專題08動量目錄目錄01知識腦圖·學(xué)科框架速建02考點精析·知識能力全解【知能解讀01】動量和動量定理一、動量

二、沖量

三、動量變化量

四、動量定理

五、動量定理的應(yīng)用【知能解讀02】動量守恒定律及其應(yīng)用一、動量守恒定律

二、動量守恒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用

三、反沖

四、爆炸

【核心考點】碰撞的分類以及應(yīng)用03攻堅指南·高頻考點突破【重難點突破01】滑塊-彈簧模型【重難點突破02】子彈打木塊模型04避坑錦囊·易混易錯診療【易混易錯01】滑塊-木板模型的臨界問題【易混易錯02】動量定理的應(yīng)用——流體類模型05通法提煉·高頻思維拆解【方法技巧01】人船模型——微積分思想在動量中的應(yīng)用【方法技巧02】滑塊-斜面（曲面）模型——相對運動與臨界問題01動量和動量定理一、動量1.定義：物體的質(zhì)量和速度的乘積，用字母p表示。其定義式為p=mv，單位是千克·米每秒，符號是kg·m/s。2.性質(zhì)：瞬時性通常說物體的動量是物體在某一時刻或某一位置的動量，所以說動量具有瞬時性，是狀態(tài)量。矢量性動量具有方向，其方向與速度的方向相同，其運算遵循平行四邊形定則。相對性動量具有相對性，選取不同的參考系，同一物體的速度可能不同，物體的動量也就不同。通常在不說明參考系的情況下，物體的動量是指相對地面的動量。注意：動量與動能的關(guān)系區(qū)別動量是矢量，從運動物體的作用效果方面描述物體的狀態(tài)，動量的變化因素是合外力的沖量；動能是標(biāo)量，從能量的角度描述物體的狀態(tài)，動能的變化因素是合外力所做的功。聯(lián)系動量和動能都是描述物體運動狀態(tài)的物理量，且p＝eq\r(2mEk)或Ek＝eq\f(p2,2m)都是相對量，與參考系的選取有關(guān)，通常選取地面為參考系若物體的動能發(fā)生變化，則動量一定也發(fā)生變化；但動量發(fā)生變化時動能不一定發(fā)生變化?！靖櫽?xùn)練】（2025·廣東廣州·三模）所謂“雙星”就是兩顆相距較近的恒星，這兩顆星在彼此之間萬有引力作用下，各自以一定的速率始終繞它們連線上的某點轉(zhuǎn)動，則（）A．兩顆星做圓周運動的半徑之比等于它們質(zhì)量之比B．兩顆星速度大小之比等于它們質(zhì)量的反比C．兩顆星的動能之比等于它們做圓周運動的半徑的反比D．兩顆星的動量始終相同二、沖量1.定義：力和力的作用時間的乘積。用字母I表示沖量，其定義式為I=Ft，在國際單位制中，沖量的單位是?！っ?，符號為N·s?！咀⒁狻縄＝Ft適用于求恒力的沖量。性質(zhì)：沖量是矢量，方向與力的方向相同，計算滿足平行四邊形法則。反映力的作用對時間的累積效應(yīng)。對沖量的理解（1）沖量是力在一段時間內(nèi)的積累，是過程量，其大小取決于力和時間這兩個因素，求解時一定要明確是哪一個力在那一段時間內(nèi)的沖量。（2）由于力與時間均與參考系無關(guān)，則沖量與參考系無關(guān)，具有絕對性。（3）物理意義：反映力的作用對時間的累積效應(yīng)。4.沖量的計算方法（1）求恒力的沖量（公式法）：該力的沖量的數(shù)值等于力與力的作用時間的乘積，沖量的方向與恒力的方向一致。I＝FΔt，無需考慮物體的運動狀態(tài)。（2）求變力的沖量：①若該力的方向不變、大小隨時間均勻變化，即力為時間的一次函數(shù)，該力的沖量可以用該力在作用時間內(nèi)的平均值計算，即用力的平均值F代替F，公式：②利用F-t圖像的面積求解。F-t圖線與t軸所圍圖形的面積表示力的沖量。注意：動量定理法：物體所受合力的沖量等于物體動量的變化量，即I＝p′－p。適用于一切情況。（3）求合力的沖量①可分別求每一個力的沖量，再求各沖量的矢量和。②如果各個力的作用時間相同，也可以先求合力，再用公式I合=F合Δt求解。注意：沖量和功的比較物理量沖量功定義作用在物體上的力和力作用時間的乘積作用在物體上的力和物體在力的方向上的位移的乘積單位N·sJ公式(F為恒力)(F為恒力)性質(zhì)矢量標(biāo)量意義表示力對時間的累積；是動量變化的量度表示力對空間的累積；是能量變化的量度作用效果改變物體的動量改變物體的動能聯(lián)系都是過程量，都與力的作用過程相聯(lián)系【跟蹤訓(xùn)練】（2025·陜西漢中·三模）一物體豎直向上拋出，從開始拋出到落回拋出點所經(jīng)歷的時間是t，上升的最大高度是H，所受空氣阻力大小恒為F，則在時間t內(nèi)（）A．物體受重力的沖量為零B．物體動量的增量大于拋出時的動量C．在上升過程中空氣阻力對物體的沖量比下降過程中的沖量大D．物體機械能的減小量等于FH三、動量變化量1.定義：動量的變化量是指物體在某段時間內(nèi)末動量與初動量的矢量差，是矢量，其方向與速度的改變量Δv相同。表達式：Δp=p2-p1為矢量式，運算遵循平行四邊形定則。【注意】因為p＝mv是矢量，只要m的大小、v的大小和v的方向三者中任何一個發(fā)生了變化，動量p就發(fā)生變化。2.動量變化量的理解和計算當(dāng)物體做直線運動時，只需選定正方向，與正方向相同的動量取正，反之取負。若Δp是正值，就說明Δp的方向與所選正方向相同；若Δp是負值，則說明Δp的方向與所選正方向相反。當(dāng)初、末狀態(tài)動量不在一條直線上時，可按平行四邊形定則求Δp的大小和方向?【跟蹤訓(xùn)練】（2025·甘肅慶陽·三模）質(zhì)量為m的列車以額定功率P0在平直軌道上做加速運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度，設(shè)列車受到的阻力恒為Ff，則在時間t內(nèi)（）A．列車做勻加速直線運動 B．牽引力做的功為P0tC．列車的位移小于- D．列車的動量變化量為m四、動量定理1.定義：物體在一個過程中所受合外力的沖量等于該物體在這個過程中動量的變化量。說明：這里說的“合外力的沖量”指的是各外力的合力的沖量，或者是各外力的沖量的矢量和。2.表達式：I=p2-p1或Ft=mv2-mv1。表達式是矢量式，等號包含了大小相等、方向相同兩方面的意思。公式中的F是物體所受的合外力，若合外力是變力，則F應(yīng)是合外力在作用時間內(nèi)的平均值。3.關(guān)于I=Δp=p2-p1的幾點說明a.合外力的沖量I是原因，動量的變化量Δp是結(jié)果。b.物體動量的變化量Δp的大小和方向與合外力的沖量I的大小和方向均相同。c.合外力的沖量I與初動量p1、末動量p2的大小和方向均無必然聯(lián)系?！靖櫽?xùn)練】（2025·寧夏銀川·模擬預(yù)測）我國新能源汽車技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，2025年某企業(yè)有一款新上市的新能源汽車，在粗糙路面的啟動階段可看做初速度為零的勻加速直線運動。在啟動階段，則下列說法中正確的是（）A．該車牽引力的沖量等于它動量的變化B．開車時系好安全帶能減小剎車時人的動量變化C．該車的動量與它的加速度成正比D．該車的動量與它經(jīng)歷的時間成正比五、動量定理的應(yīng)用1.定性分析有關(guān)現(xiàn)象：①物體的動量變化量一定時，力的作用時間越短，力就越大；力的作用時間越長，力就越小。②作用力一定時，力的作用時間越長，動量變化量越大；力的作用時間越短，動量變化量越小。2.定量計算某過程中合外力的沖量或動量變化量：根據(jù)動量定理，一個物體的動量變化量?p與合外力的沖量大小相等，方向相同，據(jù)此有I合=?3.求流體問題或粒子流問題：解決這類問題等的持續(xù)作用時，需以“流體”、“粒子流”等為研究對象，方法為：選取“柱狀”模型，利用微元法來求解（分析方法為：選取一小段時間內(nèi)（Δt）的連續(xù)體為研究對象；確定Δt內(nèi)連續(xù)體的質(zhì)量Δm與Δt的關(guān)系式，若連續(xù)體密度為ρ，則Δm＝ρΔV＝ρSvΔt；分析連續(xù)體的受力情況和動量的變化情況；應(yīng)用動量定理列出數(shù)學(xué)表達式；求解并分析和討論結(jié)果。）注意：應(yīng)用動量定理的解題思路【跟蹤訓(xùn)練】（2025·山西臨汾·三模）一物塊靜止在粗糙水平地面上，0~4s內(nèi)所受水平拉力隨時間的變化關(guān)系圖像如圖甲所示，0~2s內(nèi)速度—時間圖像如圖乙所示，取重力加速度g=10m/s2，關(guān)于物塊的運動。下列說法正確的是（）A．前2s內(nèi)拉力做的功為12JB．前4s內(nèi)拉力的沖量為C．前4s內(nèi)物塊一直在運動D．物塊在4s末減速為零02動量守恒定律及其應(yīng)用1.系統(tǒng)、內(nèi)力和外力(1)系統(tǒng)：由兩個(或多個)相互作用的物體構(gòu)成的整體叫作一個力學(xué)系統(tǒng)，簡稱系統(tǒng)。(2)內(nèi)力：系統(tǒng)中物體間的相互作用力。(3)外力：系統(tǒng)以外的物體施加給系統(tǒng)內(nèi)物體的力?！咀⒁狻吭谘芯慷鄠€物體的相互作用（復(fù)雜過程）時，有時分析每一個物體的受力情況比較難，也容易出錯，這時可以把若干個物體看成一個系統(tǒng)，這樣復(fù)雜的問題就會變簡單，因此在解決復(fù)雜的問題時，要根據(jù)實際需要和求解問題的方便程度，合理選擇系統(tǒng)。2.動量守恒定律(1)內(nèi)容：一個系統(tǒng)不受外力或者所受合外力為0時，這個系統(tǒng)的總動量保持不變。(2)表達式：對兩個物體組成的系統(tǒng)，m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'。(3)守恒條件a.系統(tǒng)不受外力或者所受外力的矢量和為零。b.系統(tǒng)所受合外力遠小于系統(tǒng)內(nèi)力時，外力的作用可忽略，近似認為系統(tǒng)動量守恒。c.系統(tǒng)所受合外力不為0，但在某一方向上受到的合外力為0，則系統(tǒng)在這一方向上動量守恒。補充：動量守恒定律的四種表達式m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2選定正方向，將式中各矢量轉(zhuǎn)化為代數(shù)量，用正、負符號表示各自的方向，式中的速度均為瞬時速度，均以地球為參考系。p＝p′系統(tǒng)相互作用前的總動量p和相互作用后的總動量p′大小相等、方向相同。系統(tǒng)總動量的求法遵循平行四邊形法則。Δp＝p′－p＝0系統(tǒng)總動量的增量為零。Δp1＝－Δp2相互作用的系統(tǒng)內(nèi)中的一部分動量的增加量等于另一部分動量的減少量。補充：對動量守恒條件的理解理想條件系統(tǒng)不受外力作用時，系統(tǒng)動量守恒。系統(tǒng)不受外力的條件可放寬至系統(tǒng)所受外力之和為零。近似條件系統(tǒng)所受合外力不為零時，但系統(tǒng)的內(nèi)力遠大于外力，系統(tǒng)的動量可看成近似守恒。比如碰撞、爆炸等現(xiàn)象。實際條件系統(tǒng)所受合外力為0。單方向的守恒條件系統(tǒng)在某一方向上符合以上兩條中的某一條，則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。某階段守恒條件全過程的某一階段系統(tǒng)受的合外力為零，則該階段系統(tǒng)動量守恒。補充：單方向動量守恒常見模型(地面均光滑)：?

【跟蹤訓(xùn)練】（2025·河南·高考真題）兩小車P、Q的質(zhì)量分別為和，將它們分別與小車N沿直線做碰撞實驗，碰撞前后的速度v隨時間t的變化分別如圖1和圖2所示。小車N的質(zhì)量為，碰撞時間極短，則（）A． B． C． D．二、動量守恒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用1.動量守恒定律的推導(dǎo)水平桌面上有兩個小球，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，沿著水平向右的方向做勻速直線運動，它們的速度分別是v1和v2，且v2＞v1。當(dāng)質(zhì)量為m2的小球追上質(zhì)量為m1的小球時兩球發(fā)生碰撞，碰后兩球的速度分別為v1′和v2′，如下圖所示：設(shè)碰撞過程中質(zhì)量為m1的小球受到質(zhì)量為m2的小球?qū)λ淖饔昧κ荈1，質(zhì)量為m2的小球受到質(zhì)量為m1的小球?qū)λ淖饔昧κ荈2。相互作用時間為t，根據(jù)動量定理，有：F1t＝m1(v1′－v1)；F2t＝m2(v2′－v2)因為F1與F2是兩球間的相互作用力，根據(jù)牛頓第三定律有：F1＝－F2，則m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′，即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。注意：對動量守恒定律應(yīng)用問題的分析1.動量守恒中的速度在應(yīng)用動量守恒定律時，關(guān)于速度，需注意以下幾個問題。(以兩個物體組成的系統(tǒng)的動量守恒為例，有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2')(1)速度的矢量性：需先規(guī)定正方向，根據(jù)規(guī)定的正方向把各速度的正負代入；(2)速度的同時性：式中的v1、v2為作用前兩物體同一時刻的速度，v1'、v2'為作用后兩物體同一時刻的速度；(3)速度的同一性：各速度均以地面為參考系，若題目中給出的是兩物體之間的相對速度，可利用下式把相對速度轉(zhuǎn)化為對地速度，vA對地=vA對B+vB對地。2.碰撞中的“時間極短”的含義“時間極短”是一種特定的物理語言，是碰撞問題中的一個隱含條件，正確理解和利用碰撞中“時間極短”這個隱含條件，往往是解決問題的關(guān)鍵。由于某些物理量在極短時間內(nèi)的變化可以忽略，因此，“時間極短”時可近似處理一些問題。3.多物體、多過程問題中動量守恒定律的應(yīng)用(1)物理過程的多變性，往往使問題復(fù)雜化，解題時我們可以通過對物理過程的正確分析，把一個復(fù)雜的過程分解為幾個簡單的子過程，對每一個子過程，選擇合適的物理規(guī)律求解，通常要結(jié)合機械能守恒定律、能量守恒定律。(2)在某些情況下，我們不但要研究若干物體組成的大系統(tǒng)，還要根據(jù)題目的要求以及守恒條件選擇某個子系統(tǒng)進行研究，這就需要把復(fù)雜的大系統(tǒng)恰當(dāng)?shù)貏澐譃楹唵蔚淖酉到y(tǒng)?！靖櫽?xùn)練】（2014·福建·高考真題）一枚火箭搭載著衛(wèi)星以速率v0進入太空預(yù)定位置，由控制系統(tǒng)使箭體與衛(wèi)星分離．已知前部分的衛(wèi)星質(zhì)量為m1，后部分的箭體質(zhì)量為m2，分離后箭體以速率v2沿火箭原方向飛行，若忽略空氣阻力及分離前后系統(tǒng)質(zhì)量的變化，則分離后衛(wèi)星的速率v1為（）A．v0-v2 B．v0+v2 C． D．三、反沖1.定義：一個靜止的物體在內(nèi)力的作用下分裂為兩部分，一部分向某個方向運動，另一部分必然向相反的方向運動的現(xiàn)象。規(guī)律（1）相互作用：反沖運動是系統(tǒng)內(nèi)兩物體之間的作用力和反作用力產(chǎn)生的效果。（2）動量守恒：反沖運動中，相互作用力一般較大，通?？梢杂脛恿渴睾愣蓙硖幚?。（3）機械能增加：反沖運動中，由于有其他形式的能轉(zhuǎn)化為機械能，所以系統(tǒng)的總機械能增加?！咀⒁狻克俣鹊姆聪蛐裕喝粝到y(tǒng)原來靜止，拋出部分具有速度時，剩余部分的反沖是相對于拋出部分而言的，兩者速度方向相反，可任意規(guī)定某一部分的運動方向為正方向，列出動量守恒方程。速度的相對性：在反沖運動中，若已知條件是物體間的相對速度，利用動量守恒定律列方程時，應(yīng)將相對速度轉(zhuǎn)化為絕對速度(一般設(shè)為對地速度)?；鸺?）原理：利用反沖運動，火箭燃料燃燒產(chǎn)生的高溫、高壓燃氣從尾部噴管迅速噴出，使火箭獲得巨大速度。（2）影響因素：①噴氣速度；②質(zhì)量比（火箭起飛時的質(zhì)量與火箭除燃料外的箭體質(zhì)量之比．噴氣速度越大，質(zhì)量比越大，火箭獲得的速度越大）。【注意】變質(zhì)量問題：在反沖運動中還常遇到變質(zhì)量物體的運動，如在火箭的運動過程中，隨著燃料的消耗，火箭本身的質(zhì)量不斷減小，此時必須取火箭本身和在相互作用的短時間內(nèi)噴出的所有氣體為研究對象，取相互作用的這個過程為研究過程來進行研究?；鸺龁栴}：①火箭在運動過程中，隨著燃料的燃燒，火箭本身的質(zhì)量不斷減小，故在應(yīng)用動量守恒定律時，必須取在同一相互作用時間內(nèi)的火箭和噴出的氣體為研究對象；②注意反沖前、后各物體質(zhì)量的變化；③明確兩部分物體初、末狀態(tài)的速度的參考系是否為同一參考系，如果不是同一參考系要設(shè)法予以轉(zhuǎn)換，一般情況要轉(zhuǎn)換成對地的速度。列方程時要注意初、末狀態(tài)動量的方向?！靖櫽?xùn)練】（2025·四川達州·模擬預(yù)測）2024年10月30日11時，神舟十九號飛船與中國空間站完成自主交會對接，在交會對接前的最后階段，神舟十九號與空間站在同一軌道上同向運動，兩者的運行軌道均視為圓形軌道。要使神舟十九號在同一軌道上追上空間站實現(xiàn)對接，下列神舟十九號噴射燃氣的方向可能正確的是（）A． B．C． D．四、爆炸1.特點：物體間的相互作用突然發(fā)生，作用時間很短，系統(tǒng)內(nèi)部作用力很大，且遠大于系統(tǒng)受的外力，故可用動量守恒定律來處理。2、規(guī)律動量守恒：系統(tǒng)的內(nèi)力遠遠大于外力，外力可忽略不計，系統(tǒng)的總動量守恒。動能增加：在爆炸過程中，有其他形式的能量（如化學(xué)能）轉(zhuǎn)化為動能。位置不變：由于爆炸問題作用時間很短，作用過程中物體的位移很小，一般可忽略不計，可以把作用過程作為一個理想化過程簡化處理，認為爆炸后還從作用前瞬間的位置以新的動量開始運動?！靖櫽?xùn)練】（2022·江蘇·高考真題）利用云室可以知道帶電粒子的性質(zhì)，如圖所示，云室中存在磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，一個質(zhì)量為m、速度為v的電中性粒子在A點分裂成帶等量異號電荷的粒子a和b，a、b在磁場中的徑跡是兩條相切的圓弧，相同時間內(nèi)的徑跡長度之比，半徑之比，不計重力及粒子間的相互作用力，求：（1）粒子a、b的質(zhì)量之比；（2）粒子a的動量大小。碰撞的分類以及應(yīng)用一、碰撞1.定義：碰撞指的是兩個物體在很短的時間內(nèi)發(fā)生相互作用?！咀⒁狻颗鲎睬爸傅氖羌磳l(fā)生碰撞那一時刻，而不是發(fā)生碰撞前的某一時刻；碰撞后指的是碰撞剛剛結(jié)束的那一時刻，而不是發(fā)生碰撞后的某一時刻。特點時間特點：在碰撞現(xiàn)象中，相互作用時間很短。相互作用力的特點：在碰撞過程中物體間的相互作用力先是急劇增大，然后再急劇減小，即相互作用力為變力，作用時間短，作用力很大，且遠遠大于系統(tǒng)的外力。動量守恒的特點：碰撞過程即使系統(tǒng)所受外力之和不為零，但是系統(tǒng)內(nèi)力遠大于外力，所以外力可以忽略，滿足動量近似守恒的條件，故均可用動量守恒定律來處理。位移特點：由于碰撞過程是在一瞬間發(fā)生的，時間極短，所以，在物體發(fā)生碰撞瞬間，可忽略物體的位移，即認為物體在碰撞、爆炸前后仍在同一位置，但速度發(fā)生了突變。能量特點：在碰撞過程中，沒有其他形式的能轉(zhuǎn)化為機械能，則系統(tǒng)碰撞后的總機械能不可能大于碰撞前系統(tǒng)的總機械能。遵循原則(1)動量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′。(2)動能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或eq\f(p\o\al(2,1),2m1)＋eq\f(p\o\al(2,2),2m2)≥eq\f(p1′2,2m1)＋eq\f(p2′2,2m2).(3)速度要合理①若碰前兩物體同向運動，則應(yīng)有v后>v前，碰后原來在前的物體速度一定增大，若碰后兩物體同向運動，則應(yīng)有v前′≥v后′。②碰前兩物體相向運動，碰后兩物體的運動方向不可能都不改變二、對心碰撞和非對心碰撞1.對心碰撞如圖所示，一個運動的球與一個靜止的球碰撞，碰撞之前球的運動速度與兩球心的連線在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度仍會沿著這條直線。這種碰撞稱為正碰，也叫對心碰撞。非對心碰撞如圖所示，一個運動的球與一個靜止的球碰撞，如果碰撞之前球的運動速度與兩球心的連線不在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度都會偏離原來兩球心的連線。這種碰撞稱為非對心碰撞。三、彈性碰撞和非彈性碰撞1.彈性碰撞（1）“動碰動”彈性碰撞發(fā)生彈性碰撞的兩個物體碰撞前后動量守恒，動能守恒，若兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，碰前速度為v1，v2，碰后速度分別為v1ˊ，v2ˊ，則有：(1)(2)

聯(lián)立（1）、（2）解得：v1’=，v2’=.特殊情況：若m1=m2，v1ˊ=v2，v2ˊ=v1.（2）“動碰靜”彈性碰撞的結(jié)論兩球發(fā)生彈性碰撞時應(yīng)滿足動量守恒和機械能守恒。以質(zhì)量為m1、速度為v1的小球與質(zhì)量為m2的靜止小球發(fā)生正面彈性碰撞為例，則有m1v1＝m1v1′＋m2v2′（1）eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2（2）解得：v1′＝eq\f(（m1－m2）v1,m1＋m2)，v2′＝eq\f(2m1v1,m1＋m2)結(jié)論：(1)當(dāng)m1＝m2時，v1′＝0，v2′＝v1(質(zhì)量相等，速度交換)(2)當(dāng)m1＞m2時，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑)(3)當(dāng)m1＜m2時，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反彈)(4)當(dāng)m1?m2時，v1′＝v0，v2′＝2v1(極大碰極小，大不變，小加倍)(5)當(dāng)m1?m2時，v1′＝－v1，v2′＝0(極小碰極大，小等速率反彈，大不變)2.非彈性碰撞和完全非彈性碰撞（1）非彈性碰撞：介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞之間的碰撞。動量守恒，碰撞系統(tǒng)動能損失。根據(jù)動量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ(1)損失動能ΔEk，根據(jù)機械能守恒定律可得：m1v12+m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ2+ΔEk.(2)（2）完全非彈性碰撞碰后物體的速度相同，根據(jù)動量守恒定律可得：m1v1+m2v2=(m1+m2)v共（1）完全非彈性碰撞系統(tǒng)損失的動能最多，損失動能：ΔEk=?m1v12+?m2v22-?(m1+m2)v共2（2）聯(lián)立（1）、（2）解得：v共=；ΔEk=注意：碰撞的類型及遵從的規(guī)律類型遵從的規(guī)律彈性碰撞動量守恒，機械能守恒非彈性碰撞動量守恒，機械能有損失完全非彈性碰撞動量守恒，機械能損失最大，碰后速度相同注意：爆炸模型與碰撞模型的比較情形碰撞爆炸不同點碰撞過程中沒有其他形式的能轉(zhuǎn)化為機械能，系統(tǒng)的動能不會增加爆炸過程中往往有化學(xué)能轉(zhuǎn)化為動能，系統(tǒng)的動能增加相同點時間特點相互作用時間很短相互作用力特點物體間的相互作用力先是急劇增大，然后再急劇減小，平均作用力很大系統(tǒng)動量的特點系統(tǒng)的內(nèi)力遠遠大于外力，外力可忽略不計，系統(tǒng)的總動量守恒位移特點由于碰撞、爆炸過程是在一瞬間發(fā)生的，時間極短，所以，在物體發(fā)生碰撞、爆炸的瞬間，可認為物體在碰撞、爆炸后仍在同一位置【跟蹤訓(xùn)練】（2025·江蘇·高考真題）如圖所示，在光滑水平面上，左右兩列相同的小鋼球沿同一直線放置。每列有n個。在兩列鋼球之間，一質(zhì)量為m的玻璃球以初速度向右運動，與鋼球發(fā)生正碰。所有球之間的碰撞均視為彈性碰撞。(1)若鋼球質(zhì)量為m，求最右側(cè)的鋼球最終運動的速度大?。?2)若鋼球質(zhì)量為，求玻璃球與右側(cè)鋼球發(fā)生第一次碰撞后，玻璃球的速度大??；(3)若鋼球質(zhì)量為，求玻璃球經(jīng)歷次碰撞后的動能。01滑塊（小球）—彈簧模型模型速度—時間圖像規(guī)律情況一：從原長到最短（或最長）時①；②情況二：從原長先到最短（或最長）再恢復(fù)原長時①；②(1)對于光滑水平面上的彈簧類問題，在作用過程中，系統(tǒng)所受的合外力為零，滿足動量守恒的條件。(2)整個過程涉及彈性勢能、動能，還可能涉及內(nèi)能的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用能量守恒定律解決此類問題。(3)彈簧壓縮至最短時，彈簧連接的兩物體速度相同，此時彈簧的彈性勢能最大?！咀⒁狻颗R界思想：A、B兩物體相距最近時，兩物體速度必定相等，此時彈簧最短，其壓縮量最大。【跟蹤訓(xùn)練】（2022·全國乙卷·高考真題）如圖（a），一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上：物塊B向A運動，時與彈簧接觸，到時與彈簧分離，第一次碰撞結(jié)束，A、B的圖像如圖（b）所示。已知從到時間內(nèi)，物塊A運動的距離為。A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同。斜面傾角為，與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求（1）第一次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；（2）第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；（3）物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù)。02子彈打木塊模型模型圖例2.模型特點(1)子彈打木塊的過程很短暫，認為該過程內(nèi)力遠大于外力，系統(tǒng)動量守恒．(2)在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統(tǒng)機械能不守恒，機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化3.情景分析：子彈以水平速度射向原來靜止的木塊，并留在木塊中跟木塊共同運動。這是一種完全非彈性碰撞。設(shè)平均阻力大小為，設(shè)子彈、木塊的位移大小分別為、，如圖所示，顯然有，對子彈用動能定理：對木塊用動能定理：則有：，這個式子的物理意義是：恰好等于系統(tǒng)動能的損失；根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)動能的損失應(yīng)該等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加；可見，即兩物體由于相對運動而摩擦產(chǎn)生的熱（機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能），等于摩擦力大小與兩物體相對滑動的路程的乘積。4.結(jié)果討論(1)子彈留在木塊中(未穿出)若d=L（木塊的長度）時，說明子彈剛好穿過木塊，子彈和木塊具有共同速度v。若d＜L（木塊的長度）時，說明子彈未能穿過木塊，最終子彈留在木塊中，子彈和木塊具有共同速度v。①動量守恒：mv0＝(m＋M)v②機械能損失(摩擦生熱)Q熱＝Ff·d＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(m＋M)v2其中d為子彈射入木塊的深度．(2)子彈穿出木塊若d＞L（木塊的長度）時，說明子彈能穿過木塊，子彈射穿木塊時的速度大于木塊的速度。設(shè)穿過木塊后子彈的速度為v1，木塊的速度為v2，則有：①動量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②機械能的損失(摩擦生熱)Q熱＝Ff·L＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv12－eq\f(1,2)Mv22【注意】由上式不難求得平均阻力的大?。?，木塊前進的距離：。從牛頓運動定律和運動學(xué)公式出發(fā)，也可以得出同樣的結(jié)論。由于子彈和木塊都在恒力作用下做勻變速運動，位移與平均速度成正比：，一般情況下，所以s2<<d。這說明，在子彈射入木塊過程中，木塊的位移很小，可以忽略不計。該模型的臨界問題為：子彈在木塊內(nèi)部，兩者速度相等?！靖櫽?xùn)練】（2024·湖北·高考真題）如圖所示，在光滑水平面上靜止放置一質(zhì)量為M、長為L的木塊，質(zhì)量為m的子彈水平射入木塊。設(shè)子彈在木塊內(nèi)運動過程中受到的阻力不變，其大小f與射入初速度大小成正比，即（k為已知常數(shù)）。改變子彈的初速度大小，若木塊獲得的速度最大，則（）A．子彈的初速度大小為B．子彈在木塊中運動的時間為C．木塊和子彈損失的總動能為D．木塊在加速過程中運動的距離為01滑塊-木板模型的臨界問題模型圖例x1x1v0x2x相對m1m2v共v共速度-時間圖像動力學(xué)常用關(guān)系功能常用關(guān)系或動量常用關(guān)系模型特點：把滑塊、木板看成一個整體，摩擦力為內(nèi)力，在光滑水平面上滑塊和木板組成的系統(tǒng)動量守恒。由于摩擦生熱，機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，系統(tǒng)機械能不守恒，根據(jù)能量守恒定律，機械能的減少量等于因摩擦而產(chǎn)生的熱量，ΔE＝Ff·s相對，其中s相對為滑塊和木板相對滑動的路程?！咀⒁狻咳艋瑝K不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，機械能損失最多?；瑝K—木板模型與子彈打木塊模型類似，都是通過系統(tǒng)內(nèi)的滑動摩擦力相互作用，系統(tǒng)所受的外力為零或內(nèi)力遠大于外力，動量守恒.當(dāng)滑塊不滑離木板或子彈不穿出木塊時，兩物體最后有共同速度，相當(dāng)于完全非彈性碰撞，機械能損失最多。臨界思想：當(dāng)滑塊與木板相對靜止時，兩者的速度必相等。【跟蹤訓(xùn)練】（2023·遼寧·高考真題）如圖，質(zhì)量m1=1kg的木板靜止在光滑水平地面上，右側(cè)的豎直墻面固定一勁度系數(shù)k=20N/m的輕彈簧，彈簧處于自然狀態(tài)。質(zhì)量m2=4kg的小物塊以水平向右的速度滑上木板左端，兩者共速時木板恰好與彈簧接觸。木板足夠長，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈性勢能Ep與形變量x的關(guān)系為。取重力加速度g=10m/s2，結(jié)果可用根式表示。（1）求木板剛接觸彈簧時速度的大小及木板運動前右端距彈簧左端的距離x1；（2）求木板與彈簧接觸以后，物塊與木板之間即將相對滑動時彈簧的壓縮量x2及此時木板速度v2的大??；（3）已知木板向右運動的速度從v2減小到0所用時間為t0。求木板從速度為v2時到之后與物塊加速度首次相同時的過程中，系統(tǒng)因摩擦轉(zhuǎn)化的內(nèi)能U（用t0表示）。

02動量定理的應(yīng)用——流體類模型所謂的“流體”類問題是指研究對象是連續(xù)不斷的無數(shù)個微粒，如風(fēng)、水流等，解決此類問題的關(guān)鍵是找到相互作用的研究對象，進而對其列出相應(yīng)的動量定理方程即可。1.流體模型對于流體運動，可沿流速v的方向選取一段柱形流體，設(shè)在極短的時間Δt內(nèi)通過某一橫截面積為S的柱形流體的長度為Δl，如圖所示。設(shè)流體的密度為ρ，則在Δt的時間內(nèi)流過該截面的流體的質(zhì)量為Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根據(jù)動量定理，流體微元所受的合外力的沖量等于該流體微元動量的增量，即FΔt=ΔmΔv。然后根據(jù)發(fā)生相互作用前后流體的速度情況進行分析，如：若作用后流體微元靜止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2；若作用后流體微元以速率v反彈，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。2.微粒類問題分析步驟通常電子流、光子流、塵埃等被廣義地視為“微?！?，質(zhì)量具有獨立性，通常給出單位體積內(nèi)粒子數(shù)n。分析步驟：a.建立“柱體”模型，沿運動的方向選取一段微元，柱體的橫截面積為S；b.微元研究，作用時間Δt內(nèi)一段柱形“流體”的長度為Δl=v0Δt，對應(yīng)的體積為ΔV=Sv0Δt，則微元內(nèi)的粒子數(shù)N=nv0SΔt(n代表單位體積內(nèi)的粒子數(shù))；c.先應(yīng)用動量定理研究單個粒子，建立方程，再乘以N得出所選取的柱形“流體”微元的動量定理表達式，進而求解粒子流與物體相互作用時的作用力的大小?！靖櫽?xùn)練】（2022·福建·高考真題）我國霍爾推進器技術(shù)世界領(lǐng)先，其簡化的工作原理如圖所示。放電通道兩端電極間存在一加速電場，該區(qū)域內(nèi)有一與電場近似垂直的約束磁場（未畫出）用于提高工作物質(zhì)被電離的比例。工作時，工作物質(zhì)氙氣進入放電通道后被電離為氙離子，再經(jīng)電場加速噴出，形成推力。某次測試中，氙氣被電離的比例為95%，氙離子噴射速度為，推進器產(chǎn)生的推力為。已知氙離子的比荷為；計算時，取氙離子的初速度為零，忽略磁場對離子的作用力及粒子之間的相互作用，則（）A．氙離子的加速電壓約為B．氙離子的加速電壓約為C．氙離子向外噴射形成的電流約為D．每秒進入放電通道的氙氣質(zhì)量約為01人船模型——微積分思想在動量中的應(yīng)用1.“人船模型”原來靜止的兩物體發(fā)生相互作用時，若所受外力的矢量和(或某方向上外力的矢量和)為零，則系統(tǒng)動量守恒(或某方向上動量守恒)。相互作用過程中,任一時刻兩物體的速度(或在某方向上的速度)大小之比都等于質(zhì)量的反比，此類問題歸為“人船模型”問題。（1）模型特征（適用條件）：①系統(tǒng)由兩個物體組成且相互作用前靜止，系統(tǒng)總動量為零；②動量守恒或某方向動量守恒．（2）特點：人動則船動，人靜則船靜，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它們質(zhì)量的反比；人船平均速度(瞬時速度)比等于它們質(zhì)量的反比，即。（3）處理思想：設(shè)人走動時船的速度大小為v船,人的速度大小為v人,以船運動的方向為正方向,則m船v船-m人v人=0,可得m船v船=m人v人；因人和船組成的系統(tǒng)在水平方向動量始終守恒，故有m船v船t=m人v人t,即：m船x船=m人x人，由圖可看出x船+x人=L，可解得：；補充：人船模型拓展：（1）氣球和人載人氣球原來靜止在空中，離地高度為h，人的質(zhì)量為m，氣球的質(zhì)量為M(不含人的質(zhì)量)。若氣球下懸吊一輕繩，人