2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題專項訓(xùn)練

（江蘇專用解析版）

易錯點05四邊形

1.多邊形對角線、內(nèi)角和、外角和

2.平行四邊形定義性質(zhì)判定。

3.菱形定義性質(zhì)判定。

4.矩形形定義性質(zhì)判定。

5.正方形定義性質(zhì)判定。

6.四邊形綜合應(yīng)用

易錯分析。1,

認識多邊形。多邊形考察范圍較廣，涉及的知識點較為寬泛，在綜合

能力考察上要求較高，注意規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)換方式，輔助

線分割方法，化繁為簡。掌握解題技巧性

錯題糾正

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A,B,C,D,E,/是網(wǎng)格線的交點，則△A8C的面積與QEF

的面積比為__________.

【答案】1：2

【思路點撥】答案有誤，分別求出△48C的面積和△力仍的面積，即可求解.

【規(guī)范解答】解：S“"c=lx2-gxlxl-gxlx2=g,

S=2x4-—x2x2--x2x4=2,

ADS22

???zvABC的面積與所的面枳比為1：4.

故答案為1：4.

【考點評析】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解本題的關(guān)鍵.

|舉一反三〉

【變式訓(xùn)練01］（2022?江蘇常州?九年級專題練習(xí)）如圖，將一個邊長為20cm的正方形

活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形A8CQ,對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達

到36cm時才會斷裂.若/加。=60。，則橡皮筋A(yù)C____斷裂（填“會”或“不會”，參考

【思路點撥】設(shè)扭動后對角線的交點為。，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動后的四邊形為菱形，

利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出AO=10G，從而

得到AC,再比較即可判斷.

【規(guī)范解答】解：設(shè)扭動后對角線的交點為。，如下圖：

根據(jù)正方形的性質(zhì)得，

得出扭動后的四邊形四邊相等為菱形,

AD=AB=20cA\\f

.2人4。為等邊三角形,

BO=20cm,

BO——BD=10cm.

2

/.AO=JAB2-=1Oy/3cm,

根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)：4C=2/10=2()73?34.64(cm),

?.?34.64<36,

???4C不會斷裂，

故答案為：不會.

【考點評析】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題

的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì).

【變式訓(xùn)練02](2023秋)已知，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段A8,

點力、〃均在小正方形的頂點上.

(1)如圖1,在方格紙中畫出以A8為一邊的等腰點C在小正方形的頂點上，且

的面積為10；

(2)如圖2,在方格紙中畫出以八/3為一邊的平行四邊形點〃、“均在小正方形的頂

點上，且平行四邊形4雙宏的面積為10,連接8E,并直接寫出線段班的長.

【答案】(D見解析

⑵見解析，BE=5

【思路點撥】(1)利用等接三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積求法得出答案;

(2)根據(jù)平行四邊形的面積為10構(gòu)造圖形即可.

【規(guī)范解答】(1)解：如圖，"3。即為所求：

:.OA=-AC,AC1BD

2

?.?AC=8,

.-.0/1=4,

?.?08=2,

/.AB=>]OA1+OB2=V42+22=2N/5，

菱形ABC。的周氏=4x2石=8石.

【考點評析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，多邊形周長，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

易錯分析02〉

多邊形對角線、內(nèi)角和、外角和。掌握內(nèi)角和公式，外角和360。公

理的由來。

錯題糾正

（2022秋?九年級統(tǒng)考期中）已知，如圖兩個四邊形相似，則Na的度數(shù)是（）

C.75°D.120°

【答案】C

【思路點撥】答案有誤,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和即可求解.

二.4=138。，

Na=360°-60°-75°-138°=87°，

故選：A.

【考點評析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握和運用相似多邊形

的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022秋?江蘇鹽城?九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知AABC,N8=40°.

（1）在圖中，用尺規(guī)作出“WC的內(nèi)切圓0,并標出。。與邊44,BC,AC的切點〃，E,F

（保留痕跡，不必寫作法）；

（2）連接E/"DF,求NEED的度數(shù).

【答案】（1）見解析

⑵70°

【思路點撥】（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論；

（2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】（1）解：如空1,

連接O。，OE,

AOD1AB,OE1BC,

???NODB=NOEB=90。,

ZB=40°,

???ZWE=140。，

???ZEFD=70°.

【考點評析】此題主要考查了基本作圖，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和公式，圓

周角定理，解本題的關(guān)鍵是作出三角形的內(nèi)切圓.

【變式訓(xùn)練02](2021??？级?下列說法：(1)了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)

查；(2)若Na=20040',則Na的補角為159°60'；(3)若一個正〃邊形的每個內(nèi)角

為144。，則正〃邊形的所有對角線的條數(shù)是35；(4)等腰三角形的一邊長是3,另兩邊的

長是關(guān)于不的方程/-4x+A=0的兩個根，則a的值為3；正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【思路點撥】根據(jù)根的判別式，全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的概念，補角的定義，多邊形的內(nèi)角和

外角的定義判斷即可.

【規(guī)范解答】解：(1)了解一批燈泡的使用壽命，采用抽樣調(diào)查，故錯誤，不符合題意；

(2)若Na=20°40',則Na的補角為159°20',故錯誤，不符合題意；

(3)???一個正〃邊形的每個內(nèi)角為144°,

A144/7=180X(〃-2),

解得：〃=10,

這個正〃邊形的對角線的條數(shù)是：若?二等=35(條)，正確，符合題意；

(4)當3為腰長時，將>=3代入/?4盧a=0,得：32-4X3+A=0,

解得：k=3,

當〃=3時，原方程為4戶3=0,

解得：Xi—1?Xz=3,

V1+3=4,4>3,

...%=3符合題意；

當3為底邊長時，關(guān)于x的方程/-4^=0有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=(-4)2-4XlXA=0,

解得：4=4,

當〃=4時，原方程為4戶4=0,

解得：X!=X2=2,

72+2=4,4>3,

，4=4符合題意.

???4的值為3或4,故錯誤：

，正確的個數(shù)是1,

故選：A.

【考點評析】本題考查了等腰三角形的分類問題，注意等腰三角形的邊分底邊和腰兩種情況,

同時還要注意滿足三角形三邊關(guān)系.

【變式訓(xùn)練03】(2022?江蘇?九年級專題練習(xí))【問題情境】如圖1,點、E為正方形ABCD

內(nèi)一點，AE=2,BE=4,ZAEB=9O0,將直角三角形4迫繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)。度

(0<。<180。)，點8、E的對應(yīng)點分別為點8'、E.

圖1圖2圖3

(1)【問題解決】如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，點8,落在了AC上，求此時C8'的長：

(2)【問題解決】若a=90。，如圖3,得到△AOE(此時8,與。重合)，延長M交BE于

點尸,

①試判斷四邊形AQE'的形狀，并說明理由；

②連接CE,求C￡的長；

(3)【問題解決】在直角三角形4正繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，求線段CE'長度的取值

范圍.

【答案】(1)25/10-2>/5

(2)①正方形，見解析；②2石

(3)2x/5<CEr<2ViO+2

【思路點撥】(1)由勾股定理得力比2逐，再由止方形的性質(zhì)得AC=&AB=2jIU,,然后

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A8'=AB=26,，即可求解：

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/應(yīng)二力夕，N后/=。=90°,/力戶//力陟90°,再證四邊形力￡瓦”

是矩形，即可得出結(jié)論；

②過點。作CG上BE于點、G,證△及；儂△力應(yīng)'(44S),得妗除4,BG=AE=2,則EG=BE-BG=2,

再由勾股定理求解即可；

(3)當。=0°時，與￡重合，最短=2石；當夕'落在。的延長線上時，AR二旭3

"最長=〃UE=2ji6>2,即可得出答案.

【規(guī)范解答】(1),:AE=2,BE=4,NAEB=9Q°,

???AB=JAE'BE?=722+42=2石，

???四邊形力劭是正方形，

:?BC=AB=2后,NH6C=90°,

，AC=6AB=2屈,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB'=AB=2y[5,

???CB'=AC-4B'=2x/T5-2后；

(2)①四邊形力牙匯是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AE,NEAE=a=90。,NAED=/AEB=9Q0,

???/月初=180°-90°=90°,

???四邊形力仔R是矩形，

又:力￡=AE,

???四邊形44r是正方形；

②過點。作。以防于點G,如圖3所示：

則N8g900=/AEB,

:?NCBG+NBCG=/CBG+/ABE=9Q0,

，4BCG=/ABE,

在△8G7和△力眼中，

ZBCG=NABE

4BGC=4AEB

BC=AB,

：,/\BCG^/\ABE(44S),

:.CG=BE=4,BG=AE=2,

：.EG=BE-BG=4-2=2,

???CE=y]CG2+EG2=V22+42=2石?

圖3

(3)???直角三角形/I跖繞點月逆時針方向旋轉(zhuǎn)。度(0WaW180°)點6、f的對應(yīng)點分別

為點4'、F,

點爐運動軌跡是以力為圜心，力￡=2為半徑的半圓，

???當。=0。時，E與￡重合，"最短=26：

當爐落在。的延長線上時，AE=AE=2,出最長=47+A?=2jiU+2,

工線段以'長度的取值范圍是26KCEY2屈+2.

【考點評析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方球

易錯分析03

平行四邊形的性質(zhì)掌握及應(yīng)用。理解性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系，充分

應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題

錯題糾正

（2022秋?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，YABCO對角線AC與8。交于點O,

2

且A￡>=3,AB=5,在人4延長線上取一點E,使連接OE交BC于尸，則8尸

的長為______.

3

【思路點撥】答案有誤，過點。作0G//C8,先由OG//C8和平行四邊形的性質(zhì)說明OG是

△ABC的中位線并求出。G,再判斷MESSAGE。，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：過點。作。G//C6,交AB于點、G,

???四邊形A8CQ是平行四邊形，。是對角線4c與8。的交點，

.?.AD=BC=3,點。是力C的中點.

-OG//BC,

.?.OG是△ABC的中位線.

/.BG=-AB=2.5,OG=-BC=\.5.

22

BE二AB=2.

5

:.GE=GB+BE=4.5.

BF//OG,

:.ABEFSAGEO.

,BFBE

~OG~GE'

BEOG2x1.52

BF=----------=--------=—.

GE4.53

故答案為：|.

【考點評析】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線

定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練01］（2022春?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)

格中，點AB均在格點上，乙4是一條小河平行的兩岸.

（1）A8的距離等于__________;

（2）現(xiàn)要在小河上修一座垂直于兩岸的橋MN（點M在1;上，點N在6上，橋的寬度忽略），

使AM+M/V+N8最短，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出MN,并簡要說明

點N的位置是如何找到的（不要求證明）___________.

【答案】而見解析

【思路點撥】(1)利用勾，投定理求出A8的長即可；

(2)要使AM+MV+N8最短，則AM與8N轉(zhuǎn)化成一條線段時最短，取格點C,

連接AC,使AC，心交人于Q,交，2于只由網(wǎng)格性質(zhì)可得AC_L《，由4〃/?打得平行線

間的距離尸。二MN的長，取格點E、F,連接石廠，使E/〃4),與AC交于點4,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可得89=44,=PQ,同理可作點a，連接與4交于點M,連接43與

交廣點N,則89=PQ,可得四邊形是平行四邊形，由全等三角形的性質(zhì)可得

AM=AN,可得四邊形AA'MN是平行四邊形，可知同理3N=8'M,則

AM+8N二A&距離最短，即可得解.

【規(guī)范解答】(1)AB=A/47+F=>/4T.

故答案為：向

(2)如圖，取格點C,連接AC,使交4于0,交12于P,

/.PQ皿？,

小醇

取格點E、F,連接EF,使￡77〃《)，與AC交于點4；

'：ZAFE=Z.EM,ZAEF=ZAEF,

A^AAE^FAE，

.AArAE

??,

AFEr

???川旭，

26

??.A4，=PQ,

同理作點3'；連接人"與6交于點例，連接AB與4交于點N,連接MN.

BB'=M=PQ,

*/BBf//AA,,

???四邊形AA'BB1是平行四邊形，

NQAM=NPAN,

又?.?AQ=A'P,ZAQM:ZA'PN,

A^AQM絳4'PN,

???AM=A'N,

???四邊形AA'MN是平行四邊形，

???AA//MN,

；?MN111,

同理：BN=B'M,

：.AM+8N=A￡距離最短,

，MN即為所求.

故答案為：取格點C,連接AC,使交交“「P,取格點E、尸，連接E尸，

使￡尸〃/J,與AC交于點4；同理作點*：連接4r與4交于點連接A8與4交于點

N,連接MN,即為所求.

【考點評析】本題考查網(wǎng)格的特征，全等三角形及相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02](2023秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在YA8c力中，E是邊A。

的延長線上一點，連接BE交邊CD于點F,交對角線4c于點G.

(1)求證：ABGCS^EGM

(2)若牛=目，求器的值.

AG3CF

【答案】(1)見解析

⑵3

【思路點撥】(1)由四邊形A8CO是平行四邊形得NG4E=NGC8,NGE4=NG8C.根據(jù)

“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”得△BGCSZ^EGA.

(2)設(shè)EC=AD=2x.根據(jù)“相似三角形對應(yīng)邊成比例”列比例式得AE=3.r.則力E=x.

DF

同(1)證根據(jù)“相似三角形對應(yīng)邊成比例”即可求出~CF的值.

【規(guī)范解答】(1)?.?四邊形A8C。是平行四邊形

E

BC//AD,

:"GAE=NGCB,NGEA=NGBC

「.△8GC^AEGA

(2)???四邊形A8CD是平行四邊形.?.3C=AD

設(shè)8C=AO=2x

由(1)得△BGCs/^EGA

?BC—CG—2

"~AE~~AG~3

AE=3x,

:.DE=x

???四邊形ABC。是平行四力形

HC//AE

ZEDF=NBCF,/DEF=ZCBF

:.ADEFSACBF.

.PFDEx\

~CF~~BC~2x~2

【考點評析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相似

三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03】(2022?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，以AC

為直徑的。。切A4于點/I,與交于點￡

(1)求證：直線。。是。。的切線；

(2)若3E=9cm,弦位的長為16cm,求。。的半徑長.

【答案】(1)見解析

(2)10

【思路點撥】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得NQ48=90。，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

AB//CD,從而利用平行線的性質(zhì)求出NOCD=90。，即可解答；

（2）連接AE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAEC=9O。，再利用同角的余角相等可

得N8=NE4C,從而可證△AECSABEA,然后利用相似三角形的性質(zhì)求出AE的長，最后

在中，利用勾股定理求出4C的長，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】（1）證明：???44與相切于點力，

/.ZCMB=90°,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AB〃CD,

，ZOCD=Z6MB=90°,

???OC是oo的半徑，

???宜線CD是。。的切線；

???ZAFC=90°,

，ZAEB=180°—ZA￡C=90°,ZE4C+ZACE=90°,

???ZCMB=90°,

ZACB+ZB=90°,

/.Zfi=ZE4C,

/.^AEC,

.AEEC

.AE16

??---=---9

9EA

，AE=12或AE=-12(舍去)，

在中，EC=16,

,AC=y/AE2+EC2=V122+162=20?

J。。的半徑長為10.

【考點評析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，平行四

邊形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

易錯分析04

平行四邊形的判定及應(yīng)用。熟練掌握判定方法的證明過程，借助輔助

線解決問題。

錯題糾正

（2022?江蘇鹽城??？既＃┤鐖D，在44BC中，點。是BC邊的中點，點尸，￡分別是人。

及其延長線上的點，CF//BE,連接CE.

A

（1）求證：四邊形3反戶是平行四邊形.

（2）當“WC滿足條件時，四邊形8ECF為菱形.（填寫序號）

①A6=AC.@ZfiAC=9（r,③AB=BC,④604=901

【答案】（1）見詳解

（2）③，理由見詳解

【思路點撥】第2小題答案有誤，（1）由已知條件，據(jù)A4S證得四△8￡O,則可證得

CF=BE,繼而證得四邊形BEC”是平行四邊形；

（2）由A8=AC,BD=CD,得到在J.8C,由ABDE得ED=FD,即EF、BC瓦

相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形8EC尸是菱形.

【規(guī)范解答】（1）證明：在&48C中，〃是8c邊的中點，

/.BD=CD,

，：CF〃BE,

???ZCFD=ZBED,

在△C7T>和△BED中，

zero=ABED

CD=BD

4FDC=ZEDB

：.CF=BE,

，四邊形BFCE是平行四位形；

（2）滿足條件①時四邊形3EC尸為菱形.

理由：若AB=AC時，為等腰三角形，

丁A。為中線，

???AD1BC,

即FEJ.BC,

由（1）知，ACFDABED,

：,BD=CD,ED=FD,

...平行四邊形在13為菱形.

故答案為：①.

【考點評析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、

平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握菱形的判定方法，且證得△（?「￡＞絲△AEO得

到6=的是解決問題的關(guān)鍵.

舉一反三〉

【變式訓(xùn)練01】（2019秋?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在“8C中，AC=BC,

ZACB=90°,圓心。在“8C內(nèi)部）經(jīng)過8、C兩點,并交A8于點八過點￡作0。的

切線交4C于點F.延長CO交AB于點G,作瓦）〃AC交CG于點。.

（1）求證：四邊形。陀尸是平行四邊形;

OE

（2）若8c=3,—=2,求8G的值.

【答案】（1）詳見解析

⑵血

【思路點撥】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NB=45。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

ZFEO=90°,得到所〃。。，于是得到結(jié)論；

（2）過G作GN_L8C于N,得到是等腰直角三角形，得到N8=GN,根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到/「。。=/日石。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到/CGN=NACZ）,等量代換得到

NCGN=NOE/，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CN=2GN,于是得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】（1）證明：???在△A8C中，AC=BC,Z4CZ?=9O°,

AZB=45°,

.\ZCOE=2ZB=90°,

?.?所是的切線，

:.NFEO=90。,

:.EF//OC,

-.DE//CF,

???四邊形8所是平行四位形；

（2）解：過G作GN_L8C[N.

「.△GNB是等腰直角三角形，

:.NB=GN,

???四邊形6所是平行四力形，

:"FCD=NFED,

ZACD+ZGCB=ZGCR+NCGN=90°,

"CGN=ZACD,

:.ZCGN=ZDEF,

OE0

,/——=2,

OD

CN

tanZEDO=tan/CGN=—=2,

GN

:.CN=2GN,

:.CN+BN=2GN+GN=3,

:.GN=1,

BG=42GN=>/2.

【考點評析】本題考查J'切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02］（2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）（1）如圖I,點E,F

均在正方形48co內(nèi)部，且BE=EF=FD=2,ZE=ZF=90°.

①求證：四邊形BED尸是平行四邊形；

②求正方形48C。的邊長；

（2）如圖2,點E,F,G,〃均在正方形ABCZ）內(nèi)部，且BE=M=FG=GH="D=2,

ZE=ZF=ZG=Z//=90°,求正方形A8CQ的邊長.

（圖1）

【答案】（1）見解析；（2）Vio

【思路點撥】（1）①連接區(qū)尸，。￡△。交EF于點O,證明A0FOSAbEO（AAS）,貝ij

OF=OEQD=OB,即可得證；

②根據(jù)勾股定理以及全等三角形的性質(zhì)得出即，即可求解；

（2）連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點、K,過點8作BM_LG廣交G尸的延長線于點M,

證明8K=OK,勾股定理求得8K,進而即可求解.

【規(guī)范解答】（1）①證明：如圖，連接交"于點。

（圖D

???ZDOF=/BOE,4DF0=NBEO=90°,DF=BE,

：.DFO^BEOiAAS),

：.OF=OEyOD=OB,

???四邊形BTOF是平行四邊形；

(2)VDF=EF=BE=2,OF=OE=\yZOFO=ZBEO=90°,

；?OB=OD=M+f=5

/.BD=208=26，

???四邊形A8CO是正方形，

/.BC=—=Vio：

2

(2)連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點、K,過點8作BM_LG/交GE的延長線于點M,

.??△以必必尸6“必日七是等腰直角三角形,

???NEFB=NGFH=45。,

,/NEKG=90°,

???ZEFB+ZEFG+NGFH=180°,

??.B,F,H三點共線,

同理可得3G,七三點共線，

'：DH=BE，BH//DE,

，四邊形BEDH是平行四邊形，

BH〃DE、BH=DE,

???BF=FH,BG=DG,

???BF=DG,

?：/BFK=/DGK,NBKF=/DKG,

:cBKFADKG(AAS),

:.FK=KG=1,BK=DK

ZM=/BEF=NBFM=90。,

，四邊形BEAM是矩形，

*/BE=EF,

/.四邊形BEFM是正方形，

:?BM=FM=2,MK=MF+FK=3,

BK=」RM?+MK2="+32，

/.BD=9,

???四邊形48C7)是正方形，

BC=—BD=>/26.

2

【考點評析】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性

質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03](2021秋?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中1如圖，R【Z\A8中，ZACT=90°,

()為"邊上一點，。。經(jīng)過點兒與AC,A3兩邊分別交于點E,F,連接EF.4。平分/CAB,

交CB于點、。。經(jīng)過點仇

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若AE=6,O。的半徑為5,求CO的長.

【答案】(1)見解析

⑵4

【思路點撥】(1)連接0D,欲證明8c是切線，只要證明OD_L即可得解；

(2)過。作OG_LAC于點￡證明四邊形四邊形GC。。為矩形，求出。G,可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】(1)證明：如圖，連接O。，

A

\*OA=OD,

，iDAO=4ODA,

???AO平分/CAB,

，ZCAD=ZDAF,

???ZCAD=ZODA,

：.AC//OD,

???ZODB=ZACB,

又：ZACB=90°,

???NODA=90。，

，OD上BC,

又TO。是。。的半徑，

???8c為。。的切線；

(2)解：如圖，過。作(7GJLAC于點G,

由垂徑定理，得：AG=EG,

乂■;AE=6,

：.AG=3,

??,GOLAC,

???Z4GO=ZOGC=90°.

在Rt“l(fā)GO中，由勾股定理，得：AG2+GO2=AO2

???。。的半徑為5,

???AO=5,

/.32+GO2=52^

???G0=4,

???ZODB=90°,

???ZOZX?=1800-90o=90°,

???NOGC="B=Z.ODC=90°.

???四邊形GCDO為矩形，

ACD=OG=4.

【考點評析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，切線的判

定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四

邊形解決問題.

易錯分析05

特殊平行四邊形（矩形）判定與性質(zhì)應(yīng)用c求角度，求線段長，求面

積等問題中有一定難度，綜合能力要求較高，注意解題技巧的掌握。

三角形的中位線等于第三邊的一半，直角三角形斜邊的中線等于斜邊

的一半，盡管都有“一半”，但二者成立的條件和結(jié)論不一樣，不要

混淆。

錯題糾正

（2023秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末）如圖.在正方形力時中，邊長為4,"是⑦的中

點，點戶是應(yīng)、上一個動點，當/力羽的度數(shù)最大時，則上___________.

【答案】2

【思路點撥】答案有誤，未考慮到輔助線。首先確定P點的位置，畫出輔助圓，再求出圓的

半徑，利用勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)即可求解.

【規(guī)范解答】解：如圖，當尸點在，8c相切，且經(jīng)過。點和"點的。。上時，ZDPM的度

數(shù)最大，

此時，〃點即為切點，

連接0P,

：?OPLBC,

???正方形48C。的邊長為4,"點為CD的中點,

，DM=2,

過。點作OE_L/W于分

ADE=\,

延長P0,交AD于點、F,

：,OFLAD,

???西邊形OEDF和四邊形PCDF都是矩形，

：,OF=DE=l,

???OP=4—1=3,

連接OZ）,則O￡>=3,

?*-DF=>JOD2-OF2=2x/2，

PC=O尸=2&，

???BP=4-PC=4-2五，

故答案為：4-2x/2.

【考點評析】本題考查了最大張角問題，涉及到了正方形性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理解三角形、

矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當〃點在與BC相切且經(jīng)過〃點和M點的圓上且

位于切點處時張角最大.

舉一反三">

【變式訓(xùn)練01］（2022秋?江蘇鹽城?九年級?？计谥校┤鐖D，48為的直徑，AE平

分N8AC,4CJ_PQ于C,交。O于。.

(I)求證：?。為OO的切線；

(2)若AQ=￡C=4,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

⑵25/5

【思路點撥】(1)連接0￡，推出NOE4=NC4E,得到OE〃AC,即可得到ACJ.PQ,由

此得到結(jié)論P。為O。的切線：

(2)過點。作OF_L于“，根據(jù)垂徑定理得到■=,4。=2,證明四邊形OECF為矩形，

2

求出?！?￡。=4,利用勾股定理求出OA即可.

【規(guī)范解答】(I)證明：連接OE,

VAE平分NB4C,

，ZBAE=ZCAE,

\*OA=OE,

???ZBAE=ZOEA,

：.ZOEA=ZCAE,

：.OE//AC,

AC1PQ,

；.OE±PQf

???。石為oo的半徑,

???尸。為O。的切線；

(2)解：過點。作OF_LAD于P,

則AF=，AO=2,

2

?：OE1EC,OF1AC,ACS.EC,

???四邊形OEC/為矩形，

：.OF=EC=4,

-OA=y/OF2+AF2=V42+22=2石，

則。。的半徑為2后.

【考點評析】此題考查了圓的知識，證明一條直線是圓的切線，垂徑定理，以及勾股定理,

矩形的判定和性質(zhì)定理，熟記各定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練012((2022?江蘇揚州??？寄M預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABC。中，AD//X

軸，AO=6,原點。是對角線AC的中點，頂點A的坐標為(-2,2),反比例函數(shù))，=々女00)

Xf

在笫象限的圖象過四邊形ABCD的頂點Q.

(1)求點。的坐標和欠的值;

(2)將平行四邊形A8CO向上平移，使點。落在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，求平

移過程中線段AC掃過的面積.

(3)若尸、。兩點分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且四邊形HP。。是菱形，求尸。的長.

【答案】(1)0(4,2),k=8

⑵24

(3)8

【思路點撥】（1）利用平行「X軸的直線上的點縱坐標相等得出A的縱坐標，再用距離確定

出點力的橫坐標，將力的坐標代入丁=與，利用待定系數(shù)法即可求出4：

x

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出點C點坐標為（2,-2）.設(shè)點C向上平移〃個單位，根據(jù)

Q

C（2,-2+a）在），=—的圖象上，列出方程2（-2+〃）=8,求出。=6,那么平移過程中線段4c掃

X

過的面積是。/VVCC的面積，根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計算；

（3）利用菱形的性質(zhì)得出直線PQ的解析式，根據(jù)點P,。在雙曲線上求出點P,。的坐標，

再根據(jù)兩點間的距離公式求出PQ的長.

【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)AD與丁軸交于點E,

???AD〃彳軸,

「.A、。的縱坐標相同.

:.AE=2,

:.ED=AD-AE=4,

二D（4,2）.

?.?3在反比例函數(shù)y=人的圖象上，

x

.?決=4x2=8；

（2）解：?.?在平行四邊形中，原點。是對角線AC的中點，

二.C與A關(guān)于原點對稱，

.--C（2,-2）.

設(shè)點C向上平移。個單位，則仁（2,-2+。）在），=?的圖象上，

X

.?.2（—2+。）=8,解得a=6.

設(shè)CC與A。相交于廣，

則A尸=4.

???平移過程中線段AC掃過的面積是6x4=24：

（3）解：???四邊形APCQ是菱形，

PQA.AC.

?.?宜線AC的解析式為》二一工，

???直線p。的解析式為：y=x,

設(shè)P點的坐標為”。＞0,則點Q的坐標為（-a,-。）,

?.?P、。兩點分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，

8

???〃=一,

a

解得：a=2V2，

故尸的坐標為：（2&,20），。的坐標為（-2點,-2&）,

PQ=J（2&++（2&+2夜）2=8.

【考點評析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，

待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，坐標與圖形變化一平移.解（1）的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，

解（2）的關(guān)鍵是求出平移的距離，解（3）的關(guān)鍵是確定出直線尸。的解析式.

【變式訓(xùn)練013（（2022秋?江蘇常州?九年級常州市笫二十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩

形A8C。中，A8=8,BC=12,E是BC邊的中點，點P在線段上，過“作于

F，設(shè)以=x.

(1)求證：△PEAs/viBE.

(2)當點P在線段A。上運動時，是否存在實數(shù)工，使得以點P,F,E為頂點的三角形也

與△A8E相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)存在,%的值為6或1

【思路點撥】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合J知條件可以注明兩個角對應(yīng)相等，從而證明三角

形相似；

(2)分情況討論：①當"E/=N￡45時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值：

②當NPEE=NA￡8時，再結(jié)合(1)中的結(jié)論，得到等摟VA莊.再根據(jù)等腰三角形的三

線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進行求解.

【規(guī)范解答】(1)證明：???矩形A8C0.

AZABE=90°,AD//BC.

：./PAF=/AER,

又丁PFA.AE,

.??ZPM=9()O=ZABE,

：^PFA^ABE.

(2)解：①若△EFPs.ABE,如圖1,

則NP瓦'=N￡43，

/.PE//AB,

???四邊形AB所為矩形,

:,PA=EB=6,即x=6.

圖2

則NPEF=乙亞，

?「AD//BC

,ZPAF=ZAEB，

/."EF=NPAF.

,PE=PA.

PF.LAE，

J點尸為4七的中點,

RiaABE中，AB=8,BE=6,

,AE=>IAB2+BE2=>/82+62=10>

EF=-AE=5,

2

'：APFES^ABE,

.PE_EF

一版‘

.x_5

??--=一，

106

25

，PA=PE=—,

???滿足條件的x的值為6或

【考點評析】本題考杳動點問題，相似二角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定

動點運動過程中，有幾種對應(yīng)的圖形，然后再根據(jù)圖形性質(zhì)分析求解.

易錯分析06

特殊平行四邊形（菱形）判定與性質(zhì)應(yīng)用。

錯題糾正

（2021?江蘇蘇州?一模）如圖1,已知在平行四邊形MCO中，AD=DC,若點尸從頂點

月出發(fā)，沿Af力-8以1cm/s的速度勻速運動到點8,圖2是點尸運動時，^PBC的面積

Mem?）隨時間1卜）變化的關(guān)系圖像，則a的值為（）

【答案】B

【思路點撥】答案有誤，首先判斷四邊形力比〃是菱形，過點〃作廢工況；根據(jù)圖象的三角

形的面積可得菱形的邊長為5,再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理列方程可求A.

【規(guī)范解答】解：過點、D作DE1BC,

;平行四邊形AHCI）中，Ar）=DQ

???四邊形力比〃是菱形，AD//BC.

???當點產(chǎn)在邊力〃上運動時，y的值不變,

；.Aha,即菱形的邊長是a,

*a?DE=2a,口［I叱4.

當點〃在加上運動時，y逐漸減小，

:.DB=5,

B拄爐=V52-4:=3，

在應(yīng)△腔中，麻a,CE=a~3,DE=4,

75

，々~二4~+（a-3）">解得京z",

6

故選：c.

【考點評析】本題考查菱形的性質(zhì)，根據(jù)圖象分析得出a的值是解題關(guān)鍵.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考二模）如圖，在矩形/1以4中，過對角線砌的中點

。作劭的垂線即分別交力9,BC于點、E,F.

（D求證：△〃應(yīng)三△笈火

⑵若/切=6,力。=8,連接戰(zhàn)DF,求四邊形質(zhì)定的周長.

【答案】（1）見解析

（2）25

【思路點撥】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，先得出根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/"7=N版,

利用“ASA”證明△〃口留△伏/即可；

（2）根據(jù)所垂直平分初，得出游"，設(shè),B芹DE二x,則AE=8-x,根據(jù)勾股定理列上關(guān)

于x的方程，解方程得出x的值，證明四邊形即必為菱形，即可求出其周長.

【規(guī)范解答】（1）解：???。為劭中點，

:.BWDO,

???四邊形/放券為矩形，

:?AD〃BC,ZA=90°,

工/EDO=/FBO,

YZDO&/BOF,

:.△DOE^XBOF（ASA）.

（2）VEF垂直平令BD,

:?BFDE,

設(shè)B拄DE=x,則AE=8T

在RtAABE中,BE=AE2+AB2，

BPX2=（8-A）2+62,

解得：工=7，

4

.:叢DO跆/\BOF,

：.DE=BF,

又???DE〃BF,

???四邊形即定為平行四邊形,

?；EF工BD，

???四邊形次為菱形，

25

.?.BF=DE=DF=BE=—,

【考點評析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì),

垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)已知條件，利用勾股定理，求出跖的長，是解題的關(guān)

【變式訓(xùn)練02］（2022秋?江蘇宿遷?九年級統(tǒng)考期中）如圖，“3C內(nèi)接于00,AD//BC

交。。于點。，DF"AB交BC于點E,交。。于點￡連接

（1）求證：AC=AF,

（2）若。。的半徑為3,ZC4F=3O°,求4c的長（結(jié)果保留意）.

【答案】（1）證明見解析；

【思路點撥】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形A8EO足平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可

得NB=",等量代換可得NAFC=4CF,即可得出答案；

（2）連接AO,CO,由（1）中結(jié)論可計算出NAFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計算出ZAOC

的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式計算即可得出答案.

【規(guī)范解答】（1）證明：???4Q〃8C,DF//ABt

???四邊形ABED為平行四邊形，

?:NAFC=/B,ZACF=/D,

???ZAFC=ZACF,

，AC=AF.

(2)解：連接AO,CO,如圖,

由(1)得乙。C=ZACF,

???ZAFC=I8°；30°=75"

???ZAOC=2Z4FC=150°,

150x；rx3_53

???AC的長廣"180"T,

【考點評析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性

質(zhì)與弧長公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【變式訓(xùn)練03］（2022?浙江溫州?統(tǒng)考二模）如圖，在8X8的方格紙中，每個小正方形

的邊長均為1,四邊形力嫡為格點圖形（頂點在格點上），請按以下要求畫出相應(yīng)的格點圖

形.

圖1圖2

（1）在圖1中畫出格點△力即使4/1即的面積等于四邊形力仇力的面積.

⑵在圖2中畫出格點四邊形月切〃使四邊形/仍0〃的面積等于四邊形力應(yīng)〃的面積，且格點

。不與格點。重合.

【答案】（1）圖見解析；

（2）圖見解析.

【思路點撥】（1）先延長。力、物交于格點必求出四邊形力成刀的面積，根據(jù)力〃的長度求

出/坦邊上的高，作圖即可：

（2）連接劭，由題意知三角形顏面積等于三角形8◎面積，於CQ〃BD,過點C作直線/

//fill找到交點在格點的位置即可.

【規(guī)范解答】（1）解：延長⑦，劭交于格點E,如圖所示，

可得：四邊形力改力面積=三角形的面積一△力的面積=3x4x5-gx|x2=9,

丁力廬3,

，三角形力篦中，/山邊上的高為9X2：3=6,

即夕點在距離月8為6個單位長度的直線上，作圖如下（答案不唯一）.

（2）解：連接加，

???四邊形力做〃的面積等于四邊形力用7?的面枳.

，三角形以》面積等于三角形跳面積，即CQ//BD,

過點。作直線1〃BD,

直線/上在格點處即為0點位置，作圖如下（答案不唯一）.

【考點評析】本題考查了格點中的應(yīng)用設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握三角形

面積公式，難點在于利用同底等高的三角形面積相等作圖.

易錯分析07

特殊平行四邊形（正方形）判定與性質(zhì)應(yīng)用

錯題糾正

（2022秋?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形A8CO的邊上有一點E,

/DAE=22.5°,律_LAA.垂足為F,將AAEF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A的對應(yīng)點M

落在所上，點E恰好落在點8處，連接此.下列結(jié)論：?BM1AE：②四邊形EF5C是

正方形；③ZEBM=22.5。，④S汨邊形BCM：邑.=（忘+1）:1.其中結(jié)論正確的序號是

A.①②B.③C.①②④D.①②③④

【答案】c

【思路點撥】答案有誤，延長交AE于N,連接AM,根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余

得出/￡4/=90?！狽D4E=67.5。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

MF=AF,FB=FE,NFBM=NAEF'=ND4E=22.5。，得出NANfi=9O。即可判斷①，根據(jù)題

意得出四邊形EFBC是矩形，由所=8尸即可判斷②，進而得出/瓦/=45。，根據(jù)

="一N/四用判斷③，根據(jù)勾股定理以及等角對等邊可得EM=AM=&EW，

得出S叩.8：SAB“=(75+1):I,由四邊形ACE廠是正方形，得出L**;11CEF二2Ss

際邊形BCEW：S4BFM~(2夜+1)：1即可求解，

【規(guī)范解答】解：如圖，延長8M交4E「N,連接AM,

VEF1AB,

ZAFE=NEFB=9O。,

,JZDAE=22.5°,

???ZEAF=90。-NDAE=67.5°,

???將AAEF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)得AMFB,

：,MF=AFfFB=FE,ZFBM=/AEF=ZDAE=22.5°,

???NEAP+NF8M=90。，

ZAA?=90°,

/.I3MA.AE,故①正確；

???四邊形48。是矩形，

???ZABC=ZC=90°,

ZEFB=90°,

???四邊形EF8C是矩形，

又：EF=BF,

???矩形EAEC是正方形，故②正確；

JNEBF=45。，

4EBM=/EBF-/FBM

=45°-22.5°

=22.5。,故③正確：

V^AFM=90°,AF=FM,

，NMAF=45°,AM=&FM,

/./EAM=67.5°-45°=22.5°,

/.ZAEM=ZMAE,

工EM=AM=y/2FM，

，EF=EM+FM=（＞/2+l）?,

,,S怔FB：SAMM=（虎+1）：1

又???四邊形BCE廠是正方形，

=

S過邊形BCEF2SdEFB，

*,*S四邊形8CEW:S.BFM=（2上+1）：1,故④錯誤,

，正確的是：①②③，

故選：B.

【考點評析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定.

勾股定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

舉一反三〉

[變式訓(xùn)練01