專題4.25余角和補(bǔ)角（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.若NA=23。，則乙4余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

2.下列圖形中N1和N2互為余角的是（）

3.如圖NBCA=90,CD1AB,則圖中互余的角有（）對.

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，NAO8與/AOC互余，48與NAOC互補(bǔ)，0C平分/BOD,則/AO8

的度數(shù)是（）

\/B

\/

O

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

5.設(shè)兩個(gè)互余的銳角分別為Na和4,（）

A.若/。一/4=30。，l/liJ2Z/?>ZaB.若Na-N4=30。，則

C.若Na-N夕=40。，則2/夕>/。D.若Na—N/?=40。，則2N/?<Na

6.如圖，點(diǎn)C、。、3在同一條直線上，NAOB=90。，/AOE=/DOB,則下列結(jié)論:

①/￡00=90。；?ZCOE=ZAOD,?ZCOE=ZDOBx@ZCOE+ZBOD=90°.其中正確的

個(gè)數(shù)是（）

D

B

A.1B.2C.3D.4

7.將--副三角板按如圖所示位置擺放，其中Na與4一定互余的是（）

（1）ZADE=NCDF；（2）ZEDC=ZFDB；（3）/ADE與4DF互余;；（4）NCDF

與NAOE互補(bǔ).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.下列說法正確的是（）

（1）如果互余的兩個(gè)角的度數(shù)之比為1:3,那么這兩個(gè)角分別為45。和135。

（2）如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角不一定相等

（3）如果兩個(gè)角的度數(shù)分別是73。42,和16。18',那么這兩個(gè)角互余

（4）一個(gè)銳角的余角比這個(gè)銳角的補(bǔ)角小90。

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，C、。在線段BE上，下列說法：①直線CO上以8、C、。、E為端點(diǎn)的線

段共有6條；②圖中有4對互補(bǔ)的角；③若N84E=110。，ND4C=40。，則以A為頂點(diǎn)的所

有小于平角的角的度數(shù)和為370。；④若804,。二。后5,點(diǎn)F是線段8E上任意一點(diǎn)（包

含端點(diǎn)），則點(diǎn)產(chǎn)到點(diǎn)從C、。、￡的距離之和最大值為27,最小值為15,其中正確的說

法有（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

11.若一個(gè)角的余角為35。，則它的補(bǔ)角度數(shù)為.

12.已知NA與-5互為補(bǔ)角，且4=35。43',則.

13.如圖所示，NAOC=90。，點(diǎn)B,O,D在同一直線上，若4=26。，則N2的度數(shù)

為.

14.將一副三角板按如圖方式擺放在一起，且N1比N2大20°,則N1的度數(shù)等于

15.已知如圖:直線AB和C。相交于點(diǎn)O,若NAOO=5/AOC,則/8OC=

16.將兩個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合為如圖所示的位置，若4。/)=1()8。，則/。(用=

20.完成推理過程：

已知：OA_LOC,OE.LOD,求證N1=N2.

證明：

OA±OC,OEA.OD（已知）

AZAOC=°,NDOE=°（垂直定義）

???/1+/3=90"

N2+N3=90°

AZ!=Z2（）

21.如圖所示，將兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)重合.

(1)寫出以C為頂點(diǎn)的相等的角；

(2)若Z4C8=15()。，求NQCE的度數(shù)；

(3)寫出NAC8與/。CE之間所具有的數(shù)量關(guān)系；

(4)當(dāng)三角尺AC。不動(dòng)，將三角尺日出的EC邊與AC邊重合，然后繞點(diǎn)C按順時(shí)針

或逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)NACE(00<ZACE<90°)等于多少度時(shí)，這兩塊三

角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出NACE角度的所有可能值，不用說明理由.

22.如圖1,已知銳角NAO8,把一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一條直角邊和

。4重合，沿另一條直角邊畫射線。D,再用量角器畫出的平分線0C,此時(shí)，ZAOC

與N80C互余.

(1)請你用所學(xué)知識說明NAOC與N80C互余；

(2)請你仿照上面互為余角的畫法，在圖2中畫出一個(gè)NAO〃，使NAOH與N40”互補(bǔ)，

23.已知。為直線48上的一點(diǎn)，NCOE是直角，OF平分NAOE.

(1)如圖1,若NC。產(chǎn)=28。，則N8OE=。；

(2)當(dāng)射線0￡繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，NAOE與NCOb之間有何數(shù)量

關(guān)系？請說明理由.

(3)在圖3中，若/CO尸=65。，在N80石的內(nèi)部是否存在一條射線。0,使得

2/BOD+ZAOF=-/BOD)?若存在，請求出N80力的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

24.如圖1,4、0、B三點(diǎn)在同一直線上，NBO。與NBOC互補(bǔ).

(1)請判斷NAOC與N8。。大小關(guān)系，并驗(yàn)證你的結(jié)論；

(2)如圖2,若OM平分NAOCON平分NAO。，ZBOD=300,請求出NMON的度

數(shù).

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)乙4的余角是90。-NA,代入求出即可.

解：VZA=23°,

:.ZA的余角是90°-23°=67°.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角的定義，注意：如果NA和/B互為余角，那么NA=9()o-NB.

2.D

【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義計(jì)算.

解：根據(jù)余角的定義，兩角之和為90。，這兩個(gè)角互余.

D中N1和N2之和為90。，互為余角.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，根據(jù)余角的定義來判斷，記住兩角之和為90。,

與兩角位置無關(guān).

3.D

【分析】根據(jù)互余的定義，結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.

解：VZBCA=90,CD±AB,

；?互余的角有：NA與NB,NA與NACD,NACD與NBCD,NBCD與NB,共4

對.

故選D.

【點(diǎn)撥】考杳的互余的知識，注意掌握互余的定義和等量代換是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)已知條件得到NBOD=NAOD-NAOB=90。，根據(jù)角平分線的定義得到

NBOC=45。，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論.

解：???NAOB與NAOC互余，NAOD與NAOC互補(bǔ)，

???ZAOB-90n-ZAOC,ZAOD=180n-ZAOC,

ZBOD=ZAOD-ZAOB=90°,

TOC平分NBOD,

.\ZBOC=45°,

/.ZAOC=45°+ZAOB,

???ZAOB=90°-ZAOC=90°-(45°+ZAOB),

/.ZAOB=22.5°,

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，利用了互余的定義，角平分線的定

義，角的和差.

5.D

【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)及各選項(xiàng)的已知條件求出即可得出答案.

解：A.若Na-N夕=30。.VZa+Z/?=90°,,/a=60。,//=30。，則2N￡=Na,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.若Na—N/?=30。，???/。+/4=90。，J/。=60。,/〃=30。，則2N/?=Na,故此

選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.若Na-N尸=40。，???Na+N#=90。，???Na=65。,/尸=25。,則故此

選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.若Na-N￡=40。，Na+/￡=90。，<Na=65。,N￡=25。，則故此

選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角的性質(zhì)，熟練掌握余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.C

解：點(diǎn)C、0、8在同一條直線上，

二NAOC-180。

VNAO8=90。,

???NAOO+NBOO=90。，NAOG90。，

???/AOE=/DOB

???NAOE+N4O￡>=9(F,即NEOZX90。

AZCOE=ZAOD,NCOE+NBOD=90。

???①②④正確.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確同角的余角相等.

7.C

【分析】根據(jù)余角：若兩角和為90。則兩角互余；L算判斷即可;

解：A.兩角不一定互余，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

B.Na=45。，N尸二3。。，兩角不互余，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題怠：

C./0+4=180。-90。=9（）。，兩角萬余，選項(xiàng)正確，符合題意；

D.Na+"=I8O。，兩角互補(bǔ)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角的定義，掌握互余的兩角和是90。是解題關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

解：VAB1CD,EDJ.DF,

；?ZADC=ZEDF=90°,

：.ZADE4-ZCDE=ZCDF+ZCDE=90°.

：?ZADE=NCDF,故（1）正確；

同理可得NE￡>C=N77汨，故（2）正確；

???/ADE+/RDF=180°-/EDF=180。-90°=30。,

:.NADE與ZBDF互余,故（3）正確；

'：4CDF=ZADEV90。.

:.4CDF+4ADE<180°,

???/。。/與/〃花不互補(bǔ)，故（4）錯(cuò)誤：

故答案選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了余角和補(bǔ)角的知識點(diǎn)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】（1）根據(jù)互余的兩個(gè)角和為90。解題；

（2）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等解題；

（3）將兩個(gè)角相加，判斷和是否等于90。即可解題；

（4）設(shè)這個(gè)角為x,分別解得這個(gè)角的余角和補(bǔ)角，再求差即可.

解：⑴如果互氽的兩個(gè)角的度數(shù)之比為1:3,則這兩個(gè)角分別為

子=22.5,空尸=67.5。，故（1）錯(cuò)誤；

44

（2）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，故（2）錯(cuò)誤；

（3）???73°42'+16°18'=90°,

.?.73。42'與16。18'互余，

故（3）正確；

（4）設(shè)一個(gè)角為x,則它的余角為（90。/），它的補(bǔ)角為（180。-1），

（180°-x）-（900-x）=180°-x-90°+x=90°

故（4）正確，

故正確的有（3）（4）,共2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查余角、補(bǔ)角、互余、等角的補(bǔ)角相等等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，

掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

10.B

【分析】①按照一定的順序輸出線段的條數(shù)即可判斷；②根據(jù)補(bǔ)角的定義即可判斷；③

根據(jù)角的和差計(jì)算機(jī)可判斷；④分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上最小，當(dāng)點(diǎn)F和E

重合最大計(jì)算即可判斷.

解：①以8、。、。、E為端點(diǎn)的線段4。、BD、BE、CE、CD.。石共6條，故本詵項(xiàng)

正確；

②圖中互補(bǔ)的角就是分別以C、。為頂點(diǎn)的兩對鄰補(bǔ)角，即N8CA和NAC?；パa(bǔ)，/AOE

和NAOC互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③由NBAE=100。，NCAQ=40。，根據(jù)圖形可以求出

ZBAC+ZDAE+ZDAC+ZBAE+ZBAD+ZCAE=\\0°+110°+110°+40°=370°,故選項(xiàng)正幽：

④當(dāng)廠在的線段CQ上最小，則點(diǎn)尸到點(diǎn)〃、C、D、石的距離之和為

FB+FE+FD+FC=4+5+5+5=19,當(dāng)尸和E重合最大貝I」點(diǎn)尸至ij點(diǎn)仄C、D、石的距離之和

FB+FE-￥FD+FC=14+0+5+10=25,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查線段、角的和差、補(bǔ)角及角的計(jì)算，難度不大，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握有關(guān)知識點(diǎn).

11.125F#125度

【分析】若兩個(gè)角的和為90。，則這兩個(gè)角互余，若兩個(gè)角的和為180。，則這兩個(gè)角互

補(bǔ)，根據(jù)定義直接可得答案.

解：?.?一個(gè)角的余角為35。，

/.這個(gè)角為：90?35?55?,

則它的補(bǔ)角度數(shù)為：180?55?125?,

故答案為：125。

【點(diǎn)撥】本題考查的是余角與補(bǔ)角的計(jì)算，掌握“余角與補(bǔ)角的含義”是解本題的關(guān)鍵.

12.144°l7f

【分析】根據(jù)題意可得N4+N8=180。，即可求解.

解：???/A與互為補(bǔ)角，

，NA+"=180°,

???44=35。43',

AZB=18O°-ZA=18O°-35。43'=144。17’.

故答案為：144。17

【點(diǎn)撥】本題主要考查J'補(bǔ)角的定義，熱練掌握互補(bǔ)的兩用的和為180。是解題的關(guān)鍵.

13.116°

【分析】由圖示可得，N1與N8OC互余，結(jié)合己知可求NBOC,又因?yàn)镹2與NCOB

互補(bǔ)，即可求出N2的度數(shù).

解：???/1=26。，ZXOC=90°,

???NBOC=64。，

VZ2+ZBOC=180°,

/.Z2=116°.

故答案為：116。.

【點(diǎn)撥】此題考查了余角和補(bǔ)角的知識，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握互余的兩角之和為

90°,互補(bǔ)的兩角之和為18()。.

14.55*

【分析】設(shè)出未知數(shù)：N2=x，則Nl=x+20。，根據(jù)N1和N2的互余關(guān)系列出方程，

解方程即可.

解：設(shè)N2為x,則Nl=x+20。；

根據(jù)題意得：

x+x+20°=90°,解得：x=35°,

貝1」/1=35。+2()。=55。；

故答案為：55。.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角的定義：關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)找出等量關(guān)系列方程.

15.150°

解：由圖可以看出，/AOO與N8OC為對頂角，所以NAOO=N8OC,又因?yàn)?/p>

N4。。與NAOC互補(bǔ)，且NA0Z>5NA0C,所以/AOC=30。，ZAOD=150°,

則N8OC=150°.

16.72°.

【分析】由/AOB=NCOD=90。，ZAOC=ZBOD,進(jìn)而2人00/130口=108。-90。=18。，

由此能求出NBOC.

解：???ZAOB=ZCOD=90°,

ZAOC=ZBOD,XZAOD=108°,

ZAOC=ZBOD=108°-90°=18°,

ZBOC=900-l8°=72o.

故答案為：72°.

【點(diǎn)撥】本題考查的是角的和差，兩銳角的互余，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.24

【分析】根據(jù)折直角相等和正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)即可求得/E8尸的度數(shù).

解：???NF8E是NCEE折疊形成，

；?NFBE=/CBE,

*/NABF-NEBF=18°,ZABF+ZEBF+ZCBE=90°,

；?ZEBF+18°+ZEBF+ZEBF+=90°,

：.NEBF-NEBC-卻,

故答案為：24.

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，考查了正方形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中求得

NFBE二NCBE是解題的關(guān)鍵.

18.20

【分析】根據(jù)N3=NBOD+NEOC-/8OE,利用正方形的角都是直角，即可求得N8。。

和ZEOC的度數(shù)從而求解.

解：???/30￡>=90。-/2=58。，

ZEOC=9()°-Z1=90°-38°=52°,

XVZ3=ZBOD+ZEOC-ZBOE,

:.Z3=58o+52°-90o=20°.

故答案為：20.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，角度的計(jì)算,正確理解N3=N3OZH￡OCN8OE

這一關(guān)系是解決本題的關(guān)犍.

19.這個(gè)角的余角為66,補(bǔ)角為156,

【分析】互補(bǔ)的兩角的和為180。，互余的兩角和為90。，設(shè)這個(gè)角為4,則這個(gè)角

余角為90°-NA,這個(gè)角的補(bǔ)角為180O-NA,然后到方程求解即可.

解：設(shè)這個(gè)角為4，則這個(gè)角余角為90-44,這個(gè)角的補(bǔ)角為180-N4.

根據(jù)題意得：90-ZA=l（180-ZA）-12°.

解得NA=24.

90-ZA=90-24=66,

180-ZA=180-24=156°.

答：這個(gè)角的余角為66：補(bǔ)角為156.

故答案為這個(gè)角的余角為66。，補(bǔ)角為156。.

【點(diǎn)撥】本題考查余角和補(bǔ)角的定義，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵.

20.90,90,同角的余角相等

【分析】由垂直的定義，得到N4OC=90。，NOOE=90。，然后同角的余角相等，即可

得到N1=N2.

解：證明：\*OA±OC,OEJ_O￡>（己知）

AZAOC=90°,/。?！?90。（垂直定義）

???N1+N3=9O0

N2+N3=90"

AZ1=Z2（同角的余角相等）；

故答案為：90,90,同角的余角相等；

【也撥】本題考查了垂直的定義，同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，

正確的進(jìn)行證明.

21.(I)ZACD=NECB；(2)30°；(3)互補(bǔ)；(4)/ACE的所有可能值為30。，45。，

60°,75°.

【分析】(1)根據(jù)余侑的定義即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論.

(4)分四種情況分類討論，①當(dāng)。凡LAO時(shí)，②當(dāng)EBJLC7)時(shí)，③當(dāng)B瓜LAO時(shí)，④

當(dāng)CB1AD時(shí)，再畫出符合題意的圖形，從而可得答案.

解：(I)Z4CE+ZDCE=90°,/88+/"＞石=90。，根據(jù)同角的余角相等得：Z

ACE=ZBCD,

由直角可得，ZACD=ZECB；

(2)ZACE=150o-90°=60°,ZDCE=ZACD-Z4CE=90°-60°=30°：

(3)ZACI3+ZDCE=ZBCE+ZACE+ZDCE=ZBCE+ZACD=900+90°=180°,則

/AC?與N7)CE互補(bǔ)；

(4)當(dāng)CEJ_A。時(shí)，ZACE=180°-90°-ZA=180o-90°-60o=30°；

當(dāng)E8_LC。時(shí)，NE=NECO=45。,

???NACE:NACD-NECD=45。,

C

當(dāng)BELAD時(shí)，ZCFB=ZDFE=1800-90o-30o=60°,

?\NBC7>l800-NB-NCrB=75。，

；?/ACE=NBCD=75°；

ED

當(dāng)C8_LA。時(shí)，ZACB=180°-90°-ZA=30°,

；?ZACE=900-ZACB=60°；

即NACE角度所有可能的值為:30。、45。、60。、75°.

【點(diǎn)撥】本題考查了余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是熟練掌握余角的性質(zhì),角的和差關(guān)系.

22.(1)見分析(2)見分析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2)延長40,作NBOC的角平分線OH,即可得到結(jié)論.

(1)解：TOC平分

:.NBOC=/D()C,

NAOD=90。，

???NCOD+NAOG%。，

???NB0C+NA0C=9(T,

即ZAOC與N8OC互為余角；

(2)解：如圖2中，延長AO至C,作Z6OC的角平分線射線OH即為所求.

圖2

???0”平分N30C,

???ZBOH=ZCOH,

*/ZAOC=180°,

：.ZAOH+ZCOH=\m)°f

：,N4O，+NBO〃=l80。，

即NAOH與NBOH互為互補(bǔ).

【點(diǎn)撥】本題考查余龜與補(bǔ)角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義.

23.(1)56°；(2)ZB0E=2ZC0F,理由見分析；(3)存在，16°

【分析】(1)首先根據(jù)NCO/=28。，NCOE是直角，求出/反加=62。，然后根據(jù)OF

平分/AOE求出乙4OE=124。，最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可求比N8OE的度數(shù)；

(2)首先根據(jù)NCOE是直角，O/平分/AOE表示出/40￡=180。?2/。。凡然后根

據(jù)平角的性質(zhì)即可得到NBOE與NC6L之間的數(shù)顯關(guān)系：

(3)首先根據(jù)NCOE是直角，?！钙椒諲AOE求出/￡O/；=25。，ZBOE=\3()°t然后

代入2/80。+ZAOF，(NBOE-NBOD)求解