專題02整式及因式分解（11大考點(diǎn)，精選53題）

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)1列代數(shù)式

考點(diǎn)2代數(shù)式的求值

考點(diǎn)3整式的運(yùn)算

考點(diǎn)4索的運(yùn)算

考點(diǎn)5因式分解

考點(diǎn)6整式的混合運(yùn)算

考點(diǎn)7整式的化簡(jiǎn)求值

考點(diǎn)8代數(shù)式的變化規(guī)律

考點(diǎn)9圖形的變化規(guī)律

考點(diǎn)10新定義探究問題

考點(diǎn)11勾股數(shù)（樹）的變化規(guī)律

考點(diǎn)1列代數(shù)式

1.（2025?上海?中考真題）用代數(shù)式表示〃與人差的平方，正確的是（）

A.a2-b1B.[a-b）'C.a2-bD.a-b2

【答案】B

【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵：與力差的平方”指先求。減。的差,

再將這個(gè)差整體平方，即

【詳解】解：A.a2-b2：這是平方差公式的結(jié)果，表示。的平方減去力的平方，而非差的平方，錯(cuò)誤，不符

合題意；

R.（〃-%）2：表示先求差再平方，正確,符合題意：

C.a2-b：僅對(duì)〃平方后減去人，未對(duì)差整體平方，錯(cuò)誤，不符合題意；

2

D.a-b：表示〃減去b的平方，運(yùn)算順序錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，不符合題意；

故選:B.

2.（2025?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人.某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘

采摘10個(gè)蘋果.若該機(jī)器人搭載，〃個(gè)機(jī)械手（/〃>1）,則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋果個(gè)數(shù)為（）

A.6mB."7+1。C.60/〃D.10/?

【答案】D

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，每個(gè)機(jī)械手每分鐘采摘10個(gè)蘋果，，〃個(gè)機(jī)械手同時(shí)工作時(shí)，總采摘數(shù)

為每個(gè)機(jī)械手的效率之和.

【詳解】解：當(dāng)機(jī)器人搭載〃?個(gè)機(jī)械手時(shí)，總效率為每個(gè)機(jī)械手效率的累加，即：總采摘數(shù)=10x/n=10m,

故選:D.

3.（2025?四川廣安?中考真題）一種商品每件標(biāo)價(jià)為。元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，則每件商品的售價(jià)是

元.

【答案】0.8〃

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，按標(biāo)價(jià)的8折出售，即按原價(jià)的0.8倍出售，據(jù)此求解即可.

【詳解】解；一種商品每件標(biāo)價(jià)為“元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，則每件商品的售價(jià)是0.8a元，

故答案為;0.8a.

4.（2025?山西?中考真題）近年來(lái)，我省依托鄉(xiāng)村e(cuò)鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入.某農(nóng)

戶通過(guò)網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤(rùn)由原來(lái)的每個(gè)2（）元漕加到80元.該農(nóng)戶通過(guò)網(wǎng)上售出〃個(gè)布

老虎，則他的利潤(rùn)增加了元（用含〃的代數(shù)式表示）.

【答案】60a

【分析】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意是關(guān)鍵；求出售出一個(gè)布老虎增加I的利潤(rùn)，即可求出售出。

個(gè)布老虎增加的利潤(rùn).

【詳解】解：售出一個(gè)布老虎增加的利潤(rùn)為80-20=60（元），

則售出〃個(gè)布老虎增加的利潤(rùn)為60。.

故答案為：60a.

5.（2025?內(nèi)蒙古?中考真題）冰糖葫蘆是我國(guó)傳統(tǒng)小吃，若大市冰糖葫蘆每根穿5個(gè)山楂，小串冰糖葫蘆每

根穿3個(gè)山楂，則穿"，根大串和〃根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個(gè)數(shù)用代數(shù)式表示為.

【答案】5m+3n/3n+5m

【分析】本題考查/列代數(shù)式的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握代數(shù)式表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系的計(jì)算是關(guān)鍵.

根據(jù)“大串冰糖葫蘆每根穿5個(gè)山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個(gè)山楂，則穿,"根大市和〃根小用冰糖葫蘆”

即可列代數(shù)式.

【詳解】解：由題意得，山楂總個(gè)數(shù)用代數(shù)式表示為：5〃?+3〃，

故答案為：5/w+3〃.

考點(diǎn)2代數(shù)式的求值

6.（2025?吉林長(zhǎng)春?中考真題）已知f+2x=4,則代數(shù)式7-f-2.1的值為.

【答案】3

【分析】題主要考查了求代數(shù)式的值，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵.

將7-爐一2］化為7-（f+2x）,再整體代入求解即可.

【詳解】解：???/+21=4,

A7-X2-2X

=7-（X2+2X）

=7-4

=3,

故答案為：3.

7.（2025.四川自貢.中考真題）若2〃+/〉=一1,則4〃+2"-/＞的值為.

【答案】1

【分析】本題考查了求代數(shù)式的值、整式的混合運(yùn)算，由題意可得力=-1-為，整體代入計(jì)算即可得解，熟

練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???加+b=T,

：,b=-\-2a,

/.4a°+2ab-b=4eT+2〃（—1—20—（—1—2fl）=46p-2?-4a°+l+2a=1,

故選：1.

8.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）若/一2〃+1=0,則代數(shù)式2/一劭+3的值是____.

【答案】1

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，掌握整體的思想是解題的關(guān)鍵.先將/-3+1=0變形為a2-2z,=-i,再

將2萬(wàn)—4〃+3變形為2（〃2—%）+3,然后整體代入求解即可.

I2

【詳解】解：由題意可知：重售部分為：

35

設(shè)重疊部分的長(zhǎng)度為左,則a=3Z,b=[k,

重疊后的總長(zhǎng)度為：a-k+（b-k）+k=3\,即a+b-4=81,

代入〃=3后，b=獲得:3女+2左一女=81,

22

解得：4=18,

???々=3x18=54,b=-k=45,

2

二a+b=99,

故答案為：99.

考點(diǎn)3整式的運(yùn)算

12.（2025?遼寧?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.〃？+3m=4/?rB.2m-=5m2C.=nui2D.了=

【答案】D

【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘法、積的乘方、塞的乘方等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成

為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘法、積的乘方、器的乘方逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.初+3，〃=0+3）m=4/〃，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.2，〃?3m=（2x3）（〃"7）=6〃/，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.（mn）2=nrn1,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.（/n2）3=/n2x3=m6,故該選項(xiàng)正確，符合題意.

故選D.

13.（2025?吉林長(zhǎng)春?中考真題）下列計(jì)算一定正確的是（）

A.a+2ci=3aB.aa2=cr

C.a+ci=ci2D.（2a）-=2cJ

【答案】A

【分析】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，同底數(shù)轅乘法計(jì)算，合并同類項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)計(jì)算法則求出對(duì)應(yīng)選

項(xiàng)中式子的結(jié)果即可得到答案.

【詳解】解：A、。+勿=%，原式計(jì)算正確，符合題意；

B、a./=/+i=43,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、。+。=2〃，原式計(jì)算錯(cuò)誤，入符合題意；

D、（2a『=4〃2,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

14.（2025?湖南K沙?中考真題）下列運(yùn)算正確的是〈）

A.2a+a2=2ayB.6a2b+a=6b

C.（ab）1=ab7D.曬_娓=屈

【答案】C

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算和二次根式的加法運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A：2a與/不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，故A錯(cuò)誤；

B：6a為+〃中，6/人與〃的字母部分不同，無(wú)法合并，故B錯(cuò)誤；

C：根據(jù)積的乘方法則，（a/,）'=蘇力'等式成立，故C正確；

D：M、?、后均非同類二次根式，無(wú)法直接相減，故D錯(cuò)誤；

故選：C

15.（2025?四川南充?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.2a+a=3B.2a-a=2

C.2aa=2a2D.2a^a=2a

【答案】C

【分析】本題考查合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵；根據(jù)合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：A、2a+a=3at故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

B、2a-a=a,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

C、2aa=2a2,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

D、2〃+。=2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C

考點(diǎn)4塞的運(yùn)算

16.（2025?云南?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.x+2x=3x2B.d?F/C.x6-i-x2=xD.（x>?）2=xy2

【答案】B

【詳解】本題考查整式的運(yùn)算.熟練掌握合并同類項(xiàng)，同底數(shù)某的乘除法，積的乘方等基本法則，是解題

的關(guān)鍵.

運(yùn)用合并同類項(xiàng)，同底數(shù)昂的乘除法，積的乘方逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性，即得.

【分析】A、合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加，字母部分不變.x+2x=（l+2）x=3x,而非3犬，故A錯(cuò)誤.

B、同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.x2x3=^2+3=x5,故B正確.

C、同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.46+工2="6-2=14,而非刀,故C錯(cuò)誤.

D、積的乘方等于各因式乘方的積.（A>，）2=fy2,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

17.（2025?上海?中考真題）下列代數(shù)式中，計(jì)算正確的是（）

A.nt'+w3=Ini'B.ni"+rri'="/

C.，.my=m'D.（）=mb

【答案】A

【分析】本題考查代數(shù)式的運(yùn)算，涉及合并同類項(xiàng)、同底數(shù)塞相乘、塞的乘方等基本法則；逐一驗(yàn)證各選

項(xiàng)的正確性即可.

【詳解】解:A：加+加=幼乙合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加,字母部分不變，加3的系數(shù)為1,故1+1=2,結(jié)

果為2加，計(jì)算正確；

B：加法運(yùn)算中，指數(shù)不改變，僅系數(shù)相加；正確結(jié)果應(yīng)為2m工而非m6,計(jì)算錯(cuò)誤；

C：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；3+3=6,結(jié)果應(yīng)為加6,而非加工計(jì)算錯(cuò)誤；

D：寢的乘方運(yùn)算中，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；3x3=9,結(jié)果應(yīng)為m3而非旭6,計(jì)算錯(cuò)誤；

故選:A.

18.（2025?四川廣安?中考真題）下列各式運(yùn)算結(jié)果為d的是（）

A.B.C./+/D./+/

【答案】A

【分析】此題考查了同底數(shù)哥的乘除法、哥的乘方及合并同類項(xiàng)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.逐

一計(jì)算各選項(xiàng)的結(jié)果，即可得到答案.

【詳解】A.故選項(xiàng)正確，符合題意；

B.（/）“=",故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C."+"=為3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D."。+。3=々7,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選:A

19.（2025?湖北?中考真題）下列運(yùn)算的結(jié)果為小的是（）

A.m'+nt'B.W.WC.D.

【答案】C

【分析】本題考查的是合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法與除法運(yùn)算，哥的乘方運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底

數(shù)嘉的乘法與除法運(yùn)算，塞的乘方運(yùn)算，逐一計(jì)算各選項(xiàng)的結(jié)果，判斷是否為〃人

［詳解］解：A.m3+=2m3,結(jié)果為2m③，非m6，

B.nr?/???'=m2+3=nt，結(jié)果為小,非m6?

C.（，叫==m6,結(jié)果為M,符合題意，

D.m4+nr=m4-2=nr，結(jié)果為加，非m6;

故選：C

20.（2025?吉林?中考真題）計(jì)算（2/）’的結(jié)果為（）

A.2/B.2不C.8/D.8不

【答案】D

【分析】本題考查了積的乘方運(yùn)算及辱的乘方運(yùn)算，熟練掌握積的乘方運(yùn)算及基的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)積的乘方法則及累的乘方運(yùn)算，逐步計(jì)算即可.

【詳解】解：（2行=2?（叫L

故選：D.

21.（2025?江蘇蘇州?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.aay=a3B.a6=a3C.=a2b'D.（/）="

【答案】C

【分析】根據(jù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算判斷即可.

本題考查察的運(yùn)算性質(zhì)，包括同底數(shù)曷的乘除法、棄的乘方以及積的乘方。需逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合相

關(guān)運(yùn)算法則.

【詳解】A.aa3=al,3=a^但選項(xiàng)A結(jié)果為/,錯(cuò)誤.

B.『：/=46.2=",但選項(xiàng)8結(jié)果為/,錯(cuò)誤.

C.(ab)2=a2b\符合積的乘方法則，正確.

D.(/『=/*2=〃6,但選項(xiàng)D結(jié)果為。5,錯(cuò)誤.

故選：C.

22.(2025?山西?中考真題)下列運(yùn)算正確的是()

A.2。+3。=5abB.m2-m4=W

C.(a-b)2=a2-b2D.(2/n2)'=6/?z°

【答案】B

【分析】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)哥的乘法、完全平方公式、積的乘方等運(yùn)算法則，根據(jù)相應(yīng)法則，

逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可.

【詳解】A.2a+3b中的2a和%不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，故錯(cuò)誤.

B.m~-=〃p+4=6,正確.

C.(a-b)2應(yīng)展開為a2-2ab+b2.選項(xiàng)漏掉一2必，故錯(cuò)誤.

D.(2〃/7=23.(加2丫=8加6,選項(xiàng)中結(jié)果為6〃兒計(jì)算錯(cuò)誤.

故選：B.

23.(2025?四川內(nèi)江?中考真題)下列計(jì)算正確的是()

A.x2'/=/B.(x-y)2=Y-y2

C.x+2x2=3x2D.(x+2)(x-2)=x2-4

【答案】D

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，逐一分析各選項(xiàng)的運(yùn)算是否正確，利用耗的運(yùn)算、完全平方公式、合并

同類項(xiàng)及平方差公式進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.=/+4=X6/錯(cuò)誤.

B.(x->,)2=x2-2xy+y2#x2-y2,錯(cuò)誤.

C.尤與2/不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，結(jié)果應(yīng)為x+2f錯(cuò)誤.

D.根據(jù)平方差公式，(工+2)(工一2)二/-22=/-4,正確.

故選:D.

考點(diǎn)5因式分解

24.(2025?廣西?中考真題)因式分解：a2-l=()

A.(。+1)(〃-1)B.a(a+\)C.(?+1)2D.(a-I)2

【答案】A

【分析】本題主要考查了因式分解.利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解.

【詳解】解：a2-l=(a+l)(?-l).

故選：A

25.(2025?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)分解因式：/俄-2〃?)，=.

【答案】m(x-2y)

【分析】本題考查了提公因式法分解因式，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可；

【詳解】解；＞wc-2my-m［x-2y),

故答案為：帆(工一2)，)

26.(2025?黑龍江綏化?中考真題)分解因式：2nvc-4mxy+2my2=.

【答案】2m(x-yy

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.先

提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可.

［詳解］解：2nix2-4inxy+2my2=2w(x2-2芝y+)，)=2tn(x-yj2.

故答案為:2MAy「

27.(2025?北京?中考真題)分解因式：7〃，_28=.

【答案】7(m+2)(m-2)

【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

原式提取7,再利用平方差公式分解即可.

【詳解】解：7m2-28

=7(/W2-4)

=7(/〃+2)("?-2),

故答案為：7（〃?+2）（〃?-2）.

28.（2025?江蘇蘇州?中考真題）因式分解：X2-9=.

【答案】（i+3）（x-3）

【分析】本題考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用"-從=（〃+為（々-3分解因式即可.

【詳解】解：f-9=（x+3）（D.

故答案為：（x+3）（x—3）

29.（2025?四川成都?中考真題）多項(xiàng)式4/+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么加上的

單項(xiàng)式可以是（填一個(gè)即可）.

【答案】4x（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，根據(jù)題意匕得多項(xiàng)式4.，+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后可以變

為一個(gè)多項(xiàng)式的平方的展開式，據(jù)此根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)求解即可.

【詳解】解：由題意得，加上的單項(xiàng)式可以為4x,理由如下：

4x:+l+4x=（2x+l）2,

**.4x符合題意，

故答案為：4x（答案不唯一）.

30.（2025.江西.中考真題）因式分解：a1-a-

【答案】。（。一1）

【分析】本題主要考查了因式分解，靈活運(yùn)用提取公因式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用提取公因式法解答即可.

【詳解】解：a2-a=a（a-\）.

故答案為：a（a-l）.

31.（2025?山西?中考真題）因式分解：加2-]6=.

【答案】（m+4）（m-4）

【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；由平方差公式分解

即可.

【詳解】解:w2-16=(m+4)(/n-4)；

故答案為：（〃?+4）（〃?-4）.

32.（2025?湖南?中考真題）因式分解：a2+\3a=.

【答案】。（。+13）

【分析】本題主要考查了分解因式，直接提取公因式。進(jìn)行分解因式即可.

【詳解】解：/+13〃=〃（々+13）,

故答案為：。（。+13）.

考點(diǎn)6整式的混合運(yùn)算

33.（2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）（1）計(jì)算：V9-|l-V2|+2sin45°-^

（2）分解因式：2X3-8X

【答案】（1）-5；（2）2x（x+2）（x-2）

【分析】（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式乘法、負(fù)整數(shù)指數(shù)尋、絕對(duì)值，再計(jì)算加減法即

可；

（2）先提取公因式2工，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：（1）原式=3-5；

（2）原式=2+2-4）=2&+2總-2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，二次根式的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，絕對(duì)值的性質(zhì)，求特殊角三角

函數(shù)值，熟練掌握因式分解的方法，負(fù)整數(shù)指數(shù)累、二次根式、絕對(duì)值以及特殊角的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的

運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.

34.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）計(jì)算：

（I）x/i2-2cos30°+（7t+l）f＞；

（2）ci（a+2）-a5.

【答案】（1）6+1

⑵為

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵.

（1）先化簡(jiǎn)二次根式、計(jì)算含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算和零指數(shù)甯，再計(jì)算二次根式的混合運(yùn)算即

可得；

（2）先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)轅的除法，再計(jì)算整式的加減法即可得.

【詳解】⑴解：原式=26-2x巫+1

2

=2出-百+1

=百+1.

（2）解：原式=/+2々一￡

=2a.

35.（2025.河南?中考真題）（1）計(jì)算：我+（兀-1）°-百乂6；

（2）化簡(jiǎn)：（X+1）2-X（X+2）.

【答案】（1）0;（2）I

【分析】（1）首先計(jì)算立方根，零指數(shù)轅和二次根式的乘法，然后計(jì)算加減；

（2）首先計(jì)算完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減.

【詳解】解：（1）網(wǎng)+（冗一1）°一百x石

=2+1-3

=0：

（2）（X+1）2-X（X+2）

=x2+2x+l-x2-2x

=1.

【點(diǎn)睛】此題考查了立方根，零指數(shù)幕和二次根式的乘法，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)

鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

36.（2025?新疆?中考真題）計(jì)算：

/1\0

【答案】（1）4

Q）"l

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)累，平方差公式利單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算

法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算算術(shù)平方根和零指數(shù)曷，再計(jì)算乘方和絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可得到答案；

(2)先根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】(1)解：(-2)2+|-l|-^+^-1J

=4+1-2+!

=4；

(2)解：一。)+(。+1)(。-1)

=a-a2+a~-1

=a-\.

37.(2025?廣西?中考真題)(1)計(jì)算：(-2)x(-l)+3

(2)化簡(jiǎn)：a(a-1)+a

【答案】(1)5；(2)a2

【分析】(1)先算乘法，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可；

(2)先算乘法，再合并同類項(xiàng)即可；

本寇考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:(1)原式=2+3

=5；

(2)原式=々2—.

=d2.

考點(diǎn)7整式的化簡(jiǎn)求值

38.(2025?浙江?中考真題)化簡(jiǎn)求值：x(5-x)+/+3,其中x=2.

【答案】5x+3,13

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再進(jìn)行合并同類項(xiàng)，然后再代入求值即可.

【詳解】解：x(5-x)+/+3

=5X-JC2+x2+3

=5x+3,

當(dāng)工=2時(shí)，原式=5x2+3=13.

39.（2025?湖南?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+2乂］—2）十耳1一力，其中x=6.

【答案】x-4,2

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)笄法則是解題的關(guān)鍵.

分別利用平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并，然后代入求值即可.

【詳解】解：（X+2）（X-2）+X（1-JC）

=A2-4+x-x2

=A-4,

當(dāng)R=6時(shí)，原式6-4=2.

考點(diǎn)8代數(shù)式的變化規(guī)律

40.（2025?河南?中考真題）觀察2乂4Y,6.己8/「，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第〃個(gè)式子

為?

【答案】2底，

【分析】本題是單項(xiàng)式規(guī)律題，根據(jù)給出的單項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)?般規(guī)律是解題關(guān)鍵.分析已知式子，得到第〃個(gè)式

子為2小/，即可得到答案.

【詳解】解：第1個(gè)式子：2x=lx2-f,

第2個(gè)式子：4x2-2x2A:2?

第3個(gè)式子：6.?=3x2x3,

第4個(gè)式子：8/=4x2-x\

觀察發(fā)現(xiàn)，第〃個(gè)式了?為2,4，

故答案為：2心"

41.（2025?四川宜賓?中考真題）已知4、%、%、4、%是五八止整數(shù)去掉其中任意一個(gè)數(shù)，剩余四個(gè)數(shù)

相加有五種情況，和卻只有四個(gè)不同的值，分別是45、46、47、48,則q+4+4+%+%=.

【答案】58

【分析】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解題的關(guān)

鍵.

設(shè)q+az+q+q+qG”，由題意可知已知這五個(gè)和只有四個(gè)不同的值，不妨設(shè)加-4=加J），那么

這四個(gè)不同的值可以表示為加-。2,k%，"一生（假設(shè)生與前面某一個(gè)數(shù)相等）且為這四個(gè)值分

別是45、46、47、48：再說(shuō)明3/〃+%=186,然后分四種情況解答即可.

（詳解］解：設(shè)q+%+%+%+%=m,那么去掉”后和為，〃-q；去掉的后和為m一a2;去掉。3后和為閉一%；

去掉％后和為，〃-。4：去掉火后和為一%；

,/已知這五個(gè)和只有四個(gè)不同的值，

:.不妨設(shè)〃?-4=〃?-%（i工j）,

那么這四個(gè)不同的值可以表示為〃?-如〃?-%，機(jī)-%,機(jī)-%1假設(shè)的與前面某一個(gè)數(shù)相等）.

???這四個(gè)值分別是45、46、47、48,

（加一q）+（〃?一生）+（/〃-43）+（m一%）=45+46+47+48=186,即4〃?一（q+%+/+4）=186,

?/4+出+/+%+%=m

q+a2+4+&=m—a5,

:.4/77-（/7/-?5）=186,即3m+%=186；

當(dāng)ni-=tn-at=45時(shí)，即a、=m-45；

231

???3〃?+〃?-45=186,解得：機(jī)=二］,不是整數(shù)，不符合題意；

4

當(dāng)in-a5=〃，一生=46時(shí)，HPa5=m-46；

3〃?+〃?-46=186,解得：rn=58>符合題意；

當(dāng)m-a5=m-a3=47時(shí)，即a5=tn-47；

233

/.3/n+/H-47=186,解得：山=手，不是整數(shù)，不符合題意；

4

當(dāng)in-a5=m-a4=48時(shí)，即a5=m-48；

934

???36+6-48=186,解得：〃?=宇，不是整數(shù)，不符合題意；

4

綜上，m-58,即q+々2+%+4+%=58.

故答案為:58.

3x+l（x為奇數(shù)）

42.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）對(duì)于正整數(shù)x,規(guī)定函數(shù)/（%）=i,.在平面直角坐標(biāo)系中，

2Mx為偶數(shù)）

將點(diǎn)（或〃）中的〃?，〃分別按照上述規(guī)定，同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)（其中小，〃均為正整數(shù)）.例

如，點(diǎn)（8,5）經(jīng)過(guò)第1次運(yùn)算得到點(diǎn)（4,16）.經(jīng)過(guò)第2次運(yùn)算得到點(diǎn)（2,8）,經(jīng)過(guò)第3次運(yùn)算得到點(diǎn)（1,4）,經(jīng)

過(guò)有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈，按上述規(guī)定，將點(diǎn)（2,1）經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)算后得到點(diǎn)是（）

A.（2,1）B.（4,2）C.（1,2）D.（1,4）

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，求函數(shù)值，通過(guò)計(jì)算點(diǎn)（2,。每次運(yùn)算后的結(jié)果，發(fā)

現(xiàn)其變化呈現(xiàn)周期性循環(huán)，周期為3次.利用周期性規(guī)律，確定第2025次運(yùn)算后的結(jié)果.

【詳解】解：初始點(diǎn)：（2,1）（第。次運(yùn)算）.

第I次：橫坐標(biāo)2為偶數(shù)，/（2）=|=1；縱坐標(biāo)1為奇數(shù)，/（l）=3xl+l=4；得到點(diǎn)（1,4）.

第2次：橫坐標(biāo)1為奇數(shù)，/（l）=3xl+l=4；縱坐標(biāo)4為偶數(shù)，/（4）=|=2；得到點(diǎn)（4,2）.

第3次：橫坐標(biāo)4為偶數(shù)，/（4）=：=2；縱坐標(biāo)2為偶數(shù)，"2）=；=1：得到點(diǎn)（2,1）,與初始點(diǎn)相同,

即三次一循環(huán)，

2025+3=675,

，第2025次運(yùn)算后對(duì)應(yīng)點(diǎn)與第3次運(yùn)算后的點(diǎn)相同，即（2,1）.

故選：A.

考點(diǎn)9圖形的變化規(guī)律

43.（2025?黑龍江綏化?中考真題）觀察下圖，圖（1）有.2個(gè)三角形，記作4=2；圖（2）有.3個(gè)三角形，

記作生=3；圖（3）有6個(gè)三角形，記作仆=6；圖（4）有11個(gè)三角形，記作出=11；按此方法繼續(xù)下去,

則%=（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示）.

△△△

△△△△△△會(huì)會(huì)△△△△△△…

44△△△

圖⑴圖⑵圖⑶圖（4）

【答案】//一2〃+3

【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之

間的共同規(guī)律以及與第一個(gè)圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律.仔細(xì)觀察圖形變化，找到圖形的變化規(guī)律，利

用規(guī)律解題即可.

【詳解】解：第一個(gè)圖形中有2=(1-廳+2個(gè)三角形；

第二個(gè)圖形中有3=(2-1),+2個(gè)三角形；

第三個(gè)圖形中有6=(3-1)2+2個(gè)三角形；

第四個(gè)圖形中有11=(4-1)。2個(gè)三角形；

L.

第〃個(gè)圖形中有+2=1—2〃+3個(gè)三角形.

故答案為-2〃+3

44.(2025?陜西?中考真題)生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設(shè)計(jì)

圖案，如圖②，第1個(gè)圖案用了3個(gè)矩形，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩形，……則

第10個(gè)圖案需要用矩形的個(gè)數(shù)為.

.PH-.[.1J,Jill,

Lil1111?I1II

第I個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

圖②

【答案】21

【分析】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)犍是根據(jù)己知圖案歸納出圖案?jìng)€(gè)數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)第1

個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1+2=3；第2個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：l+2x2=5：第3個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：

l+2x3=7；…第〃個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1+2〃，算出第10個(gè)圖案中矩形個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：???第1個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1+2=3；

第2個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：l+2x2=5；

第3個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：l+2x3=7；

第〃個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)：1+2〃，

???則第10個(gè)圖案中矩形的個(gè)數(shù)為：1+2x10=21,

故答案為：21.

45.（2025?重慶?中考真題）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓

點(diǎn)，第③個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)……按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

①②③④

A.32B.28C.24D.20

【答案】C

【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色

圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個(gè)圖形中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，代入〃=6計(jì)算即可?解

題的關(guān)鍵是通過(guò)圖形的變化得出圖形中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律.

【詳解】解：第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，

第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，

第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，

第④個(gè)圖案中有16個(gè)黑色圓點(diǎn)，

則第〃個(gè)圖案中有4〃個(gè)黑色圓點(diǎn)，

所以第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4x6=24個(gè)，

故選：C.

46.（2025?浙江?中考真題）【文化欣賞】

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中汜載的二項(xiàng)和的乘方（〃+，，）”展開式的系數(shù)規(guī)

律如圖所示，其中“三乘”對(duì)應(yīng)的展開式：

（a+/?）4=a"+4q％+6a2h2+4ab3+b4.

【應(yīng)用體驗(yàn)】

已知（x+2）4=x4+@3+24/+32.V+16,則m的值為

左右

顰…積

本O

平的一

一方。。一

Jo。三。

■一㈣六㈣一

久五①①?O

3一六⑷。①③O

來(lái)

【答案】8

【分析】本題考查了整式規(guī)律探究,根據(jù)（〃+力4=。4+4。%+6。2/+4加+64展開,即可求解.

【詳解】解：（a+））4=4,+4a++6a2b2+4aby+b4,

（x+2>=x4+41.2+6x2-22+4X-23+24

=A4+8/+24,v2+32x+16，

〃7=8,

故答案為：8.

考點(diǎn)10新定義探究問題

47.（2025?四川成都?中考真題）分子為1的真分?jǐn)?shù)叫做“單位分?jǐn)?shù)”，也叫“埃及分?jǐn)?shù)”.古埃及人在分?jǐn)?shù)計(jì)算

時(shí)總是將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，如：|3=1+1將53拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)相加的形式

為;一般地，對(duì)于任意奇數(shù)8（4>2）,將？拆分成兩個(gè)不同單位分?jǐn)?shù)相加的形式為.

K,,

2112=11

【答案】廠訴不+言

11444----^―

22

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題中定義，找到等式左右兩邊代數(shù)式的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.先

根據(jù)題中定義，結(jié)合題干例子可求解第一空；分別求得攵=3、5、7...2〃+1對(duì)應(yīng)等式，由此得到等式左右兩

邊代數(shù)式的變化規(guī)律，進(jìn)而可得答案.

由題意，

當(dāng)1=2m嗎|-=rr

21+511

當(dāng)上=5=2x2+l時(shí),5--iF-15+3

21+7I1

當(dāng)上=7=2x3+l時(shí),-=---=---1--，

728284

2II

*5=2〃+1時(shí)'廠⑵+1）（〃+1）+777,

又/z=H.

2

2_1I

???對(duì)于任意奇數(shù)&（&>2）,~k=k（k+\）+~k+\,

"-2F

42二11

故答案為：^-=-+—：%一旗而十■.

11444-;--^―

22

48.（2025?重慶?中考真題）我們規(guī)定：一個(gè)四位數(shù)M=礪，若滿足c/+〃=c+d=10,則稱這個(gè)四位數(shù)為

“十全數(shù)”.例如：四位數(shù)1928,因?yàn)?+9=2+8=10,所以1928是“十全數(shù)”.按照這個(gè)規(guī)定，最小的?,十全

數(shù)”是：一個(gè)“十全數(shù)"M=痂，將其千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置.，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位

置，得到一個(gè)新的數(shù)AT=Z而，記”（M）=晦G（M）="￥,若4尸（M）+,（二）+15與吟^均

909111317

是整數(shù)，則滿足條件的M的值是.

【答案】19193782

【分析】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得至lja=l,c=l,然后求出匕=10-1=9,

4=10-1=9,即可得到最小的“十全數(shù)”是1919；根據(jù)題意表示出M=900a+%+1010,

M-M'M+M'

M'=—9a—900c+l0100,然后表示出“（何）=-^-=。+。-10,G（AY）=——=81?-81c-bI010,然后

90911

市一山4尸（M）+G（M）+I57a+c-3ab+cd.8〃+8c、-3a、?組我i

表小W---------------=6〃-6c+76+--—，------=a+c+l----------，然后根據(jù)題思得至U

13131717

7.;-3與8"+尸均是整數(shù),得到加十0-3能被13整除，勖+8c-3能被17整除，然后由

1KCK9求出5K7a+c—3W69,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：設(shè)四位數(shù)用=麗

???要求最小的“十全數(shù)”，

c=l

.-./>=10-1=9,1=10—1=9

???最小的“十全數(shù)”是1919；

???一個(gè)“卜全數(shù)”〃=旃，

/.a+b=c+d-1()

.,.6=10-4,d=10-c

A^=?fc/=100067+l00(10-?)4-10c4-10-c=900t/+9c+1010

，AT=國(guó)=1000(10-c)+100c+10(10-，/)+a=-9〃-900c+10100

M-M'_900a+9c+1010-(-9〃-900。+10100)_4+

:.F(M)=

909909

M+AT_900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)_8]a即、+10]()

/.G(M)=

II11

.4F(M)+G(M)+15

13

_4(?+c-10)+8k/-81c+10104-15

13

85。-77c+985

13

,,7?+c—3

=6(/-6c+76+--------

13

ab+cd10?+10-674-10c+10-c9〃+9c+20,8。+8c—3

------=----------------------=-----------=a+c+1-----------

17171717

4/(M)+G(M)+15與平均是整數(shù)

13

7〃+。-3-8〃+8。-3

均是整數(shù)

1317

7〃+c—3能被13整除，&?+8c-3能被17整除

1<?<9,l<c<9

7<7?<63,-2<c-3<6

5<7?+c-3<69

7a+c-3的值可以為13,26,39,52,65

7a+c-38a+8c-3

依次代入可得，當(dāng)a=3,c=8時(shí),--------=2,---------二5均是整數(shù)，符合題意

1317

A=10—a=7,d=10—c=2

滿足條件的M的值是3782.

故答案為：1919,3782.

49.（2025?新疆?中考真題）對(duì)多項(xiàng)式A,B,定義新運(yùn)算''十"：入十4=2人+笈；對(duì)正整數(shù)上和多項(xiàng)式A,定

義新運(yùn)算“軟'："③A=鄴?*或依（按從左到右的順序依次做“十”運(yùn)算）.已知正整數(shù)加，〃為常數(shù),

kI4

記M=〃退（丁+31沖），N=w0|y2-14xy）,若“十N不含個(gè)項(xiàng)，則〃?〃=

【答案】15

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，整式加減中不含某一項(xiàng)問題，先根據(jù)"③A=%嶂屹曾44回獨(dú)，令

4個(gè)人

攵=1,2,3L,求出相應(yīng)的結(jié)果，進(jìn)而推導(dǎo)出當(dāng)代=〃7時(shí)的結(jié)果，利用新定義，求出M,N,再根據(jù)新定義求

出M十N,根據(jù)M十N不含孫項(xiàng)，得到孫項(xiàng)的系數(shù)為0,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：:"③、=曲斡觸忸物率彈依，

A個(gè)A

?,?當(dāng)&=1時(shí)，l?A=A=（2i-l）4：

當(dāng)上=2時(shí)，2?A=40A=2^+A=3A=（22-1）4,

當(dāng)上=3時(shí)，3€）A=Ae>Ae）A=3A3A=2x3A+A=7/l=（23-l）A,

當(dāng)上=4時(shí)，3?A=A?A?A?A=3A?A?A=7A?A=\5A=（24-\）yA,

L

???當(dāng)女=小時(shí)，/n?A=（2w-l）A,當(dāng)左=〃時(shí)，n?A=（T-\）A,

：.M=/H0（x2+3Lt>^=（2W-1）（x2+31A>'）,JV=（2Z,-1）（/-14^）,

AA/eN=2M+AT=2（2m-l）（x2+31^）+（2rt-l）（/-14Ay）

=（2OT+,-2）x2+（2d-i）y2+[62?（2”—1）—14（2”一川孫，

???M十N不含孫項(xiàng)，

:.62（2n,-l）-14（2z,-l）=0,

.-.31（2ZM-l）-7（2H-l）=0,

設(shè)2"=。,2"="則：3k/-7Z;=24,

.L31^-24

..b=-------,

7

???”，b均為2的整數(shù)事,為偶數(shù)，

*。二8

b=32

:.2m=8,2"=32,

in=3

n=5

/.mn=\5；

故答案為：15.

考點(diǎn)11勾股數(shù)（樹）的變化規(guī)律

50.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士

琳法則法則的提出，不僅簡(jiǎn)化了勾股數(shù)的生成過(guò)程，也體現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法

則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3,4,5；②5,12,13；@7,24,25；④9,40,41；……根據(jù)上述規(guī)律，

寫出第⑤組勾股數(shù)為.

【答案】11,60,61

【分析】本題考查勾股定理，數(shù)字類規(guī)律探究，觀察可知，每組勾股數(shù)的笫一個(gè)數(shù)字為奇數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)

字為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，得到第⑤組勾股數(shù)的第I個(gè)數(shù)為11,設(shè)第2個(gè)數(shù)為x,則第3個(gè)數(shù)為x+1,根據(jù)勾

股定理列出方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意，第⑤組勾股數(shù)的第1個(gè)數(shù)為11,設(shè)第2人數(shù)為《，則第3個(gè)數(shù)為x+1,

由勾股定理，得：112+不2=（/］）2,

解得：x=60,

/.x+l=61；

，