專題4.4幾何圖形（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

1.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是五邊形,這個幾何體可能是（

A.圓錐B.圓柱C.球體D.長方體

2.用平面去截一個圓柱，截面不可能是（）

。acU

3.如圖所示圖形中，不是正方體的展開圖的是（）

A.

C.

匚二

D.

4.下列四個圖形中是如圖所示的展開圖的立體圖的是（）

5.下列四張紙片中，可以沿虛線折疊成如圖所示的正方體紙盒的是（）

即

6.如圖1是一個正方體的展開圖，該正方體按如圖2所示的位置擺放，此時這個正方

體朝下的一面的字是（）

C.夢D.強

7.一個正方體的展開圖如圖所示,每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫

的兩個數(shù)之和相等，那么a+〃-2c=（）

C.36D.34

8.將選項中的四個正方體分別展開后，所得的平面展開圖與如圖不同的是（）

9.用小立方塊搭成的幾何體，從左面看和從上面看如下，這樣的幾何體最多要x個小

立方塊，最少要y個小立方塊，貝ijx+y等于（）

田Bn

從左面看從上面看

A.12B.13C.14D.15

10.如圖，有一個無蓋的正方體紙盒，的下底面標(biāo)有字母"例”，若沿圖中的粗線將其

剪開展成平面圖形，這個平面圖形是（）

無或

/M7

M

M

11.如圖是某正方體的展開圖，在頂點處標(biāo)有數(shù)字，當(dāng)把它折成正方體時，與4重合的

數(shù)字是（）

A.9和13B.2和9C.1和13D.2和8

12.如圖所示，每個小立方體的棱長為1,按如圖所示的視線方向看，圖1中共有1個

1立方體，其中1個看得見，0個看不見；圖2中共有8個立方體，其中7個看得見，1個

看不見；圖3中共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見；…，則第11個圖形中，

其中看得見的小立方體個數(shù)是（）

A.271B.272C.331D.332

二、填空題

13.將一個長方體的一個角切去，所得的立體圖形的棱的數(shù)量為

14.下圖所示的三個幾何體的截面分別是:

15.如圖，長方形的長為3cm、寬為2cm,分別以該長方形的一邊所在直線為軸，將其

旋轉(zhuǎn)一周，形成圓柱，其體積為（結(jié)果保留萬）

16.把邊長為2的正方形紙片ABCD分割成如圖的四塊，其中點E,F分別是AB.AD

的中點，OB=OC=EF,OF=EB,用這四塊紙片拼成一個與正方形ABCD不重合的長方

形MNPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則長方形MNPQ的周長是_________.

17.如圖，是?個正方體的表面展開圖，則原正方體中“國”字所在的面相對的面上標(biāo)的

18.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)尸及棱數(shù)E之間滿足一種

有趣的關(guān)系：V+F-E=2,這個關(guān)系式被稱為歐拉公式.比如：正二十面體（如右圖），是

由20個等邊三角形所組成的正多面體，已知每個頂點處有5條棱，則可以通過歐拉公式算

出正二十面體的頂點為個.那么一個多面體的每個面都是五邊形，每個頂點引出的棱

都有3條，它是一個面體.

19.一個正方體的六個面上分別.寫著六個連續(xù)的整數(shù)，且相對面上的兩個數(shù)之和相等,

如圖所示，能看到的數(shù)為7,10,11,則這六個整數(shù)的和為.

11

20.一個透明多面體的展開圖，每個面都標(biāo)注了字母，請回答：如果?在前面，從左

面看是4，（字母面顯示在外面）那么哪一面會在上面

A

BCD

21.將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6,2和5,3和4）放置于水平桌面

上，如圖1.在圖2中，將骰子向右翻滾90。，然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，則完

成一次變換.若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成3次變換后，

骰子朝上一面的點數(shù)是:連續(xù)完成2015次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)

是.

22.將兩個棱長相等的正方體如圖擺放，每個正方體的6個面均標(biāo)上數(shù)字，且所有對面

數(shù)字之?和?均為10,則圖中看不見的面的數(shù)字之?和?為—.

/2/4/I

一53

23.如圖是由幾個小立方塊所搭成幾何體的從上面、從正面看到的形狀圖.則搭建這樣

的幾何體最少需要個小正方體

盤

24.如圖①是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1

格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是.

/夢/

/3/4/5/

/1/2/

25.如圖，下圖中是圓柱體的有，是棱柱體的有.（只填圖的標(biāo)號）

①②③④⑤⑥⑦

26.從正面和從左面看一個長方體得到的形狀圖如圖所示（單位：cm）,則其從上面看

到的形狀圖的面積是.

從4面門

27.如果一個物體的頂點數(shù)與面數(shù)相同，并且有八條棱，那么這個物體是.

28.一位畫家把7個邊長為1m的相同正方體擺成如圖的形狀，然后把露出的表面（不

包括底面）涂上顏色，則涂色面積為m2.

三、解答題

29.用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形

的號碼.

9?0

CDE

△o□UOQ

123456

A()；B()；C()：D()；E().

30.杷楂長為1cm的若干個小正方體楔放成加圖所示的幾何體，然后在露出的表面上

涂上顏色（不含底面）

（1）該幾何體中有小正方體？

（2）其中兩面被涂到的有個小正方體；沒被涂到的有個小正方體；

（3）求出涂上顏色部分的總面積.

31.如圖所示，圖1為一個校長為8的正方體，圖2為圖1的表面展開圖（數(shù)字和字母

寫在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請根據(jù)要求回答問題：

（1）如果正方體相對面上的兩個數(shù)字之和相等，則1=,y=.

（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，則上面是（填".小或“y”或“2”）

（3）圖1中，點例為所在棱的中點，在圖2中找點M的位置，直接寫出圖2中

的面積.

32.十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（/）、棱數(shù)（E）

之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.

請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

四面體長方體正八面體正十二面體

（I）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（￡）

四面體44

長方體8612

正八面體812

正十二面體201230

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（/）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是.

（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8,且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是.

（3）某個玻璃筋品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形

拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個數(shù)為x個，

八邊形的個數(shù)為），個，求/），的值.

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、球體、長方體的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾

何體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案.

解.：A、用一個平面去截一個圓錐，得到的圖形可能是圓形，橢I員I，拋物線，雙曲線的

一支，三角形，故A選項錯誤：

8、用一個平面去截一個圓柱，得到的圖形只能是圓，橢圓，長方形，故4選項錯誤；

C、用一個平面去截一個球體，得到的圖形可能是圓，故C選項錯誤；

。、用一個平面去截一個長方體，得到的圖形可能是五邊形，長方形，三角形，故。選

項正確.

故選。,

【點撥】此題考查立體圖形，會識別圖形的形狀，學(xué)生有空間立體感很關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生

的空間想象能力.

2.B

【分析】根據(jù)圓柱的特點，考慮截面從不同角度和方向去截取的情況.

解：用平面去截圓柱：如果橫切就是圓，豎切就是長方形，斜切就是橢圓，唯獨不能是

梯形，

故選：B.

【點撥】此題考查用平面截幾何體，注意截取的角度和方向.

3.C

【分析】根據(jù)平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題.注意帶“田''字的不是正方體的平

面展開圖.

解：A、B、D都是正方體的展開圖，故選項錯誤；

C、帶“田”字格，由正方體的展開圖的特征可知，不是正方體的展開圖.

故選：C.

4.B

解：由展開圖可知含小黑正方形的面不能與含大黑正方形的面相鄰，所以A,C不是展

開圖所對應(yīng)的立體圖；折疊后三個小黑正方形在同一面，這樣D不符合；在A圖中，正好

是大黑正方形在上面，那么含小黑正方形就在底面，B符合；

故選B.

5.C

【分析】運用正方體展開圖的知識進行作答即可

解：由展開圖可知：可以沿虛線折疊成如圖所示的T方體紙盒的是C：

故答案為C.

【點撥】本題考查了展開圖折疊成幾何體，靈活運用正方體各面與展開圖的關(guān)系是解答

本題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】動手進行實驗操作，或者在頭腦中模擬(想象)折紙、翻轉(zhuǎn)活動即可求解.

解：由圖1可得，“中”和第三行的“國”相對;第二行“國”和“強”相對；“夢”和“夢”相對;

由圖2可得，此時小正方體朝下面的字即為“中”的相對面對應(yīng)的字，即為“國”.

故選：B.

【點撥】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對

面入手，分析及解答問題.

7.B

【分析】由已知條件相對兩個面上所寫的兩個數(shù)之和相等得到：8+a=b+4=c+25,進一

步得到a-c,b-c的值，整體代入a+b-2c=(a-c)+(b-c)求值即可.

解：由題意8+a=b+4=c+25

/.b-c=21,a-c=17,

/.a+b-2c=(a-c)+(b-c)=17+21=38.

故選B.

【點撥】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題.解

答本題的關(guān)鍵是得到a-c,b-c的值后用這些式子表示出要求的原式.

8.B

解：觀察圖形可知，將選項中的四個正方體分別展開后，所得的平面展開圖與上面展開

圖不同的是選項B.

9.A

解：由左視圖和俯視圖可得，如圖所示：

第I個圖最多共有6+1=7個，第2個圖最少有3+1+1=5個，故x=7,y=5,所以x+y=l2.

故答案是12.

10.A

【分析】根據(jù)無蓋可知底面M沒有對面，再根據(jù)圖形粗線的位置，可知底面的正方形

位于底面與側(cè)面的從左邊數(shù)第2個正方形下邊，然后根據(jù)選項選擇即可.

解：???正方體紙盒無蓋，

?，?底面M沒有對面，

???沿圖中的粗線將其剪開展成平面圖形，

???底面與側(cè)面的從左邊數(shù)第2個正方形相連，根據(jù)正方體的表面展開圖，相對的面之間

一定相隔一個正方形可知，只有A選項圖形符合.

故選A.

【點撥】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對

面入手，分析及解答問題.

11.D

【分析】當(dāng)把這個平面圖形折成正方體時，左面五個正方形折成一個無蓋的正方體，此

時，1與13重合、2與4重合、5與7重合、10與12重合，右面一個正方形折成正方體的

蓋，此時8與2、4的重合，9與1、13的重合.

解：當(dāng)把這個平面圖形折成正方體時，與4重合的數(shù)字是2、8.

故選：D.

【，點:撥】本題是考查正方體的展開圖，訓(xùn)練學(xué)生觀察和空間想象的能力.

12.C

【分析】根據(jù)圖①中、共有I個小立方體，其中1個看得見,0=（1-1）3個看不見，

圖②中，共有8個小立方體，其中7個看得見,"（2-1）3個看不見，

圖③中，共有27個小立方體，其中19個看得見,8二（3-1）3個看不見，…，

歸納出變化規(guī)律：

第〃個圖中,一切看不見的棱長為1的小立方體的個數(shù)為（〃-1）:

看見立方體的個數(shù)為/-（止1）I將第n個代入即可求解.

解：圖①中，共有I個小立方體，其中1個看得見,0=（1-1）3個看不見，

圖②中，共有8個小立方體，其中7個看得見,1=（2-1）3個看不見，

圖③中，共有27個小立方體，其中19個看得見.8:（3-1）③個看不見，…，

第〃個圖中,一切看不見的棱長為1的小立方體的個數(shù)為（〃-1）3,

看見立方體的個數(shù)為數(shù)?（小1）3,

所以則第11個圖形中，其中看得見的小立方體有113-103=331個，

故選C.

【點撥】本題主要考查圖形變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要通過題目條件進行歸納找出

圖形變化規(guī)律.

13.15條或14條或12條或13條

【分析】根據(jù)長方體的特征：長方體有12條棱.在頂點處截去一個角就多出三條棱,

但是長方體原本的12條棱少了幾條要畫圖分類討論.

解：①

12-1+3

=11+3

=14（條）；

12-3+3

=9+3

12（條）；

④」

12-2+3

=10+3

=13（條）；

答：所得立體圖形的棱的條數(shù)為15條或14條或12條或13條

故答案為：15條或14條或12條或13條

【點撥】本題考查了長方體的特征和截長方體，明確在頂點處截去一個角就多出3條棱

是解題關(guān)鍵.

14.圓長方形三角形

解：根據(jù)圖示直接可判斷，第一個截面是圓，第二個是一個長方形，第三個是一個三角

形.

故答案為圓，長方形，三角形.

15.124或18%.

【分析】根據(jù)圓柱體的體枳二底面積x高求解，再利用圓柱體側(cè)面積求法得出答案.

解：若以3cm為軸，族轉(zhuǎn)一周，

則為半徑，

所以丫=乃?22乂3=12不，

若以為軸，旋轉(zhuǎn)一周，

則3cm為半徑，

所以V=4-32X2=18V，

故答案為12%或18〃

【點撥】此題主要考查了面動成體，關(guān)鍵是掌握圓柱體的體枳和側(cè)面積計算公式.

16.10

【分析】根據(jù)題意，將三角形加。和四邊形OCQb移動位置，即可得到長方形MNPQ；

再根據(jù)正方形紙片ABCD邊長為2,通過計算即可得到長方形MNPQ的邊長，從而完成求

解.

解：：點E,卜分別是AB,AD的中點，OB=OC=Eb,。卜=EB

???如下圖，將三角形BOC和四邊形0C。*移動位置，即可得到長方形MNPQ；

???正方形紙片ABCD邊長為2

結(jié)合題意，得NP=MQ=AF=FD=LAB=1,BN=CD=AB=MB=2

2

???MN=MB+BN=4

???長方形MNPQ的周長=2x4+1x2=10

故答案為：10.

【點撥】本題考查了平面圖形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面圖形的性質(zhì)，從而完

成求解.

17.偉

【分析】根據(jù)在正方體的表面展開圖中，相對的面之間?定相隔?個正方形即可解答.

解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，

“偉”與“國”是相對面,

“人”與“中”是相對面，

“的”與“夢”是相對面.

故答案為：偉.

【點撥】本題主要考查了正方體與展開圖的面的關(guān)系，掌握相對的面之間一定相隔一個

正方形是解答本題的關(guān)鍵.

18.12.12.

【分析】①設(shè)出正二十面體的頂點為n個，則棱有g(shù)條.利用歐拉公式構(gòu)建方程即可解

決問題.②設(shè)頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F、每個點都屬于三個面，每條邊都屬于兩個面，利用

歐拉公式構(gòu)建方程即可解決問題.

解：①設(shè)出正二十面體的頂點為〃個，則棱有券條.

由題意產(chǎn)=20,

解得77=12.

②設(shè)頂點數(shù)匕棱數(shù)E,面數(shù)F,每個點屬于三個面，每條邊屬于兩個面

由每個面都是五邊形，則就有E=芍，V=^~

由歐拉公式：F+V-E=2,代入：

化簡整理：尸=12

所以：E=30,V=20

即多面體是12面體.棱數(shù)是30,面數(shù)是12,

故答案為12,12.

【點撥】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題意、利用等量關(guān)系列出方程是

解答本題的關(guān)鍵.

19.57

【分析】根據(jù)六個面上的數(shù)是連續(xù)整數(shù)可得另外三個面上的數(shù)有兩個是8,9,再根據(jù)

已知數(shù)有10，11可知另一個數(shù)不可能是6,只能是12,然后求解即可.

解：?.?六個而上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，

???看不見的三個面上的數(shù)必定有8,9,

若另一個面上數(shù)是6,則10與7是相對面，與題不符，

所以，另一面上的數(shù)是12,

此時7與12相對，

8與11相對，

9與10相對，

所以，這六個整數(shù)的和為3x(10+9)=57.

故答案是：57.

【點撥】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對

面入手，分析及解答問題，難點在于確定出看不見的三個面中有一個是12.

20.C

解：訓(xùn)練空間想象能力，或者實際操作制作紙盒可得C.

21.36

解：試題分析：根據(jù)題意可知連續(xù)3次變換是一循環(huán).所以2015:3=671......2,所以連

續(xù)完成3次變換后，骰子朝上-?面的點數(shù)是3,連續(xù)完成2015次變換后，骰子朝上一面的

點數(shù)是6.故答案為3,6.

考點：規(guī)律型.

22.50

【分析】根據(jù)題意可分別得出正方體每個面上的數(shù)字，再相加即可，注意不要忘記兩個

正方體中間兩面上的數(shù)字.

解：根據(jù)題意可得出2對面是8,4對面是6,6對面是4,3對面是7,-5對面是15,

兩個正方體中間兩面上的數(shù)字和為10,

，圖中看不見的面的數(shù)字和為:8+6+4+7+15+10=50.

故答案為：50.

【點撥】本題考查的知識點是有理數(shù)的加法運算，結(jié)合圖形找出正方體每個面上的數(shù)字

是解此題的關(guān)鍵.

23.11

解：從正面看，該幾何體從下到上共放置了3層小立方塊，結(jié)合從上面看到的圖可知，

該幾何體最下面一層至少需小立方塊8個，第2層至少需小立方塊2個，第3層至少需1

個小立方塊，所以整個幾何體至少需小立方塊11個.

24.路

【分析】先由圖1分析出：“國”和“興”是對面，“夢”和“中”是對面，“復(fù)”和“路”是對面，

再由圖2結(jié)合空間想象得出答案.

解：由圖1可知：“國”和“興”是對面,“夢”和“中”是對面，“復(fù)”和“路”是對面,

再由圖2可知，1、2、3、4、5分別對應(yīng)的面是“興”、“夢，“路”、“國”、“復(fù)”，

所以笫5格朝上的字是“路”.

所以答案是路.

【點撥】本題考查了正方體的展開圖，用空間想象去解決正方體的滾動是解題的關(guān)鍵.

25.③、④②、⑤、⑥

【分析】根據(jù)圓柱體和棱柱體的結(jié)構(gòu)特點進行判斷即可.

解：①、⑦不符合圓柱體和棱柱體的結(jié)構(gòu)特點，

⑤、④符合圓柱體的結(jié)構(gòu)特點，

②、⑤、⑥符合棱柱體的結(jié)構(gòu)特點.

故答案為（1）③、④（2）②、⑤、⑥

【點撥】本題考查圓柱體和棱柱體的結(jié)構(gòu)特點，棱柱的結(jié)構(gòu)特征：有兩個面互相平行,

其余各面都是四邊形，并且相鄰四邊形的公共邊互相平行，熟練掌握圓柱體和棱柱體的結(jié)構(gòu)

特點是解題關(guān)鍵.

26.12cm2

解：試題解析：根據(jù)從左面、從正面看到的形狀圖的相關(guān)數(shù)據(jù)可得；

從正面看到的形狀圖是長為4cm寬為2cm的長方形，

從左面看到的形狀圖是長為3cm寬為2cm的長方形，

則從」湎看到的形狀型的面積是4x3=12cn?.

27.四棱錐

解：點數(shù)和面數(shù)相同則肯定是楂錐，H楂數(shù)是底面功數(shù)的2倍，因為總楂數(shù)=側(cè)楂數(shù)+

底棱數(shù)，側(cè)棱數(shù)=底棱數(shù)，底棱數(shù)也就是底面邊數(shù).所以此物體是四棱錐.

28.23

【分析】依據(jù)圖形第一層露出4x2個面，第二層露出4x3+3個面，從而可解.

解：根據(jù)分析得露出的面的個數(shù)為4x2+4x3+3=23,又每個面的面積為In?,

則涂色面積為23m2.故答案為：23.

【點撥】結(jié)合圖形的特征，認(rèn)真觀察，是解決此類問題的關(guān)鍵.

29.A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）.

解：試題分析：分別分析五種圖形的所有的截面情況，即可寫出答案.

試題解析：A圓錐，截面有可能是三角形，圓，橢圓（不完全），

B三棱錐，截面有可能是三角形，正方形，梯形，

C正方體，截面有可能是三角形，四邊形（矩形，正方形，梯形），五邊形，六邊形，

D球體，截面只可能是圓，

E圓柱體，截而有可能是橢圓（不完全），圓，矩形，

因此答案為：A（I、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）.

【點撥】截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān).對于這類題，

最好是動手動腦相結(jié)合，親自動手做一做，從中學(xué)會分析和歸納的思想方法.空間想象力對

于解答此類題R也是比較關(guān)鍵的.

30.(1)14：(2)4,I；(3)33cm2

【分析】（1）該幾何體中正方體的個數(shù)為最底層的9個，加上第二層的4個，再加上第

三層的1個：（2）根據(jù)圖中小正方體的位置解答即可；（3〕涂上顏色部分的總面積可分上面，

前面，后面，左面，右面，相加即可.

解：（1）該幾何體中正方體的個數(shù)為9+4+1=14個；

（2）根據(jù)圖中小正方體的位置可知：最底層外邊中間的小正方體被涂到2個面，共4

個，只有最底層正中間的小正方體沒被涂到，

故答案為4；1；

（3）先算側(cè)面-