專題4：圖形的變換一、選擇題1.(2017北京第5題)下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．B．C.D．【答案】A.考點：軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別2.(2017天津第3題)在一些美術(shù)字中，有的漢子是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知，只有選項C是軸對稱圖形，故選C.3.(2017福建第5題)下列關(guān)于圖形對稱性的命題，正確的是（）A．圓既是軸對稱性圖形，又是中心對稱圖形B．正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形D．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形【答案】A【解析】A，正確；B，正三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤；線段既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故錯誤；D，菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故錯誤；故選A.4.(2017福建第10題)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1．圖中線段和點繞著同一個點做相同的旋轉(zhuǎn)，分別得到線段和點，則點所在的單位正方形區(qū)域是（）A．1區(qū)B．2區(qū)C．3區(qū)D．4區(qū)【答案】D【解析】如圖，根據(jù)題意可得旋轉(zhuǎn)中心O，旋轉(zhuǎn)角是90°，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針，因此可知點P的對應(yīng)點落在了4區(qū)，故選D.5.（2017廣東廣州第2題）如圖2，將正方形中的陰影三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到圖形為（）【答案】A【解析】試題分析：順時針90°后，AD轉(zhuǎn)到AB邊上，所以，選A。考點：旋轉(zhuǎn)的特征6.（2017廣東廣州第8題）如圖4，分別是的邊上的點，，將四邊形沿翻折，得到，交于點，則的周長為（）A．6B．12C.18D．24【答案】C考點：平行線的性質(zhì)7.（2017湖南長沙第4題）在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）【答案】C【解析】試題分析：利用：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，可知A既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不正確；B是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不正確；C既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故正確；D不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故不正確.故選：C考點：1、中心對稱圖形，2、軸對稱圖形8.（2017湖南長沙第12題）如圖，將正方形折疊，使頂點與邊上的一點重合（不與端點重合），折痕交于點，交于點，邊折疊后與邊交于點，設(shè)正方形的周長為，的周長為，則的值為（）A．B．C．D．隨點位置的變化而變化【答案】B【解析】試題分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，正方形的周長為m=8a，設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴,即∴CG=△CMG的周長為CM+CG+MG=在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a-x）2+y2=（2a-y）2整理得4ax-x2=4ay∴CM+MG+CG==n．所以故選：B．考點：1、正方形，2、相似三角形的判定與性質(zhì)，3、勾股定理9.（2017山東青島第2題）下列四個圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）．【答案】A考點：軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義10.（2017山東青島第5題）如圖，若將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°則頂點B的對應(yīng)點B1的坐標為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，圖形如下圖所以B1的坐標為故選：B11.(2017四川瀘州第5題)已知點與點關(guān)于原點對稱，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】試題分析：平面直角坐標系中任意一點P(x,y)，關(guān)于原點的對稱點是(﹣x,﹣y),由此可得a=4，b=-1，所以a+b=3，故選C.12.(2017山東日照第2題)剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．下列剪紙作品既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A．考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．13.(2017遼寧沈陽第6題)在平面直角坐標系中，點，點關(guān)于軸對稱，點的坐標是，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：關(guān)于y軸對稱點的坐標的特點是橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，由此可得點B的坐標為（-2，-8），故選A.考點：關(guān)于y軸對稱點的坐標的特點.二、填空題1.(2017北京第15題)如圖，在平面直角坐標系中，可以看作是經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一中由得到的過程：．【答案】將△COD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移2個單位長度得到△AOB（答案不唯一）.【解析】試題分析：觀察圖形即可，將△COD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移2個單位長度得到△AOB，注意是順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn).考點：幾何變換的類型2.(2017河南第15題)如圖，在中，，，，點，分別是邊，上的動點，沿所在的直線折疊，使點的對應(yīng)點始終落在邊上.若為直角三角形，則的長為．【答案】1或.考點：折疊（翻折變換）.3.（2017湖南長沙第16題）如圖，三個頂點的坐標分別為，以原點為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到，已知點的坐標是，則點的坐標是．【答案】（1，2）【解析】試題分析：根據(jù)位似變換的性質(zhì)及位似比，可知A′的坐標為（1，2）.故答案為：（1，2）考點：位似變換4.(2017山東濱州第15題)在平面直角坐標系中，點C、D的坐標分別為C(2，3)、D(1，0)．現(xiàn)以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點D的對應(yīng)點B在x軸上且OB＝2，則點C的對應(yīng)點A的坐標為_______．【答案】（4，6）或（-4，-6）.【解析】已知點D（1，0），點D的對應(yīng)點B在x軸上，且OB=2，所以位似比為2，即可得點A的坐標為（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即點A的坐標為（4，6）或（-4，-6）.5.(2017山東濱州第16題)如圖，將矩形ABCD沿GH對折，點C落在Q處，點D落在AB邊上的E處，EQ與BC相交于點F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，則△EBF周長的大小為___________．【答案】8.6.(2017遼寧沈陽第16題)如圖，在矩形中，,將矩形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，點落在矩形的邊上，連接，則的長是.【答案】.【解析】試題分析：如圖，過點C作MNBG，分別交BG、EF于點M、N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM=,在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理求得BM=，根據(jù)已知條件和輔助線作法易知四邊形BENMW為矩形，根據(jù)矩形的旋轉(zhuǎn)可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根據(jù)勾股定理求得EC=.考點：四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合題.7.（2017江蘇蘇州第18題）如圖，在矩形中，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，的對應(yīng)邊交邊于點．連接、，若，，，則（結(jié)果保留根號）．【答案】.【解析】試題分析：連接AG,設(shè)DG=x,則在中，，則考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理.8.(2017浙江舟山第7題)如圖，在平面直角坐標系中，已知點.若平移點到點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，則正確的平移方法是（）A．向左平移1個單位，在向下平移1個單位B．向左平移1個單位，在向上平移1個單位C.向右平移個單位，在向上平移1個單位D．向右平移1個單位，在向上平移1個單位【答案】D.考點：勾股定理，菱形的判定，平移的性質(zhì)，坐標與圖形變化-平移9.(2017浙江舟山第9題)一張矩形紙片，已知，小明按下圖步驟折疊紙片，則線段長為（）A．B．C.1D．2【答案】A.【解析】試題分析：由折疊可得，A'D=AD=A'E=2，則A'C'=A'C=1，則GC'是△DEA'的中位線，由勾股定理求得DE=，則GG=DE=，故選A.考點：三角形中位線定理，翻折變換（折疊問題）.10.(2017浙江舟山第16題)一副含和的三角板和疊合在一起，邊與重合，（如圖1），點為邊的中點，邊與相交于點，現(xiàn)將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），在從到的變化過程中，觀察點的位置變化，點相應(yīng)移動的路徑長為(結(jié)果保留根號)．【答案】12-18.【解析】試題分析：如圖2和圖3，在∠CGF從0°到60°的變化過程中，點H先向AB方向移，在往BA方向移，直到H與F重合（下面證明此時∠CGF=60度），此時BH的值最大，如圖3，當(dāng)F與H重合時，連接CF，因為BG=CG=GF，所以∠BFC=90度，∵∠B=30度，∴∠BFC=60度，由CG=GF可得∠CGF=60度.∵BC=12cm，所以BF=BC=6；如圖2，當(dāng)GH⊥DF時，GH有最小值，則BH有最小值，且GF//AB，連接DG，交AB于點K，則DG⊥AB，∵DG=FG，∴∠DGH=45度，則KG=KH=GH=×（×6）=3，BK=KG=3，則BH=BK+KH=3+3則點Ｈ運動的總路程為6-（3+3）+[12（-1）-（3+3）]=12-18（cm）.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).三、解答題1.(2017天津第24題)將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點.是邊上的一點（點不與點重合），沿著折疊該紙片，得點的對應(yīng)點.（1）如圖①，當(dāng)點在第一象限，且滿足時，求點的坐標；（2）如圖②，當(dāng)為中點時，求的長；（3）當(dāng)時，求點的坐標（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（1）點A’的坐標為（，1）；（2）1；（3）或.試題解析：（1）因點，點，∴OA=,OB=1.根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)可得△A’OP≌△AOP.∴OA’=OA=,由，得∠A’BO=90°. 在Rt△A’OB中，,∴點A’的坐標為（，1）.(2)在Rt△AOB中，OA=,OB=1,∴∵當(dāng)為中點，∴AP=BP=1,OP=AB=1.∴OP=OB=BP,∴△BOP是等邊三角形∴∠BOP=∠BPO=60°，∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.由（1）知，△A’OP≌△AOP，∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，又OB=PA’=1，∴四邊形OPA’B是平行四邊形.∴A’B=OP=1.(3)或.2.(2017河南第22題)如圖1，在中，，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點.（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值.【答案】（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【解析】試題分析：(1)已知點，，分別為，，的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時PN=(AD+AB)=7,PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點，分別為，的中點∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.3.（2017山東臨沂第25題）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，、是四邊形的對角線，若，則線段，，三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長到，使，連接，證得，從而容易證明是等邊三角形，故，所以.小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，從而容易證明是等比三角形，故，所以.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖4，如果把“”改為“”，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明.（2）小華提出：如圖5，如果把“”改為“”，其它條件不變，那么線段，，三者之間有何等量關(guān)系？針對小華提出的問題，請你寫出結(jié)論，不用證明.【答案】（1）BC+CD=AC（2）BC+CD=2AC?cosα【解析】試題分析：（1）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判斷∠ADE=∠ABC也可以先判斷出點A，B，C，D四點共圓）（2）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．試題解析：（1）BC+CD=AC；理由：如圖1，延長CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC?cosα．理由：如圖2，延長CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，過點A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC?cos∠ACD=AC?cosα，∴CE=2CF=2AC?cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC?cosα．考點：1、幾何變換綜合題，2、全等三角形的判定，3、四邊形的內(nèi)角和，4、等腰三角形的判定和性質(zhì)4.(2017浙江金華第19題)如圖，在平面直角坐標系