/湖南省漣源市部分高中2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．實(shí)數(shù)的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2．氧氣是人類賴以生存的物質(zhì)，一個(gè)氧原子的直徑是，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．4．長(zhǎng)沙窯創(chuàng)始于唐代，窯址首選發(fā)現(xiàn)于今湖南省長(zhǎng)沙市郊銅官鎮(zhèn)瓦渣坪，故而又稱銅官窯，晚唐至五代是其盛期，而衰于五代，產(chǎn)品以青釉為主，器物為家用尋常品，壺和罐的造型多樣，其突出成就是創(chuàng)燒了釉下彩繪裝飾新工藝．圖為一長(zhǎng)沙瓷作品，有關(guān)其三視圖下列說法正確的是（

）

A．主視圖和俯視圖相同 B．左視圖和俯視圖相同C．主視圖和左視圖相同 D．三視圖各不相同5．的平方根是（

）A．8 B． C． D．6．下列說法中，假命題的個(gè)數(shù)為（

）①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等②如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行③過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行④在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且圓O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到AB的距離等于（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米8．某數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“講數(shù)學(xué)家故事的活動(dòng)”．通過查閱資料，該社團(tuán)了解了祖沖之、劉徽、趙爽、歐幾里得這4位著名數(shù)學(xué)家的生平，知曉了他們?nèi)〉玫膫ゴ蟪删蛯?duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展起到的巨大推進(jìn)作用．現(xiàn)從這4位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)選取其中2位的故事進(jìn)行分享，則選取的2位都是中國(guó)數(shù)學(xué)家的概率是（

）A． B． C． D．9．如圖，等邊中，，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），交AC于點(diǎn)E．設(shè)，的面積是y，則y與x的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．10．定義一種新運(yùn)算：m※n＝m+①若※-x=x，則②若※12x+4=52x+1③代數(shù)式|2※-x|＋|3※-2x||9※|取得最小值時(shí)，；④函數(shù)|※x|的圖象與直線y=kx2※kx2+其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．12．分解因式：＝．13．《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化的精髓．如圖是易經(jīng)中的一個(gè)卦圖，它由8個(gè)卦組成，其中每一卦又由3根線構(gòu)成（線形為或），例如正上方的卦為，它由3根線構(gòu)成．現(xiàn)從圖中任取一卦，它是由2根和1根構(gòu)成的概率是．14．如圖，點(diǎn)A，B分別是函數(shù)和部分圖象上的點(diǎn)，軸，則的面積為．15．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為“整點(diǎn)”．特別地，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，稱“整點(diǎn)”P為“平衡整點(diǎn)”．已知點(diǎn)是一個(gè)“平衡整點(diǎn)”，則a＝．16．如圖，圓錐底面圓直徑長(zhǎng)是，母線長(zhǎng)是，一只螞蟻在圓錐表面從點(diǎn)爬到的中點(diǎn)，最短路徑長(zhǎng)是．17．某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，分別與所在圓相切于點(diǎn)．若該圓半徑是，，則的長(zhǎng)是．18．已知平行四邊形ABCD中，為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于.

三、解答題19．計(jì)算：20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．某調(diào)查小組采用隨機(jī)抽樣方法，對(duì)某市部分中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)填空：本次調(diào)查的中位數(shù)為______小時(shí)；(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（寫出求解過程）(3)請(qǐng)估計(jì)該市中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間．22．如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過點(diǎn)C作，與線段EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接CE，BD．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問四邊形是什么圖形？并說明理由．23．市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)，圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm，，，坐墊E與點(diǎn)B的距離BE為15cm．

(1)求坐墊E到地面的距離；(2)小明的腿長(zhǎng)為80cm，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，）24．“中國(guó)人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”，為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元．(1)求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？(2)若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元而不超過12萬元，應(yīng)該購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具m件，則有哪幾種購買方案？(3)在（2）的方案下，由于國(guó)家對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價(jià)0.7萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價(jià)0.2萬元，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少？25．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線PE交直線BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作x軸的平行線PF交直線BC于點(diǎn)F，求△PEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠CBQ＋∠ACO＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．如圖，是⊙O的直徑，是⊙O上異于C、D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．【認(rèn)識(shí)圖形】（1）求證：直線AB是⊙O的切線；【探索關(guān)系】（2）若，探求BC與CD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連接PC、PD，若，求PA和PE的值．

題號(hào)12345678910答案ABCCCCBCDA1．A根據(jù)給定條件，利用相反數(shù)的定義求解.【詳解】實(shí)數(shù)的相反數(shù)是.故選：A2．B根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示即可.【詳解】因?yàn)?故選：B.3．C結(jié)合冪的運(yùn)算法則，通過舉反例判斷A，B，D，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法法則判斷C．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，B錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，D錯(cuò)誤，對(duì)于C，，C正確，故選：C.4．C根據(jù)給定條件，利用幾何體的特征判斷即得.【詳解】觀察幾何體，知該幾何體繞豎直的軸線任意旋轉(zhuǎn)，圖形不變，因此該幾何體主視圖和左視圖相同，而俯視圖是幾個(gè)同心圓構(gòu)成，與主視圖、左視圖都不相同，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C5．C利用平方根的定義求解即可.【詳解】的平方根是.故選：C.6．C根據(jù)平行線、垂線的性質(zhì)，平行線公理判斷命題真假即可.【詳解】①兩條直線被第三條直線所截，只有這兩條直線相互平行時(shí)，同位角才相等，故①是假命題；②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行，故②是假命題；③過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故③是假命題；④在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故④是真命題；綜上①②③是假命題，故選：C7．B根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于，在應(yīng)用勾股定理求得，即得答案.【詳解】根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于，則，在中，，∴，∴，即點(diǎn)到弦所在直線的距離是米，故選：8．C根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率.【詳解】由題意知，祖沖之、劉徽、趙爽是中國(guó)數(shù)學(xué)家，歐幾里得不是中國(guó)數(shù)學(xué)家，從4位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)選取2位是中國(guó)數(shù)學(xué)家的情況有：(祖沖之,劉徽)、(祖沖之,趙爽)、(趙爽,劉徽)，共3種，從4位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)選取2位數(shù)學(xué)家的總情況有：(祖沖之,劉徽)、(祖沖之,趙爽)、(趙爽,劉徽)、(祖沖之,歐幾里得)、(劉徽,歐幾里得)、(趙爽,歐幾里得)，共6種，所以從4位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)選取其中2位是中國(guó)數(shù)學(xué)家的概率是.故選：C9．D根據(jù)給定條件，求出函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)的圖象.【詳解】在等邊中，，則是等邊三角形，，作交于點(diǎn)，則邊上的高，因此的面積是，所以y與x的函數(shù)圖象是開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線的一部分，D正確.故選：D10．A對(duì)①，根據(jù)新定義運(yùn)算判斷；對(duì)②，根據(jù)新定義運(yùn)算判斷；對(duì)③，根據(jù)新定義分，，，討論求解；對(duì)④，根據(jù)新定義分，，討論，數(shù)形結(jié)合求解判斷.【詳解】對(duì)于①，由新定義※-x=-9-x=x對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，則，所以※12x+4=52x+1<7對(duì)于③，|2※|＋|3※|++|9※3x|=2-x當(dāng)時(shí)，2-x+當(dāng)時(shí)，2-x+當(dāng)時(shí)，2-x+當(dāng)時(shí)，2-x+所以代數(shù)式|2※|＋|3※|++|9※3x|取得最小值時(shí)，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，|※|=2x，y=kx2當(dāng)時(shí)，y=kx2+k所以與在第二象限必有一個(gè)交點(diǎn)，則在第一象限只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立得，則，∴Δ=2-k2

當(dāng)時(shí)，y=kx2+k

當(dāng)時(shí)，y=k對(duì)稱軸為，開口向上，如圖，必有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上，函數(shù)|※|的圖象與y=kx2※kx2+kx+2-k有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則綜上，正確的個(gè)數(shù)有1個(gè).故選：A.11．二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)可得，即，所以代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.故答案為：.12．利用提公因式法及公式法分解因式.【詳解】.故答案為：13．由古典概型的概率計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】從8個(gè)卦中任取一卦，基本事件總數(shù)，其中由2根和1根構(gòu)成的基本事件個(gè)數(shù)，所以從圖中任取一卦，它是由2根和1根構(gòu)成的概率是.故答案為：.14．根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)出求出三角形面積.【詳解】設(shè)，由軸，得，解得，，而邊上的高，所以的面積.故答案為：15．根據(jù)平衡整點(diǎn)的定義，列方程即可求解.【詳解】由題意可得,化簡(jiǎn)可得，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不是整點(diǎn)，舍去，故，故答案為：16．求出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，再求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的大小，結(jié)合展開圖求結(jié)論.【詳解】由已知，圓錐的底面圓的半徑為，所以底面圓的周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形的圓心角為，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得，解得：，所以展開圖中，由勾股定理可得，所以該螞蟻在圓錐表面從點(diǎn)爬到的中點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)是，故答案為：17．設(shè)圓心為，連接,先由相切得，再由四邊形內(nèi)角和求出，則優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，進(jìn)而求得優(yōu)弧的長(zhǎng).【詳解】如圖，設(shè)圓心為，連接,因?yàn)榉謩e與所在圓相切于點(diǎn)．所以,因?yàn)椋?優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，所以優(yōu)弧的長(zhǎng)是故答案為：18．過作，交的延長(zhǎng)線于，利用三點(diǎn)共線時(shí)直線最短即可求解.【詳解】過作，交的延長(zhǎng)線于，

，四邊形ABCD為平行四邊形，，又，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)，所以得最小值為.故答案為：.19．根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】原式.20．；根據(jù)多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)原式為，再將代入計(jì)算，即可求解.【詳解】解：由＝，當(dāng)時(shí)，原式．21．(1)1(2)作圖見解析(3)小時(shí)．（1）先由扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖得到運(yùn)動(dòng)0.5小時(shí)的人數(shù)及所占比例，求出總?cè)藬?shù)；再根據(jù)中位數(shù)定義求解即得；（2）由（1）中的總?cè)藬?shù)求出1.5小時(shí)的人數(shù)即得對(duì)應(yīng)的條形的高；（3）由總時(shí)間除以總?cè)藬?shù)即得.【詳解】（1）由題意可得：小時(shí)的人數(shù)為：100人，所占比例為：，，∴本次調(diào)查共抽樣了500名學(xué)生；由條形統(tǒng)計(jì)圖得：第250名、第251名學(xué)生的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為1小時(shí)，∴中位數(shù)小時(shí)，故答案為：1；（2）1.5小時(shí)的人數(shù)為：（人）.補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：（3）根據(jù)題意得：，即該市中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間約小時(shí)．22．(1)證明見解析；(2)四邊形是菱形，理由見解析.（1）根據(jù)給定條件，利用全等三角形性質(zhì)、平行四邊形的判定推理得證.（2）由（1）的結(jié)論，利用等邊三角形性質(zhì)、菱形的判定判斷即可.【詳解】（1）由點(diǎn)F是的中點(diǎn)，得，由，得，則，因此，又，所以四邊形是平行四邊形.（2）由，得，由，得是等邊三角形，則，又四邊形是平行四邊形，則四邊形是菱形，所以當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形.23．(1)(2)（1）根據(jù)給定條件，利用直角三角形邊角關(guān)系求出E到地面的距離.（2）利用直角三角形邊角關(guān)系求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng).【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，

依題意，，，在中，EM=EC所以坐墊到地面的距離為.（2）如圖，過作于，當(dāng)時(shí)，人騎行最舒服，在中，CE'所以.24．(1)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具萬元．(2)答案見解析(3)購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件需要的資金最少，最少資金是萬元．（1）根據(jù)題意，設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具x萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具y萬元，列方程組求解即可.（2）根據(jù)題意，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具m件，購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具件，列不等式組求解即可.（3）根據(jù)題意，設(shè)需要的資金為w萬元，列出資金w關(guān)于農(nóng)機(jī)具件數(shù)m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析即可求解.【詳解】（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具x萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具y萬元．根據(jù)題意得，解得答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具1.5萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具0.5萬元.（2）設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具m件，購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具件，根據(jù)題意得，解得．因?yàn)閙為整數(shù)，所以m