專題15分類討論思想在五種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.假設結論成立；

2.找點：當所給定氏未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如不：

①當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧,

若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐

標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

②當定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線

有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設點F（l,f）,

△BCF三邊長為："=4+/，療=/+6/M0,BC=18；

2.找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：

①當定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC）,分

別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有

交點時，此交點即為符合條件的點；

②當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交

點時，此交點即為符合條件的點.

3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關系或利用勾股定理進行計算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時要對字母進行分類討論。

對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進行分類討論。

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想

在函數(shù)問題中,分類有兩種情況：?種是對概念進行分類,一種是分情況討論問題,對概念進行分

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)?/p>

面考察一個對象，得出可能的結論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較

難掌握的一種數(shù)學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進

行分類，出現(xiàn)“重〃或“漏〃的現(xiàn)象，從而容易導致錯誤的發(fā)生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問

題C這類題目重在考杳同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學們嚴謹周密的邏輯

思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓

中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉(zhuǎn)。

壓軸題預測

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.(2023?廣安)如圖，一次函數(shù))，=履+2依為常數(shù)，女工0)的圖象與反比例函數(shù)y=為常數(shù)，〃-0)

的圖象在第一象限交于點4(1,〃)，與x軸交于點8(-3,0).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)點尸在x軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線），=-工2+云+￡?與工軸交于點4（—1,0）、B,與），軸交于點C（0,3）,直

線/是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）在對稱軸/上是否存在點例，使AM4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

3.12023?婺城區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB=4,4）=10,石是AD上的一點，且AE=2,M是直線AB

上一點，射線ME交直線CZ）「點尸，交直線8c丁點G,連結MG、FG,直線尸G交直線相＞

于點N.

（1）①當點M為中點時，求。F與EG的長；

②求也的值.

FG

（2）若AEGN為等腰三角形時，求滿足條件的4M的長.

5.（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=kBC（0<k<\）,將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

a度（0<a<90）得到線段AE,過點石作AE的垂線交射線C。于點”，交射線4）于點

（1）當點用在AD延長線上運動時，4AE與/4ME始終相等，且與AZ〃加始終相似，請說明理

由；

［深入探究］

（2）若k=L,隨著線段AE的旋轉(zhuǎn)，點”的位置也隨之發(fā)生變化，當C〃=3c。時，求tana的值；

24

［拓展延伸］

（3）連接￡D,當迎必為等腰三角形時，求tana的值（用含左的代數(shù)式表示）.

3

6.(2023?虹口區(qū)一模)如圖，在AA8C中，AB=AC=\O,sin5=-,點。、石分別在邊至、8c上,

滿足NCOE=N〃.點/是。回延長線上一點，且N比戶=NACD.

(1)當點。是4?的中點時，求tanN3C￡)的值;

CF

(2)如果力。=3,求J的值；

DE

(3)如果MZ定是等腰三角形，求CF的長.

7.(2023?文成縣一模)如圖，點E,尸分別為矩形A8CD邊AD,C￡)上的點，以比為直徑作交班'

于點G,且斯與相切，連結反；.

(1)若求證：/SABE^AGBE.

(2)若AB=2,tanZEBF=-.

2

①求的長.

②連結AG,若AA3G是以AG為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的8c的長.

(3)連結CG,若CG的延長線經(jīng)過點A,且ED=EG,求變的值.

EF

8.(2023?涪城區(qū)模擬)如圖，已知：在AABC中，ZC=90°,點P是AC邊上的動點,PD1BC交AB于

D,以叨為直徑的0。分別交AP于點E,F.

(1)求證：ZEFP=^EPB.

3

(2)若/W=20,sin?=-.

5

①當Z4P8=4NAPD,求PC的長.

②當4%方為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的A/%尸的腰長.

(3)若sinB=也，且。，尸，C在一條直線上，則DP與4c的比值為

2

9.(2023?河南模擬)如圖所示，在RlAABC中，NABC=90。，點。為射線AC上一動點，作ZBDE=/BAC，

過點、B作BE工BD,交DE于點、E,連接CE.(點八、E在初的兩側)

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1所示，若NA=45。時，A。、CE的數(shù)量關系為—，直線AD、CE的夾角為一；

【類比探究】

(2)如圖2所示，若/4=60。時，(1)中的結論是否成立，請說明理由；

【拓展延伸】

(3)若NA=30。，AC=26,且A/WD是以A5為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段CE的長.

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.12022?大連模擬）如圖，RIAABC中，ZC=90°,AC=3cm,8c=4?！ǎcP在邊AB上，過點尸作AB

的垂線與邊AC或BC相交于點D，將點D繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得點E,過點石作的垂線與邊AC或

8C相交于點尸.設AP的長為x（c/〃），四邊形?？讷E的面積為y（a/）.

（1）求AB的長；

（2）求〉，關于.，的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

（備用圖）

2.（2022?蓮池區(qū)校級二模）如圖，RtAABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4.動點P從點4出發(fā)，以

每秒3個單位長度的速度沿方向繞行A/WC一周，與8c垂直的動直線/從AC開始.以每秒

1個單位長度的速度向右平移，分別交/W,CB于D,E兩點.當點〃運動到點A時，直線/也停止運動，

設點P的運動時間為/秒.

(1)當點尸在AC上運動時，過點尸作比_LOE于產(chǎn)，

①當凡)=莊時，求證：APDF=AEPC；

②設APOE的面積為S,用含/的代數(shù)式表示S,并求當，為何值時，S有最大值；

(2)當直線/等分AA8C的面積時求/的值，并判斷此時點P落在AA8C的哪條邊上；

(3)直接寫出包＞=?石時/的值.

3.(2022?濟南二模)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A坐標為(3,0),四邊形。48C為平

行四邊形，反比例函數(shù)y=K（x＞。）的圖象經(jīng)過點C,與邊交于點O,若OC=2&,tanZ4OC=l.

（I）求反比例函數(shù)解析式;

（2）點尸（40）是x軸上一動點，求|PC-P0最大時。的值;

（3）連接C4,在反比例函數(shù)圖象上是否存在點M,平面內(nèi)是否存在點N,使得四邊形C4AW為矩形，若

存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

4.（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=/+云+3（。m0）與），軸交于點C,與x軸交

于A(—2,0)、8(4,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式：

(2)點M從A點出發(fā)，在線段上以每秒3個單位長度的速度向4點運動，同時點N從8點出發(fā)，在

線段3c上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設AM3N

的面積為S,點M運動時間為/秒，試求S與，的函數(shù)關系，并求S的最大值；

(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻使AM8N為直角三角形？若存在，求出『的值；若不存在，

請說明理由.

5.(2023?乳山市二模)過四邊形/WCD的頂點A作射線AW,P為射線AM上一點，連接。P.將A戶繞

點八順時針方向旋轉(zhuǎn)至4Q,記旋轉(zhuǎn)角NR4Q=a,連接Z?Q.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形ABC。是正方形，且a=90。.無論點P在

何處，總有BQ=OP,請證明這個結論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形ABCD是菱形，/DAB=a=60°,/MAD=15。，連接PQ.當PQ_LBQ,

"="+五時，求AP的長；

(3)【拓展應用】如圖3,如果四邊形A8CD是矩形，AD=6,A8=8,AM平分〃AC,a=90°.在

4

射線4Q上截取AR,使得=當AP4R是直角三角形時,請直接寫出AP的長.

H二

VQ

圖1圖2

/M/M

A-------------------------------\B

圖3備用圖

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

1.（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間

對團隊*旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：

購票人數(shù)加（人）1闔n5051加100/n>IOO

每人門票價（元）605040

*題中的團隊人數(shù)均不少于10人.

現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共1（）2人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于

50人.

（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？

（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，

問甲團隊最少多少人？

2.（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式（24-1）。+3）>0的解集.

解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘,積為正”可得:①[2可>0或②,二1<。

x+3>0[/+3<0

解不等式組①得：x>-.解不等式組②得x<-3.

2

K等式（2x—l）（x+3）>0的解.集為x>g或x<-3.

請你仿照上述方法解決下列問題：

（1）求不等式（2x-3）（x+l）<0的解集.

（2）求不等式匚^..。的解集.

x+2

3.(2024?江門校級一模)先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：解一元二次不等式4>0.

解：x2-4=(A+2)(X-2),

.?.寸-4>0可化為(x+2)(x,2)>0.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得

_Ix+2>0fx+2<0

①，②《，

U-2>0-tx-2<0

解不等式組①，得x>2,解不等式組②，得x<-2,

.?.。+2)*-2)>0的解集為.丫>2或入<-2,即一元二次不等式工2一4>0的解集為x>2或x<-2.

(1)一元二次不等式f-16>0的解集為—：

(2)分式不等式二口〉()的解集為_；

x-3

(3)解一元二次不等式2/-5x<0.

4.(2022?泰安三模)某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每

瓶售價的3倍.4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售6(X)00瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味

4

飲料銷售額為280000元.

(1)求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；

(2)五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味

飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的3;不多于桔子味飲料的2倍.桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲

2

料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元?

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想

1.（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具：主要面向3切10也?的出行市場，現(xiàn)

有A,3兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費y（元）與騎行時間M加〃）之間的對應關系，其中

A品牌收費方式對應X，4品牌的收費方式對應力，請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

（1）說出圖中函數(shù)必、力的圖象交點戶表示的實際意義；

（2）求x、為關于x的函數(shù)解析式;

（3）①如果小明每天早上需要騎行A品牌或3品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的

平均行駛速度均為300〃?/〃〃力，小明家到工廠的距離為9也，那么小明選擇—品牌共享電動車更省錢？（填

“A"或"8")

②當工為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元?

“元

2.（2023?西華縣三模）如圖I,拋物線），=4/+/加+c與x軸交于A、B兩點、（點A在點8左邊），與），軸

2

交于點C.直線），=gx-2經(jīng)過8、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的?動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線及x軸分別交于點D.M.設MQ九0）.

①點。在拋物線上運動，若點。恰為線段PM的中點，求此時〃，的值；

②當點尸在拋物線上運動時，是否存在一點使NPC8=NACO.若存在，請直接寫出點P的坐標；若

不存在，請說明理由.

（圖1）備用圖

3.（2023?池州三模）在平面直角坐標系xQy中，點（2,〃?）和點（6,〃）在拋物線），=〃爐+法（。＜0）上.

（1）若，〃=4,n=-\2,求拋物線的解析式；

（2）已知點A（l,y）,8（4,%）在該拋物線上，月.〃刃=0.

①比較M，為，0的大小，并說明理由；

②將線段AB沿水平方向平移得到線段A8,若線段A片與拋物線有交點，直接寫出點4的橫坐標x的取

值范圍.

4.（2023?河北模擬）在平面直角坐標系中，拋物線），=內(nèi)X-6）+1（4。0）的頂點為4,與工軸相交于8、C

兩點（C點在8點的右側）.

（1）判斷點（0,1）是否在拋物線y=ar（x-6）+l（4H0）上，并說明理由；

（2）若點A到x軸的距離為5,求a的值；

（3）若線段BC的長小于等于4,求。的取值范圍.

5.（2023?鹽城二模）已知點MJ,y）,N（x2,必）在二次函數(shù)）'=。（工—產(chǎn)+2（a工0）的圖象上，且滿足

電-X）=5.

（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,0）.

①求這個二次函數(shù)的表達式；

②若y=）\，此時二次函數(shù)圖象的頂點為點尸，求NPMN的正切值；

③在例、N之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為-6,請直接寫出此時點“、/V的坐標；

（2）當芭領k馬時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3,點M,N在對稱軸的異側，則。的取值范圍為

6.（2023?錦州）如圖，拋物線方-岳?+尿+c交x軸于點4-1,。）和4,交），軸于點。（0,3折,頂點

為D.

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點石在第一象限內(nèi)對稱軸右側的拋物線上，四邊形。/）陽的面積為76，求點石的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點尸是對稱軸上一點，點〃是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側的拋物線上是否

存在點G,使以點石，F(xiàn),G,〃為頂點的四邊形是菱形，且/MG=60。，如果存在，請直接寫出點G的

坐標；如果不存在，請說明理由.

備用圖

7.(2024?肇東市模擬)綜合與實踐

3

如圖，二次函數(shù)y=+尿+c的圖象與X軸交于點A和8,點8的坐標是(4.0),與y軸交于點

4

C(0.-3).點。在拋物線上運動.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2.當點。在第四象限(向拋物線上運動時，連接8。，CD,BC,當ABCD的面積最大時，求點

D的坐標及MCZ)的最大面積；

(3)當點石在x軸上運動時，借助圖1探究以點3,C,。，E為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫

出點E的坐標.

圖1圖2

8.(2023?扶余市二模)如圖,拋物線y=M+市+c與％軸交于點4(1,0),5(5,0),頂點為P.

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出點尸的坐標；

(2)如圖，把原拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線T軸上方的部

分記作圖形M,在圖形M中，叵答：

①點A,/之間的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式為—；

②當抖4時，求y的取值范圍；

③當"強W〃?+2,且加＞之時，若最高點與最低點的縱坐標的差為”，直接寫出機的值.

24

9.（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線）1=加+加+2與上軸交于點A（_3,0）,點8,點。是拋物線y的頂

4

點，過點。作x軸的垂線，垂足為點。（-1,0）.

（1）求拋物線到所對應的函數(shù)解析式；

（2）如圖1,點也是拋物線,上一點，且位于x軸上方，橫坐標為小，連接MC,

若,CB=NDAC,求加的值；

（3）如圖2,將拋物線x平移后得到頂點為8的拋物線必.點P為拋物線力上的一個動點，過點尸作），軸

的平行線，交拋物線凡于點Q，過點Q作x軸的平行線，交拋物線出于點R.當以點尸，Q,R為頂點的

三角形與A4CD全等時，請直接寫出點夕的坐標.

圖1圖2

10.（2022?長春二模）在平面直角坐標系中，拋物線y=V-2〃?x+加與），軸的交點為A,過點A作直線/垂

直于y軸.

（1）求拋物線的對稱軸（用含〃?的式子表示）；

（2）將拋物線在y軸右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點用（內(nèi)，y）,N（x2,

力）為圖形G上任意兩點.

①當m=0時，若為<赴，判斷力與力的大小關系，并說明理由；

②若對于N=，〃-1,x2=m+1,都有y>y2,求m的取值范圍;

（3）當圖象G與直線y=〃?+2恰好有3個公共點時，直接寫出機的取值范圍.

題型五、圓中的分類討論思想

1.(2023?花都區(qū)一模)如圖1,已知NMAN=60。，在射線AM、AN上分別截取點8、C,使/V?=AC=8.

(1)求證：AB=BC；

(2)如圖2,以8c為直徑在8c的上方作一個半圓,點。為半圓上的一個動點，連接4)交3c于點E.

①當。時，求AD的長.

②在線段AC上取?點尸，連接5尸交AD于點G,若所=AE,當點。在半圓“C上從點A運動到點C時,

求點G經(jīng)過的路徑長.

2.（2023?裕華區(qū)二模）如圖1,立行四邊形ABC。中，人。=2石，DC=4后,/。=60。，點M在8c延

長線上且OW=C。，所為半圓。的直徑且莊_L8W,FE=6,如圖2,點E從點M處沿A組方向運動,

帶動半圓O向左平移，每秒G個單位長度，當點廣與點。重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓O立

即繞點石逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動5。，點尸落在直線8C上時，停止運動，運動時間為，秒.