2023年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學一模考試一次函數(shù)壓軸題匯總

越秀區(qū)2023年一模

24.已知拋物線G：3/=〃/+&+0（4工0）經過點4（1,〃+5力）.

（I）用含力的代數(shù)式表示。；

（2）若拋物線G與x軸交于兩點4,C（點"在點。左側），且4c=6,求點3的坐標；

（3）當歹工3時，自變量x的取值范圍是：-m或x2〃?+l（〃?>0）,若點。（小-9）在拋物線G上,

求〃的取值范圍.

海珠區(qū)2023年一模

25.二次函數(shù)必-2〃a一3的圖象記為G,其中加工0.

（I）請直接寫出二次函數(shù)y二加/一2加工一3與y軸的交點A及其對稱軸；

（2）若一次函數(shù)乂二加/一2加工一3過點6（-1,0）,其與X軸的另一個交點為C,拋物線5上是否存在

點N,使a/CN是直角三角形，若存在，請求出點N的橫坐標，若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)%=依2+云+。的圖像為G2,且夾在直線y=2x—7與拋物線G1之

間，二次函數(shù)乃同時符合以下三個條件：

①當〃一時，二次函數(shù)%=加+以+C最大值與最小值之差為9；

②當一5?xW-2時，為隨x的增大而減小；

③若把圖象G?向左平移3個單位，當-5WXW-2時，%隨工的增大而增大；求實數(shù)P的值.

試題

荔灣區(qū)2023年一模

25.已知拋物線y=--+2代一產+4的頂點為〃，與N軸交點為A,點P（d〃）是拋物線上異于點H的

一個動點.

（I）若拋物線的對稱軸為直線x=l,請用含。的式子表示b；

（2）若。=1,作直線”P交N軸于點8,當點A在x軸上方且在線段08上時，直接寫出〃的取值范圍:

（3）在（1）的條件下，記拋物線與x軸的右交點為C,的中點為。，作直線CQ,過點尸作尸尸1.CQ

于點￡并交x軸于點/，若。＜3,PE=3EF，求〃的值.

天河區(qū)2023年一模

25.在平面直角坐標系中，拋物線6:），="2+&+1（。＞0）經過點頂點為點兒

（1）求〃與力的數(shù)量關系：

（2）設拋物線G的對稱軸為直線/,過A作垂足為M,且M8=24M.

①當根-1工工工〃2+1時，求拋物線G的最高點的縱坐標（用含，〃的式子表示）；

②平移拋物線G,當它與直線48最多只有一個交點時，求平移的最短距離.

試題

試題

番禺區(qū)2023年一模

24.已知拋物線y=ad—2〃x+c（mc為常數(shù),。工0）經過點。（0,-1）,頂點為D

（I）當。=1時，求該拋物線的對稱軸，寫出頂點。的坐標；

（2）當。＞0時，點￡*（0,1+〃），若DE=26,DC，求該拋物線的解析式；

（3）當。＜一1時，點尸（0，1-〃），過點C作直線/平行于x軸，”（m，0）是x軸上的動點，N（m+3,-l）

是直線/上的動點.試探究當。為何值時，尸”+。^^的最小值為2＞/布，并求此時點M，N的坐標.

花都區(qū)2023年一模

25.已知拋物線歹=。/+笈+。（。工0）,過點（—2,c）.

（I）求4，8之間的關系；

（2）若c=-l,拋物線y=a，+8x+c在一2?x?3的最大值為。+2,求”的值；

（3）將拋物線》=辦2+以+。向右平移”。＞0）個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線頂點記

為點尸，若。為任意正實數(shù)時，總有OP2起,求c的取值范圍.

試題

試題

從化區(qū)2023年一模

24.平面直角坐標系中，拋物線J=QX2—3QX+I與y軸交于點A.

（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）若一歹有最大值為3,求。的值；

（3）已知點。（。,2）、。（〃+2,1）,若線段與拋物線只有一個公共點，結合函數(shù)圖像，求。的取值范

圍.

南沙區(qū)2023年一模

25.拋物線y=/+bx+。的圖象與x軸交于點力（T0）和點8,與歹軸交于點。（0,—3）,拋物線的對稱軸

與x軸交于點。.

<1）求人一C的值；

（2）點E是線段6C上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點/，當四邊形BDC77的面積

取得最大值，求此時點E的坐標：

（3）點尸在的拋物線上，點。在的拋物線的對稱軸上，若直線8c垂直平分線段尸。時，求點P的坐標.

試題

試題

增城區(qū)2023年一模

25.綜合與探究

已知拋物線G：y=ax2+bx-5（a^0）.

（I）當拋物線經過（-1，-8）和（1,0）兩點時，求拋物線的函數(shù)表達式.

（2）當6=4〃時，無論a為何值，直線V=〃?與拋物線C相交所得的線段N3（點A在點B的左側）的

長,更始終不變，求m的值和線段46的長.

（3）在（2）的條件下，將拋物線G沿直線V=〃7翻折得到拋物線。2,拋物線G，G的頂點分別記為G,

H.是否存在實數(shù)a使得以A,B,G,H為頂點的四邊形為正方形？若存在，直接寫出a的值；若不存在,

請說明理由.

試題

試題

2023年廣東省廣州市各區(qū)中考數(shù)學一模考試二次函數(shù)壓軸題匯總

越秀區(qū)2023年一模

24.已知拋物線G：y=奴2+6工+。（。工0）經過點4（1,。+5方）.

（I）用含6的代數(shù)式表示。；

（2）若拋物線G與x軸交于兩點8,C（點“在點。左側），且BC=6,求點B的坐標；

（3）當yW3時，自變量x的取值范圍是：工二1一〃2或x2〃?+l（〃7>0）,若點。（〃,一9）在拋物線G上,

求〃的取值范圍.

【答案】⑴c=4b

（2）8（-2,0）或4（-12,0）

（3）-5<〃<一2或4<〃<7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，將點”（1,。+5/））代入解析式即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結論得出+d力，令y=0,即〃1?+以+4b=0,根據(jù)一元二次方程根與系

數(shù)的關鍵，結合題意々一玉=6（々>玉），得出關于2的一元二次方程，解方程得出々=-2或2=18,

aaa

然后分類討論，即可求解：

（3）根據(jù)已知條件得出對稱軸為直線/二五玉?=1，則6=-2。，得出拋物線解析式為

2

y=ax2-2ax-^a,得出拋物線G與x軸交點坐標為（一2,0）,（4,0）；根據(jù)與7=3有2個不等實數(shù)根求

得。進而令求得當-9）在拋物線G上時的〃的值，進而即可求解.

【小問1詳解】

解：:拋物線G：>=。/2+版+（?（。工0）經過點/（1M+56）.

??a-\-b+c=a+5b

??c=4b；

【小問2詳解】

解：,；c=4b

y=ax2+bx+4b,

2

令y=0,即ax+外+4b=0

b4b

??X]+A；2=——,X]X=一

a'2a

試題

試題

?.?拋物線G與x軸交于兩點八C（點4在點C左側），且與。=6,即々一%=6（々>七）①

22

（X）-x2）=（芭+x2）-4X,X2=1^=36

a~a

解得：白二-2或2=18

aa

當2=-2,即百+匕=2②

a

由①②得｛：］：，

???6（-2,0）

當2=18,即玉+/=-18③

a

x.=-12

由①③得《,

x2=-6

???8（-12,0）

綜上所述，8（-2,0）或8（—12,0）

【小問3詳解】

解：???當》43時?，自變量x的取值范圍是：xKl-m或工2〃?+1（〃7>0）

.?.當y=3時，以？+以+46=3的兩個根為演=1-6或工2=1+〃？，且。<0,

對稱軸為直線x=土*=1

2

??."1

2a

即6=-2。

?■?拋物線解析式為y=〃犬-2〃x-8a=a（x-l『一/一8〃（〃<0）

令》=。，即ad—2ax—8Q=O

解得：玉=—2占=4,則拋物線G與x軸交點坐標為（一2,0）,（4,0）；

?；y=3時，3=ax2-2ax-8。，

???△=力？_4CQ=（—2a『一4。（一8a—3）>0，又a<0,

解得：a<—：

3

Ii28

當a=一§時，解析式為y=-々/+,x+'

333

試題

試題

?.?。（凡一9）在拋物級6上，

c1228

-9=---/?-4---72+—

333

解得：〃=-5或〃=7

Va<--,拋物線開口隨著。的絕對值的增大開口越小，

3

，一5<〃<-2或4<〃<7.

【點睛】本題考宜了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

海珠區(qū)2023年一模

25.二次函數(shù)必=m/一2〃比一3的圖象記為G,其中m/0.

（1）請直接寫出二次函數(shù)凹="/一2加工-3與N軸的交點A及其對稱軸；

（2）若一次函數(shù)￥二帆/一2加1一3過點內（一1,0）.其與X軸的另一個交點為C,拋物線G|上是否存在

點N,使△ZCN是直角三角形，若存在，請求出點N的橫坐標，若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)歹2=?2+及+。的圖像為G-且夾在直線P=2x—7與拋物線G1之

間，二次函數(shù)必同時符合以下三個條件：

①當p-4Vx<2-〃時，二次函數(shù)為=加+及+。最大值與最小值之差為9；

②當一5WxW—2時，外隨工的增大而減小；

③若把圖象&向左平移3個單位，當-530-2時，為隨x的增大而增大；求實數(shù)〃的值.

【答案】（1）4（0,-3）,對稱軸為直線x二l

（2）一2或1或匕立或匕叵

22

（3）p=-2

【解析】

【分析】（1）在必-2Mx—3中，求出當x=0時，%的值即可求出點A的坐標，把

%=〃?/-2〃a-3化成頂點式即可求出對應的對稱軸；

（2）把3（-1,0）代入必="/-2〃a-3中求出拋物線G1解析式為乂=--2X-3,進而求出C的坐標

為（3,0）；求出直線AC的解析式為y=x-3,設N“，『一2"3）,再分如圖2-1所示，當ZACN=90°,

如羽2-2所示，當NC/N=90。時，如圖2-3所示，當4NC=90。時，三種情況討論求解即可；

（3）先根據(jù)題意得到拋物線開口句上，即?！?；有當-5WxW-2時，弘隨x的增大而減小，得到&W2；

2a

試題

試題

根據(jù)平移過后的拋物線，當-5WXW-2時，必隨x的增大而增大，得到-2之2,可以推出鄉(xiāng)=2,即

2a2a

力=4”；聯(lián)立產一一一，解得x=2,則拋物線必=/一型一3與〉二2%一7只有一個交點（2,-3）；

y=2x-l

進而得到點（2,—3）也在二次函數(shù)%=依2+/次+。的圖象上，即可求出C=-12Q-3；根據(jù)二次函數(shù)

32=?2+歷+C夾在直線N=2X-7與拋物線G1之間，得到不等式2x—7工4/+區(qū)+。工/—2%一3

（a>0

對于一切實數(shù)都成立，進而得到/\2,、且

=（4。-2）-444-12。）《0

〃-1<011

1/、，，「\解得。=一，則為=一/+工一6,對稱軸為直線X二一2；根據(jù)

A2=（4tz+2）--4（^-l）（-12?）<04~4

p-4<x<2-p,推出夕一4弓2-〃，即pV3,2-p>-\>-2,再分當夕一4工一2,即pW2時，

當〃-4N-2,即24〃<3時?，兩種情況利用二次函數(shù)的性質求解即可.

【小問1詳解】

解：在必=〃次？-2〃狀一3中，令x=0,則必=一3,

???拋物線與V軸的交點A的坐標為（0,-3）,

22

.??拋物線G］解析式為弘=mx-2nix-3=/??（x-l）-3-77/；

2

/.拋物線y}=mx-2mx-3的對稱軸為直線x=l；

【小問2詳解】

解：???二次函數(shù)必二加/-2加x_3過點8（-1,0）,

加+2加一3=0,

解得〃7=1,

???拋物線5解析式為必二X2-2X-3,

???拋物線G1對稱軸為直線x=l,

???拋物線G1與x軸的另一個交點C的坐標為（3,0）：

設直線AC的解析式為y=kx+b,

J3Z+力=0

力=-3'

（k=\

歷=-3

???直線AC的解析式為y=x-3；

試題

試題

設N(f,t2-2t-3),

如織2-1所示，當N4CV=90。，過點N作NT_Lx軸于T,

?.?。力=0C=3,

???//CO=NC4O=45。，

???NNCO=45。，

:.△N7C是等腰直角一角形，

???NT=CT,

"-2，-3=37，

解得，=-3或，=3（舍去），

???點N的橫坐標為-2；

如H2-2所示，當NC4V=90。時，過點N作NT_Ly軸于T,

；?NNAT=45。,

???△AU7是等腰直角三角形，

:.AT=NT,

.J=-3-（r-2—3）,

解得f=l或/=0（舍去）,

???點N的橫坐標為1；

試題

試題

如圖2-3所示，當N4NC=90。時，過點N作NTly軸于T,過點G作GM_L7W交力V延長線于M,

???/ATN=/NMC=90°，NTNA+/TAN=90°=/TNA+4MNC,

:"TAN=/MNC,

:,/\TANs/\MNC,

.竺=則_卜3"/+3|_|3-d

TNCM'|||3+2/_/「

.心2)|13T

：.t-2=——或2-=—,

/+1/+1

，J一/-3=0或/一/一|=0,

解得Z二上立或/二生叵（舍去），

22

???點N的橫坐標為匕好或上史；

22

綜上所述，點N的橫坐標為-2或1或±5或匕正;

22

試題

???二次函數(shù)%=52+歷+。夾在直線y=2x-7與拋物線。之間,

???拋物線開口向上，即。＞0；

???當—54x4—2時，8隨x的增大而減小,

工2-2,即宗2；

若把圖象G2向左平移3個單位，則平移后的拋物線對稱軸為直線x小

???平移過后的拋物線，當-5?工4-2時，為隨x的增大而增大，

2-30-5,即2N2,

la2a

—=2,即6=4。；

2a

y,=x2-2x-3/、2

聯(lián)立“W(x-2*=0,

y=2x-71)

解得x=2

???拋物線必=/-2x-3與y=2x—7只有一個交點（2,-3）；

???二次函數(shù)為+辰+c夾在直線y=2x-l與拋物線5之間,

試題

________________________________________

.?.點（2,-3）也在二次函數(shù)為=??+灰+。的圖象上，

4a+2b+c=-3,

,c=-3-4。-2b=-12〃-3；

???二次函數(shù)為:依?+bx+c夾在直線y=2x-7與拋物線G,之間，

，不等式2x-7WQX?+〃x+c4爐一21一3對于一切實數(shù)都成立，

:.2x-7<ax2-v4ax-\2a-3<x2-2x-3對于一切實數(shù)都成立，

：,ax2+（4a-2）x-l-2a+4>｛）,（4-1）/+（44+2）1一1勿0。對于一切實數(shù)都成立，

a>0［tz-l<0

?且《

?A,=（4a-2）-4“4-12小0（A2=（4^+2）~-4（a-l）（-12a）<0

a>0fa<1

**（4?-l）2<0JL］（4CL1『40，

解得八1，

4

Ay.=-X2+X-6,對稱軸為直線X=-2,

.-4

p-4<x<2-p,

p-4<2-p,Bpp<3,

當夕一4W—2,即pS2時，對于歹2=5x2+x—6而言.,當x=—2時，為有最小值，最小值為-7,

V-2-（p-4）-（2-p+2）=-2-p+4-2-I-p-2=-2<0,

，當x=2-p時，必有最大值，最大值為1（2-〃）+（2—/?）—6,

???［（2-p『+（2-p）—6—（—7）=9,

解得夕=-2或0=10（舍去）；

當〃一42-2,即時，8隨x增大而增大，

???當x=p-4時必有最小值，最小值為』（〃一4『+（〃-4）-6,當x=2-p時，必有最大值，最大值

為［（2-p）+（2—p）—6,

1、「1、~

/.-（2-p）~+（2-p）-6--（p-4）-+（p-4）-6=9

試題

___________________________________________

解得〃=一6（舍去）：

綜上所述，P=-2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質與判定，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與一

元二次方程之間的關系，一次函數(shù)與幾何綜合等等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵，

荔灣區(qū)2023年一模

25.已知拋物線y=-/+2h-左2+4的頂點為“，與y軸交點為A,點網。力）是拋物線上異于點H的

一個動點.

（I）若拋物線的對稱軸為直線X=l,請用含。的式子表示心；

（2）若。=1,作直線〃。交N軸于點8,當點A在x軸上方且在線段08上時，直接寫出力的取值范圍;

（3）在（1）的條件下，記拋物線與x軸的右交點為C,。力的中點為。，作直線C。，過點2作廢_LCO

于點￡并交4軸于點/，若。<3,PE=3EF,求。的值.

【答案】（1）6=一。2+2。+3（々工1）

（2）0W4<2且4工1

【解析】

【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質可得出k=l,確定拋物線的解析式為歹=-產+2》+3,再根據(jù)圖像上點

的坐標特征即可得出結論：

（2）根據(jù)題意和拋物線的解析式可得出/（0,一公+4）,川1,-/+2〃+3）,k/1,再根據(jù)點A在x軸

|-r+4>0

上方且在線段。4上，可得出不等式組〈，2，解不等式組即可得出結論；

-k2+4<-k2+k+4

（3）如圖，過點D作DBLCD,交x軸于點8,由（1）知拋物線的解析式為y=-/+2x+3,結合中

（3、13

點定義先確定。0,-,C（3,0）,得出直線CO的解析式為y=一不x+彳，證明

k2J2,2

3/313

利用相似三角形的性質得出8。二^，L從而可求出直線8Q的解析式為y=2x+5,然后根

據(jù)尸尸〃和尸（。,一/+2。+3）確定直線所的解析式為/2工+3-。2,得出產幺｝工°，再通

（2a2-39-a2\

過解二元一次方程組確定E——,接著利用兩點間距離公式用含。的代數(shù)式求出

卜J。）

試題

試題

七￡=奈9_0

根據(jù)尸E=建立方程，分兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

解：???拋物線了=一一+2而一％2+4=一（工一人『+4,

H（〃,4）,對稱軸x=h

???點P（〃,6）是拋物線上異于點H的一個動點，

a±k,

???拋物線的對稱軸為直線X=1,

=1?

，幗物線的解析式為y=-x2+2x+3,

???點P（。力）在拋物線上，

.,?當x=a時，8=一。2+2。+3（。工1）.

【小問2詳解】

???拋物線^二一一+2履一/+4與〉軸交點為八，

???當x=0時，>=一代+4,

:.力（0,—二+4）,

???點在拋物線>=一/+26一代+4上，且。=1,點尸（。力）是拋物線上異于點H的一個動點,

???尸（1,—女~+24+3）,k手1,

設直線PH的解析式為y=

m+b.=-k2+2攵+3

km+4=4

???（4一1）4=一〃3+2左2+3左一4二（左一i）（一左2+左+4）,

???攵工1,

???左一1二0,

；?A=-k"+k+4,8（0,—K+t+4）,

???點A在x軸上方且在線段OB上，

.卜產+4>0

?[―-+4W-/+%+4'

f-2<k<2

??19

k>0

???0W左<2,

試題

試題

綜上所述，攵的取值范圍是0工％<2且〃工1.

【小問3詳解】

如紹，過點。作。5_LCO,交1軸于點8,

???拋物線的解析式為y=-』+2》+3,OA的中點為。,

當工=0時，y=3,

???4(0,3),ON=3,

13(3、

OD=—OA=—,D0,一,

22I2)

當y=。時，-/+2工+3=0，

解得：玉二-1,X2=3

.,.C(3,0),OC=3,

設直線CD的解析式為y=kCDx^bCD,

3kcD+%?=0

?',R=1■

kcn=一--

解得：,

:.直線CD的解析式為y=—?x+1,

22

??,DBA.CD,ZBOD=ZDOC=90°,

???NBDO+ZODC=90°,ZODC+4DC0=90°,

???4BD0=4DC0,

???△BDOSXDCO,

.BODO

"'DO~~CO,

3

2

3

???BO=一,

4

(3、

：.B——,0,

<4)

試題

試題

設直線BD的解析式為y=k^x+b*，

3

~~7^BD+bBD=°

L3

bBD=~

乙

^BD~2

解得：

、J

3

???直線的解析式為歹=2x+5,

???PF1CD,

???PF//BD,

設直線PQ的解析式為y=2x+bPF,

由(1)知：?(a,—4"+2〃+3),

A—Q~+2。+3=267+bpF

???直線尸R的解析式為＞=2工+3-。2,

a2-3

當y=0時，x=^—^-

2

2a2-3

y=2x+3-a2x=------

5

由，13可得

y=——x+—9一/

-22

(2a2-393

：.E

55J

?：PE=3EF,

.石

??2a2-5a-3=3x—9-a2，

510

試題

試題

???2|2/_54_3卜3"斗

當2（2/—5a—3）=3（9—時，

解得：%=—；，%=3（不合題意，舍去），

當2（2八5"3）=-3（9-/）時，

解得：/=7（不合題意，舍去），%=3（不合題意，舍去）,

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考杳用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像的性質，相似三角形

的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，解二元一次方程組，解不等式組，兩點間距離，解絕對值方程，

解一元二次方程等知識點，運用了分類討論、方程的思想.根據(jù)題意，靈活運用所學知識解決問題是解題

的關鍵.

天河區(qū)2023年一模

25.在平面直角坐標系中，拋物線6:），=62+區(qū)+1,>0）經過點頂點為點4.

（I）求〃與b的數(shù)量關系；

（2）設拋物線G的對稱軸為直線/,過A作力A/_U,垂足為"，且"8=24".

①當〃+l時，求拋物線G的最高點的縱坐標（用含〃?的式子表示）；

②平移拋物線G,當它與直線4B最多只有一個交點時，求平移的最短距離.

【答案】（1）b=-2a

試題

________________________________________

(2)①當相<1時，拋物線在戈=機一1時取得最大值2w2一8加+7：當〃？之/時，拋物線在x=〃?+l時

取得最大值2,〃2一1；②

10

【解析】

【分析】(1)將點4(2,1)代入拋物線G:y=ad+bx+l(Q>0),即可求解；

(2)①由(1)得y="2+bx+i=Qx2—2ax+l,通過求解其對稱軸和頂點坐標求出其解析式為

y=2x2-4x+\,再分別討論當帆-1-1|〉|〃7+1-1|時，當何-1-1區(qū)|加+1-1|時，進而根據(jù)二次函數(shù)

最值的求法進行求解即可；

②先求出直線的解析式為y=2x-3,拋物線平移，直線不動，相當于拋物線不動，直線平移，再求

直線月4平移后的解析式為y=2x+〃，當平移后的拋物線與直線48最多只有一個交點時，枷物線平移的

距離達到最小時，意味著平移后的直線力8與拋物線有且僅有一個交點，聯(lián)立,可得

y=2x+n

77

2A2_6A4.1_,/=0,進而求出〃='則拋物線平移的距離就是y=2x-3與y=2x—w兩條直線問

77

的距離，過點/作/WN垂直于直線歹=2x--于MA,〃分別為y=2x--與x軸，》軸的交點，通過

證明AOABfNMB,利用相似三角形的性質進行求解即可.

【小問1詳解】

,?,拋物線G:歹=加+瓜+1僅>0)經過點4(2,1),

1=4a+2/>+1,

:.b=-2a；

【小問2詳解】

①由(1)得y=ax1+bx+1=ax2-2ax+1,

/.其對稱軸為直線x=--=1,頂點為8(1,1-。)，

2a

???過A作彳M_L/,垂足為〃，且=,

A1-(1-67)=2X(2-1),

a=2t

y=2x2-4x+I,

當帆一1一1|>|m+l-1|時,

即〃7<1時，拋物線在x="7-1時取得最大值2m2-8/77+7；

當加一1-1區(qū)加+1-1|時,

即m>/W,拋物線在x=〃?+1時取得最大值2加2-1;

試題

____________________________________

綜上，當〃?<1時，拋物線在工="?一1時取得最大侑2加2_即7+7：當機之/時，拋物線在x=〃z+l時取

得最大值2m2—1：

②,??點力

???設直線AB的解析式為y=6+6(左w()),

\=2k+bk=2

，解得《

-1=k+bh=-3

???直線/8的解析式為_F=2M3,

拋物線平移，直線不動，相當于拋物線不動，直線平移,

設直線平移后的解析式為y=2x+〃,

當平移后的拋物線與直線43最多只有?個交點時，拋物線平移的距離達到最小時，意味著平移后的直線

AB與拋物線有且僅有一個交點，

y-2x2—4x+1

聯(lián)立《可得2x2-6x+1-/?=0?

y=2x+n

此時，A=(T)2-4X2X(1-〃)=0,

7

解得〃=一大，

2

7

則拋物線平移的距離就是y=2工-3與y=2x--兩條直線間的距離，

???M點為y=2x-3與歹軸的交點，M(0,-3),

77

過點M作MV垂直于直線y=2x--于N,4,4分別為y=2x--與x軸，y軸的交點,

則△0/13~aNMB?

試題

試題

力8

=笈M

解得A/N=Y5，

10

即y=2x-3與y=2x-2兩條直線間的距離為正,

210

所以平移最短的距離為正.

10

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質，求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

求最值，相似三角形的判定和性質，直線的平移等，準確理解題意熟練掌握知識點是解題的關鍵.

番禺區(qū)2023年一模

24.已知拋物線y=ar2—2qx+c（/。為常數(shù),〃工0）經過點C（0,-1）,頂點為。.

（I）當4=1時，求該拋物線的對稱軸，寫出頂點D的坐標；

（2）當。>0時，點￡（0,1+。），若DE=26DC，求該拋物線的解析式；

（3）當。<一1時，點尸（0。一〃）,過點C作直線/平行于x軸,"（機，0）是x軸上的動點，N（〃z+3,-l）

是直線/上的動點.試探究當“為何值時，EW+ON的最小值為2而，并求此時點M,N的坐標.

【答案】（1）對稱軸直線x=l,。點坐標。，-2）

（2）尸1工2一工一1或y="|1-3工一1

<7A（11）

（3）點M--，0，點N—,-1

<16>

【解析】

【分析】（1）利用對稱軸方程即可求解：

（2）由兩點間的距離公式求得?！?2=『+（2+2q）2,DC2=l2+（-a）2,再列式計算即川求解：

（3）作AT關于直線、二一1一。對稱點當AT,D,N三點共線時，尸〃+DV取得最小值2而,

即=進而求解即可

【小問1詳解】

解：將點C代入y=ax2-2ax+c,得c二-1,

-2a

對稱忡X=-----=1,

2a

試題

試題

a=l,則y=f_2v_]

將x=l代入yud-Zx-l，得，=一2,

點D坐標是(1>—2)；

【小問2詳解】

解：頂點。的坐標為。，-1-〃)

???。爐=]2+(2+202

￡>C2=l2+(-a)2

，：DE=26DC

???DE2=8DC2

F+(2+2Q)2=8[12+(—々A]

解得或生=|,

]3

?\拋物線的解析式：y=-X?-3一1或y=—x?一3X一1；

，2.2

【小問3詳解】

解：將EW向右平移1個單位，可向下平移2個單位，得到尸和”(加+1,-2)；此時點尸會

與點。重合，將點。視為定點，作歷'關于直線y=T-。對稱點AT,當AT,D,N三點共線時，

E0+ON取得最小值2)環(huán)，即MW=2jl6，

A7"("7+1,-2Q)

/WW2=22+(-l+2tz)2=40

57

解得。=-不，a=-(舍去)

22

5

2

-1~1-1-5

m+3-1〃？+3一〃2-1

7

得-

-6-

f7/\、

點

Q占N11n,

一

,一

l--，

《6I

6L/

試題

試題

【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結合的

思想把代數(shù)和兒何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

花都區(qū)2023年一模

25.已知拋物線y=0X2+笈+。（40o）,過點（—2,c）.

（I）求4，8之間的關系；

（2）若c=—1,拋物線、=。/+樂+。在—2WxW3的最大值為。+2,求。的值；

（3）將拋物線>=〃/+版+c向右平移。（。>0）個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線頂點記

為點P,若。為任意正實數(shù)時，總有OPN&，求c的取值范圍.

【答案】（1）b=2a

33

（2）a=—或。=—，

142

（3）c22或cW-2.

【解析】

【分析】（1）將點（—2,c）代入函數(shù)解析式即可得出結論；

（2）先根據(jù)c=-1和b=2〃得由y=ax2+2ax-1=a（x4-1）2-（a+1）,再求出在一24x43時的端點值

和函數(shù)的最值，根據(jù)。>0和a<0時兩種情況討論求解；

（3）根據(jù)平移的規(guī)律得到新拋物線解析式，由頂點坐標的特點得出頂點所在直線，根據(jù)OP2夜，得出

直線在圓外或與圓相切，由此解題.

【小問1詳解】

解：由題意得：4a-2b+c=c

h=2a

【小問2詳解】

試題

試題

解：由(1)得6=2。,

若c=-1,則拋物線為y=ax24-2ax-1=c/(x+1)2-(6/+1),

當x=-1時，yx=-a-

當x=-2時，歹2=-1，

當x=3時，必=15。-1,

當。＞0時，一〃一1＜一1＜15。一1,故最大值為必=15。一1,

?'.15〃-1=〃+2解得：a-

當。＜0,15。一1＜一1＜一。一1,故最大值為必=-Q-1

3

???一。一1=。+2解得：a=—,

2

33

綜上所述：a=—或。=—.

142

【小問3詳解】

由(1)得b=2a,

拋物線y=ax2+2ax+c=+1)2+(c-a),

將拋物線向右平移〃(〃＞())個單位，再向上平移1個單位，得新拋物線解析式為：

y=a(x+\-a)2+(c-tz4-1),

頂點?為(a-Le-a+l),

???頂點p在一定直線y二一工十c,

若為任意正實數(shù)時，op26，故點。到直線了=r+c距離的最小值為上，

當c＞0時，如圖1：

設直線^=一工+。交坐標軸于M,N,作OH±MN,垂足為“,

則點A/坐標為(0,。)，點N坐標為(c,0),

?.OM=ON=\c\,OH=MH=NH,

試題

試題

OM=歷OH，

??,OH之五,

-OM>y/2OH=2

c>2,

當c<0時，如圖2：

同理可得：c<-2,

綜上所述：。為任意正實數(shù)，或cW—2,總有0Q2后.

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)頂點些標，二次函數(shù)圖象的平移，直線和圓的關

系等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

黃埔區(qū)2023年一模

25.已知拋物線y=-;/+云斗。與X軸交于川_],0）和8兩點（點8在點A右側），且04=404,與歹

軸交于點C,過點A的直線）與拋物線交于另一點E，與線段8c交于點尸.過點A的直線右：

y=-x+〃與歹軸正半軸交于點D.

（I）求拋物線的解析式；

（2）若乙4FC=NCDB,求點上的坐標；

AT

（3）設〃?=一，是否存在實數(shù)%,使用有最小值？如果存在，請求出左值；如果不存在，清說明理由.

EF

1、3

【答案】（1）y=-X2+-X+2

22

試題

試題

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

(2)先求出。的坐標，得到NZbC二NCQ8=45°，然后求出直線小聯(lián)立解方程組求出點七的坐標;

(3)過E,F兩點作EG_Lx軸，軸于點G,H,則EG||/7/,把力(-1,0)代入歹=米+6得

y=kx+k,求出點E、F的橫坐標，利用加=4￡=絲求出最小值即可解題.

EFHG

【小問1詳解】

解：???03=4。/,4(—1,0)

???OB=4,

???點4在點A右側，

.*.5(4,0),

11Q

???拋物線的解析式是丁二-2(1+1)(%-4)=-2工2+11+2,

【小問2詳解】

解：當x=0時，y=2,

???C(0,2),

把4(4,0)代入歹=-x+〃得：-4+?=0,

解得〃=4,

：.y=-x+4

當x=0時，y=4

???0(0,4),

OB=OD,

工/AFC=/CDB=/ABD=4S，

在△力BC中，

AC=ylOA2+OC2=Vl2+22=>/5*BC=>]OB2+OC2=742+22=2>/5?AB=5,

AC2+BC2=AB2

???//Cr=90。，

：.CF=CA=4S=-BC,

2

即尸(2,1),

把4(7,0)和尸(2,1)代入解析式,得：

試題

試題

k=L

-k+b=U3

,解得：〈

2k+b=\

b=-

3

11

v=-x+-,

33

1110

y=-x+-x=一

33x=-l3

解方程組得,尸。（舍）

1313

——X2'+—X+2y=-

22-9

（39；

【小問3詳解】

如期，過E,F兩點作EG_Lx軸，/7/_Lx軸于點G,H,則EG||N〃，

y=kx+k,

設直線8c的解析式為y=*+加，代入得：

4〃+〃?=0a=--

c，解得〈2,

"7=2c

tn=2

y=--x+2f

2

聯(lián)立y=h+A與y=--X+2解得X=,21，即不二：2〃

“22A-+12左+1

聯(lián)立》=h+攵和y=-g/+_|x+2解得x=0（舍）或x=4-2A,即維=4-2k,

試題

試題

???EG||FH,

4-2〃

+1

AFAHx-x5

:.m=——=——F——2A=2k±L

EFHGx-x4—2k-4(^-I)2+4