2023年中考數(shù)學(xué)沖刺滿分

（全國通用解析版）

專題07挑戰(zhàn)圓綜合應(yīng)用壓軸（六大類型）

【類型一全等三角形有關(guān)問題】

1.（2020?湘潭）如圖，在AABC中，AB=AC,以48為直徑的。。交8c于點

D,過點。作DEL4C,垂足為點￡.

（1）求證：△ABO空△AC。；

（2）判斷直線OE與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

???A3為OO的直徑,

在Rt^ADB和RtZMOC中。^AD

IAB=AC

ARtAABD^RtA/lCD(HL)；

（2）直線QE與0。相切，理由如下:

由△A6O念△AC。知：BD=DC,

又???0A=08,

/.。。為△A8C的中位線,

：.OD//AC,

VDE±AC,

???ODLDE,

為。。的半徑，

???OE與OO相切.

2.(202()?安徽)如圖，是半圓。的直徑，C,。是半圓。上不同于A,B

的兩點，AD=BC,AC與BD相交于點F.BE是半圓O所在圓的切線，與

AC的延長線相交于點E.

(1)求證：△C8A空△D4&

(2)若BE=BF,求證：AC平分ND48.

【解答】（1）證明：:AB是半圓。的直徑，

AZACB=ZADB=90°,

在Rlz^CBA與中，fBC=AD,

lBA=AB

ARtACM^RtADAB（HL）；

（2）解：?；BE=BF,由（1）BC1EF,

：.ZE=/BFE,

???BE是半圓。所在圓的切線，

AZABE=90°,

???NE+NBAE=90°,

由（1）知NO=90°,

r.Z￡>AF+ZAFD=90°,

*//AFD=/BFE,

???NAFD=NE,

VZDAF=90°-ZAFD,ZBAF=90°-NE,

：.ZDAF=ZBAF,

?"C平分NOAB.

3.（2022?永州）如圖，己知CE是O。的直徑，是。0的切線，點力

在￡4的延長線上，AC,。。交于點F,NMBC=/ACD.

(1)求證：/MBC=/BAC；

(2)求證：AE=AD；

(3)若尸C的面積Si=4,求四邊形AOC。的面積S.

【解答】(1)證明：???3M是。。的切線,

：.ZABC+ZMBC=90°,

是O。的直徑，

AZACB=90°,

???NABC+NBAC=90°,

：.ZMBC=ZBAC；

(2)證明：???AO=OC,

AZBAC=NACE,

?：/MBC=/ACD,4MBe=/BAC,

：./ACD=/ACE,

YCE是O。的直徑，

：.ZEAC=ZDAC=90°,

???AC=AC,

/./XAEC^/XADC(ASA),

：.AE=AD；

(3)解：9：ZBAC=ZACD,

：.AB//DC,

a1

?A-O,

DCEC2

A.OFwo1

?DCAF2

CF

(2)①連接OD,

當(dāng)△O3E1是等腰三角形時，

?；BE工OE,

：.OE=BE,

：.ZOBE=ZEOB=45°,

\'AD//OC,

：.ZA=45°,

???△AB。是等腰直角三角形,

：.ZCOD=45°,

??泡8=6,

A0=31

而的長度=45兀,」二旦互,

1804

故答案為gm

4

②???四邊形。WC為菱形，

OA—OC=AD=CD=3,

?:△CDE"XCBE,

???CD=BC,

：.BC=3,

故答案為3.

5.(2020?孝感)己知△ABC內(nèi)接于OO,AB=AC,NA3C的平分線與。。交

于點。，與人。交于點區(qū)連接CO并延長與0。過點A的切線交于點F，記

NBAC=a.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出至的值為1；

DC一2一

②當(dāng)。。的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為3叵-2

-2-3

(2)如圖2,若a<60。，且成=2,DE=4,求BE的長.

DC3

圖1圖2

【解答】解：(1)如圖1,連接04,AD,

圖1

YA/是OO的切線，

：.ZOAF=90°,

9：AB=AC,ZBAC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

〈BQ平分NABC,

???/ABD=NCBD=30°,

VZADB=ZACB=60°,

AZBAD=90°,

???8。是O。的直徑，

9：OA=OB=OD,

???NABO=NOAB=30°,NOAO=NAOO=60°,

?；NBDC=NBAC=60°,

AZADF=180°-60°-60°=60°=NOAO,

：.OA//DF,

AZF=180°-ZOAF=

*：ZDAF=30°,

：.AD=2DF,

*.*/ABD=/CBD,

AAD=CD，

:?AD=CD,

:?CD=2DF,

?

???DF,=—1,

DC2

故答案為：1；

2

②TOO的半徑為2,

：.AD=OA=2,DF=1,

VZAOD=6()°,

60兀X22=

，陰影部分的面積為：S幡形40。"-S扇形OAD——*AF?

2-360-

界正(1+2)型膏

23

故答案為：司巨工7T；

23

(2)如圖2,連接AQ,連接AO并延長交。。于點H,連接OH,則NAO"

=90°,

：.ZDAH+ZDHA=90a,

???4廠與O。相切，

???ZDAH+ZDAF=ZFAO=90°

：.ZDAF=ZDHA,

?.?BD平分NABC,

???/ABD=/CBD,

VAD=CC，

，/CAD=/DHA=ND4R

*：AB=AC,

：./ABC=/ACB,

:四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

???NA8C+NAOC=I80°,

VZADF+ZADC=180°,

???ZADF=/ABC,

*.*/ADB=NACB=ZABC,

：.NADF=NADB,

在尸和△4￡)￡1中

rZDAF=ZDAE

,?*<AD=AD，

ZADF=ZADE

A/^ADF^/XADE(ASA),

工DF=DE=4,

?-DF_2

*DC

:?DC=6,

VZDCE=ZABD=ZDBC,ZCDE=ZCDE.

，△COfs△one,

.?.空捶，即且金

DBCDBD6

:?BD=9,

：,BE=DB-DE=9-4=5.

6.(2020?成都)如圖，在△ABC的邊8c上取一點。，以。為圓心，OC為半

徑畫OO,O。與邊AB相切于點Q,AC=AD,連接OA交。。于點E,連接

CE,并延長交線段A8于點E

(1)求證：AC是0。的切線；

(2)若AB=10,tan3=±求OO的半徑；

（3）若尸是A3的中點，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

;。。與邊相切于點。，

AODA.AB,即NAOO=90°,

???AO=AO,AC=AD,OC=OD,

：./\ACO^/\ADO(SSS),

AZADO=ZACO=90<>,

0D1AB.

又???0C是半徑，

???AC是O。的切線；

(2)???tanB='=9,

3BC

???設(shè)AC=4x,BC=3xf

*：AC2+BC2=AB2,

.,.16X2+9X2=100,

??x=2,

**?BC=6,

9：AC=AD=S,AB=10,

BD=2,

?.?OB2=OD2+BD2,

???(6-OC)2=002+4,

：.OC=1,

3

故OO的半徑為反；

3

(3)AF=CE+BD,理由如下:

/.ZACO=ZADO=^°,ZAOC=ZAODf

又,：CO=DO,OE=OE,

:.△COEQADOE(SAS),

：?/OCE=NODE,

?：OC=OE=OD,

???ZOCE=ZOEC=ZOED=/ODE,

：.ZDEF=\SO°-ZOEC-ZOED=\SO0-2Z0CE,

丁點尸是A8中點，ZACB=90°,

:.CF=BF=AF,

:?/FCB=/FBC,

：.ZDFE=\SO°?/BCF?/CBF=T800?2N0CE,

:?/DEF=/DFE,

:?DE=DF=CE,

：.AF=BF=DF+BD=CE+BD.

【類型二與相似三角形有關(guān)問題】

7.（2022?株洲）如圖所示，△ABC的頂點4,B在。。上，頂點C在。。外,

邊4。與OO相交于點O,ZBAC=45°,連接03、OD,已知OO〃5C.

（1）求證：直線5c是OO的切線；

（2）若線段0。與線段AB相交于點E,連接50.

①求證：△ABDSADBE；

②若AB?BE=6,求。。的半徑的長度.

【解答】(1)證明：?../氐4。=45°,

：.ZBOD=2ZBAC=90°,

???OD//BC,

，NO8C=1800-ZZ?OD=9()°,

JOBYBC,

又08是。0的半徑，

???直線BC是OO的切線；

(2)①證明：由(1)知N8OO=90°,

OB=OD,

...△BOQ是等腰直角三角形，

；?NBDE=45°=/BA。，

VZDBE=NAB。，

工AABDs/\DBE：

②解：由①知：叢ABDs4DBE,

?.■?AB'=—BD—f

BDBE

；.BU=AB.BE,

?:AB*BE=6,

：.BD2=6,

BD~^6，

???△30。是等腰直角三角形，

.??0B=BD?sin/BD0=正義亞=孤，

2

???。。的半徑的長度是

8.(2021?棗莊)如圖，。0是△45C的外接圓，點O在邊上，NB4C的

平分線交OO于點D，連接3。，CD,過點Z)作。0的切線與AC的延長線

交于點P.

(1)求證：。尸〃BC；

(2)求證：△ABQS/XQCP；

(3)當(dāng)AB=5c〃z,AC=12c/n時,求線段尸C的長.

【解答】解：(1)連接。D，

丁。尸是OO的切線，

：.DO±DP,

YA。是N8AC的平分線，

：.ZBAD=ZCAD,

，麗=而，

??,BC是圓的直徑，

???NBAC=90°,

：.ZBAD=45°,

：.ZBOD=90°,

???OD_LBC,

:,DP〃BC；

(2)YDP//BC,

：.NACB=/P,

???標(biāo)=標(biāo)，

???NACB=NADB,

：.ZP=ZADB,

OD=OC,

：.ZODC=45°,

：.ZCDP=45°,

???AABDs△DCP：

(3)9：AB=5cm,AC=\2cm.ZBAC=90Q,

BC=13cm,

在RtZ\COD中，。=型巨，

2

在RtZXBOO中，BD=1^Z2_,

2

△ABDs^DCP,

?.?-AB_-B-D-?

CDCP

13―

-5,~2-

13加CP

.?.cp=_169>

9.(2021?大慶)如圖，已知A8是OO的直徑.8。是。。的弦，弦EO垂直

A8于點F,交BC干點、G.過點。作OO的切線交的延長線于點P

(1)求證：PC=PG；

(2)判斷PG2=PO?PE是否成立？若成立，請證明該結(jié)論；

(3)若G為BC中點,OG=屈,sin8=返，求。￡的長.

5

【解答】解：(1)連接OC,

???0。=。8,

：.ZOCB=ZOBC,

??,CP是00的切線，

：.ZOCP=90a,

???弦EQ垂直A3于點RA3是的直徑，

/.Z0^=90°,

?；NFGB+NFBG=90°,NOC8+NBCP=90°,

:.NFGB=/PCG,

V/FGB=4PGC,

；?NPCG=NPGC,

:.PC=PG；

(2)如圖1,連接EC、CD,

9：EDIAB,AB是圓。的直徑，

?,?面=如，

:?/ECB=/BCD,

?:PG=PC,

:?NPCG=NPGC,

?；NCGP=NE+NECB,NGCP=NPCD+NBCD,

：.ZPCD=ZEf

:?△PCDSAPEC,

???,PC■-P■D?，

PEPC

:.PC=PE?PD,

?:PC=PG,

:.PG2=PD*PE；

(3)如圖2,連接0GfEO,

???G為3c中點，

/.OGA.BC,

在RtZ\80G中，06=旄，sin4=返，

5

/.OB=5,BG=20

'：GF±OB,

；?NB+NFGB=90°,NB+NBOG=90°,

:?/GOF=/FGB,

:.NGBS4GOB,

?GBFB

.■，二7

OBGB

.FB

.?，--r-,

52V5

；?FB=4,

，。/=1,

在RtZXEOE中，。尸=1,EO=5,

:.EF=2近

；?ED=4氓.

B

10.(2021?株洲)如醫(yī)所示，A3是。。的直徑，點C、。是oo上不同的兩點，

直線交線段OC于點E、交過點C的直線C尸于點R若OC=3CE,且9

(EF2-CF2)=OC2.

(1)求證：直線CE是。0的切線；

(2)連接。。、AD.AC、DC,若/COD=2/BOC.

①求證：AACDs^OBE；

②過點E作EG〃AB,交線段AC于點G,點M為線段AC的中點，若AD=4,

求線段歷G的長度.

【解答】(1)證明：V9(EF2-CF2)=OC2,OC=3CE,

A9(EF2-CF2)=9EC2,

：.EF2=EC2^CF2,

：.ZECF=90°,

JOCA.CF,

???直線。/是O。的切線.

(2)①證明：ZCOD=2ZDAC,/COD=2/BOC,

：.ZDAC=ZEOBf

?:/DCA=/EBO,

：./XACD^AOBE.

②解：-：OB=OC,OC=3EC,

：.OB：OE=3：2,

,:△ACDsXOBE,

??-AC-A--D,

OBOE

???A?C--?OB?--39

ADOE2

VA￡>=4,

：.AC=6,

???〃是AC的中點，

???CM=MA=3,

U：EG//OA,

?..C―G-C-E^―-1——,

CACO3

???CG=2,

：.MG=CM-CG=3-2=1,

即線段MG的長度為I.

【類型三與銳角三角函數(shù)有關(guān)問題】

11.（2021?宜賓）如圖1,。為。。上一點，點C在直徑84的延長線上，且N

CDA=NCBD.

（I）判斷直線co與OO的位置關(guān)系，井說明理由；

（2）若tan/4OC=2，AC=2,求OO的半徑；

2

（3）如圖2,在（2）的條件下，NAQB的平分線。上交。。于點E,交4B

于點F,連結(jié)求sin/OBE的值.

DZ)

圖1圖2

【解答】解：(1)CQ與。。相切，理由:

如圖1,連接OQ，

?：OB=OD,

：?/ODB=/CBD,

?：/CDA=/CBD,

：.ZCDA=ZODB,

?「AB為OO的直徑，

NADB=ZADO+ZODB=90°,

：.ZCDA+ZADO=90a,

???NCDO=9()°,

???ODA.CD,

???C。與OO相切；

(2)由(1)知，/CBD=/ADC,

VtanZADC=A,

2

/.tanZC^/)=—,

2

在中，tanNC8D=他=2,

BD2

VZC=ZC,ZADC=ZCBD,

:?△CADs^CDB,

???C-A-二-C-D---A-D-——1,

CDCBBD2

???CQ=2CA=4,

：.CB=2CD=S,

?"8=C3-CA=8-2=6,

:.OA=OB=1AB=3,

2

，。0的半徑為3；

(3)如圖2,連接。石，過點E作EG_L3O于G,

???。石平分/4。3,

：?/ADE=/RDE=4、°,

：.ZBOE=2ZBDE=90°,

?**BE=VOB2OE2=3日

在中，AD2+BD2=^B2=62,

-??A--D--zz--1，

BD2

：.AD=^^-,BD=[2娓,

55

VEG1BD,ZBDE=45°,

:?/DEG=/BDE=45。,

:.DG=EG,

設(shè)。G=EG=x,MBG=BD-DG=^^--x,

5

在RlZiBEG中，EG2+BG2=BE2=(3近)2=18,

.*+(J^-x)2=18,

圖2

12.(2021?武漢)如圖，A8是。。的直徑，C,。是。。上兩點，C是面為中

點，過點。作A。的垂線，垂足是E.連接AC交8。于點F

(1)求證：CE是O。的切線；

(2)若匹=%,求cosNABO的值.

DF

【解答】(1)證明：連接OC交8。于點G,

???點C是說的中點，

???由圓的對稱性得0C垂直平分BD,

：.ZDGC=90°,

是OO的直徑，

AZADB=90°,

:?NEDB=90°,

VCE1AE,

.\ZE=90°,

，四邊形EOGC是矩形，

：.ZECG=90°,

：.CE±OCf

???C￡是OO的切線：

(2)解：連接3C,設(shè)/G=x,OB=r,

?,?鑒=加，

DF

設(shè)。E=f,DC=限

由(1)得，BC=CD=?BG=GD=x+t,

?「AB是。。的直徑，

AZACB=90°,

：./BCG+/FCG=90°,

VZDGC=90°，

：.ZCFB+ZFCG=9()0,

:?/BCG=/CFB,

ARtABCG^RtABFC,

???BC2=BG?BF,

(V6r)2=(x+z)(2x+t)

解得用=3X2=-包(不符合題意，舍去)，

2

???=VBC2-BG2=7(V6t)2-(2t)2=V2/.

/.OG=r-

在RtZ\08G中，由勾股定理得062+862=。3,

22

/.(r-V2r)+(20=rt

解得r=迎,

2

???cosNABQ=^=:=啦,

OB3V2.3

"二-t

2

方法二、設(shè)Cb=〃，

由△CBbs/^CAB,可得CB2=CT?C4,

仁，222

則AF=^.——7=6tf一

nn

:8"=瓜訪京二五二亞’

?:△FDASAFCB,

?FDFC

??，二7

FAFB

6tfJ6t2m2

n

??.〃=?，或<15/（舍去），

:?BF=3t,

BD=4l,

■:△FDAsAFCB,

BC=CF=^>

ADDF

?"O=V^3

:.AB=3版t,

cosZABD=^-=_4t_=2^2

AB3V2t3

13.（2021?甘肅）如圖，△ABC內(nèi)接于0O,。是0O的直徑48的延長線上一

點，/DCB=/OAC.過圓心。作8。的平行線交。C的延長線于點￡.

（1）求證：CO是OO的切線；

（2）若CD=4,CE=6,求OO的半徑及tan/OC3的值.

【解答】（1）證明：,??Q4=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

?：ZDCB=ZOAC,

：./OCA=/DCB,

〈AB是OO的直徑，

???NACB=90°,

：.ZOCA+ZOCB=90°,

；?NDCB+NOCB=90°,

即NOCQ=90°,

??.OC_LOC,

???。。是。。的半徑，

.「CD是O。的切線；

(2)解：YOE//BC,

?

??IBD.=,CD■t

OBCE

VC￡>=4,CE=6,

.-.BD=4=2,

OB63

設(shè)8。=〃，則。8=OC=3x,OD=OB+BD=5xf

VOC1DC,

???△OCO是直角三角形，

在RtZ\OC。中，002+?！??！?，

(3x)2+42=(5A)2,

解得，x=l,

：.OC=3x=3,即0。的半徑為3,

,:BC〃OE,

：.ZOCB=ZEOC,

在RtAOCE中，tanZEOC=^.=A=2,

OC3

tanZOCB=tanZE0C=2.

14.(2022?南充)如圖，AB為O。的直徑，點C是。。上一點，點。是。。

外一點，/BCD=/BAC,連接0。交8c于點￡

(I)求證：C。是OO的切線.

(2)若CE=OA,sinZBAC=-i,求tanNCEO的值.

5

A

【解答】(1)證明：連接OC,

???4B是直徑,

AZACB=90°,

AZA+Z5=90°,

?：OC=OB,

：,/OCB=/OBC,

?:NBCD=NBAC,

???NOCB+NDCB=90°,

；.0C上CD,

???。。為。。的半徑，

???CO是OO的切線；

(2)解：過點。作OH_LBC于點H.

???sinNR4C=匹=2，

AB5

,可以假設(shè)8c=4此AB=5k,則AO=OC=CE=2.5Z,

VOH1BC,OC=OB

:?CH=BH=2k,

???04=08,AC2=AB2-BC2,

???OH=lAC=lkf

22

???EH=CE-CH=25k-2k=U5k,

3k

AtanZCEO=PH=2—=3.

EH0.5k

A

D

15.(2022?揚(yáng)州)如圖，4a為0O的弦，OCJLOA交AA于?點尸，交過點A的

直線于點C,且CB=CP.

(1)試判斷直線8C與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若sinA=恒，04=8,求的長.

【解答】解：(1)直線3c與OO相切,

9：0A=0B,

NA=N0BA,

,:CP=CB,

:./CPB=/CBP,

???/AP0=NCPB,

：./AP0=/CBP,

Y0CJL0A,

AZA+ZAPO=90°,

???NO3A+NC3P=90°,

???NO3C=9()°,

?：0B為半徑，

???直線BC與。0相切；

(2)在RtZ\AOP中，siM=苴，

AP

VsinA=2Zl_,

5

?,?設(shè)。尸=近心則AP=5x,

丁OP2+OA2=AP2,

A(V5X)2+82=(5X)2>

解得：丈=生應(yīng)或-至區(qū)(不符合題意，舍去)，

55

：.0P=^>X^^=4,

5

VZOBC=90°,

：.BC2+OB2=OC2,

■:CP=CB,O5=OA=8,

：.BC2+S2=(BC+4)2,

解得：?C=6,

???C8的長為6.

16.(2022?樂山)如圖，線段AC為。。的直徑，點。、￡在。。上，而=防,

過點。作OFL4C,垂足為點立連結(jié)。七交。尸于點G.

(1)求證：CG=DG；

(2)己知。。的半徑為6,sinN4CE=2,延長AC至點B,使BC=4.求證:

5

8。是。。的切線.

【解答】證明：(1)連接4D,

???線段AC為。。的直徑，

/.ZADC=90°,

AZADF+ZCDG=9Q°,

9：DF±BC,

：.ZDFA=ZDAF+ZADF=90°,

；.NCDG=NDAF,

VCE=DE，

:?/DAF=/DCG,

；?/CDG=/DCG,

：.CG=DG；

：.OD±EC,

9：s\nZACE=^-=l.

0C5

VBC=4,OO=OC=6,

???能=上=3,

OB6+45

???IOH.=O"D■?

OCOB

*：NCOH=/BOD,

:?△COHs^BOD,

???NBDO=NCHO=90°,

：.ODA-BD,

???。。是。0的半徑，

???8。是。。的切線.

【類型四與弧、陰影面積計算有關(guān)問題】

17.(2021?張家界)如圖，在RtZiAOB中，N/WO=9()°,ZOAB=30°,以

點O為圓心,03為半徑的圓交BO的延長線于點C,過點C作OA的平行線，

交O。于點。，連接

(1)求證：4。為0。的切線；

(2)若08=2,求弧的長.

【解答】(1)證明；連接。。

9：Z0AB=30°,/B=90°,

/.ZAOB=60°,

又???CO〃4O,

：.ZC=ZAOB=60°,

又「OC=OD,

???△COO是等邊三角形，

???NCOO=6()°,

：.ZAOD=180°-60°-60°=60°,

又,：OB=OD,AO=AO,

：./\AOB^/\AODISAS),

AZADO=ZABO=90°,

乂???點。在0。上，

???A。是O。的切線；

(2)解：由題意得，。。的半徑OB=2=OC,NCOO=60°,

根據(jù)弧長公式可得，1」業(yè)=空￡2絲=”，

1801803

答：弧co的長22L.

3

18.(2021?麗水)如圖，在△ABC中，AC=BC,以BC為直徑的半圓。交AB

于點。，過點。作半圓。的切線，交AC于點E.

(1)求證：ZACB=2ZADE；

(2)若DE=3,AE=M，求后的長.

【解答】（1）證明：連接。。，CD,

???。七是O。的切線，

：.ZODE=90°,

：.NODC+NEDC=9C,

???BC為O。直徑，

???N8OC=90°,

???NAOC=90°,

AZADE+ZEDC=90°,

，NADE=/ODC,

???AC=8C

???ZACB=2ZDCE=2ZOCD,

???OD=OC,

：.ZODC=ZOCDf

：.NACB=2/ADE；

（2）解：由（1）矢】，ZADE+ZEDC=90°,/ADE=/DCE,

AZAED=90°,

VDE=3,AE=V3>

:.AD={§2+)2=2^/§，tanA=V^'

AZA=60°,

???AC=8C,

???△ABC是等邊三角形，

：.ZB=60°,BC=AB=2AD=4后

.-.ZCOD=2ZB=120c,0C=2/3,

的長為n冗r=120?兀X=4愿冗

180180-3-

19.(2021?金華)在扇形AO8中，半徑OA=6,點P在OA上，連結(jié)P8,將

△O3P沿P8折疊得到△O'BP.

(1)如圖1,若/。=75°,且月O'行福所在的圓相切于點用

①求NAP。'的度數(shù).

②求A尸的長.

(2)如圖2,BO'與標(biāo)相交于點。，若點。為標(biāo)的中點，S.PD//OB,求立

圖1圖2

【解答】解：(1)①如圖1中，?:BCT是。。的切線,

：?/OBO'=90°,

由翻折的性質(zhì)可知，/OBP=/PBO'=45°:/OPB=/BPO',

VZAOB=75°,

：.ZOPB=ZBPO,=180°-75°-45°=60°,

：.ZOPO'=120°,

AZAPO1=180°-ZOPO1=180°-120°=60°.

②如圖1中，過點8作BHA.OA于〃，在BH上取一點F,使得OF=FB,連

接。F.

???/8〃。=90°,

：.ZOBH=90°-ZBOH=\50,

?:FO=FB,

：.ZFOB=ZFBO=\5°,

：?/OFH=/FOB+/FBO=30°,

設(shè)O”=m,則”尸=?/〃，OF=FB=2m,

OB2=OH2+BH\

/.62=W2+(y[3m+2ni)2,

??.〃?=3eT四或■3匠時(舍棄)，

22

，O”=.3Vlz3&,8”=3&J@&

22

在RlZ^PB"中，PH=―電—=泥+3衣,

tan602

：.PA=OA-OH-PH=6-3通-說-娓+帆=6-2泥.

22

解法二：連接OO'交PB于T,則3P_L'OO1,

在RtZXOBT中,OT=OBXsin45°=3圾.

在Rt2kO7P中，OP=―QL—=2A/6.

sin60

：.AP=OA-。尸=6-2%.

AO'

//w

k......N

oB

圖1

(2)如圖2中，連接AD,OD.

,,五=箴,

：.AD=BD,NAOD=NBOD,

由翻折的性質(zhì)可知，NOBP=/PBD,

?:PD〃OB,

:?/DPB=/OBP,

:?/DPB=/PBD，

:?DP=DB=AD,

：.ZDAP=ZAPD=ZAOB,

*：AO=OD=OB,AD=DB,

???△AO。g△BOO,

???ZOBD=ZOAD=/AOB=2NBOD,

;OB=OD,

：.NOBD=/ODB=2/DOB,

AZDOB=36°,

AZAOB=12°,

0B

圖2

A

oB

圖1

20.（2021?宜昌）如圖，在菱形A8CQ中，。是對角線3。上一點（80＞。0）,

OE.LAB,垂足為E,以0E為半徑的。0分別交QC于點H,交E0的延長

線于點F,EF與DC交于點、G.

（1）求證：BC是0。的切線；

（2）若G是0歹的中點，0G=2,DG=].

①求徒的長；

②求的長.

【解答】解：（1）證明：如圖1,過點0作。M_L8C于點M,

丁BD是菱形ABCD的對角線，

???/ABD=/CBD,

VOMLBC,OELAB,

：.OE=OM,

(2)①如圖2,

YG是O尸的中點，OF=OH,

：.0G=10H,

2

YAB//CD,0E1AB,

：.OFLCD,

：.ZOGH=90°,

/.sinZG/70=A,

2

：.ZGHO=30°,

.\ZGOH=60°,

：.ZHOE=120°,

???0G=2,

：.?！?4,

???由弧長公式得到黃的長：120X4XK_8_

1803

②如圖3,過A作4N_L8O于點N,

VDG=1,OG=2,0E=0H=4,

：?OD=臟,()B=2娓,

2

:,叢DOGsADAN,

???,OD二DG■,

ADDN

.遮__L

…AD飛近'

~2~

."。=耳

2

圖3

21.(2021?達(dá)州)如圖，4a是0O的直徑，C為0O上一點(C不與點4,R

重合)連接AC,BC,過點C作。。_1_48,垂足為點D.將△ACQ沿AC翻

折，點。落在點E處得△ACE,AE交。。于點片

(1)求證：CE是0。的切線；

(2)若/A4C=15°,0A=2,求陰影部分面積.

【解答】（1）證明：連接。C,

,：CDA.AB,

：.ZADC=90°,

???AACD沿AC翻J折得到△ACE,

AZEAC=ZBAC,ZAEC=ZADC=90°,

?：OA=OC,

：.NACO=/BAC,

???ZACO=ZEAC,

：.OC//AE,

.??NA￡C'+/ECO=18（r,

：.ZECO=90°,即OC_LCE,

???CE是OO的切線；

（2）解：連接OF,過點。作OG_LAE于點G,

VZBAC=15°,

：.ZBAE=2ZBAC=30°,NCOF=2NEAC=2NBAC=30°，

VOA=2,

,-.0G=10A=]f4G=V§,

2

?：OA=OFf

：.AF=2AG=2-/3,

*：ZBOC=2ZBAC=30°,CD±ABf0C=0A=2t

：.CL>=AOC=I,OD=g,

2

：.AE=AD=AO+OD=2+43f

；.EF=AE-AF=2-CE=CD=1,

??S陰影=S悌形OCEF-S扇形OCF

=lx(2-V3+2)XI-_30_XnX22

2360

=2---in.

22.(2022?齊齊哈爾)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。。，AC

與O。交于點。，與O。交于點E,過點。作。尸〃A8,且C/=CD連

接BF.

(1)求證：8尸是0。的切線;

(2)若NA4C=45°,AO=4,求圖中陰影部分的面積.

0E

-4c

TAB是直徑，

AZADB=ZBDC=90°,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

*：AB//CF,

：.ZABC=ZFCB,

：./ACB=/FCB,

在△OCB和△尸CB中，

rCD=CF

'NDCB=NFCB，

CB=CB

:公DCB9/\FCB(SAS),

：.ZF=ZCDB=90°,

?：XB//CF,

：.ZABF+ZF=\S0°,

???NABF=90°,即A8_LB/,

?；AB為直徑,

???"”是OO的切線；

(2)解：如圖2,連接50、OE1交于點"，連接AE,

TAB是直徑，

ZME1BC,AD1BD,

?.?N8AC=45°,A0=4,

??.△A3。是等腰直角三角形，

22=22=4

ABD=AD=4fAB=VAD+BD^4+4^2?

：.OA=OB=2-j2,

???OE是△408的中位線，

???OE//AD,

：.ZBOE=ZBAC=45°,0E上BD,典皿=1,

BDAB2

:.BM=1BD=1X4=2,

22

?'?S陰影部分=S切形BOE-S^BOE

=45X7TX(2^)2.>X2^X2

3602

=7T-2>/2.

23.(2022?臨沂)如圖，人3是OO的切線，B為切點,直線AO交。0于C,

。兩點，連接ACBD.過圓心。作的平行線，分別交4A的延長線、QO

及BD于點、E,F,G.

(1)求證：ND=NE；

(2)若尸是OE的中點，。0的半徑為3,求陰影部分的面積.

D

0

GAxJF

ABE

：.ZOBE=90°,

.?.ZE+ZBOE=90°,

TC。為G)O的直徑，

：.ZCBD=90°,

:.ND+NDCB=90',

?：OE〃BC,

；?NBOE=/OBC,

?：OB=OC,

：./OBC=/OCB,

:?/BOE=/OCB,

：.ZD=ZE；

(2)解：??,/為OE的中點，OB=OF,

.?.of=EF=3t

：.OE=6,

：.BO=1VE,

2

<NOBE=90°,

AZE=30°,

???NBOG=60°,

VOE//BC,ZDBC=90°，

：.ZOGB=90°,

：.OG=1,

：.S^BOG=1OG-BG=1.x|x|V3=-|V3*Sw尸=60?腎'之二爭,

NN//5oOUN

?*?S陽影常：4>=S用形-S^RO（;=^7T-^VS-

24.（2022?內(nèi)江）如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,AB是OO的直徑，。。的切線

PC交區(qū)4的延長線于點P,O/〃3c交AC于點七，交PC于點、F,連接A立

（1）判斷直線A尸與OO的位置關(guān)系并說明理由；

（2）若OO的半徑為6,AF=2M，求4C的長；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【解答】解：（1）直線AF與。。相切.

〈PC為圓O切線,

???CP_LOC,

：.ZOCP=90°,

OF//BC.

：.ZAOF=ZBf/COF=/OCB,

???OC=OB,

：?/OCB=/B,

：.ZAOF=ZCOF,

???在△AOF和△COF中，

OA=OC

<NA0F=NC0F，

OF=OF

A/\AOF^/\COF(SAS),

：.ZOAF=ZOCF=90°,

：.AFLOA,

又???OA為圓。的半徑，

尸為圓。的切線；

(2)VZAOF=ZCOF,OA=OC,

.?.￡*為4c中點,

BPAE=CE=1AC,OELAC,

2

9：ZOAF=90°,OA=6,AF=2臟,

：.tanZAOF=迎￡1工1,

OA63

AZAOF=30°,

：.AE=1OA=3,

2

：.AC=2AE=6；

(3)???-6,OC=OA,

???△AOC是等邊三角形，

AZAOC=60°,OC=6,

VZOCP=90°,

:?CP=MOC=訴,

2

??S^ocp=—OC*CP——x6X6A/3~18V3?Sg形AOC=6°兀乂6=6口,

22360

陰影部分的面積為S^OCP-S城形八oc=18j§-6n.

【類型五與特殊四邊形有關(guān)的問題】

25.(2022?福建)如圖，是矩形ABC。的對角線.

（1）求作OA,使得OA與50相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)8。與OA相切于點E,CFLBD,垂足為立若

直線C77與04相切于點G,求tanNAQB的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意作圖如下:

（2）設(shè)NAQB=a,的半徑為八

〈BQ與OA相切于點E,C歹與OA相切于點G,

：.AE±BD,AG±CGf

即NAM=NAG尸=90°,

9：CFA.BD,

：.ZEFG=90°,

J四邊形AEFG是矩形，

又AE=AG=r,

???四邊形4EFG是正方形，

；?EF=AE=『,

在RlZ\AEB和RlZXDAB中，NBAE+N48O=90°,ZADB+^ABD=903,

：?NBAE=/ADB=a,

在RtZLABE中，tanN84E=些，

AE

8E=r?iana,

:四邊形/WCQ是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

NABE=NCDF,

又NAEB=NCFD=90。,

:.△NBEQXSF、

BE=DF=ftana,

DE=DF+EF=flana+r,

在RlZXAOE中，tanNAOE=延，

DE

即DE*tana=iAE,

/.(r*tana+r)?tana=/s

即tan2a+tana-1=0,

*/tana>0,

/.tana=^5jll,

2

即tanZADB的值為近二1.

2

26.(2019?南充模擬)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,是角平分線，點

O在人區(qū)上，以點。為圓心，經(jīng)過點8,O的圓與AC交于點￡

（1）求證：AC是00的切線.

（2）若四邊形ODEB是菱形，8，=3?時，求。。的半徑.

：?/0BD=/0DB,

??,8。是角平分線，

：?/OBD=/DBC,

：.ZDBC=ZODB.

：.OD//BC,

VZC=90°,

??.0D±AC,

???AC是。。的切線;

(2)解：連接OE,

當(dāng)四邊形ODE8是菱形時，OD=DE.

：.OE=OD=DE,

???△OO石是等邊三角形，

：.ZODE=6Q°.

AZEDC=30°,

.11

??EC畸DE哈BE，

:?BC=3EC,

VBC=3V3，

???EC=V3，

???OO的半徑為

27.(2022?大冶市校級模擬)如圖：A3是OO的直徑，C、G是OO上兩點，

且點C是劣弧AG的中點，過點。的直線CO_L5G的延長線于點。，交84

的延長線于點E,連接BC,交0。于點F.

(1)求證：C。是00的切線；

(2)若ED=MDB,求證：3OF=2DF；

(3)在(2)的條件下，連接A。，若CO=3,求A力的長.

【解答】(1)證明：如圖1,連接。C,AC,CG,

???AC=CG,

AAC=CG，

???/ABC=/CBG,

?/OC=OB,

：.ZOCB=ZOBCf

：?NOCB=/CBG,

I.OC//BG,

'JCDLBG,

：.OC±CD,

???C。是O。的切線；

(2)解：如圖1,VCD±BG,

AZBDE=90°,

?:ED=y[^DB,

/.tanE=—=2^-,

DE3

AZE=30°,

???NEBD=/COE=60°，

???0C=10E,

2

OC=OA=AE,

?：OC〃BD,

:?△EOCsMBD,

?OCJJE二2

??麗江苜，

OC//BDf

:.ACOFsABDF,

?OFJ)C二2

**DF=BD

：.3OF=2DF；

(3)解：如圖2,過A作AH_L￡>￡于〃,

VZ^=30°

：.ZEBD=60°,

/.ZCBD=1ZEBD=3O°,

2

VCD=3,

?"。=3心DE=9,BE=6幾

:.AE=，BE=2M，

3

???4〃=?,

:.EH=3,

ADH=9-3=6,

在中，

AD=^AH2+DH2=739.

圖2

D

在RtZVIBC中，NBAC=90°，。是AB

邊上的一點，以。力為半徑的。。與邊BC相切于點E.

(1)若AB=8,的半徑為3,求AC的長.

(2)過點E作弦E凡LAB于G,連接AF,若N4所=2NA8C.求證：四邊

AOB=8-3=5,

???。0與邊8C相切于點E,

/.OEA.BC,

?*-BE=VOB2-OE2=V52-32=4，

VZBAC=90°,

???C4是。。的切線，

：.CA=CE,

在RtZiABC中,AC2+A52=5d,gp4(？+82=(4+AC)2

解得：AC=6；

(2)證明：由圓周角定理得：ZAOE=2ZAFE,

ZAFE-2ZABC,

???ZAOE=4ZABC,

VZAOE=9()°+ZABC,

/.ZABC=30°,

AZAFE=60°,

9：EFA-ABf

：.ZFEB=60°,

???/AFE=/FEB,

*：ZBAC=90°,EFLAB,

：.AC//EF,

???四邊形ACE尸為平行四邊形,

*：CA=CE,

，平行四邊形ACE廣為菱形.

29.(2018?盤錦)如圖，在RtZ\A3c中，ZC=90°，點。在線段43上，以

AD為直徑的。。與BC相交于點E