工程力學(xué)重點(diǎn)習(xí)題及解析工程力學(xué)作為工科學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，其核心在于培養(yǎng)分析和解決實(shí)際工程中力學(xué)問題的能力。本文精選若干工程力學(xué)重點(diǎn)習(xí)題，并輔以詳盡解析，旨在幫助讀者深化對(duì)基本概念、原理及方法的理解與應(yīng)用。習(xí)題選取兼顧經(jīng)典性與代表性，解析過程注重思路引導(dǎo)與方法歸納，力求達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效。一、靜力學(xué)基礎(chǔ)靜力學(xué)主要研究物體在力作用下的平衡規(guī)律。掌握物體的受力分析、力系的簡(jiǎn)化以及平衡條件的應(yīng)用，是解決靜力學(xué)問題的關(guān)鍵。（一）物體的受力分析與受力圖習(xí)題1：試畫出圖示簡(jiǎn)支梁AB的受力圖。梁的自重不計(jì)，在C點(diǎn)處受一集中力F作用，A端為固定鉸支座，B端為可動(dòng)鉸支座。解析：*解題思路：受力分析的核心在于明確研究對(duì)象，正確判斷并畫出所有外力。對(duì)于此類靜定結(jié)構(gòu)，首先需判斷約束類型及其對(duì)應(yīng)的約束力。*受力分析：取梁AB為研究對(duì)象。主動(dòng)力為作用于C點(diǎn)的集中力F。A端為固定鉸支座，其約束力通常用兩個(gè)正交分力FAx和FAy表示；B端為可動(dòng)鉸支座，其約束力垂直于支撐面，此處梁水平放置，故約束力FB豎直向上。*受力圖繪制要點(diǎn)：需將梁AB單獨(dú)畫出，所有力均應(yīng)畫在研究對(duì)象（梁AB）上，明確各力的作用點(diǎn)、方向（或指向）。注意約束力的畫法需符合約束性質(zhì)。（二）力系的簡(jiǎn)化與平衡方程習(xí)題2：一平面力系由三個(gè)力和一個(gè)力偶組成。已知F1=3kN，F(xiàn)2=4kN，F(xiàn)3=5kN，力偶矩M=10kN·m（順時(shí)針）。各力的作用點(diǎn)及方向如圖所示（此處省略圖示，假設(shè)F1沿x軸正向，F(xiàn)2沿y軸正向，F(xiàn)3沿x軸負(fù)向，作用點(diǎn)坐標(biāo)可簡(jiǎn)化描述）。試求該力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢和主矩，并判斷該力系是否平衡。若不平衡，求出其最終簡(jiǎn)化結(jié)果。解析：*解題思路：力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的核心是應(yīng)用力的平移定理，將復(fù)雜力系簡(jiǎn)化為一個(gè)主矢和一個(gè)主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心無關(guān)，主矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。平衡條件為主矢和主矩均為零。*主矢計(jì)算：建立直角坐標(biāo)系Oxy。*F1x=3kN，F(xiàn)1y=0*F2x=0，F(xiàn)2y=4kN*F3x=-5kN，F(xiàn)3y=0*主矢FRx=ΣFx=3+0-5=-2kN*主矢FRy=ΣFy=0+4+0=4kN*主矢大小FR=√(FRx2+FRy2)=√[(-2)2+42]=√(4+16)=√20=2√5kN(約4.47kN)*主矢方向：與x軸夾角θ，tanθ=|FRy/FRx|=4/2=2，θ=arctan(2)，指向第二象限。*主矩計(jì)算（向O點(diǎn)簡(jiǎn)化）：設(shè)各力作用點(diǎn)到O點(diǎn)的距離（或力臂）分別為d1、d2、d3（此處根據(jù)假設(shè)的圖示，可設(shè)F1、F2、F3對(duì)O點(diǎn)的力臂分別為0、a、b，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)F1作用于O點(diǎn)，d1=0；F2作用于O點(diǎn)右側(cè)距離a處，力偶矩M1=F2*a；F3作用于O點(diǎn)上方距離b處，力偶矩M3=F3*b。具體數(shù)值可假設(shè)為F2作用點(diǎn)在O右側(cè)1m處，F(xiàn)3作用點(diǎn)在O上方2m處，則：）*M1(F1對(duì)O點(diǎn)的矩)=0(因作用線過O點(diǎn))*M2(F2對(duì)O點(diǎn)的矩)=F2*a=4kN*1m=4kN·m(逆時(shí)針，規(guī)定逆時(shí)針為正)*M3(F3對(duì)O點(diǎn)的矩)=F3*b=5kN*2m=10kN·m(逆時(shí)針)*原有力偶矩M=-10kN·m(順時(shí)針)*主矩MO=ΣMi=0+4+10-10=4kN·m(逆時(shí)針)*平衡判斷與最終簡(jiǎn)化：因主矢FR≠0，故力系不平衡。原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)大小為2√5kN、方向角為arctan(2)的主矢和一個(gè)大小為4kN·m的主矩。根據(jù)力系簡(jiǎn)化理論，還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，該合力與主矢大小方向相同，其作用線到O點(diǎn)的距離d=|MO|/FR=4/(2√5)=2/√5m，具體位置根據(jù)主矢和主矩的方向確定。（三）平面任意力系的平衡方程及應(yīng)用習(xí)題3：組合梁由AC和CD在C點(diǎn)鉸接而成，支承和受力如圖所示（A為固定鉸支座，B為可動(dòng)鉸支座，D為固定端支座。均布載荷q作用于AC段，集中力P作用于CD段某點(diǎn)，力偶矩M作用于CD段）。已知q=2kN/m，P=3kN，M=5kN·m，各段長(zhǎng)度如圖（AC=4m，CB=2m，CD=3m，P作用于距C點(diǎn)1m處）。試求A、B、D處的約束力。解析：*解題思路：對(duì)于物體系的平衡問題，通常需要選取合適的研究對(duì)象（整體或單個(gè)物體），分別畫出受力圖，根據(jù)平衡條件建立平衡方程求解。關(guān)鍵在于判斷系統(tǒng)是否靜定，以及如何選取研究對(duì)象使問題簡(jiǎn)化（盡量避免解聯(lián)立方程）。*判斷靜定次數(shù)：組合梁由兩個(gè)物體組成，每個(gè)物體在平面力系作用下有3個(gè)平衡方程，共6個(gè)方程。未知量包括：FAx、FAy（A處）、FB（B處）、FDx、FDy、MD（D處），共6個(gè)未知量，故為靜定結(jié)構(gòu)。*選擇研究對(duì)象：*方法一：先取CD梁為研究對(duì)象（因其未知量較少，D處有三個(gè)未知量，但C處為鉸鏈，只有兩個(gè)未知量）。*受力分析：CD梁受主動(dòng)力P、力偶M，約束力FCx、FCy（C處，假設(shè)方向），F(xiàn)Dx、FDy、MD（D處）。*平衡方程：ΣFx=0:FCx+FDx=0(1)ΣFy=0:FCy+FDy-P=0(2)ΣMC=0:FDy*CD長(zhǎng)度-P*(CD長(zhǎng)度-1m)-M+MD=0(3)（設(shè)順時(shí)針為正，或根據(jù)具體力偶方向定）*此處方程數(shù)量仍多于可解未知量，可能需再取AC梁或整體為研究對(duì)象。*方法二：先取整體為研究對(duì)象。*受力分析：整體受均布載荷q（合力為q*AC長(zhǎng)度，作用于AC中點(diǎn)）、集中力P、力偶M，約束力FAx、FAy（A處）、FB（B處）、FDx、FDy、MD（D處）。*平衡方程：ΣFx=0:FAx+FDx=0(4)ΣFy=0:FAy+FB+FDy-q*AC-P=0(5)ΣMA=0:FB*AB長(zhǎng)度+FDy*(AB長(zhǎng)度+CD長(zhǎng)度)-(q*AC)*(AC長(zhǎng)度/2)-P*(AB長(zhǎng)度+1m)-M+MD=0(6)*整體方程結(jié)合CD梁方程，可逐步求解。但此例中，或許先取AC梁更簡(jiǎn)便，因AC梁上B處為可動(dòng)鉸支座，未知量少。*詳細(xì)求解步驟（簡(jiǎn)選AC梁為研究對(duì)象先）：*取AC梁：A處FAx、FAy，B處FB（豎直向上），C處FCx、FCy（與CD梁的FCx、FCy互為作用力與反作用力）。均布載荷q合力為q*AC=2*4=8kN，作用于AC中點(diǎn)（距A2m）。*平衡方程：ΣFx=0:FAx-FCx=0→FAx=FCx(7)ΣFy=0:FAy+FB-FCy-q*AC=0→FAy+FB-FCy=8(8)ΣMA=0:FB*(AC長(zhǎng)度)-FCy*(AC長(zhǎng)度)-(q*AC)*(AC長(zhǎng)度/2)=0→FB*4-FCy*4-8*2=0→FB-FCy=4→FCy=FB-4(9)(以A為矩心，順時(shí)針為正)*再取CD梁：ΣFx=0:FCx+FDx=0→FDx=-FCx=-FAx(由7)(10)ΣFy=0:FCy+FDy-P=0→(FB-4)+FDy-3=0→FDy=7-FB(11)(由9和P=3)ΣMD=0:FCy*CD長(zhǎng)度+P*(CD長(zhǎng)度-1m)-M-FCx*0(假設(shè)C處力對(duì)D點(diǎn)矩)=0(以D為矩心，求FCy、FCx)?；蛘擀睲C=0:FDy*CD-P*(CD-1)-M+MD=0→FDy*3-3*(3-1)-5+MD=0→3FDy-6-5+MD=0→3FDy+MD=11(12)*再取整體：ΣFx=0:FAx+FDx=FAx-FAx=0→自動(dòng)滿足(由10)ΣFy=0:FAy+FB+FDy=8+3=11→FAy+FB+(7-FB)=11→FAy=4kN(13)(由11)ΣMA=0:FB*(4+2)+FDy*(4+2+3)-8*2-3*(4+2+1)-5+MD=0→6FB+9FDy-16-21-5+MD=0→6FB+9FDy+MD=42(14)*將(11)FDy=7-FB和(12)MD=11-3FDy=11-3*(7-FB)=11-21+3FB=3FB-10代入(14):6FB+9*(7-FB)+(3FB-10)=42→6FB+63-9FB+3FB-10=42→(6FB-9FB+3FB)+(63-10)=42→53=42？此處顯然有誤，說明在矩方程建立時(shí)可能存在符號(hào)或距離計(jì)算錯(cuò)誤，這是解題中常見的問題，需要仔細(xì)檢查。*錯(cuò)誤排查：整體ΣMA計(jì)算時(shí)，力偶M的轉(zhuǎn)向和矩心位置。假設(shè)M為順時(shí)針作用于CD段，則對(duì)A點(diǎn)取矩，其矩為+M（若規(guī)定順時(shí)針為正）還是-M？這取決于力偶的實(shí)際轉(zhuǎn)向。若原題目中M為順時(shí)針，則其對(duì)A點(diǎn)的矩為+M（因?yàn)榱ε季厥亲杂墒噶浚?。上述?jì)算中代入了“-M”，可能是此處符號(hào)錯(cuò)誤。*修正ΣMA：6FB+9FDy-16-21+5+MD=42→6FB+9FDy+MD=74(14修正)*再代入FDy=7-FB和MD=3FB-10:6FB+9*(7-FB)+3FB-10=74→6FB+63-9FB+3FB-10=74→53=74？依然不對(duì)。問題可能出在CD段對(duì)C點(diǎn)取矩的方程(12)。設(shè)M為順時(shí)針作用于CD段，對(duì)C點(diǎn)取矩，若規(guī)定逆時(shí)針為正，則M的矩為-M。FDy對(duì)C點(diǎn)的矩為FDy*CD（向上的力，對(duì)C點(diǎn)取矩為逆時(shí)針，為正）。P作用于距C點(diǎn)1m，方向向下，對(duì)C點(diǎn)取矩為順時(shí)針（負(fù)）。則ΣMC=0:FDy*CD-P*(1m)-M=0→FDy*3-3*1-5=0→3FDy=8→FDy=8/3≈2.67kN。啊，之前的方程(12)多了個(gè)MD，MD是D端的約束力偶，對(duì)C點(diǎn)取矩時(shí)，MD也是要考慮的！ΣMC(對(duì)CD梁)=FDy*CD-P*(1)-M+MD=0→3FDy-3-5+MD=0→3FDy+MD=8(12修正)。這樣MD=8-3FDy。*再代入FDy=7-FB(由11:FCy=FB-4，F(xiàn)Cy+FDy=3→FDy=3-FCy=3-(FB-4)=7-FB)→FDy=7-FB→FB=7-FDy。*MD=8-3FDy。*整體ΣMA(修正后，假設(shè)M順時(shí)針，對(duì)A點(diǎn)矩為+M):FB*(AB=6m)+FDy*(AD=6+3=9m)-(q*AC=8kN)*(2m)-P*(AE=6+1=7m)+M-MD=0(D處的MD是固定端的力偶，其方向假設(shè)為逆時(shí)針為正，則對(duì)A點(diǎn)的矩為-MD)即：FB*6+FDy*9-8*2-3*7+5-MD=0→6FB+9FDy-16-21+5-MD=0→6FB+9FDy-MD=32。將FB=7-FDy，MD=8-3FDy代入：6*(7-FDy)+9FDy-(8-3FDy)=32→42-6FDy+9FDy-8+3FDy=32→(-6FDy+9FDy+3FDy)+(42-8)=32→6FDy+34=32→6FDy=-2→FDy=-2/6=-1/3≈-0.33kN(負(fù)號(hào)表示方向與假設(shè)相反，即向下)。*則FB=7-FDy=7-(-1/3)=7+1/3=22/3≈7.33kN。*FCy=FB-4=22/3-12/3=10/3≈3.33kN。*FAy=4kN(由13)。*MD=8-3FDy=8-3*(-1/3)=8+1=9kN·m(逆時(shí)針)。*FDx=-FAx(由10)，而FAx=FCx(由7)。對(duì)于CD梁，ΣFx=0→FCx+FDx=0→FCx-FAx=0(因FD