探索勾股定理

課程標準學習目標

1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；

2.會借助勾股定理確定數(shù)釉上表示無理數(shù)的點，理解實數(shù)與數(shù)軸上的

①掌握勾股定理；

點----對應關(guān)系；

②會證明勾股定理。

3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關(guān)

的計算和證明。

02思維導圖

知識點01勾股定理

知識點

知識點02勾股定理證明

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

探索勾股定理題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形百積

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

題型四勾股定理與越數(shù)

題型

題型五勾股定理與折疊問題

題型六利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

題型七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

題型八勾股定理的證明方法

知識點（）1勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖：直角三角形43c的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么/+從=。2.

注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c1={a+b^-2ab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為C的線段

【即學即練1】

I.在RlAABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則A8的長是（）

A.Vi_19B.IIC.13D.17

2.定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值如圖，

ABC中，ZAC/?=90°,AC=4,BC=3,CD是A8邊上的高，貝UA8C中A8邊的"中偏度值"為

知識點02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中=/所以

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中=尸+4x：d），所以

*9?2

（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

Swo>=°””）=2f所以

【即學即練1]

1.【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角

三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于另一種是等于四個

直角三角形與一個小正方形的面積之和，即g"x4+（〃-從而得到等式。2=2”4+（〃-a）?；喪?/p>

得結(jié)論。2+/=〃.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式可方程的方法，我們稱之為“雙求法”.

【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若螯，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向

常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和RtVOEA如圖2放置，其三邊長分別為

a,b,c,ZR4C=NOE4=90。，顯然8CJ.AD.

(1)請用小力，c分別表示出四邊形ABOC,梯形AEDC,反。的面積，再探究這三個圖形面枳之間的關(guān)

系，證明勾股定理：(提示：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半)；

【方法遷移】

(2)如圖3,在A8C中，4。是8c邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,求AD的值.

A11Hpl

04，壟”沈

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

【典例1]一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則斜邊的長是.

【變式1】如圖，原來從八村到B村，需要沿路AFCTB(ZC=90°)繞過兩地間的一片湖，在小B

間建好橋后，就可直接從入村到B村.若AC=5km.BC=12km,那么建好橋后從A村到B村比原來減少的

路程為km.

【變式2】在直角中，AB=8,AC=6,則AC的長為.

【變式3】若一個直角三角形的兩邊長為9和12,則這個三角形的斜邊長為

【變式2】如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，求BC邊

上的高長=.

【變式3】如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為I的正方形網(wǎng)格的格點上，8。_1_4?于點。，貝U8。

題型四勾股定理與無理數(shù)

【典例1］如圖，點A表示的實數(shù)是（）

-4-3-2-10I2

A.-瓜B.-x/5C.1D.\-y/5

【變式1］如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為“，則”的值是（）

,,山，，r

-3-2-10P_23~

A.x/5+1B.5/5-1C.-石+1D.

【變式2】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1,點B表示的數(shù)是T,C8_LA8于點B,且8c=1，以點A為圓

心，4c的長為半徑畫弧，交數(shù)軸的負半軸于點。，則點。表示的數(shù)是（）

A.y/3—1艮1—>/3C.yjs—1D.1—y/s

【變式3】如圖的數(shù)軸上，點A,C對應的實數(shù)分別為1,3,線段A8/AC于點A,且A8長為1個單位長

度，若以點C為圓心，8c長為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點P,則點尸表示的實數(shù)為（）

A.逐一3B.3-6C.V10-3D.3-V10

題型五勾股定理與折疊問題

【典例1］如圖是一張直角三角形紙片，兩宜角邊AC=6,8c=8,將ABC折疊，頂點3與點A重合，折

【變式1】如圖，三角形紙片A8C中，Z^C=90oMB=2,AC=3,沿A。和E尸將紙片折疊，使點8和點

C都落在邊3C上的點P處，則AE的長是（）

【變式2］如圖己知長方形A8C。中A8=8cm,BC=10cm,在邊C。上取一點￡,將VADE折疊使點。恰

好落在3C邊上的點尸，則CE的長為.

【變式3】如圖，在等腰直角三角形48C中，ZBAC=90°,AB=&,點尸是邊8C上任意一點，連接心,

將夕沿”翻折，點8的對應點為"，當..APB'有一邊與垂直時，/2的長為.

H

題型六利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

【典例1】8△48C中，斜邊相=1,則4公+次f+人。?的值是.

【變式I】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美〃四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形A8CO,對角線

AC,BD交于點0,若AD=3,BC=8,則八夕+⑺之=.

【變式2】如圖，乂4。和_m7）都是等腰直角三角形，CA=C3=|,CE=C7）=3,/AC的頂點A在AEC。

的斜邊OE上，則AE2+AD2的值為.

【變式3］如圖，四邊形48C。的對角線AC,BO交于點0.若ACXBO,A8=4,8=石，則

BC2+AD2=.

題型七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

【典例1】如圖，在/8C中，AD1BC.

⑴求證：AB2-AC2=BD2-CD2；

(2)當AB=8,BC=6,AC=2萬時，求4￡)的值.

【變式1］如圖，已知“AC與..COE都是等腰直角三角形，其中N48=N￡)C￡=90。，。為AB邊上一點.

C

⑴試判斷A。與隨的大小關(guān)系，并說明理由;

⑵試說明4。2,8。2,。爐三者之間的關(guān)系.

【變式2】如圖，在RtZ\A8C中，已知NA=90。，。是斜邊8C的中點，DELBC交AB于點、E,連接CE.

BDC

⑴求證：BE2-AE2=AC2；

(2)若AC=6,BD=5,求/VICE的周長.

【變式3】如圖，在等腰RtAABC中，ZAC8=90。，4c=2,點尸是直線A8上一個動點，作等腰RtaFCP,

J1ZPCF=9O°,連接AP.

⑴找出圖中全等三角形.

(2)求證：FB、AF2=PF；

(3)若AF=J5,則■=

題型八勾股定理的證明方法

【典例1］勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究

作出過貢獻.特別是定理的證明，據(jù)說方法有400余種.其中我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了

證明.請你用下面弦圖（由四個全等的直角三角形圍成的）證明勾股定理：

如果直角三角形ABC的兩條直角力長分別為“力，斜邊長為J那么/+/=/.

【變式1】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，且巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚

喜地發(fā)現(xiàn)：當兩個全等的直角三角形如圖（1）或圖（2）擺放時，都可以用“面積法〃來證明勾股定理.

下面是小聰利用圖（1）證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按如圖（1）所示擺放，其中NZMB=90。.求證：a2^b2=c2.

【變式2】數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象.數(shù)與形也是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱為“數(shù)

形結(jié)合利用"數(shù)形結(jié)合''思想可以直觀地幫助我們解決一些數(shù)學驗證或運算.

⑴我國是最早了解勾股定理的國家之一，該定理闡明了直角三角形的三邊關(guān)系.請你利用如圖對勾股定理

（即下列命題）進行驗證，從中體會“數(shù)形結(jié)合〃的思想：

A

BaCbD

已知：如圖，在Rtz^ABC和RtZXCDE中，NB=ND=ZACE=9（甲，（點B,C,。在一條直線上），AB=CD=b,

BC=DE=a,AC=EC=c.

證明:

⑵請利用"數(shù)形結(jié)合"思想，畫圖尹推算出（。+〃+。）2的結(jié)果.

【變式3］我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1

所示"趙爽弦圖"（邊長為C的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為m〃，斜邊長為C）.

rai“用2圖3

⑴如圖I,請用兩種不同方法表示圖中空白部分面積.

方法1：s陰出=：

方法2：S陰影=；

根據(jù)以上信息，可以得到等式：:

（2）小亮將“弦圖〃中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理:

⑶如圖3,將圖2的2個三角形正行了運動變換，若a=6,b=3,求陰影部分的面積.

05強化訓練

一、單選題

1.設直角三角形的兩條直角邊長分別為。和從斜邊長為C.已知。=5,c=13,則》為（）

A.8B.10C.12D.18

2.以宜角三角形的三邊為邊作正方形，三個正方形的面積如圖所示，正方形人的面積為（）

A.6B.36C.64D.R

3.如圖，在48c中，48=10,BC=9,47=5拒，則3。邊上的高為（）

4.如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（/CME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組

合得到如圖2所示的四邊形OA8C.若A3=8C=1,AO=2,則OC?的值為（）

5.勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明

勾股定理的是（）

b

二、填空題

6.在中，ZC=90°,AC=3,BC=@,則A8邊的長是.

7.在,中，ZC=90°,若a:b=3:4,c=l(),則。=,b=.

8.在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、C都在格點上，則BC邊上的高為

9.如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=18cm,BC=24cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線40折疊，使

它落在斜邊上，且與AE重合，則8。=cm.

1().如圖，已知ABC,以四，AC為邊分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形AC￡,連接踮、

CD,連接DE,若A8=4,AC=5,則8c—。爐的值為.

三、解答題

11.如圖，在四邊形488中，AB=BC,ZABC=ZADC=90,4)=4,DC=2后,求的長.

BC

12.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，A8C的頂點都在小正方形網(wǎng)格線的交點上.求

ABC的周長及48邊上的高.

13.在RtZXABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,將3友比沿直線OE折疊，使8落在AC的三等分點4處,

求CE的長.

14.(1)如圖，在4ABe中，AD1BC,求證：AB--AC2=BD2-CD2；

(2)在48c中，A8=8,AC=5,8c邊上的高AD=4,求邊8c的值.

15.我們把對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美四邊形〃.

⑴性質(zhì)探究：如圖1,已知四邊形A8CQ中，AC1BD,垂足為0,求證：AB2+CD2=AD2BC2.

(2)解決問題：如圖2,在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5&8c=4/，分別以A8C的邊8c和A8向

外作等腰R〔8C￡和等腰RlBAD,連接。求OE的長.

16.對同一個圖形的面積可以從不同的角度思考，用不同的式子表示.

⑴用不同的方法計算圖1的面積得到等式：：

⑵圖2是由兩個邊長分別為小仇。的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成，從整體看它

又是一個直角梯形，用不同的方法計算這個圖形的面積，能得到等式：(結(jié)果為最簡)；

(3)根據(jù)上面兩個結(jié)論，解決下面問題：

9

①在直角/8c中，ZC=90°,三邊長分別為a、b、c,已知浦=Q,<?=4,求。+匕的值.

②如圖3,四邊形48CO中，對角線AC,3?；ハ啻怪?，垂足為0,AC=AD=2,在直角60c中，()B=x,

OC=yt若A9C的周長為2,則AA。力的面積=.

參考答案與試題解析

探索勾股定理

01

課程標準學習目標

1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；

2.會借助勾股定理確定數(shù)軸上表示無理數(shù)的點，理解實數(shù)與數(shù)軸上的

①掌握勾股定理；

點---對應關(guān)系；

②會證明勾股定理。

3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關(guān)

的計算和證明。

02思維導圖

r知識點01勾股定理

知識點

知識點。2勾股定埋證明

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

探索勾股定理題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

題型四勾股定理與無理數(shù)

題型五勾股定理與折疊問題

題型六利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

題型七利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

題型八勾股定理的證明方法

03

知識點01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖：直角三角形人的兩直角邊長分別為b,斜邊長為C,那么。2+/=。2.

注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a1=c1-b1,h2=c2-a2,c2=（a+b）2-2ab.

運用：1.己知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊：

2,用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為日的線段

【即學即練1】

1.（2024?福建寧德?二模）在RtZSABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則AB的長是（）

A.TEI?B.11C.13D.17

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，在中，ZC=90°,AC2+HC2=AB2,據(jù)此直接計算即可求解.

【詳解】解：如圖，

在中，ZC=90°,AC=5,8c=12,

^AB=y/AC2+BC2=\I52+122=13?

故選C.

2.（2024八年級下?全國?專題練習）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為

三角形某邊的“中偏度值如圖，中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,C。是48邊上的高，貝UABC

中A3邊的“中偏度值"為.

【答案】y24/3^3

【分析】本題主要考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出A8邊上的高和該邊上的中點到高的距

離.根據(jù)題意和題FI中的數(shù)據(jù)，可以計算出zMCB中AB邊上的高和該邊上的中點到CO的距離，再求它們

的比值即可.

【詳解】解：作CE為zMCB的中線，

.Z4CB=90°,AC=4,BC=3,

:.AB=ylAC1+BC2=V42+32=5*

^-ACBC=-ABCD,

22

0—x4x3=-x5xCD,

22

.\CD=y,

?BD=JBC2-CD2=

CE為RtZXABC斜邊A8上的中線，AB=5,

團=

2

597

⑦ED=BE-BD=?——=—,

2510

7

即點E到CO的距離為正，

12

24

則A8C中"邊的"中偏度值"為：辛s=,.

To

故答案為：—.

知識點02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（D中,“產(chǎn)3=（。辦）2=/+4）4油，所以

JCJr

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖(2)中=所以1=/*戶

(3)總統(tǒng)證法：如圖(3)所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

%g=g+6：a+b)=2*4+3*,所以aW=J.

【即學即練1】

1.(23-24八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中)【背景介紹】勾股定理是幾訶學中的明珠，充滿著魅力，如圖1是著名

的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，

一種是等于另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即;Hx4+S-從而得到等式

C2=；HX4+()-化簡使得結(jié)論/+/二這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式可方程的方

法，我們稱之為"雙求法〃.

【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鰲，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向

常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和RtVDEA如圖2放置，其三邊長分別為

a,b,c,NR4C=NDE4=90。，顯然AC_LAO.

(1)請用mh,c分別表示出四邊形AHDC,梯形的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)

系，證明勾股定理：a2+b2=c2(提示：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半)；

【方法遷移】

(2)如圖3,在中，4。是8c邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,求A。的值.

c

【答案】(1)SAI)CD=~~>S悌形"0c=-(a+b)b,S△麗=(a，S四邊形八函。=S梯形人W+S,證明見解

L4

析；⑵亞

4

【分析】(1)表示出三個圖形的面積進行加減計算可證/+〃2=。2；

(2)根據(jù)AO是4c邊上的高，AB2-BD2=AC2-CD2,代入數(shù)值進行計算，即可作答.

本題考查了證明勾股定理，勾股定理的應用等知識，解題的關(guān)鋌是理解題意靈活運用所學知識解決問題.

【詳解】解：⑴鼠邊…=*。'3家，

S

^AEDC=^(AC+ED)xAE=^(b+a)bt

S⑻D=gxEDxBE=；a(a_b),

?5四邊形AfiM：=S梯形“7犯+S&BED?

二.—c2=—(b+a)b+—a(a-b),

222

化簡得：/=/+/；

(2)設=CD=6-x

團AO是HC邊上的高，

^AD2=AB2-BD\AD2=AC2-CD2

^AB2-BD2=AC2-CD2

即42-X2=52-(6-X)2

Q

解得xj.

4

^AD=>JAB2-BD2=116--=—.

04^S3

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

【典例1］（22-23八年級上?福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則斜邊的長是.

【答案】13

【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進行求解即可.

【詳解】解：團一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,

回該直角三角形的斜邊長為疹而'=13，

故答案為：13.

【變式1］（23-24八年級下?吉林松原?期中）如圖，原來從A村到8村，需要沿路A7C->B-ZC=900）

繞過兩地間的一片湖，在A、3間建好橋后，就可直接從A村到8村.若AC=5km,AC=12km,那么建好

橋后從4村到B村比原來減少的路程為km.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理求出A8的長，再和以前的距離作比較即可得出答案.

【詳解】解：由勾股定理得,

AB=SIAC2+BC2=6+口=13（匕口）

國建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（5+12）-13=4（km）,

故答案為4.

【變式2】（23-24八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）在直角M3C中，AA=8,AC=6,則8C的長為

【答案】10或2萬

【分析】本題考查了勾股定理.分入〃=8是直角邊或八4=8是斜邊兩種情況討論，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當48=8是直角邊時，

則8。=依+82=10,

當AB=8是斜邊時，

則BC=芯*=2幣,

故答案為：10或2".

【變式3］（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12,則這個三角形的斜邊

長為一.

【答案】12或15

【分析】本題考查了勾股定理.注意12可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論.

【詳解】解：當9和12都是直角邊時，

斜邊=,92+12?=15；

當9是直角邊，12是斜邊時，

斜邊為12.

故答案為：12或15.

題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

【典例1】（23-24八年級下?湖南湘西?期中）如圖所示，如果正方形4的面積為625,正方形B的面枳為400,

則正方形C的邊長為.

【答案】15

【分析】設4的邊長為m8的邊長為力，。的邊長為c,根據(jù)題意，得/=625,6=400,c2=a2-b2,

計算即可.

本題考查了勾股定理，正確理解定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設A的邊長為4,B的邊長為b,C的邊長為c,

根據(jù)題意,得"=625,從=400,c2=a2-b2,

c2=625-400=225.

解得c=15.

故答案為：15.

【變式1】（23-24七年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形AB,C的邊長分別為直角三角形的三邊長，若

正方形AB的邊長分別為4和8,則正方形C的面積為.

【分析】木題考查勾股定理的應用.由正方形人"的邊長分別為4和8可得中間的直角三角形的一直角邊

和斜邊分別是4和8,再用勾股定理可求另一直角邊，即可得出答案.

田正方形A8的邊長分別為4和8,

回ZW=4,MV=8

國aPMN是直角三角形，

PM2=A/N2-PN2=64-16=4S

回正方形C的面積=PM1=48.

故答案為:48.

【變式2］（23-24八年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，在RIZX48C中，ZC=90°,分別以48、BC、4。為

直徑作半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙當A8=13,8c=5時，則陰影部分的面積為一.

【答案】30

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)勾股定理求出AC=如公-8C?=13，然后根據(jù)陰影部分面積等于以AC4c為直徑的2個半圓的面

積加上S..C減去A8為半徑的半圓面積即S-然后代數(shù)求解即可.

【詳解】解：在RlZXABC中，ZC=90°,

AC2+8c2=AB2

TAB=13,BC=5

AC-JAI?~-13

S陰影部分=]4C.8C+]7tx—AC~+/7CX(E8cJ—/irx1]ABJ

=^AC-BC+^nx^AC2+BC2-AB2)

=-ACBC

2

=-x12x5

2

=30.

故答案為：30.

【變式3](2024?四川成都?二模)如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，

若正方形4B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關(guān)鍵是勾股定理的正確應用.

由所有陰影部分的四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,根據(jù)勾股定理得邑+Sg=S.=Si,

由正方形A、B、。的面積依次為5、13、30,得5+13=30-$「故正方形。的面積為12.

【詳解】解：由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據(jù)勾股定理得

SA^SB=SE=SD-SC

由正方形A、B、。的面積依次為5、13、30,得5+13=30-工，

故正方形C的面積為12.

故答案為：12.

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

【典例1]（23-24八年級下?湖北武漢?期中）在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,A、4、C三點均

在正方形格點上，則點A到直線BC的距離是.

【答案】2

【分析】本題考查了網(wǎng)格圖的問題，解題關(guān)鍵是正確應用勾股定理.用割補法求出A8c的面積，用勾股定

理求出3C的長，然后利用面積法求解即可.

【詳解】解：48c面積=4x4」xlx2x2x4-'x3x4=5,

222

由勾股定理得8C=律==5，

設點4到直線8c的距離是4

得LX5X1=5,

2

解得d=2.

故答案為：2.

【變式1]（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，48c的頂點AB,。在邊長為1的正方形網(wǎng)

格的格點上，CZ）_LAB于點。.則CD的長為.

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，利用勾股定理求出48的長，利用網(wǎng)格求出A8C的面積，再根

據(jù)面積法即可求出CD的長，利用割補法求出AAC的面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由勾股定理可得?AB=y3^+4?=5?

由網(wǎng)格可得，SABC=4x4-^x4xl-^-x3xl-ix3x4=-^,

?2222

團CD_LA8,

i</AtRotC=-2ABCD=-2x5xCD=-2CDf

0-CD=—,

22

13

0CD=—,

5

13

故答案為：y.

【變式2】（23-24八年級下?浙江金華?階段練習）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為

1,點4,&C都在格點上，求8c邊上的高長=.

【答案】2&

【分析】本題主要考查三角形面積公式，運用分割法求出AAC的面積，運用勾股定理求出3c的長，再運

用等積法即可求出8C邊上的高

I11”3

［詳解］解：\4Bc=5x6--x2x6--x5x5--xlx3=30-6-y--=10；

由勾股定理得，8C=^/F==5及，

所以，BC邊上的高長=布=2四，

故答案為：2&.

【變式3】（23-24七年級上?山東泰安?期末）如圖所示，A8C的頂點A、B、C在邊長為I的正方形網(wǎng)格的

格點上，8。_147于點。，則8。的長為.

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是“，bt斜邊長為。，那么

/+〃2=。2.根據(jù)題意求出/8C的面積，根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：由圖形可知，BC=f,BC邊上的高為3,

.?sA8C的面積=gx5x3=￥，

由勾股定理得，4。=疹百=5，

則-x5x8D="，

22

解得，BD=3,

故答案為：3

題型四勾股定理與無理數(shù)

【典例1］（23-24八年級下?河南濮陽?期中）如圖，點A表示的實數(shù)是（）

-4-3-2-10I2

A.-V6B.-6C.1D.1-75

【答案】B

【分析】本題主要考查了數(shù)軸、勾股定理等知識點，解答本題的關(guān)鍵是求得。A的長度.根據(jù)勾股定理可得

。8的長，再求出04的長，然后求得點人所表示的數(shù)即可.

由題意得：OB=j2、f=亞,

團。4=08

0點A表示的實數(shù)是-石

故選B.

【變式1】（23-24八年級下?湖北黃岡?期中）如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為。，則。的值是（）

【答案】B

【分析】本題考杳的是勾股定理與實數(shù).先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點IU的距離公式

即可求出4點的坐標.

【詳解】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,

回斜邊長為：VI2+22

回-1到A的距離是逐，

團點A所表示的數(shù)為：百-1.

故選：B.

【變式2］（23-24七年級下?山東濟寧?期中）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1,點8表示的數(shù)是-1,CB1AB

于點3,且3。=1,以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交數(shù)軸的負半軸于點。，則點。表示的數(shù)是（）

A.>/3—1B.1—>/3C.yjs—1D.1—5/5

【答案】。

【分析】本題考查了勾股定理，數(shù)軸上點的平移，熟練掌握左減右加是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理，得AC=JAB、BC2=5點A向左平移6個單位長度即可得到點。表示的數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，得班=2,BC=\,

由勾股定理得：AC=JAB2+BC:=x/5?

故點A向左平移x/5個單位長度即可得到點。表示的數(shù)，即1-逃.

故選：D.

【變式3］（23-24八年級卜.?河南信陽?階段練習）如圖的數(shù)軸上，點4c對應的實數(shù)分別為1,3,線段A8工AC

于點A,且A3長為1個單位長度，若以點C為圓心，3C長為半徑的弧交數(shù)軸于。和1之間的點P,則點。

表示的實數(shù)為（〉

A.>/5-3B.3-亞C.V10-3D.3-M

【答案】B

【分析】本題考查J'實數(shù)在數(shù)軸上的表示，勾股定理：由勾股定理得求出AC,由PC=8C

即可求解：能用勾股定理求解，找出實數(shù)在數(shù)軸的點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

BC=y/AB2+AC2

=5

PC=BC=y/5,

:.OP=OC-PC

=3-6

???P表示的實數(shù)為3-行；

故選：B.

題型五勾股定理與折疊問題

【典例I]（23-24八年級下嘿龍江哈爾濱?階段練習）如圖是一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,8c=8,

將二A5C折疊，頂點3與點A重合，折痕為OE,則的長為.

【答案】v

4

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，運川勾股定理建立方程求出8。是關(guān)鍵；由折疊知

AD=BD,BE=AE=；AB,則CO=BC-BD,在Rl^ACQ中由勾股定理建立方程，即可求出40,在

□△3/宏中由勾股定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解：.AC=6,BC=8,ZC=90°,

/.AB=JAC2+BC2=x/36+64=10；

由折置知BE=-AB=5,

2

則CD=BC-BD=8-bD；

在RtZ\ACQ中，AC2+CD2=Alf,

即6?+（8-4力）2=附，

25

解得：

在中，由勾股定理得QE='BQ?-4號=15

T

故答案為：*

【變式I】（2024?山東煙臺?二模）如圖，三角形紙片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3t沿4）和律將

紙片折疊，使點8和點C都落在邊8。上的點P處，則AE的長是（）

A

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得AP=AB=2,ZB=ZAPB,CE=PE,ZC=ZCPE,可得NAPE=90。，繼而設AE=x,則

CE=DE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：國沿過點A的直線將紙片折疊，使點3落在邊上的點。處，

^AP=AB=2,ZB=ZAPB,

團折疊紙片，使點C與點尸重合，

中CE=PE,NC=NCPE,

@Zft4C=90°,

0Z5+ZC=9O°,

0Z4PB+ZCPE=9O0,

團NAPE=90。，

^AP2+PE2=AE2>

設AE=x,

貝i」CE-PE-3r,

022+（3-X）2=X2,

13

解得x=

6

13

即AE=-t

6

故選：A.

【變式2］（23-24八年級下?內(nèi)蒙古通遼?階段練習）如圖已知長方形ABC。中/W=8cm,AC=10cm,在邊

CQ上取一點E,將VAO月折疊使點。恰好落在8C邊上的點片則CE的長為.

D

E

C

【答案】3?！?3厘米

【分析】本題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知識，關(guān)鍵是熟練掌握

勾股定理，找準對應邊.設CE的長為x,由將VAOE折疊使點。恰好落在8。邊上的點尸可得

RlAADE且RlA4莊，所以Af=10cm,斯=OE=8—x；在RjAB*中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2^

已知人8、人尸的長可求出M的長，MF=BC-BF=1()-BF,在RtECF中由勾股定理可得：

￡尸=。爐+C尸，即：(8-.v)2=r+(10-fiF)2,將求出的面-的值代入該方程求出工的值，即求出了?！甑?/p>

長.

【詳解】解：回四邊形458是長方形，

/.AD=BC=10cm,CD=AB=82m,

根據(jù)題意得：RtAADE^RtZVlFE,

.-.Z4FE=90°,AF=AD=l()cm,EF=DE,

設CE=Acm,則。E=砂=。。一。儀8-力51,

在RJA5F中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

即82+BF2=102,

/.BF=6cm,

/.CF=^C-BF=10-6=4(cm),

在RlEC尸中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF\

即(8-X)2=X2+42,

.,.64-16x+x2=x2+16?

/.A=3(cm),

即CE=女m.

故答案為：3cm.

【變式3](2024九年級下?江蘇徐州?專題練習)如圖,在等腰直角三角形43C中,44c=90。,AB=五,

點P是邊BC上任意一點,連接4P,將一他尸沿4P翻折，點3的對應點為B，當有一邊與8c垂直

時，3。的長為.

【答案】2-血或1或2

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，分三種情況討論，當49_L8C時，當AP_L8C時，當B'PLBC

時，利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：當A#_LBC時，如圖，

.1

在等腰