2024.2025學(xué)年福建省泉州市科技中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，則（2+3i）（4-i）=（）

A.10iB.11+lOiC.HiD.10+lit

2.已知向量五=（1,一2）,b=（cosa,sina'）t且五lb,則tamr=（）

A.2B.C.-2D.-2

3.用斜二測畫法畫梯形04BC的直觀圖0，葭B，C，、如圖所示已知。4'=

2C'B'=4,OfCf=AfBf,則梯形048c繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體

的側(cè)面積為（）

A.12，57rB.127rC.6，57rD.6V6TT

4.已知sin（7r+Q）=%則sin《+2a）的值為（）

A44B.Y4C.|3D,-|3

5.在△力"中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若髀黑，C=*則的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

6.已知函數(shù)/（X）=^-sina）x+|costox（w>0）在區(qū)間（。，^）內(nèi)有最大值，但無最小值，則e的取值范圍是（）

B?（翁】D?[”

7.已知球。是正三棱柱力8（7-4出好的內(nèi)切球,48=2/5,戶是球。表面上一點，則方?麗的取值范圍為（）

A.[-4,4]B.[-2/2,2/2]C.[-2,2]D.[-/2,72]

8.第七屆數(shù)字中國建設(shè)峰會在福建舉行，其中主題為“顯示+創(chuàng)意”的裸

眼3D展臺引人關(guān)注.峰會上顯示屏的示意圖如圖所示，底面為等腰梯形

48CD,側(cè)面力BB/i，BCgBi，CDDiG均為矩形且垂直于底面，已知

AB=CD=>/_2^BC=1,AAX=3,z/BC=NBCD=135。.若有一只虛

擬的蝴蝶沿線段AD1飛行，則蝴蝶（視為質(zhì)點）到點當?shù)淖疃叹嚯x為（）

A.1

B./2

C.73

D.2

第1頁，共15頁

二、多選題

9.已知2為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的有()

A.z+Z為實數(shù)

B.若復(fù)數(shù)z滿足z?z=0,則z=0

C.|z|2=z2

D.若|z+i|=|z-l|,則|z+l|的最小值為三

10.已知函數(shù)/(乃=2sm3%+0)(3>0,⑷<5)的圖象如下圖所示，下列正

確的是()

人./(%)的解析式為/(乃=2s比(2%+1)

B.函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于點(±0)中心對稱

C.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移5個單位長度，得到的新函數(shù)為偶函數(shù)

D.函數(shù)y=/'(X)圖象的對稱軸方程是x=卷瀉(k6Z)

11.一圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，^BAC=弧8C長為2川M為線段力8的中

點，N為孤BC中點，貝lj()

A.該圓錐的體積為空

B.在扇形4BC中，而祝=刁

C該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為27r

D.該圓錐內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值為學(xué)

三、填空題

12.已知向量H=(2,1),E=(l,l),則五與3+方夾角的余弦值是.

13.已知正四棱柱的底面邊長為2,高為6,則該正四棱柱的外接球的表面積為

14.△4BC中，若4B=1,BC=2,則“的取值范圍是.

四、解答題

15.(本小題12分)

如圖，在△A8C中，LA=30°,。是邊A8上的點，CD=5,CB=7,DB=3

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(1)求4CBO的面積;

(2)求邊4C的長.

16.(本小題12分)

如圖，力B是圓柱下底面的直徑且長度為2,24是圓柱的母線且/M=2,點。是圓柱底面圓周上的點.

(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；

(2)若1,點。在線段上，點E在線段P4上，求CE+E。的最小值，并求此時4E的長.

17.(本小題12分)

在4力8C中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,且6加為竽=as)8,邊8C上有一動點D.

(1)當。為邊8c中點時，若40=4,6=2,求c的長度；

(2)當為的平分線時，若。=4,求力。的最大值.

18.(本小題12分)

如圖，圓C的半徑為3,其中A,8為圓C上兩點.

⑴若cosNC4B=g,當%為何值時，而+2荏與A正一通垂直？

(2)若G為△48C的重心，直線，過點G交邊力B于點P,交邊4c于點Q,且而=2而，湎=〃尼，求4+〃+,

最小值.

⑶若|前+￡布|的最小值為1,求|而|的值.

A

PB

第3頁，共15頁

故選：A.

根據(jù)題意，在直觀圖中，由梯形的性質(zhì)可得O'C’的長，將直觀圖還原為原圖，利用圓臺的側(cè)面積公式計

算可得答案.

本題考查旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積計算，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：sin(7r+a)=

則si"a=一^^，

7Try3

sin(-+2a)=cos2a=1-2sirra=-

故選:D.

根據(jù)己知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及余弦的二倍角公式，即可求解.

本潁主要考杳三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及余弦的二倍角公式,，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：因為尸翳，由正弦定理可得老=翳，

可得sizMcosB-cosAsinB=0,

即sin(/l-B)=0,

又因為45e(0,zr),

可得4=B,又因為C=今，

所以A=B=C=J

故A/IBC是等邊三角形.

故選：B.

由已知條件可得QCOSB=bcosA,結(jié)合正弦定理和C=g即可得解.

本題考查正弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：/(x)=^-sina)x4-^cosa)x=sin(wx+

當)《(0,今)時,3%+著W(看,等+看),

又因為/?(%)在區(qū)間(0/)內(nèi)有最大值，但無最小值，

第5頁，共15頁

所以3V等+1二竽，解畿

故選：B.

利用輔助角公式可得/(%)=sin(3%+“，根據(jù)自變量取值范圍以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得F等+牌手,

解不等式可求.

本題主要考查了輔助角公式，正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積運算，球的切、接問題，三角形面積公式，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

先求得等邊三角形4BC內(nèi)切圓的半徑，也即求得正三棱柱內(nèi)切球的半徑，根據(jù)向量運算求得正確答案.

【解答】

解：設(shè)等邊三角形48。內(nèi)切圓的半徑為丁,

則SA48c=1x2/3x2V3xsing

=1(273x3)r,

解得丁=1?

則正三棱柱的內(nèi)切球半徑R=1,

則正三棱柱力BC-4B1G的高為2,

設(shè)01是等邊三角形4BC的中心，。是4B的中點，連接OD,

所以。力=OB=V224-I2=V~5?

2

則0D=J(V5)-(6)2=72

sc5+5-121

COSZ.AOB=--7=—；==-三,

2X'J5x\r55

P是球。表面上一點,

則明?麗=(而+西?(而+西

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=P02+PO-(OA+OB)+OA-OB

=12+2P0?麗+V^xV5x(-[)

=2P00D

=2x1x\[2xCOS(TT-Z.POD)

=-2>/_2coszPOD?

其中0</POO<7T,前，打同向時為o,反向時為兄

所以一1<COSZ-POD<1,

所以西?麗的取值范圍是[-2心,2合].

故選:B.

8.【答案】C

【解析】解：由題意，蝴蝶到點當?shù)淖疃叹嚯x即為點,到直線力小的距離,

如圖所示，作，￡_L/O,CF±AD,連接0團，小小，作Z?i〃_L,4Oi，

在等腰梯形A8CD中，

因為48=C。=71，BC=1,Z-ABC=/-BCD=135°,

所以4E=DF=EF=1,即力。=3,

又44=3,側(cè)面力88遇1，BCgBi，CDDi的均為矩形且垂直于底面，

則=432+32=3心,ABX=J(77)2+32=E，

當齒=1+2—2x71x(一苧)=5，則8必二片

故。礴皿％=瑞藐=萼則si.皿/=JH1=要

則BH=8山1?sin41DiBi=追x浮=C，

即蝴蝶到點B］的最短距離為V3.

故選：C.

作BE1AD,CF1AD,連接B遇，BR,作B/lADi，利用余弦定理求得當外，利用勾股定理求得AD】,

ABi，在△力中，即可求得點81到直線的距離.

本題考查三角形中的幾何計算，考查余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解:設(shè)z=a+bi(a,bWR),則2=?！猙i,

對于4z+z=a+bi+(a—bi)=2a為實數(shù)，力正確:

第7頁，共15頁

對于B,z-z=(a+bi){a—bi)=a2+b2=0,于是a=b=0,z=0,B正確；

對于C,取z=1+i,則年產(chǎn)=|1+i\2=I2+l2=2,z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i,

此時|z|2Hz2,C不正確;

對于D,在復(fù)平面內(nèi)|z+i|=|z-1|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到(0,-1)與(1,0)距離相等，

則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到(-1,0)的距離最小值為注。正確.

故選：ABD.

對于4根據(jù)兔數(shù)的分類即可：對于從根據(jù)更數(shù)相等進行計算即可；對于C,根據(jù)復(fù):數(shù)的模長和乘法公式即

可；對于。，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離即可.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，考瓷了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：由題意得的周期7滿足苧=v一色=手解得T=^=e所以3=2,

因為％=卷時，f(x)取得最大值2,所以*+9=3+2而(上￡Z),結(jié)合|@|V%可得9=日，

所以f(x)=2sE(2x+弓)，故4正確；

?J

根據(jù)圖象可知％="是/。)圖象的一條對稱軸，

故/(乃的圖象不能關(guān)于點(*,0)中心對稱，可知夕錯誤；

將丁=/■(%)的圖象向右平移^個單位長度，可得勺圖象，

oOOy=2stn[2(x-^)+^]=2sm2”

根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，可知所得函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯誤；

令2%+弓=3+kn(keZ),解得x=卷+殍(AWZ),所以f(盼的對稱軸為％=卷+殍(AWZ),可知。正確.

故選：AD.

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求中⑷，利用函數(shù)的最大值點列式求出仍可得函數(shù)的解析式，可判斷出A項的正

誤：根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)千直線二三對稱判斷出項的正誤：求出平移后的函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的奇

x148

偶性判斷出C項的正誤；根據(jù)正弦曲線的對稱性求出f(x)的對稱軸方程，即可判斷出。項的正誤.

本題主要考查由y=Asin^x+⑺的部分圖象確定其解析式、正弦函數(shù)的圖象與

性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.才、

11.【答案】ACD/1\

【解析】解：因為圓錐的側(cè)面展開圖中，^BAC=y,弧8C長為2不，/1

第8頁，共15頁M

B

所以4c=3,

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則271T=2TT,即r=l,

則圓錐的高h=V32—I2=2\/~2?

所以圓錐的體積4正確；

JJJ

M為線段的中點，N為弧BC中點，

則麗-MC=AN-(AC-那)

=AN-AC-^AN-AB

=3x3xcos60°—x3x3xcos60°=^-7=7,B錯誤;

1244

圓錐內(nèi)半徑最大的球就是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)半徑為廠1,

則根據(jù)等面積可得，1x2x272=1^(3+3+2),

所以n=苧,

則此時球的表面積為47rxg=2mC正確；

設(shè)圓錐內(nèi)接正四棱柱的高為心底面正方形邊長為a,

則h=2yf2x|(2-/2a)=2，^-2a,

所以正四棱柱表面積S=2a2+4ah=2a2+4a(2JI-2d)

=-6a2+8>/-2??

第9頁，共15頁

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當°=竽時，S取得最大值竽，。正確.

故選:ACD.

由已知先求出圓錐的母線長及底面圓半徑，進而可求圓錐的高，然后結(jié)合圓錐體積公式檢驗選項4

結(jié)合向量數(shù)量積的定義檢驗選項8；

結(jié)合內(nèi)切球的性質(zhì)及球的表面枳公式檢驗選項C：

結(jié)合圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體枳求出四棱柱的高及底面邊長，然后結(jié)合柱體表面枳公式即可求解.

本題主要考查了圓錐側(cè)面展開圖的應(yīng)用，還考查了圓錐的內(nèi)切球，內(nèi)接四棱柱的性質(zhì)的應(yīng)用，球的表面積

公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】管

【解析】解：五+1=(3,2),a-(a+S)=2x34-1x2=8,|a|=V22+l2=V-5,[a+b\=V32+22=

一

r-r^,-,T*.ab,-,T.a(a+h)88/65

故答案為：嚼.

先利用向量坐標的加減運算求出向量，再利用兩個向量的夾角公式求解即可.

本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】447r

【解析】解：設(shè)外接球的半徑為七則2R=A/22+22+62=2、/TT,

所以正四棱柱的外接球的表面積S=4TT/?2=447r.

故答案為：447r.

首先根據(jù)正四棱柱的邊長和高求外接球的半徑，再代入球的表面積公式，即可求解.

本題考查正四棱柱的外接球問題，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】0<CW30。

【脩析】解:因為c=/18=l,a=BC=2,b=AC

根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知

1</)<3,根據(jù)余弦定理

1

COSC=2^（02+所-C2）

=/（4+川一1）

b

=4（3+的

第10頁，共15頁

3b73

=4b+4-T

根據(jù)基本不等式得，當且僅當?shù)?3時，即b=C時取等號.

所以0VCW30。

根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知》的范圍進而利用余弦定理，根據(jù)均值求得cosC的范圍,

進而求得C的范圍.

本題主要考查了三角形中的幾何計算.解題的最后一定要驗證一下等號能不能取得.

15.【答案】解：（1）在△CB。中，由余弦定理可得cosB=,

則，

所以sinB=V1-cos25=與?，

14

則三角形CBO的面積為：：

（2）在△/8C中，由正弦定理得，

即，解得AC=573.

【解析】（1）由余弦定理求得cosa即可得出sEa再由面積公式即可求解：（2）由正弦定理即可求解.

本題考查了解三角形問題，涉及到正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬「中檔題.

16.【答案】解：（1）由718是圓柱二底面的直徑且長度為2,

可得圓柱底面圓的半徑r=竽=1,

因為尸力是圓柱的母線且P/1=2,

所以圓柱的高九=。4=2,

所以圓柱的側(cè)面積S倜=2仃h=2?rx1x2=4/r,

圓柱的體積V=nr2h=7rxI2x2=2TT；

（2）如圖，延長線段8A至C',使得AC'=AC=1,

作01PA,垂足為D,交P4與E,

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由圓柱可得P41AB,

則AEAC'=△EAC^

所以C'E=CE，

所以C￡+EO=C'E+￡。，

此時，C/E+EO=C'。取得最小值，

因為48=2,PA=2,所以4C，BO=45°，

所以在RtABDC'中，BC'=BA+ACf=2+1=3，

所以C'D=BLsin45°=3x苧=苧，

所以CE+ED的最小值為苧.

又在Rt△8DC'中，乙C'BD=45。，

所以D=45°,

則在RtAC'AE中，AE=AC7=1.

【解析】（1）代入圓柱側(cè)面積公式和體積公式計算即可；

（2）延長線段BA至C',使得/1C=AC',則C'￡=CE,作C'01.P8,故C'。為CE+EO的最小值，在/?￡△

BDL中，求出即可.

本題考查了圓柱的側(cè)面積和體積公式，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）因為JIbsE等=as》B,

所以VSbsizi=asinB,即y/-3'ocos夕=asinB.

由正弦定理，得，5sinB?cos夕=?sinB.

因為sinBH0,

所以A/"5COS?=sinA=2sin^cosp

因為cos?H0,

所以sin3

又因為0<9熱

所以？=:

所以A=尊

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因為。為邊BC中點，

所以2而=而+?乙則4|而『=(而+尼)2.

又4D=V-3,b=2,A=

所以12=c?+4+4c?cos亭，

即C2-2C-8=0,即(c-4)(c+2)=0,

所以c=4.

（2）在△ABC中,由余弦定理,得a2="+/-2瓦?COSNBAC.

又G=4,Z.BAC=等,

所以16=b24-c24-be,

所以16=（b+c）2—兒之（b+c）2—出誓=：（匕+c）2,當且僅當bc時取等號,

所以Q+c）24黑

所以4Vb+c4?.

因為s△.=SXABD+S△皿，AD^^BAC^BAC=尊

所以.sin亨=gb?4D?sing+：c?AD?si吟

所以be=力。?（b+c）,

所以=存=（H：?T6=右+C-接.

b+cb+cb+c

令t=b+c,則4D=￡_￥，4〈tW等.

因為y="手在（％殍］上單調(diào)遞增，

所以當1=殍即b=c=苧時，y取得最大值為孚，

所以4D的最大值為孚.

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【解析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出4=竽，再由向量的運算得出C的長度；

（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出4<b+c<與±再由S.A8c=S“BD+S^/ico得出4。=b+c—f,最

后由對勾函數(shù)的單調(diào)性得出力。的最大值.

本題考杳解三角形的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】博

JLO

2；

4\/~2.

【解析】解：（1）在AABC中，AC=BC=3,COSZ.CAB=1,/

由余弦定理得8c2=4。2+482-24OABcos/GlB,I

化簡得4辟一243=0,解得力8=2,可得而?而=|而|?函|cos“力8=2x3x

若配+2而與k尼-而垂直，則（元+2AB）.（kAC-而）二0，

即A