中考數(shù)學(xué)相似三角形專題復(fù)習(xí)講義相似三角形是平面幾何的核心內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)的重點與難點。它不僅是對三角形全等知識的延伸與拓展，更是解決幾何計算、證明以及實際應(yīng)用問題的重要工具。本講義將系統(tǒng)梳理相似三角形的核心知識，剖析典型例題，提煉解題方法，助力同學(xué)們構(gòu)建完整的知識體系，提升解題能力。一、相似三角形的概念與表示1.1相似形的定義我們把形狀相同的圖形稱為相似形。理解這一概念需注意，相似形只強調(diào)形狀一致，大小未必相同。例如，我們使用的不同比例尺的世界地圖，它們的形狀相同，因此是相似形。1.2相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。*對應(yīng)角相等：若△ABC與△A'B'C'相似，則有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。*對應(yīng)邊成比例：即AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k，其中k叫做這兩個相似三角形的相似比（或相似系數(shù)）。1.3相似三角形的表示法相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”。例如，△ABC與△A'B'C'相似，記作△ABC∽△A'B'C'，在書寫時，通常把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，以便于找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊。1.4相似比的理解相似比k具有順序性。若△ABC與△A'B'C'的相似比為k，則△A'B'C'與△ABC的相似比為1/k。當(dāng)k=1時，兩個三角形不僅形狀相同，大小也相同，此時它們?nèi)?，全等三角形是相似三角形的特殊情況。二、相似三角形的判定掌握相似三角形的判定方法是解決相似三角形問題的關(guān)鍵。我們需要熟練運用以下判定定理：2.1平行線分線段成比例定理及推論（預(yù)備定理）*定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。*推論（相似三角形預(yù)備定理）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。*如圖，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC。*此推論是判定三角形相似的一條基本且常用的重要方法，常結(jié)合比例線段進行證明。2.2相似三角形的判定定理*判定定理1（AA或AAA）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。*簡記：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。*這是最常用的判定方法之一，因為找到兩個對應(yīng)角相等相對容易。*判定定理2（SAS）：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。*簡記：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。*注意：此處強調(diào)的是“夾角”相等，若為非夾角，則不一定相似。*判定定理3（SSS）：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。*簡記：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：*如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（可視為“HL”的相似版本）*當(dāng)然，直角三角形作為特殊的三角形，以上AA、SAS、SSS判定定理同樣適用。2.3常見的相似基本圖形在解決相似三角形問題時，識別一些常見的基本圖形有助于快速找到解題思路。例如：*“A”型圖：如上所述的預(yù)備定理圖形，DE∥BC，構(gòu)成“A”型。*“X”型圖（或“8”字型）：兩條直線相交，被一組平行線所截，或?qū)斀堑膬蛇叡坏谌龡l直線所截形成的相似圖形。*“K”型圖（或“一線三垂直”模型）：一條直線上有三個直角頂點，常可構(gòu)造出相似三角形。*母子型相似（射影定理相關(guān)圖形）：直角三角形斜邊上的高將原三角形分成兩個小直角三角形，這兩個小直角三角形都與原三角形相似，且它們?nèi)咧g也兩兩相似。三、相似三角形的性質(zhì)若兩個三角形相似，則它們具有以下性質(zhì)：3.1對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例這是相似三角形的定義，也是最基本的性質(zhì)。3.2對應(yīng)線段的比等于相似比這里的“對應(yīng)線段”包括：*對應(yīng)高的比*對應(yīng)中線的比*對應(yīng)角平分線的比*對應(yīng)中位線的比*（對于一般三角形，還包括對應(yīng)邊上的三等分點連線等，只要是對應(yīng)位置的線段）它們都等于相似三角形的相似比k。3.3周長比等于相似比即相似三角形的周長之比等于它們的相似比k。3.4面積比等于相似比的平方即相似三角形的面積之比等于它們相似比k的平方（k2）。*這是一個非常重要的性質(zhì)，在涉及面積計算或比較時經(jīng)常用到，需特別注意是“平方”關(guān)系。3.5延伸性質(zhì)*若兩個三角形相似，且它們的相似比為k，則它們對應(yīng)內(nèi)切圓半徑的比、對應(yīng)外接圓半徑的比也等于k。*相似三角形對應(yīng)角度的三角函數(shù)值相等（因為對應(yīng)角相等）。四、相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：4.1求線段的長度或比值利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，可以求解未知線段的長度或線段間的比值。這是相似三角形最直接的應(yīng)用。4.2求角度的大小利用相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，可以將未知角轉(zhuǎn)化為已知角。4.3解決實際問題*測量高度：如測量旗桿、樹、建筑物的高度，可利用陽光下的影子、標(biāo)桿、鏡子反射等方法構(gòu)造相似三角形。*測量距離：如測量河寬、不能直接到達的兩點間的距離等。*縮放圖形：根據(jù)相似比，可以將一個圖形放大或縮小，保持形狀不變。4.4與幾何圖形的綜合應(yīng)用相似三角形常與三角形、四邊形（特別是平行四邊形、矩形、菱形、正方形）、圓等知識結(jié)合，綜合考查學(xué)生的邏輯推理和計算能力。例如，圓中的切線長定理、切割線定理、相交弦定理等，其證明過程往往與相似三角形密切相關(guān)。五、相似三角形與圖形變換在圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、位似等變換中，位似變換是一種特殊的相似變換。5.1位似圖形的概念如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。5.2位似圖形的性質(zhì)*位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形。*位似圖形對應(yīng)點的連線交于位似中心。*位似圖形對應(yīng)邊平行（或在同一直線上）。*位似圖形的位似比等于相似比。*在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k。5.3位似圖形的作圖利用位似可以將一個圖形放大或縮小，作圖步驟通常為：確定位似中心、確定原圖形的關(guān)鍵點、確定位似比、根據(jù)位似比作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點、順次連接對應(yīng)點得到位似圖形。6.1中考常見題型分析中考中對相似三角形的考查形式多樣，選擇、填空、解答題均有涉及。*選擇題、填空題：多考查相似三角形的概念、判定條件、性質(zhì)的直接應(yīng)用，如判斷三角形是否相似、求相似比、求某條線段的長度或某個圖形的面積等。*解答題：常與其他幾何知識（如全等、四邊形、圓、解直角三角形、函數(shù)等）綜合考查，涉及證明、計算、探究等。例如，證明線段相等或成比例、證明角相等、計算圖形的面積或周長、動態(tài)幾何中的相似存在性問題等。6.2典型例題解析例題1（基礎(chǔ)判定與性質(zhì)綜合）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且∠AED=∠B。(1)求證：△AED∽△ABC；(2)若AE=3，AB=5，AD=4，求AC的長。解析：(1)要證△AED∽△ABC，已知∠AED=∠B，且∠A是公共角，根據(jù)“AA”判定定理，即可得證。(2)由(1)知△AED∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得AE/AB=AD/AC。代入已知數(shù)據(jù)：3/5=4/AC，解得AC=20/3。例題2（動態(tài)幾何與相似探究）（題目略，此處假設(shè)有一個關(guān)于動點在直線上運動，探究兩個三角形相似的時刻或線段長度的問題）解題策略：*明確動點的運動軌跡和速度，用含時間t的代數(shù)式表示相關(guān)線段長度。*根據(jù)題意，分析可能存在的相似三角形情況（注意對應(yīng)頂點的不同情況，可能需要分類討論）。*根據(jù)相似三角形的判定條件（通常是兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，或兩角對應(yīng)相等）列出比例式。*解方程求出t的值，并檢驗其合理性（是否在動點運動范圍內(nèi)）。例題3（相似與實際應(yīng)用）某同學(xué)想利用標(biāo)桿測量一棵大樹的高度。他在同一時刻測得標(biāo)桿高為1.5米，其影長為1米，同時測得大樹的影長為6米。求這棵大樹的高度。解析：同一時刻，太陽光可近似看作平行光，因此標(biāo)桿、標(biāo)桿的影子、太陽光線構(gòu)成的直角三角形與大樹、大樹的影子、太陽光線構(gòu)成的直角三角形相似。設(shè)大樹高度為h米。由相似三角形對應(yīng)邊成比例可得：1.5/1=h/6解得h=9。答：這棵大樹的高度為9米。6.3解題技巧與注意事項*注意對應(yīng)關(guān)系：在表示兩個三角形相似時，要注意頂點的對應(yīng)順序，以免在利用性質(zhì)時出現(xiàn)對應(yīng)邊、對應(yīng)角混淆的錯誤。*靈活選擇判定方法：根據(jù)已知條件，靈活選用最合適的判定定理。已知兩角對應(yīng)相等，用“AA”；已知兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等用“SAS”；已知三邊對應(yīng)成比例，用“SSS”。*關(guān)注基本圖形：熟練掌握常見的相似基本圖形，能幫助快速識別相似關(guān)系，找到解題突破口。*注意比例線段的靈活變形：在運用比例線段時，要善于利用比例的基本性質(zhì)（如交叉相乘、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)）進行變形和轉(zhuǎn)化。*重視輔助線的作用：當(dāng)直接證明或計算有困難時，可考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線（如作平行線、構(gòu)造中位線、垂線等），構(gòu)造出相似三角形。*分類討論思想：當(dāng)題目中涉及動點、圖形形狀不確定或?qū)?yīng)關(guān)系不唯一時，要考慮分類討論，避免漏解。*數(shù)形結(jié)合思想：在解決與坐標(biāo)系結(jié)合的相似問題時，要善于將幾何圖形的性質(zhì)與代數(shù)計算相結(jié)合。七、總結(jié)與反思相似三角形是平面幾何的重要基石，其知識點密集，應(yīng)用廣泛，對邏輯思維能力和空間想象能力要求較高。復(fù)習(xí)時，首先要夯實基礎(chǔ)，深刻理解相似三角形的概念、判定定理和性質(zhì)，并能準(zhǔn)確、熟練地運用。其次，要注重對基本圖形的識別與積累，學(xué)會從復(fù)雜圖