將(\theta=\frac{\pi}{3})代入(C_1)的極坐標(biāo)方程得(\rho=4\cos\frac{\pi}{3}=2)，故(|OA|=2)；代入(C_2)的極坐標(biāo)方程(\rho=4\sin\theta)得(\rho=4\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3})，故(|OM|=2\sqrt{3})，因?yàn)樯渚€與曲線交于兩點(diǎn)，(C_1)的直徑為4，故(|OB|=4-|OA|=2)，(|ON|=4-|OM|=4-2\sqrt{3})，所以(|AM|=|OM|-|OA|=2\sqrt{3}-2)，(|BN|=|OB|-|ON|=2-(4-2\sqrt{3})=2\sqrt{3}-2)，故(|AM|-|BN|=0)。四、選考題（共10分。請考生在第23、24題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，直線(l)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=t\cos\alpha\y=t\sin\alph