第五節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率第十一章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義,利用獨(dú)立性計(jì)算概率.2.了解條件概率,能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.3.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系,會(huì)用乘法公式計(jì)算概率,會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.1.相互獨(dú)立事件的概率2.條件概率3.全概率公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.事件的相互獨(dú)立性P(AB)=P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件

事件A與事件B相互獨(dú)立事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件.兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(AB)=P(A)P(B)性質(zhì)如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立,那么把其中一個(gè)換成它的對(duì)立事件,這樣的兩個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.于是由事件A與事件B相互獨(dú)立,則A與

也都相互獨(dú)立2.條件概率

條件概率的定義設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率

條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=

;

(3)設(shè)

與B互為對(duì)立事件,則P(

|A)=1-P(B|A)當(dāng)P(A)=0時(shí),我們不定義條件概率

P(B|A)+P(C|A)微思考P(B|A)與P(A|B)表示的意思相同嗎?提示

不同.P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率;而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.另外從計(jì)算公式上看,3.乘法公式由條件概率的定義P(B|A)=,則有P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).同理,P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).4.全概率公式設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)任意一個(gè)事件A有

,稱上式為全概率公式.

指的是對(duì)目標(biāo)事件A有貢獻(xiàn)的全部原因

微點(diǎn)撥求復(fù)雜事件的概率時(shí),可以按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩兩互斥事件的并,就可以使用全概率公式將樣本空間按照某種方式進(jìn)行分割,使原本復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或若干個(gè)簡(jiǎn)單事件,再使用條件概率和乘法公式對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單事件進(jìn)行計(jì)算,最后使用加法公式將所有結(jié)果進(jìn)行相加,就可以準(zhǔn)確便捷地得到結(jié)果.對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(

)(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(3)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率.(

)(4)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).(

)××√√2.有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒,則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是(

)A.0.26 B.0.08 答案

A

解析

由題設(shè),甲、乙兩批種子不發(fā)芽率分別為0.2和0.1,∴兩批種子中各取一粒恰有一粒種子能發(fā)芽的概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.故選A.3.甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)路口,在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個(gè)路口都遇到紅燈的概率為0.3,則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下,第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為

.

答案

0.6

解析

設(shè)第一個(gè)路口遇到紅燈為事件A,第二個(gè)路口遇到紅燈為事件B,則P(A)=0.5,P(AB)=0.3,增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概率典例突破

方法總結(jié)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法

(1)求目標(biāo)被擊中的概率;(2)求三人中至多有1人擊中目標(biāo)的概率.考點(diǎn)二條件概率典例突破例2.(1)(2021河南部分學(xué)校聯(lián)考)在某電視臺(tái)有一闖關(guān)節(jié)目,該節(jié)目設(shè)置有兩關(guān),闖關(guān)規(guī)則是:當(dāng)?shù)谝魂P(guān)闖關(guān)成功后,方可進(jìn)入第二關(guān).為了調(diào)查闖關(guān)的難度,該電視臺(tái)調(diào)查了參加過(guò)此節(jié)目的100名選手的闖關(guān)情況,第一關(guān)闖關(guān)成功的有80人,第一關(guān)闖關(guān)成功且第二關(guān)闖關(guān)也成功的選手有72人,以闖關(guān)成功的頻率近似作為闖關(guān)成功的概率,已知某個(gè)選手第一關(guān)闖關(guān)成功,則該選手第二關(guān)闖關(guān)成功的概率為(

)(2)(2021湖北恩施一模)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不完全相同”,事件B為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則P(B|A)=(

)答案

(1)C

(2)A

解析

(1)第一關(guān)闖關(guān)成功的選手有80人,則第一關(guān)闖關(guān)成功的頻率為0.8,第一關(guān)闖關(guān)成功且第二關(guān)闖關(guān)也成功的選手有72人,則兩關(guān)都成功的頻率為0.72.設(shè)“第一關(guān)闖關(guān)成功”為事件A,“第二關(guān)闖關(guān)成功”為事件B,P(A)=0.8,P(AB)=0.72,某個(gè)選手第一關(guān)闖關(guān)成功,(2)設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)不完全相同”,事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則n(A)=44-4=252,n(AB)=4×33=108,方法總結(jié)求條件概率的常用方法

(2)某大學(xué)學(xué)生會(huì)自發(fā)從學(xué)生會(huì)6名男生和8名女生骨干成員中選出2人作為隊(duì)長(zhǎng)率領(lǐng)他們加入社區(qū)服務(wù)隊(duì),用A表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)性別相同”,B表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)都是男生”,則P(B|A)=

.

考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用典例突破例3.甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品,乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品.(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品,求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率;(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中,然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品,求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率.(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個(gè)產(chǎn)品是正品”,事件B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”,事件B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”,則