2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講5.抽象函數(shù)及應(yīng)用含答案5.解

決抽象函數(shù)的七大視角

1.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

2.抽象函數(shù)的對稱性與周期性

3.賦值法解決抽象函數(shù)問題

4.圖像法解決抽象函數(shù)問題

5.求導(dǎo)公式(積分法)還原抽象函數(shù)

6.抽象函數(shù)還原具體模型

7.抽象函數(shù)求解析式

1.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

下面的例子將分析抽象函數(shù)模型的單調(diào)性與奇偶性，其所使用的方法就是賦值法，這是處

理函數(shù)方程問題中最常見的手法.

例1.定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(幻滿足對任意卬均有/(x+y)=/(x)+/()，),試判斷

f(x)的奇偶性.

解：???/。+3，)=/。)+/()，)，故令x=)，=O,有f(O)=f(O)+f(O).?./(())=0

又令X+)，=O,即x=-3，，/(())=/(X)+/(T)=().?./(X)+/(T)=()，/(X)為奇函數(shù).

例2.已知函數(shù)/(*對任意V,yeR,總有/(.r+y)=/(%)+/()，),且對Vx<0,都有/(Aj>0.

判斷并用定義證明函數(shù)/⑺的單調(diào)性.

解析：函數(shù)〃力是R上的減函數(shù)，證明如下：

由題意，令工=丁=0,有/(0)=/(。)+/(0),解得/(。)=0,任取西《凡，不妨設(shè)再<為，

則/(%)-/'(毛)"(X-占+%)-/伍)=/(%-七)+〃毛)-/(毛)=4%-七)，

因為.即</，貝也一々<0，所以/(內(nèi)一天)>。，即/(不)>/(王)，所以函數(shù)是R上的

減函數(shù).

例3.設(shè))，=/(對是定義在”的函數(shù)，并且滿足/(與，)=/3)+/(｝，)，且當(dāng)x>l時,

/(x)<0.判斷/(x)的曲調(diào)性并證明.

解析：-f(xy)=fM+f(y),故令x=)，=l，W/(l)=/(1)+/(1)/./(1)=0

又令x?y=1nx=",/(I)=/(x)+/?)=0:?/G)=-fM.

f—=/(%)+/—]=/(Xl)-/(X2)<0?

令%>毛>°，故土>1，fM為單調(diào)減

\X27\X2J

函數(shù).

例4.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域是R,對任意X)，恒有/(x+y)=/(x)?/()，)，且當(dāng)x>0時,

0</(A)<l.

(1)求證:/(0)=1,且當(dāng)x<()時，l</(x)；

(2)判斷/(x)在R上的單調(diào)性.

解;(1)???〃*+y)=/(x),/()，),故令x=)，=0,有/(0)=/(0)/(0)/./(0)=1或者/(0)=0，

當(dāng)/(0)=0時，?."*+0)=/(外?/(。)=0,這與當(dāng)工>()時，矛盾，故只有

/(())=1;

又令x+)，=0=)，=-x,f(0)=f(x)-f(-x)=1/./(-x)=-------當(dāng)x>0時，0</(x)<1,

/(x)

故當(dāng)x<0時，-x>0,<1"(x)>l對x<0時

"一"=看'0</(_"<1/M

恒成立.

(2)令-A2)=/(xj)-'=yy-4<1/(xj</(々),:./(x)為單

J\X2/J

調(diào)減函數(shù).

2.抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

函數(shù)對稱性主要有軸對稱和中心對稱兩種情況.函數(shù)對稱性研究的是一個函數(shù)本身所具有

的性質(zhì).

性質(zhì)1.軸對稱：函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于x軸的直線對稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個點

（X"G））,“2,/（々））到直線X=。的距離相等且函數(shù)值/G）=f（X2）時.我們就稱函數(shù)

》=/（幻關(guān)于工=。對稱.

代數(shù)表示：（1）.f（a+x）=f（a-x）

（2）.f（x）=f（2a-x）

即當(dāng)兩個自變量之和為一個定值，函數(shù)值相等時，則函數(shù)圖像都關(guān)于直線文=。對稱.

一般地，若函數(shù)）=/（幻滿足/（〃+x）=/S-x）,則函數(shù)）=/3）的圖象關(guān)于直線

a+b3玨

x=-------對稱.

2

特別地，偶函數(shù)（關(guān)于y軸對稱），/（x）=/（-X）,即當(dāng)演坐標(biāo)到原點的距離相等（橫坐標(biāo)互

為相反數(shù)），函數(shù)值相等.

性質(zhì)2.中心對稱：函數(shù)y=f（x）上任意一點（%,/（%））關(guān)于點（。m）對稱的點（/，/（/））

也在函數(shù)圖像上，此時我們就稱函數(shù)為關(guān)于點（。力）對稱的中心對稱圖像，點為對稱

中心.

用代數(shù)式表示：（I）.f（a+x）+f（a-x）=2b

(2).f(x)+f(2a-x)=2b

一般地，若函數(shù)y=/(x)滿足/(。+戈)+/(—，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(營卷)對

稱.

特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點對稱)，/(x)=-/(-x),即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點的距離相等(橫坐標(biāo)

互為相反數(shù))，函數(shù)值相反.

性質(zhì)3.函數(shù)周期性有關(guān)結(jié)論：

設(shè)0是非零常數(shù)，若對于函數(shù))，=/(x)定義域內(nèi)的任一變量x有下列條件之一成立，

則函數(shù))，=f(x)是周期函數(shù)，且21〃|是它的一個周期.

(1).f(x+a)=f(x-d)(2).f(x+a)=-f(x)

(3)?/(犬+。)=(4)./'*+〃)=

fM

3.函數(shù)的對稱性與周期性

性質(zhì)4已知/(幻是定義在R上的函數(shù)，若+是奇函數(shù)，則/(幻的圖像關(guān)于

點A(a,O)對稱.

性質(zhì)5.已知/*)是定義在R上的函數(shù)，若/(x+a)(aeR)是偶函數(shù)，則/(x)的圖像關(guān)于

直線X=4對稱.

性質(zhì)6.若函數(shù))，=,f(x)同時關(guān)于直線x=〃與x=h軸對稱，則函數(shù))，=/(外必為周期函

數(shù)，且7=2|。-〃|.

性質(zhì)7.若函數(shù))，=/(x)同時關(guān)于點(。,0)與點(。,0)中心對稱，則函數(shù)y=f(x)必為周期

函數(shù)，且7=2匕一〃|

性質(zhì)8.若函數(shù)y=/(x)既關(guān)于x對稱，又關(guān)于直線(。,0)軸對稱，則函數(shù))，=/(?必

為周期函數(shù)，且7=4|〃-6.

性質(zhì)9.已知函數(shù)/(制的定義域為R,a、beR,且。工〃，若/(x+a)與/(x+b)均為

奇函數(shù)，則/(x)是周期函數(shù)，且2(。-㈤為其一個周期.

性質(zhì)10.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,a、bwR,且G工〃，若,f(x+。)與均為

偶函數(shù)，則/")是周期函數(shù)，且2(。一份是其一個周期.

性質(zhì)11.已知函數(shù)/(幻的定義域為R,a、且aw/?,若/Cr+a)是奇函數(shù)，/(/+份

是偶函數(shù)，則/*)是周期函數(shù)，且4(。一份為其一個周期.

3

性質(zhì)12.周期性的應(yīng)用：

(1).函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹T只要了解一個周期的性質(zhì)，則得到

整個困數(shù)的性質(zhì).

(2),圖像：只要做出一個周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行復(fù)制粘貼.

(3).單調(diào)性

由于間隔kT(k￡Z)的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù))，=/3)在abWb-aWT)上單調(diào)增

(減)，則)，=/(幻在&+仃/+仃),(％￡Z)上單調(diào)增(減).

二.典例分析

例5.(2021新高考2卷)已知函數(shù)/("的定義域為R,/'(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇

函數(shù)，則()

A./(一；)=()B./(-O=0C.42)=0D./(4)=0

解析：因為函數(shù)/(>2)為偶函數(shù)，則f(2+x)=〃27),可得/(X+3)=/(1T),

因為函數(shù)/(2.1+1)為奇函數(shù)，則/(l_2x)=_〃2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，〃x+3)—"(1),即/(X)=/(X+4),

故函數(shù)/(工)是以4為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)尸(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，貝IJ

F(0)=/(l)=0,==其它三個選項未知.故選：B.

例6.(2021全國甲卷)設(shè)函數(shù)/("的定義域為R,/"+I)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù),

當(dāng)xe[l,2]時，/*)=爾+心若/(0)+〃3)=6,貝V《卜

)

9

44

解析：因為/(x+1)是奇函數(shù)，所以/(一工+1)=-/(1+1)①;

因為/(彳+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4々+3,由②得：/⑶=川)=〃+8,

因為/(。)+/(3)=6,所以一(4〃+3+。+〃=6=。=一2,令x=0,由①得：

/(1)=-/(1)=>/(1)=0=>^=2,所以/(1=-2/+2.由兩個對稱性可知，函數(shù)〃工)的

周期7=4.所以D=D=-店)=]?故選：D.

3.賦值法解決抽象函數(shù)問題

例7.已知函數(shù)“力的定義域為R,為(孫)=力?(x)+，f(y),則().

4

A./(0)=0B./(l)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為的極小值點

解析：0^f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

對于A,令x=y=O,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=T,/(I)=/(-l)+/(-l)=2/(-l),則/(-1)=0,

令"-i,/(-x)=/(x)+r/(-l)=f(x),

又函數(shù)〃丫)的定義域為R,所以“丫)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/")=0,顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故D錯誤.

例8.(2021全國乙卷)已知函數(shù)/3),g(x)的定義域均為R,且

/(x)+g(2-x)=5,-f\x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,貝lj

￡f*)=()

￡=l

A.-21B?-22C.-23D.-24

解析：因為)，=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對稱，所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)-fd)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),

因為/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代人得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/*)+/U-2)=-2,

所以/(3)+/(5)+…+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因為/*)+g(2—x)=5,所以/(0)+或2)=5,即"0)=1,所以/⑵=-2-/(0)=-3.

因為g(x)—/(x—4)=7,所以g(x+4)—/(x)=7,又因為/*)+g(2—x)=5,

聯(lián)立得，鼠2-力+&(工+4)=12,所以＞，=8。)的圖像關(guān)于點(3,6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)

的定義域為R,所以g(3)=6因為.f(x)+g(x+2)=5,所以〃1)=5—g(3)=-l.

所以

￡/W=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24

A=1

故選：D

例9.(2022新高考1卷)已知函數(shù)/⑴及其導(dǎo)函數(shù)/'⑴的定義域均為R,記g(x)=/”a),

若/仔-2]，g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(())=()B.+力=。C./(-D=/(4)D.以-1)=或2)

解析：因為/(T—2，，以2+工)均為偶函數(shù)，

5

所以/g—2x)=fg+2x)即/+g(2+x)=g(2-x)t

所以〃3—x)=/(x),gd)=g(x),則，-l)=/(4),故C正確；

函數(shù)/(x),gCi)的圖象分別關(guān)于直線<=］x=2對稱，又g(x)=/'(x),且函數(shù)/*)可導(dǎo)，

所以g；=。2(3—x)=-g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以

g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g(一;)=gI=°,g(-l)=g⑴=-g⑵，故B正確，D

錯誤；若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(。為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法

確定/(丫)的函數(shù)值，故A錯誤.故選，BC.

4.圖像法解決抽象函數(shù)問題

例10.函數(shù)/(“是定義在R上的偶函數(shù)，在(f,0］上是減函數(shù)且/(2)=0,則使由力〈0

的x取值范圍()

A.(-8,2)B.(-2,0)U(2,-FW)C.(-8,—2)|J(O,2)D.(-2,2)

解析：因為函數(shù)是偶函數(shù)，42)=0,所以"-2)=0.因為函數(shù)〃工)是定義在R上的偶函

數(shù)，在(f,。］上是減函數(shù)，所以函數(shù)在(()，")單調(diào)遞增，所以函數(shù)的草圖如圖所示，因

V(x)<0,所以滿足己知的函數(shù)的圖象在第二、四象限，所以8，-2)U(O,2).故選：C

5.求導(dǎo)公式(積分法)還原抽象函數(shù)

己知的不等式中所含結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)的方向

礦3+2/(X)尸(x)=x2f(x),r(x)=fr(力+2xf(x)

xf'(x)-2x尸(力=綽，F(xiàn)〈x)二礦(”)；2/(x)

vXv)-/W*X)=組，-，(力=礦也/(”

XX

礦3+/(x)F(x)=xf(x)t產(chǎn)(x)=/'(x)+.y(x)

x

尸(x)=ef(x)t尸(加叫/(%)+/(明

F(x)-陰F，(.),(X)；〃X)

-尸(x)Y

/(x)cosx+J"(K)sinxXCOSA

F(x)=f(x)s\nxt產(chǎn)'(x)=f'(x)sinx+/()

6

/(x)+/z(x)ianx"償?(切

例11.已知/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，對任意人eR,都有/(〉―/(x)=2x_l,

ex

且/(0)=1,則不等式/(力<3/的解集為()

A.(―2,—1)B.(—2,1)C.D.(—1,2)

解析：設(shè)g(x)二旦°，,/*)=)1)-/*)=-RD=21,

eeex

2x

二?g(x)=——x+c，;g(())=，)=1,/.c=l,/.^(x)=x-x+1,?：f(x)<3et

e

???華<3,「」2一戈+1<3，即/一工一2<0，解得一1<%<2,所以不等式解集為(一1,2),

e

故選D.

,若〃。)=1,則函數(shù)塞的

例12.已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且/'(x)+/(x)=2xe，

f(x)

取值范圍為()

A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,2]

解析:由r(x)+/(x)=3得:e/(x)+e"(x)=2x?，即=2x,令g(x)=</(x),

則g'(x)=2x,.?.g(x)=V+c(c為常數(shù))，.“2+。="/(力，.?./(刈=^￡，又〃0)=1,

，C=1,；J(X)=亨，則r(x)=2x-:1..需=27：/=1-I；

當(dāng)x=0時，/J|=T；當(dāng)xwO時，,J1w[-2,一1)U(T，O]；綜上所述：,J[6[TO].

f(x)/(-v)/(A)

故選：A.

6.抽象函數(shù)還原具體模型

(1)若/(x+)，)=/(x)+/()，)+h,則可構(gòu)造/(x)+-—從特別地，當(dāng)

/(x)+/(y)=/(x+y)時，可構(gòu)造/。)=h.

(2)若f(x+y)=/(x)+f(y)+laxy-c,則可構(gòu)造f(x)=ax2+bx+c.

(3)若fa+y)=/W(y),則可構(gòu)造(。)=優(yōu)(。>0且awl).

(4)若/(何)=/3+/(y)(孫工0)，則可構(gòu)造/(x)=log”崗(。>0且awl).

(5)./(x+y)+J\x-y)=2J(x)J(y),貝!)可構(gòu)造/(x)=cos刃t

7

(6)若/(x±)，)=/(?土則可構(gòu)造/(x)=tan@r.

1干/x)/(y)

例13.已知函數(shù)/("的定義域為R,+則().

A./(O)=OB./(1)=0

C.“X)是偶函數(shù)D.x=0為/(X)的極小值點

解析：當(dāng)2Ho時，對f(盯)=V/*)+//(y)兩邊同時除以Vy2,得到

=)+,故可以設(shè)3=1巾|(.0),則/⑶=

X~y~X~yx~11[0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=x2Inx,J8|/,(x)=2xlnx+x2—=x(21nx+l),

/

令尸(工)<0,得ocveT；令/")>。，得x>e+；故/*)在。皤？上單調(diào)遞減，在

\7

(\_A(Y.\1

-5,”上單調(diào)遞增，因為/(x)為偶函數(shù)，所以八幻在beTO上單調(diào)遞增，在-8工5

X/\/\

上單調(diào)遞減，

顯然，此時x=0是/(X)的極大值，故D錯誤.故選：ABC.

例14.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,K/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,則

￡f(k)=

氏二1

A.-3B.-2C.ODJ

解析：由余弦函數(shù)積化和差公式可得，考慮函數(shù)/(X)=2COSXR,則/*)滿足題意.于

是，周期為6,且/⑴=1"(2)=—1J(3)=—2,/(4)=-1"(5)=1"(6)=2,進一

22

步￡八k)=f(l)+/⑵+/⑶+/(4)=-3,故選A.

JI=I

7.抽象函數(shù)求解析式

8

4

例15.己知函數(shù)/(工)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且對xw(O,+00)都有//(x)--=4,

則/(x)=

4

解析：因為函數(shù)/("是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，所以/(“-2為一個常數(shù).

A

令/=〃司」4,則/⑺=4,且/(x)=/+4所以/(1)=Z+J4即4=/+24,解得：1=2.

Att

44

故/(幻=2+一.答案為/(幻=2+—.

XX

三.習(xí)題演練

1.(2014陜西卷)下列函數(shù)中，滿足“/(工+)，)=/(耳/()尸的單調(diào)遞增函數(shù)是()

A./(x)=x2B./|x)=x3C./(x)=gD./(x)=3'

2"II

2.已知〃x)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)工，都有//(x)+—-=-,則

4?1w/

/(1%3)的值為()

I4

A.0B.C.-D.1

?I2

解析：根據(jù)題意，令/(*)+$=/,，為常數(shù)，可得/(/)=；,且/(幻="￡,

2+132+1

所以xm時有/(/)="六=］將1=1代入，等式成立，

所以，=1是/")=；的一個解，因為/⑺隨/的增大而增大，所以可以判斷了⑺為增函數(shù)，

所以可知函數(shù)/⑺有唯一解/=1,又因為了—21=鏟1所以/(%)+—7=1，即

_乙十Z十I

22I

/(x)=l--,所以f(log23)=l-鈣=5.故選：B.

3.定義在R上的奇函數(shù)"幻滿足/(x+4)=/(x),且/㈤在2.2］上是減函數(shù)，則()

A./(5)</(4)</(3)B./(3)</(4)</(5)

C.〃3)<〃5)</(4)D./(4)</(5)</(3)

解析：/⑴滿足/(x+4)=/'(x),所以/(”的一個周期為4,又因為了⑴在22上是減函數(shù),

且在R上的奇函數(shù)，所以/⑶在［-2,0］上是減函數(shù)，所以/(1)</(。)</(一1),即

/(5)</(4)<〃3).故選：A.

4.已知函數(shù)/(力，g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為尸上),g"),若/(x+2)為偶函數(shù)，

)，=g(x+l)-2是奇函數(shù)，且/(3-x)+g(x-l)=2,則下列結(jié)論止確的是()

A./(2022)=0B.g(2023)=0

9

C./*)是R上的奇函數(shù)D.g'(x)是R上的奇函數(shù)

解析：已知〃x+2)為偶函數(shù)，可知〃x+2)關(guān)于x=0對稱，所以關(guān)于x=2對稱，因

為)，=8(1+1)—2是奇函數(shù)，可知y=g(x+l)—2關(guān)于(0、0)對稱，

所以g(x)關(guān)于(1,2)對稱,又因為/(3T)+g(x-l)=2,則”2-x)+g(x)=2,即

身(x)=2—〃2—x),所以f(x)與g(x)關(guān)于(1,1)對稱，因為(1,2)關(guān)于(1,1)對稱的點為(1,0),

直線x=2關(guān)于(1.1)對稱的直線為x=0,所以/(另關(guān)于(1,0)對稱，g(x)關(guān)于直線X=0對稱,

g(x)是偶函數(shù)，而/(“關(guān)于x=2對稱，/(x+4)=/(-x),又/(x+2)=—/(r),

貝IJ/(X+4)=-/(人-2),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),/(x)^f(-x),

即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項錯誤；由g(x)關(guān)于直線.”0對稱，g(-x)=g(x),

g(x)關(guān)于(1,2)對稱，g(-x)+g(x+2)=4,則g(x)+g(x+2)=4,g(x+2)+g(x+4)=4,

所以g(x+4)=g(x),即g(x)是周期為4的偶函數(shù)，由于“X)是周期為4的偶函數(shù)，則

=等號兩邊同時求導(dǎo)，可得-r(T)=r(x),所以尸(力是周期為4的奇函數(shù)，

同理，由于g(x)是周期為4的偶函數(shù)，則身(-司=4力，等號兩邊同時求導(dǎo)，可得

_g'(T)=g'(x),g'G)是周期為4的奇函數(shù)，所以廣⑴與/(￡)均是周期為4的奇函數(shù),

故D選項正確；由于/")關(guān)于x=2對稱，/(x+4)=/(—x),r(x+4)=—/'(r),則

廣(2)=0,所以/'(2022)=r(505x4+2)=r(2)=0,故A選項正確；

g(2023)=g(505x4+3)=g(3)=g⑴=2,故B選項錯誤；故選：AD.

5.己知函數(shù)/*)的定義域為R,+且當(dāng)x<3時/(x)=x,則下列

結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C.,/(10)<1000D.,/(20)<10000

解析：因為當(dāng)“<3時/(?=x,所以/w=ij(2)=2,又因為/1(為>f(x-i)+ra-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(!())>/(9)+/(8)>89,

/(H)>f(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233J(13)>/(12)+/(!!)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知/(20)>1000,則B正確；

10

且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.

6.已知函數(shù)的定義域為R,若/(/(X)+)N)=X+〃)，)/(Z),則()

A./⑴=0

B.=x

C./⑸=/("(>)

D.小+加/(3()，)

解析：令x=y=0,z=l,則/(/(0))=/(。)/⑴，令x=)，=z=0,則/(/(O))=/(O)/(O)

貝1J，/(/(。))=/(0)/(。)=/(。)/(1)，???/(。)=?；?(1)=/(。)，令x=l,y=z=0,則

/(/(1))=1+/(0)/(0),若/⑴=/(0),則/(〃0))=1+〃0)/(0)工〃0)/(0),矛盾，

/./(0)=0,則/⑴0"0)=0,???A選項錯誤；

令y=z=o,則/(/(力)=x+/(o)〃o)=x,???B選項正確；

令x=o,則/(7(o)+yz)=o+/(y)/(z),則f(jz)=f(y)/(z),即〃孫)=

C選項正確；由A、C選項中結(jié)論，令x=y=l,則/(1)=/'(1)/'(1),則/(1)=1

令Z=1,則/(/(x)+y)=x+/(y)/⑴=x+/3=/(/3)+/(y),即

/(%+y)=/(%)+/(y),D選項錯誤.故選：BC.

7.已知函數(shù)“X)的定義域為R,“X)不恒為0,且小)；/3=)(巖則

()

A./⑼可以等于零B./(x)的解析式可以為：/(X)=COS2A-

20

C.曲線f(x—l)為軸對稱圖形D.若"1)=1,則Z/U)=20

A=l

解析:令x=y=。,可得^4^=郊竽/"I可得〃。)=尸⑼，解得/(。)二。

或f(o)=l,當(dāng)"0)=0時，則可得“力；/(>=/(專)/(受卜0,

貝lJ/(x)=0,與/(力不恒為0矛盾，所以/(。)=1,故A錯誤；

令y=-x,可得“力+〃r)=2〃0)/a),.J(T)=〃%),所以〃力為偶函數(shù),

因為〃x)=8s2x是偶函數(shù)，所以/(力的解析式可以為：〃x)=8s2x,故B正確；

因為/(x)為偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關(guān)于直線4=0對稱，

所以/(x-1)關(guān)于直線x=l對稱，所以曲線/(x-1)為軸對稱圖形，故C正確；

11

令戶4+2,），=攵，則可得“弋+/⑻=/（經(jīng)產(chǎn)）/（|）,

所以/（&+2）+/伙）=2/伏+1）,丘N,又〃2）；/（。）:/（|）/（|）

解得/（2）=1,所以｛/（2）｝是以"1）=1為首項，0為公差的等差數(shù)列，

20

所以Z/伏）=20,故D正確.故選：BCD

k=\

6.盤點全國卷中的比較大小問題

1.單調(diào)性再搭橋

具體操作步驟如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如/和（產(chǎn)，利用指數(shù)函數(shù)y="的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如呼和月利用黑函數(shù)kx?單調(diào)性比較大?。?/p>

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log“X和1奧“馬利用指數(shù)函數(shù)log,d單調(diào)性比較大??；

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助

中間量進行大小關(guān)系的判定.

⑤換底公式要記牢！

例1.（2019全國1卷）已知。Tog2。？/=2°2,C=0.2°3,貝!）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

0203

解析：a=log20.2<log2l=0,Z?=2>2°=l,0<O.2<0.2°=1,則

0<c<\,a<c<b.故選B.

點評：送分題.

例2.（2019年3卷）設(shè)/（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,y）單調(diào)遞減，則

A.斗/尸

/1(2、(3

B.>f2f7l>o/g3G

（-1\（（1、

c.722〉/23>/Iog3-

k7V7VQ）

（_2\/3\/1\

D.72一3>f2工>/log3-

lJIJV4J

解析：???/（大）是R上的偶函數(shù)，???/（log3；）=/（Tog34）^（log34）.

-

.?.log34>l=2°>2^>2Lo>又在&+8）單調(diào)遞減，

12

3、

23

/(log34)</2一</2,:.f22>/2>,故選C.

例3.(2016年3卷理科)已知。=21〃=4，，c=251則()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

422￡22

333

解析：因為Q=2*=4，>4^=btc=25=5>4=a,故選A.

例4.(2016年1卷理科)若。貝ij()

cclc

A.a<bB.ab<baC.6/log^c<blog”cD.logac<logftc

解析：對A：由于0<cvl,?,?函數(shù))，=/在R上單調(diào)遞增，因此〃>〃>10/>不，A

錯誤；

對B：由于一1<。一1<0,???函數(shù)y=在(1,+8)上單調(diào)遞減，

：.a>b>]<^"T<koba1<abl,B錯誤；

對C：要比較Rog/和田og〃c,只需比較以”和處￡,只需比較」吧和」吧，只

\nbIn。b\nha\na

需/?ln〃和aln。

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx(jv>1),則,(x)=lnx+l>l>0,/(切在(1,+00)上單調(diào)遞增，

因此/(〃)>/(Z?)>0<=>671n6r>/?lnZ?>0<=>—!—<—!—

a\nab\nb

InrInc

又由0<c<l得IncvO,；?-----<-----=blog”cv々log,,c,C正確

a\nab\nbab

對D：要比較1。&4和I。瓦，，只需比較回和巫

InciInb

而函數(shù)y=lnx在(l,+o。)上單調(diào)遞增，故。\nb>0<=>-j-!—<-j-^

IncInC

又由()<c<l得lnc<(),???">'=Iog.c>log〃c,D錯誤，故選C.

flflJD2

InaIn/?

例5.(2017年1卷理科)設(shè)蒼y,z為正數(shù),且2V=3V=5\則()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解析：令2'=3''=5'=A,則x=log2k,y=log3k,z=iog5k

宗簧懸喂”則…，*董lg5lg25

<1,貝iJ2x<5z,

51gklg32

故選D.

2.結(jié)合重要不等式

基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等關(guān)系—=-+」等需注意.

abab

例6.(2018全國3卷)設(shè)a=logo.20.3,b=log20.3,則

13

A.a+b<cib<0B.ah<a+b<0

c.a+b<O<abD.ab<O<a+b

22

詳解：.?.?a=k)g().2°3/=/og2°3/.-=log0.3°,-=/^0.3/.-!-+l=/^030.4

abab

.?.0<工+1<1,即Ov又???a>O,b<O,「.abcO即ab<a+b<0,故選B.

ahcib

例7.(2020全國3卷)已知5~84,134<瘠,設(shè)a=logs3,b=logs5,c=log138,則()

A.a<b<cB.h<a<cC.b<c<aD.c<a<h

解析：由題意可知〃、b、C￡（（）』）,

/也3+怛8丫/但3+愴8丫」g24[

alogs3?lg3?lg8?1

2I-2-)、21g5,:.a<b\

blogs5Ig5lg5(lg5)

4

由〃=log85,得8"=5，由55<8,，得8*<84，/.5〃v4,可得〃<《；

4

由c=logi38,得13'=8，由134<￡，得134<135"「.5。>4,可得c>《.

綜上所述，a<h<c.故選：A.

例8.（2020新高考1卷）.已知>0,歷>0,且葉〃=1,則（）

A.a2+Z?2>-B.2u-h>-

22

C.log,67+log2/?>-2D.4a^4h<41

解析：對于A,a2+/?2=a2+(1—6;)*'=2a2—2t/+l=2

222

當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃=[時，等號成立，故A正確;

2

對于B,a-b=2a-\>-lf所以2"">2"=!，故B正確;

2

a+by~,1r

對于C,log2a+log2h=log2ab<log2=log?-=-2

當(dāng)且僅當(dāng)〃時，等號成立，故C不正確；

2

對于D,因為（G+6）=1+2\[ab<1+tz+Z?=2,

所以6+當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=g時，等號成立，故D正確；故選：ABD

3.結(jié)構(gòu)一致可同構(gòu)

例9.（2020年高考2卷理科）若2、一2）v3T-3一）'?則)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(j-x+l)<0

14

C.In|x-y|>0D.In|x-y|<0

解析：由2、一2'<31-3-)得：2X-3~x<2y-3~y令〃。=2'-3，

???丁=2'為/?上的增函數(shù)，y=37為R上的減函數(shù)，，/(/)為R上的增函數(shù)，

「?xvy,Qy-x>(),:.y-x+\>\t.\ln(y-x+l)>0,則A正確，B錯誤；

Qk-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.

例10.(2020年高考1卷理科)若2“+log2。=4〃+2log4b，貝ij()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

Xb2h

解析：設(shè)f(x)=2+log2x，則f(x)為增函數(shù)，因為2"+log,a=4+2log4b=2+log2b

所以/(。)-/(2〃)=2、log?。-⑵"+log22b)=2"+log28-⑵。+log,2b)

=log2l=-l<0,所以/(。)</(2打，所以。<2〃.

2(lh22262

f(a)-f(b)=2+\og,a-(2+log2h)=2+log2￡>-(2^+log2h)=

22y-log?"

當(dāng)〃=1時，/(〃)一/(從)=2>0,此時/(〃)>/(從)，有

當(dāng)h=2時，/(?)-/0:)=-1<(),此時/(〃)</(加)，有所以C、D錯誤.

故選：B.

4.構(gòu)造函數(shù)比較大小

1.構(gòu)造相同函數(shù)，比較不同函數(shù)值

2.構(gòu)造不同函數(shù)，比較相同函數(shù)值

這類問題雖然可能幾個數(shù)的形式不一致，但它們的特別是不同的函數(shù)取了相同的函數(shù)值，

所以實質(zhì)在比較不同函數(shù)差值或者商的性質(zhì)，當(dāng)然，這種問題下，如果自變量取值靠近基

本初等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開點，利用泰勒展開來近頌估計絕對是一個很好的方法！

3.構(gòu)造不同函數(shù)，比較不同函數(shù)值

這個時候，不等式放縮就是首選之道了！下面的這些不等式放縮需要你的注意.

4.先同構(gòu)，再構(gòu)造，再比較

當(dāng)題干呈現(xiàn)一個較復(fù)雜的等式或者不等式關(guān)系，并沒有前幾類那么明顯的數(shù)字時，往往可

能現(xiàn)需要同構(gòu)(變形)出一個函數(shù)之后再來比較大小.

例1L已知〃=竽c=普，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

15

解析：方法L。=殍=加也，Z>=牛=ln次，c=-^=ln</5

4?3D

由右=隨<