第十五章分式

一、單選題：

1.在攻擊人類的病毒中，某類新型冠狀病毒體積較大，直徑約為0.000000125米，含約3萬個堿基，擁

有RNA病毒中最大的基因組，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因組大三倍以上，比流感的基因組大兩

倍.0900000125用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.25xl06B.1.25X107C.1.25xl06D.1.25xl07

1

2.下列各式2xy5111.xy7中,分式的個數(shù)有（）

a?6+x32'xyxx+y

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式巖可變形為（)

aaa

A.B.一一—C.-------D.

-a-ba+ba+b----------------------------a-b

x—2

4.要使分式一—TT：-X有意義，X的取值應(yīng)滿足（）

A.B."2C.*1且-2D.或"2

5.下列分式中，最簡分式是（）

x+1a+\36D.(2-i

A.B.

x2-\a2x+12彳一），

如果把分式X

6.中的x和y都擴大2倍,那么分式的值（：)

x+y

A.不變B.擴大2倍C.擴大4倍D.縮小2倍

7.為J'改善生態(tài)環(huán)境，某社區(qū)計劃在荒坡上種植600棵樹,由于學(xué)生志愿者的加入，每日比原計劃多種20%,

結(jié)果提前1天完成任務(wù).設(shè)原計劃每天種樹x棵，可列方程（）

A—_一陋

(l+20%)xx

600600.

B.-------------------------=1

x(l-20%)x

6006(X),

C.-------------------------=1

(l-20%)xx

600600

D.-------------------------=1

x(l+20%)x

8.已知---=3,則分式Z'十富一"的值為（）

xyx-2xy-y

9若關(guān)于X的分式方程律+號=1無解'則〃’的值是（）

A.〃?=2或in=6B.m=2C.m=6D.〃?=2或m=-6

10.已知x+'=3,則一r三一的值為（）.

XX+X-+1

11D.±

A.-B.-C.

38964

二、填空題：

11.當(dāng)X.時，分式^——^有意義：當(dāng)工_______時,分式一的值為0.

x-3x-3

12.寫出下列分式中的未知的分子或分母：

_3ma-b()

(2)

24/加一Caba2b

13.計算：~a~2b~[c\｛一.

14.（-1）2+W-5+（2009—4）°=.

15.若方程■的解與方程9=3的解相同，則。=_______.

。+11-xx

16.下圖是嘉琪同學(xué)計算”一孚7的過程.其中錯誤的是第___________步，正確的化簡結(jié)果是

m-\ni-1

第一步第二步第三步

(/w+1):4m\m2+2m+1-4/w|m2-2m+1

原式=------------------------------=---------------------=----------------

(/W+I)(///-1)(/W+IXw-I)(ZW+l)(/n-I)(?W+l)(w-1)

(吁1)22

|(m+l)(m-1)|m+1

第四步第五步

4A&+C

17-己知則八二——，B=——，c=——，

18.若方程當(dāng)+1=」二的解為正數(shù)，則，〃的取值范圍為

19.關(guān)于x的分式方程々+毋==3無解，則，〃的值為_____.

x-2x~-4x+2

20.已知〃、b為實數(shù)，且而=1,設(shè)知==+二”,2=-1+/二，則”、N的大小關(guān)系是M

?+Ib+1。+1b+\

N（填=、＞、＜、N、＜）.

三、解答題：

21.解下列方程：

/3x,/、x+14,

（1）=-2；（2）-----；--=1.

%—22—xx—1x~—1

22.先化簡，再求值：（1——44Aa'—r44+,4，其中〃=27+S-2OI8）°.

（a+2）2a-4

23.某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件.由于銷售商突然急需供貨，工廠實際工作效率比原計劃

提高了50%,并提前5天完成這批零件的生產(chǎn)任務(wù).求該工廠原計劃每天加工這種零件多少個？

24.某商店以固定進價一次性購進一種商品，3月份按一定售價銷售，銷售額為2400元，為擴大銷量，減

少庫存，4月份在3月份售價基礎(chǔ)上打9折銷售，結(jié)果銷售量增加30件，銷售額增加840元.

（1）求該商店3月份這種商品的售價是多少元？

（2）如果該商店3月份銷售這種商品的利潤為900元，那么該商店4月份銷售這種商品的利澗是多少元？

1111

25.右有理數(shù)a,b滿足|a-l|+|ab-3|=。,試求罰+-232）+3+4）（"4/+3+2016）（*2016）的值.

第十五章分式

一、單選題：

1.在攻擊人類的病毒中，某類新型冠狀病毒體積較大，直徑約為0.000000125米，含約3萬個堿基，擁

有RNA病毒中最大的基因組，比艾滋病毒和丙型肝炎的基因組大三倍以上，比流感的基因組大兩

倍.0.000000125用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.25X106B.1.25X10-7C.1.25xl06D.1.25xl07

【答案】B

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法將原數(shù)表示為axl（r”的形式，其中〃是正整數(shù).

【詳解】解：O.OOOOOO125=1.25xlO7,

故答案選：B

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，對「一個絕對值小fl的非0小數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法寫成axlO”的形式，

其中〃是正整數(shù)，〃等于原數(shù)中第一個非0數(shù)字前面所有0的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的0）.

2.下列各式L也，工,L+L，,，,-4x.v,d,^中，分式的個數(shù)有（）

a‘乃'6+X'32'xy'xx+y

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的四則運算法則逐個運算求解即可

x+\I

【詳解】解：選項A：原式=(門］)(戈_|)=鬲~，不合題意；

選項8、原式為最簡分式，符合題意：

選項C、原式=、/右=~V，不合題意，

2(x+6)2

選項。、原式=gZ更=工—y,不合題意：

X-)'

故選：B.

【點睛】本題考杳了最簡分式的判斷，屬于基礎(chǔ)題，分子分母先因式分解，能約分的則約分化簡.

6.如果把分式三中的x和y都擴大2倍，那么分式的值()

A.不變B.擴大2倍C.擴大4倍D.縮小2倍

【答案】B

【分析】依題意，分別用2x和2)：去代換原分式中的x和)，，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可.

【洋解】解：分別用2x和2)，去代換原分式中的x和y,

得2xy_2-2x-2y_2-2xy

.r+y2x+2yx+y'

可見新分式擴大為原來的2倍.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù).要注意：解此類題

首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論.

7.為了改善生態(tài)環(huán)境，某社區(qū)計劃在荒坡上種植600棵樹，由于學(xué)生志愿者的加入，每日比原計劃多種20%,

結(jié)果提前1天完成任務(wù).設(shè)原計劃每天種樹x棵，可列方程()

600600.

A------------------------=1

(1+20%)*r

600600,

B.=1

x(l-20%)x

6(M)6(X),

C.=1

(l-20%)xx

600600,

D.=1

x(l+20%)x

【答案】D

【分析】設(shè)原計劃每天種樹k棵，列出實際和原計劃完成的天數(shù)，根據(jù)提前1天完成任務(wù)列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)原計劃每天種樹X棵,

600600

根據(jù)題意得:-----------------------=1

x(1+20%)x

故答案為：D.

【點睛】本題考杳了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是準確把握題后中的數(shù)量關(guān)系，找準等量關(guān)系列出方程.

8.已知=則分式生袈二立的值為()

xyx-2xy-y

1133

A.—B.--C.—D.--

5555

【答案】C

【分析】由---=3,得x-)，=-3盯，故可代入原式求解.

xy

【詳解】解：由---=3,得k后知，，

xy-

dr-y=-3xy?

2x+3xy-2y2(x-y)+3xy-6xy+3孫-3盯3

0-----------------=-------------------=---------------=-------=—

x-2xy-y(1一y)一2冷，-3xy-2xy-5xy5

故選：C.

【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)'-'=3,得)，?x=3xy.

9.若關(guān)于X的分式方程產(chǎn)■+—==1無解，則〃?的值是()

4-x-x-2

A.=2或，”=6B."7=2C.，”=6D.〃？=2或6=—6

【答案】A

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解，得到最簡公分母為0,求出x的值，代入整式

方程求出山的值即可.

【詳解】解：產(chǎn)+告=1

4-x2x-2

方程去分母得：-(x+m)+x(x+2)=(x+2)(x-2),

由分式方程無解，得到丁-4=0,

解得：x=2或x=-2,

把1=2代入整式方程得：相=6：

把工=-2代入整式方程得：加=2.

故選:A.

【點睛】本題考查分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分

式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

10.已知犬+'=3,則|的值為().

xx+k+1

1111

A.-B.-C.-D.—

38964

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的運算、完全平方公式的變形即可求解.

【詳解】0x+-=3

X

11111

==

0,"=r2...1=丫2311=7—1丫19^i8.

x4+x2+lX72+7T^+-1-1

故選B.

【點睛】此題主要考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形應(yīng)用.

二、填空題；

11.當(dāng)x時，分式上^有意義；當(dāng)x________時，分式上^的值為0.

x-3x-3

【答案】豐3=-3

【分析】根據(jù)分式有意義的條件及分式值為0的計算方法解答.

【詳解】解：由題意得x-3工0,

解得x=3,

回當(dāng)xw3時，分式上^有意義；

x-3

由題意得/一9=0/-3=0,

解得x=-3,

*一3時，分式會的值為。,

故答案為：=3,=-3.

【點睛】此題考杳分式有意義的條件：分式的分母不為0;分式值為。的條件：分子等于0,且分母不等于

0,熟記各條件是解題的關(guān)鍵.

12.寫出下列分式中的未知的分子或分母:

,、1Sm2n3ma-b()x2-xy_x-y

(1)—―7=--;(2);(3)

24〃"()abcrbx2

【答案】(1)4〃；(2)a2-abx(3)x

【分析】1、觀察⑴中等號左右兩邊的分子有什么變化，借助分式的性質(zhì)對分母可進行同樣的操作即可得到答

案；

2、同理，對于(2)、(3)可借助分式的性質(zhì)進行變形即可.

【詳解】解:⑴對咽M6mn,得乎；

24小〃-4〃

⑵二的分子分母同時乘a以，得匕弛；

aba2b

⑶二^的分子分母同時除以x,得口

xx

【點睛】本題考查分式的通分、約分，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的性質(zhì).

【分析】根據(jù)積的乘方和負指數(shù)嘉的性質(zhì)、單項式除法法則進行運算，得出最簡結(jié)果即為所求.積的乘方,

先把積中的每一個因數(shù)分別乘方，再把所得的幕相乘.任何不等于零的數(shù)的-P(P為正整數(shù))次累，等于這個數(shù)

P次事的倒數(shù)，

【詳解】原式=(-1)-2(a-2)-2(b-1)-2c-2-[(-1)2(^2)2(b-2)2]

Jab"/,”一

44

99

=(---)(a4va4)(b^b^Jc2

44

【點睛】本題考查積的乘方和負指數(shù)塞的性質(zhì)、單項式除法法則，最后結(jié)果一定要化成最簡分式.

14.(-1)2+出_5+(2009一4)。=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)乘方、負整數(shù)指數(shù)鼎、零指數(shù)靠結(jié)合實數(shù)運算法則計算即可.

【詳解】解：原式=1+2-5=-2,

故答案為：—2.

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)基，零指數(shù)累，熟知運算法則是解本題的關(guān)鍵.

15.若方程」\-1=二的解與方程9=3的解相同，則。=_______.

4+11-XX

【答案】T

【分析】求出第二個分式方程的解，代入第一個方程中計算即可求出。的值.

【詳解】解：方程9=3去分母得：3x=6,

x

解得：x=2,

經(jīng)檢驗x=2是分式方程的解，

根據(jù)題意將x=2代入第?個方程得：工1-1二二

。+11-2

解得：?=-1,

經(jīng)檢驗a=-g是原分式方程的解，

貝i」a=_g.

故答案為：一g.

【點睛】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

16.下圖是嘉琪同學(xué)計算絲［-與一的過程.其中錯誤的是第_____________步，正確的化簡結(jié)果是

tn-1nr-1

第一步第二步第三步

(/M4-1):4ni\m'-I-2m1-4m|nr—2m+1

原式===

(/W+I)(7//-I)(/W+IXw-I)(ZW+l)(/n-I)(w+l)(w-1)

(吁1)22

|(m+l)(m-1)|m+1

第四步第五步

【答案】五—

【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求解.

rn+14M

【詳解】0

m-1in2-1

(/n+1)24〃？

(7t?+1)(/??-1)(〃？+l)(/〃_1)

irT+2m+1-4m

(/n+!)(/??-1)

ni2-2m+1

(w+l)(/n-l)

二(吁

(/?/+1)(/?/-1)

_m-\

m+1

團錯誤的是第五步，

nj—1

故答案為：五；一.

in+\

【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運算法則.

4ABx+C

”?已知/可二：TE，則人=——，B=——，C=——.

【答案】1-10

【分析】通過通分，把等式右邊的分式相加求和，再根據(jù)分式恒等原理，比較各項系數(shù)，即可求解.

?222

_....7....ABx+CA(x+4)x(Bx+C)A(x+4)+x(Rr+C)Ax+Bx+Cx+4A

Lil-Hi-J2—+―;—-=——;~—十―—--=---------------------=---------;~~~-------，

xr+4x(x~+4)x(x~+4)x(x-+4)x(x-+4)

44一+C

"x(d+4)x+X2+4J

Av2+Bx2+Cx+4A_4

x(x2i4)X(JV2+4)*

A+3=0A=\

回14A=4解得：J=-l,

C=0c=o

故答案是：1，-1?o.

【點睛】本題主要考查異分母分式的加法法則，通過通分把等式右邊分式相加求和，是解題的關(guān)犍.

18.若方程3=+1二一二的解為正數(shù)，則，〃的取值范圍為

x-2x-2--------

【答案】〃?v-2且mH-4

【分析】先求得方程的解，再把；＞0轉(zhuǎn)化成關(guān)于用的不等式，求得利的取值范圍，注意封2.

【詳解】解：去分母得，5+，〃+穴-2=1,

解得x=-2-m,

團關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，

0-2-/?i>0,

0tn<-2，

取-2HO,

0—2—/?/*2,

12mH4

0m的取值范圍是m<-2N.〃?工-4,

故答案為：機〈一2且

【點睛】本題考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不為。是解題的關(guān)鍵.

19.關(guān)于x的分式方程二7；+母二=三無解，則機的值為_______.

x-2r-4x+2

【答案】1或6或-4

【分析】方程兩邊都乘以(x+2)(工-2),把方程化為整式方程，再分兩種情況討論即可得到結(jié)論.

2nvc

【詳解】解：???X-2+X2-4-X+2

?__2__+______m__x_____—___3__

A-2(x+2)(x-2)x+2'

.?.2(x+2)+/?iv=3(x-2),

-1)A=-10,

當(dāng)"7=1時，顯然方程無解，

又原方程的增根為：X=±2，

當(dāng)x=2時，ni-l=-5,

m=-4,

當(dāng)』=一2時，〃?-1=5,

/.m=6,

綜上當(dāng)〃2=1或〃2=-4或，〃=6時，原方程無解.

故答案為：1或6或T.

【點睛】本題考查的是分式方程無解的知識，掌握分式方程無解時的分類討論是解題的關(guān)鍵.

20.已知〃、〃為實數(shù)，且必=1,設(shè)M=——+7J,N=-1+丁1,則M、N的大小關(guān)系是M

4+1/7+14+1〃+1

N(填=、>、<、>><).

【答案】=

【分析】本題只需要先對M、N分別進行化簡，再把必=1代入即可比較M、N的大小.

ahlab+a+b

【詳解】解：知=----1----=-----:------

a+1b+\(</+1)(/?+1),

Ia+b+2

N=-----+

。+1b+\3+1)(匕+1)

田曲=1,

ba+b+2

回朋=

a+\b+\(a+l)S+l)

回M=N,

故答案為：=.

【點睛】本題考查了分式的混合運算，在解題時要注意先對分式進行化簡，再代入求值即可.

三、解答題:

21.解下列方程;

(1)————=-2

x-22-x

/、x+14?

(2)-----------$—=1.

x-1x2-l

【答案】(1)(2)無解

(分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

【詳解】解：(1)兩邊同乘(x-2),得:3+1=-2(x-2),

去括號得：3+x=-2x+4,

移項合并得：3A=1,

解得：/=：，

經(jīng)檢驗，x=g是原方程的解；

(2)兩邊同乘(x-1)(x+1),得：(X+1)2-4=X2-K

去括號得：x2+Zv+l-4=x2-l,

移項合并得：Zv=2,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的增根,

則原方程無解.

【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想〃，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.

22,先化簡，再求值：卜（一4、不42—上4〃+其4中”=2-*〃-2。叱

【答案】小,丁

【分析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后根據(jù)負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕求出a的值,

并代入求值即可得.

【詳解】原式=—吃卜產(chǎn)(，

(。+2a+2)2i,a-2)

G-2a-2

=----+----,

G+22

_a-22

a+2a—2

2

=7+2,

i?_2_2_4

當(dāng)。=2~+(九一2018)°=二+1=不時，原式一3一一7一7.

29-+2—

22

【點睛】本題考查了分式的減法與除法、負整數(shù)指數(shù)哥、零指數(shù)累，熟記各運算法則是解題關(guān)鍵.

23.某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件.由于銷售商突然急需供貨，工廠實際工作效率比原計劃

提高了SO%,并提前S天完成這批零件的生產(chǎn)任務(wù).求該工廠原計劃每天加工這種零件多少個？

【答案】該工廠原計劃每天加工這種零件1600個.

【分析】設(shè)該工廠原計劃每天加工這種零件x個，則實際每天加工這種零件（1+50%）x個，根據(jù)工作時間=

工作總量+工作效率結(jié)合實際比原計劃少用5天完成這批零件的生產(chǎn)任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解

之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論.

【洋解】解：設(shè)該工廠原計劃每天加工這種零件x個，則實際每天加工這種零件（1+50%）x個,

依題意，得：本題主要考杳分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法

廣,240002400()u

貝U.-----------------=5

x(l+50%)x

解得:x=1600,

經(jīng)檢驗，x=1600是原方程的解，且符合題意.

答：該工廠原計劃每天加工這種零件1600個.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列配分式方程是解題的關(guān)鍵.

24.某商店以固定進價一次性購進一種商品，3月份按一定售價銷售，銷售額為2400元，為擴大銷晟，減

少庫存，4月份在3月份售價基礎(chǔ)上打9折銷售，結(jié)果銷售量增加30件，銷售額增加840元.

（1）求該商店3月份這種商品的售價是多少