重難點(diǎn)05導(dǎo)數(shù)中的切線問題全歸納(舉一反三專項(xiàng)訓(xùn)練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程】.........................................................2

【題型2求過一點(diǎn)的切線方程】................................................................4

【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】..............................................................6

【題型4利用切線求距離的最值問題】...........................................................8

【題型5切線的條數(shù)問題】....................................................................10

【題型6兩條切線平行、垂直問題】...........................................................12

【題型7公切線問題】........................................................................14

【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】...........................................................17

命題規(guī)律

1、導(dǎo)數(shù)中的切線問題

導(dǎo)數(shù)中的切線問題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)問題，從近幾年的高考情況來看，一般以選擇題、

填空題的形式考察求曲線的切線方程，公切線問題等，試題難度屬中低檔，導(dǎo)數(shù)的切線問題也可能會作為

解答題中的條件或一小問進(jìn)行考查，復(fù)習(xí)是要加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練.

方;描巧

知識點(diǎn)1曲線的切線方程及其解題策略

1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略：

⑴求出函數(shù)y=/(x)在廣尤o處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)/)在點(diǎn)(xo於?()))處切線的斜率；

(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=yoWo)(^o).

2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：

⑴設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(xo衣砌(不出現(xiàn)州)；

(2)利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=J(xo)+f(xo)(.x-xo)；

(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.

知識點(diǎn)2與切線有關(guān)的參數(shù)問題

1.與切線有關(guān)的參數(shù)問題的解題策略：

(1)處理與切線方有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù):

①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;

②切點(diǎn)在切線上，故滿足切線方程；

③切點(diǎn)在曲線上，故滿足曲線方程.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時(shí)，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

知識點(diǎn)3切線的條數(shù)問題

1.切線的條數(shù)問題的解題思路

(1)已知/U),過點(diǎn)(°力)可作曲線的切線條數(shù)問題

第一步：設(shè)切點(diǎn)Po(xo,yo)；

第二步：計(jì)算切線斜率W(xo);

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：j-jo=f(xo)(x-xo).

第四步：將(。力)代入切線方程，得：b-y0=f(x?)(a-x?),整理成關(guān)于尤。的方程；

第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解.

(2)“過點(diǎn)型”切線條數(shù)判斷：

①有幾個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，就有幾條切線；

②切線條數(shù)判斷，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的新的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.

2.切線條數(shù)的求參問題

已知切線條數(shù)求參數(shù)，其實(shí)就是轉(zhuǎn)換成切線方程根的個(gè)數(shù)問題求參數(shù).

知識點(diǎn)4公切線問題及其解題策略

1.公切線問題的解題思路

求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把

兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切

可用判別式法.

2.公切線問題的求解步驟：

(1)設(shè)兩切點(diǎn)，求出兩切點(diǎn)對應(yīng)的斜率所、無，且所“2；

(2)根據(jù)兩條曲線在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上,列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程

組；

(3)解方程組，進(jìn)行求解，得出結(jié)論.

舉一反三

【題型1求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程】

【例1】(2025?福建福州?模擬預(yù)測)曲線f(x)=爐+3支在點(diǎn)(-1)(-1))處的切線方程為()

A.y+4=0B.2%—y—2=0C.6x—y=0D.6%—y4-2=0

【答案】D

【解題思路】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率與切線方程.

【解答過程】由已知/(x)=x3+3x,

則尸(x)=3x2+3,

即切線斜率k=尸(—1)=3x(―I)2+3=6,

又/"(-1)=(-1)3+3x(-1)=-4,

所以切線方程為y-(-4)=6[%-(-1)],

即6久-y+2=0,

故選：D.

【變式1-1](2025?青海海東?三模)曲線x=e〃在點(diǎn)(e,l)處的切線方程為()

A.x—y=0B.x—ey—0C.x—y+1—e—0D.ex—y=0

【答案】B

【解題思路】求出函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

【解答過程】由％=ey,得y=Inx,求導(dǎo)得/=則y'|%=e=5

所以所求切線方程為y-1=|(%-e),即％-ey=0.

故選：B.

【變式1-2](2025?新疆喀什?模擬預(yù)測)曲線/(%)=萼在點(diǎn)(也0)處的切線方程為()

A.%+Tty—11=0B.%—ny—n=0

C.%—iiy+ir=0D.nx—y—n=0

【答案】A

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而可得切線方程.

【解答過程】由題可得/■'(>)="詈"，則尸(死)=-1,

所以切線的斜率k=-三，

TV

所以/(%)在(n,0)處的切線方程為y=—，(％-Ti),即％+iry-TT=0.

故選：A.

【變式1-3](2025?廣東湛江?二模)已知函數(shù)/(%)=e%+2%,則曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為

()

A.y=2%+1B.y=3%+lC.y=2xD.y=3x

【答案】B

【解題思路】求導(dǎo)，可得f(0)=l，尸(0)=3,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【解答過程】由/(%)=ex+2%,得/'(%)=ex+2,

則f(0)=l,r(0)=3,

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)(0廳(0))處的切線方程為y=3%+1.

故選：B.

【題型2求過一點(diǎn)的切線方程】

[例2](2025?江西景德鎮(zhèn)?一模)過點(diǎn)2(0,1)且與曲線f(x)=x3+2x-1相切的直線方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y——2x+1

【答案】A

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及斜率公式，計(jì)算可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得切線方程.

【解答過程】尸⑺=3/+2,點(diǎn)A不在曲線上，

2

設(shè)切點(diǎn)為(而，婢+2通—1),則/'Oo)=3%0+2=蛭+2X0-1-1,

x0

解得：%o=—1，得切點(diǎn)(―1,—4),則k=((―1)=5

切線方程為：y=5x+1,

故選：A.

【變式2-1](2025?新疆?二模)過點(diǎn)(1,4)且與曲線/(%)=/+%+2相切的直線方程為()

A.4x—y=0B.7%—4y+9=0

C.4x—y=0或7久一4y+9=0D.4x—y=0或4%—7y+24=0

【答案】C

【解題思路】先設(shè)過點(diǎn)的切線，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進(jìn)而求出切線.

【解答過程】設(shè)過點(diǎn)(1,4)的曲線y=/(切的切線為：l-.y-y0=(3就+1)(%-%0),

有[(3就+1)(1-%0)=4-y0

Iyo=Xo+x0+2

+或

代入I可得4x—y=0或7x—4y+9=0.

故選：C.

【變式2-2](2025?貴州?二模)已知函數(shù)f(x)=(%+或眇的圖象在點(diǎn)(1)(1))處的切線斜率為3e.

(1)求a的值；

(2)求/'(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求曲線y=f(x)過原點(diǎn)的切線方程.

【答案]⑴a=1；

(2)遞減區(qū)間為(—8,—2),遞增區(qū)間為(—2,+8)；

zzjx3—V5—1+a^—3+VS-1+V5

(3)y=e2%或丫=下—e2%.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值.

(2)由(1)的信息，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(3)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)，進(jìn)而求出切線的斜率即可.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)=(%+a)e%,求導(dǎo)得廣(%)=(%+a+l)e”,依題意，/'(I)=(a+2)e=3e,

所以Q=1.

(2)由(1)得/(%)=(>+l)el其定義域?yàn)镽,r(x)=(x+2)ex,

當(dāng)xV—2時(shí),/'(%)<0；當(dāng)]>—2時(shí)，f'(x)>0,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2),遞增區(qū)間為(-2,+8).

(3)設(shè)曲線y=/(%)過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為。?+1)吟，則/⑴=(t+2)e「，

原點(diǎn)(0,0)不在曲線y=〃x)上，于是(t+：)；o=(t+2)et,解得t=匚乎，

當(dāng)t=21^1時(shí)，/(t)=Ue-喈；當(dāng)t=時(shí)，/(t)=*e#,

22yvz2

所以曲線y=f(x)過原點(diǎn)的切線方程為y=萼0-￥*或丫=萼eW？x.

【變式2-3](2025?湖北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(%)=eax+1,xeR.

(1)若Q=5求過原點(diǎn)且與y=/(%)相切的切線方程；

(2)若關(guān)于％的不等式"%)>2%+e對所有久G(0,+8)成立，求a的取值范圍.

【答案】(l)y=y%；

(2)息2+8).

【解題思路】(1)求出函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即得.

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=eax+i一2%-e,利用導(dǎo)數(shù)分類探討函數(shù)g(x)的單調(diào)性，求出當(dāng)x>0時(shí)g(x)>0的a值

范圍.

【解答過程】(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=elx+1,求導(dǎo)得/'(x)=Ie》+i,設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)是3

則切線方程是y-e棄1=[￡+】(％-t),而切線過原點(diǎn)，于是一￡+i=|￡+】?(一t),解得t=2,

Q2

所以切線方程是y=

(2)依題意，f(0)=e,g(%)=eax+1—2x—e,g'(%)=aeax+1—2,

①若Q<0,則g'(%)<0在％>0時(shí)恒成立，函數(shù)g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則對所有％>0,g(%)V9(0)=0,不滿足題意；

②若a>0,則g'(%)=。作。%+1—：)，由g'Q)V0,得xv1(ln：-1)；

由。'(%)>0，得%>1(1口|-1),

因此函數(shù)g(%)在(一8,‘(In：-1))上單調(diào)遞減，在(：(In：-1),+8)上單調(diào)遞增，

(i)若0<a<4貝!Jin?21,BP-(ln--l)>0,

eaaa

函數(shù)9。)在(0,，(ln|-1))上單調(diào)遞減，

當(dāng)％W(0t(ln；—l))時(shí)，5(x)<5(0)=0,不滿足題意；

(ii)若a之|,則即：(ln；-l)W0,函數(shù)g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則對所有％>0,g(%)>g(0)=0,符合題意，

所以a的取值范圍是[|,+8).

【題型3與切線有關(guān)的參數(shù)問題】

【例3】(2025?河南?模擬預(yù)測)已知曲線f(%)=(x+fc)ln(x+k)的一條切線的方程為y=x,則實(shí)數(shù)k=()

A.0B.1C.-1D.e

【答案】B

【解題思路】首先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率1和切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出k的值.

【解答過程】y=%與f(%)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為(乙,%()),

則尸(第o)=1+ln(x0+左)=1，故%o+k=1，

由/(%o)=%o，BP(%0+fc)ln(x0+/c)=%0,將%o+k=1代入上式,得%o=0,故k=1.

故選：B.

【變式3-1](2025?河南許昌?三模)若直線y=%+a與曲線y=ln(%+b)相切，貝昉—a的值為()

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為(第o，y0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得久°=1-6,再由切點(diǎn)在直線和曲線上有l(wèi)n(&+b)=

xQ+a,即可求.

【解答過程】設(shè)直線y=%+a與曲線y=In(%+b)的切點(diǎn)為(幾斤。)，

對y=ln(%+力)求導(dǎo)，得V=W，直線丫=%+。的斜率為1，

導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在切點(diǎn)處a=1,即％0=1-氏

x0+b0

又切點(diǎn)(曲,y。)既在直線上又在曲線上，

???yo=%o+。且=ln(x0+b),即ln(%o+b)=x0+a.

將久o=1-b代入ln(%o+b)=%。+a,得：ln(l—b+b)=l—b+a,即b—a=1.

故選：A.

【變式3-2](2025?陜西安康?模擬預(yù)測)已知曲線f(x)=lnx+/一以12J與傾斜角為45咀橫截距為a

的直線/相切，則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解題思路】根據(jù)已知得出切線方程，再根據(jù)切線斜率列式結(jié)合點(diǎn)在切線上列方程組求參.

【解答過程】傾斜角為45。且橫截距為a的直線/為久=y+a,即得y=x-a,

曲線f(x)=Inx+x2-ax(^x>與直線/相切，

設(shè)切點(diǎn)為(、o/n%o+就一ax0),因?yàn)?'(%)=：+2%—a,

所以2+2x0—a=1且In》。+就一ax0=x0—a,

xo

所以In%。+%o-=%o_仁+2%。-1)，

所以In%?！猉Q4---F2XQ-2=0,

xo

設(shè)g(t)=Int-t2+1+2t-2,“(t)=1-2t-+2=^-2(t-1)=(t-1)aj；)

因?yàn)閠2￡所以1—2/<1—II<0,

所以當(dāng)t>1時(shí)，g'(t)<0,g(t)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)t<1時(shí)，gf(t)>0,g(<在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以g(t)max=g⑴=0，所以%0=1

所以1+2—a=l,即得a=2.

故選：B.

【變式3-3](2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=。(％-。)2(%-2a),若曲線y=/(%)在點(diǎn)(2a,0)

處的切線方程為y=%+租，則TH的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解題思路】先求出廠(%),接著由廣(2a)=1求出參數(shù)〃得切點(diǎn)代入切線方程即可求解.

【解答過程】因?yàn)閒(%)=a(x—a)2(x—2a)=ax3—4a2x2+5a3x—2a4,

所以f(%)=3ax2—8a2%+5a3,

所以由題意得f(2a)=12a3—16a3+5a3=a3=l=>a=l,

所以切點(diǎn)(2,0),所以0=2+m=>m=—2.

故選：C.

【題型4利用切線求距離的最值問題】

【例4】(2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測)已知點(diǎn)P為曲線y=x+：上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的

最小值為()

A.3V2B.6C.—D.9

2

【答案】B

【解題思路】根據(jù)曲線的切線與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，求出曲線的切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的

距離公式計(jì)算最小距離即可.

【解答過程】設(shè)曲線y=久+:在點(diǎn)P處的切線與直線x+y=0平行,

由歹=1-；-1,得x=±苧，則P(挈等或P(-乎，-第,

|出+越||_3V2_9V2|

則動點(diǎn)P到直線X+y=0的距離的最小值為d=空白=11=噌=6.

vl2+l2Vl2+lzV2

所以點(diǎn)P到直線％+y=0的距離的最小值為6,

故選：B.

【變式4-1](2025?江蘇南京?二模)已知y=(%—a)?+(%ln]-a+3)2(a￡R),則y的最小值為()

A.2B.1C.—D.-

22

【答案】A

【解題思路】先設(shè)點(diǎn)P(x,xlnx)及點(diǎn)Q(a,a-3),應(yīng)用兩點(diǎn)間距離，再應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算得出切線斜率得出切點(diǎn),

最后應(yīng)用點(diǎn)到直線距離計(jì)算求解.

【解答過程】設(shè)點(diǎn)P(x,xlnx)是函數(shù)/(x)=:rlnx圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)Q(a,a-3)是直線Z:y=x-3上的點(diǎn)，

則|PQ|=—a)2+(xln久一a+3尸,所以y=\PQ\2>

因?yàn)槭?%)=In%+1,設(shè)函數(shù)f(%)在點(diǎn)M(%o，y°)處的切線k與直線/平行,

則/'(久o)=lnx0+1=1，解得%0=1,則點(diǎn)M(1,0),

所以IPQI的最小值為點(diǎn)M(1,O)到直線/的距離d="滬=V2,

V2

所以y=(x—a)2+(xlnx-a+3下的最小值為2,

故選：A.

【變式4-2](24-25高二下?山東棗莊?階段練習(xí))點(diǎn)P是曲線y=--上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=久-4

的距離的最小值是()

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】D

【解題思路】問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)P的切線與直線y=x-4平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x—4的距離最小，利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得答案.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線y=/一inx上任意一點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)P處的切線和直線y=x—4平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x—4的距離最小.

因?yàn)橹本€y=x-4的斜率等于1,曲線y=/一EK的導(dǎo)數(shù)y，=2x-5，

令y'-1,可得x=1或比=一](舍去)，

所以在曲線y=/一mx上與直線y=x-4平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

所以點(diǎn)P到直線y=x—4的最小距離為=2V2.

故選：D.

【變式4-3](24-25高二下?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)y=?的圖象與函數(shù)y=ln(2x)的圖象關(guān)于某一條直線

(對稱，若P,Q分別為它們圖象上的兩個(gè)動點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為()

A.B.C.頓聞-D.V2(l-ln2)

242k7

【答案】D

【解題思路】首先得到函數(shù)y=?的圖象與函數(shù)y=ln(2久)的圖象關(guān)于直線y=%對稱，則問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到直

線y=x距離最小值的2倍，求出過點(diǎn)P的切線恰與y=*平行時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算

可得.

【解答過程】設(shè)P(a,b)為函數(shù)y=?圖象上任意一點(diǎn)，則6=三，P(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為Q(b,a),

又y=ln(2b)=lnea=a,即點(diǎn)Q(b,a)在函數(shù)y=ln(2%)的圖象上，

所以函數(shù)y=■的圖象與函數(shù)y=ln(2%)的圖象關(guān)于直線y=%對稱,

所以這P,Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)P到直線y=%距離最小值的2倍，

由y=T則y'=p

?X?Xn?Xn

函數(shù)y=]在點(diǎn)POo，yo)處的切線斜率為卜=三，令k=%=l,解得x0=ln2,y0=1,

所以點(diǎn)P到直線y=x距離的最小值為d=腎竦=奧泮2，

所以這P,Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為2d=V2(l-ln2).

故選：D.

【題型5切線的條數(shù)問題】

【例5】(24-25高三上?河北承德?開學(xué)考試)過點(diǎn)(2,0)可作曲線/㈤=/—3刀-2的切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合該點(diǎn)是不是切點(diǎn)分類討論進(jìn)行求解即可.

【解答過程】由/'(%)-x3-3x-2f'(x)=3x2-3,

當(dāng)點(diǎn)(2,0)是切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)切線的斜率為r(2)=3X22-3=9,此時(shí)有一條切線；

當(dāng)點(diǎn)(2,0)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Oo，M))，則切線的斜率為尸(X。)=3/—3,

切線方程為：y-(Xo-3x0-2)=(3XQ—3)(x-x0),該切線過點(diǎn)(2,0),

于是有0—(%o—3x0-2)=(3%Q—3)(2—x0)=>端-3xj+4=0=瑞+1—3XQ+3=0

2

=>(x0+1)(XQ—x0+1)-3(x0+l)(x0-1)=00(%o+l)(x0—2)=0=>x0=-1或x()=2(舍去)，

綜上所述：過點(diǎn)(2,0)可作曲線f(>)=x3-3%-2的切線條數(shù)為2,

故選：B.

【變式5-1](2025?山東?模擬預(yù)測)若過點(diǎn)(1,爪)可以作y=(x+l)e，的三條切線，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

()

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【答案】B

【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(t,(t+l)et),求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用t表示出巾，再構(gòu)造

函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進(jìn)而求出m的范圍.

【解答過程】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(￡,(t+l)e1),由y=(%+l)e%,求導(dǎo)得y，=(%+2)e%,

則函數(shù)y=(x+l)e%的圖象在點(diǎn)。(t+1)/)處的切線方程為y-(t+l)ef=(t+2)ef(x-t),

由切線過點(diǎn)(1,TH),得m=(t+l)et+(t+2)et(l-t)=(-t2+3)et,

令g(t)=(-嚴(yán)+3)eJ依題意，直線y=血與函數(shù)y=g(t)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，

g'(t)=(―t2—2t+3)ef=—(t+3)(t—l)ef,當(dāng)t<-3或t>1時(shí)，g'(t)<0,當(dāng)一3<t<1時(shí)，g'(t)>0,

則函數(shù)g(t)在(—8,—3),(1,+8)上單調(diào)遞減，在(-3,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)1=一3時(shí)，函數(shù)g(t)取得極小值g(-3)=-6已-3,而當(dāng)《<一百時(shí)，恒有g(shù)(t)<g(-V5)=0,

又g(2)=-e2<-6e-3,因此當(dāng)-6e-3<m<0時(shí),直線y=m與函數(shù)y=g(t)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)TH的取值范圍是(—6e-3,0).

故選：B.

【變式5-2](2025?河南?模擬預(yù)測)過原點(diǎn)且與曲線y=心也%相切的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解題思路】先求出導(dǎo)函數(shù)，再設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出切線斜率再應(yīng)用兩點(diǎn)求斜率計(jì)算求參進(jìn)而得出切線

即可.

【解答過程】設(shè)切點(diǎn)(%(),%osin%o),因?yàn)榍€y=xsinx,所以y'=sin%+xcosx,

所以久0sm“°=sinx+xcosx，所以&cos%。=0,

x0000

所以X。=0或COSKo=0,

當(dāng)%o=O時(shí)，所以k=0,所以切線方程為y-0=0(x-0),即y=0；

當(dāng)=3寸，所以k=1,所以切線方程為y-0=l(x-0),即丫=X；

當(dāng)=時(shí)，所以k=-1,所以切線方程為y-0=-l(x-0),即丫=-%；

所以切線有3條.

故選：C.

【變式5-3](2024?內(nèi)蒙古.三模)若過點(diǎn)(a,2)可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝必的取值范圍為()

A.(―oo,e2)B.(―co,ln2)

C.(0,e2)D.(0,ln2)

【答案】C

【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，代入(a,2),得到a=3t-tlnt,構(gòu)造/(t)

3t-tint,te(0,4-00),求導(dǎo),得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到f(t)max=/(e2)=e?,結(jié)合當(dāng)te(0,e?)時(shí),f(t)>0,

當(dāng)te(e3,+8)時(shí)，f(t)<0,從而得到答案.

【解答過程】在曲線y=In久上任取一點(diǎn)P(t,lnt),對函數(shù)y=Inx求導(dǎo)，得J7'=

所以曲線y=Inx在點(diǎn)P處的切線方程為y-Int=-t).

由題意可知，點(diǎn)(。,2)在直線、-1或=((乂-。上，可得a=3t-tint.

令f(t)=3t—tint,te(0,+oo),則尸(t)=3—Int-1=2—Int.

當(dāng)te(e2,+8)時(shí)，/(t)<0,/(。單調(diào)遞減，

當(dāng)te(0,e2)時(shí)，/(t)>0,f(t)單調(diào)遞增,

所以J(t)max=/(e2)=e?,且當(dāng)tl(0,e3)時(shí),f(t)>0,當(dāng)t€+8)時(shí),/(t)<0,

又直線y=a與曲線y=f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以a的取值范圍為(0逢2).

故選：C.

【題型6兩條切線平行、垂直問題】

［例6］(2025?山東荷澤?一模)曲線y=|ln(>+1)|在4(叼,乃)，由物弦)兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則上+上的

X1X2

值為()

A.-1B.0C.1D.e

【答案】A

【解題思路】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，互相垂直的兩直線的斜率的關(guān)

系分類討論進(jìn)行求解即可.

【解答過程】由y=|ln(x+1)|=1叱：J；/。,=［產(chǎn)''°,

-ln(x+1),-1<x<0,)--|I，-l<x<0

不妨設(shè)Xi<x2,兩切線的斜率分別為七,fc2,

當(dāng)時(shí)，則有憶1=三1七=

---，此時(shí)七1七27----77---7>0,顯然七七w—1，

%2+1(%i+l)(x2+l)

因此二，。不成立，不符合題意;

=

當(dāng)一1VV%2V0時(shí)，則有憶1=------,七---，止匕時(shí)七1上227----w--------7>0,顯然七七w—1，

%2+1---------------(X1+1)(X2+1)

因此21，。不成立，不符合題意;

當(dāng)一1<X1<OWX2，則有燈=一不,卜2=77?

T1X2?-L

此時(shí)七七=一1n+X】+冷=0，變形得—I—=-1.

X1x2

故選：A.

【變式6-1](2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(x+a)2+lnx的圖象上存在不同的兩點(diǎn)4,8,使得曲線

丫=門>)在點(diǎn)48處的切線都與直線％+2丫=0垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-00,1-V2)B.(1-V2,0)C.(-oo,1+V2)D.(0,1+72)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意知廣(%)=2有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布即可求得參數(shù)的范

圍.

【解答過程】由題意知尸(x)=2久+2a+3因?yàn)榍芯€與直線％+2y=0垂直，

所以曲線y=/(久)在點(diǎn)4B處的切線斜率都是2,

即關(guān)于x的方程尸(%)=2%+2a+i=2有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

化簡得，x2-(l-a)x+l=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

陣=(1-a)2—4x>0,解得"1-四

故選：A.

【變式6-2](2025?四川涼山?一模)函數(shù)/⑺="+alnx在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條相互垂直的切線,

則a的取值范圍為()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【答案】D

[解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.

【解答過程】由/'(x)=|%2+alnx=/'(%)=x+(x>0),

不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點(diǎn)為(//01)),(/2/02))，且尸(%)"'(叼)=-1

若a20,則廣(x)>0恒成立，不符合題意，可排除A項(xiàng)；

所以a<0,此時(shí)易知y=尸(x)單調(diào)遞增，

1+a<O

(廣⑴=

2aO

要滿足題意則需］/(2)=+->

2=a￡(—3,-2).

2a

(r(1)/(2)=(1++-

2<-1

故選：D.

【變式6-3](2025?河北邢臺?二模)已知函數(shù)/(x)=7+21n久的圖像在4。1，/(修))，B(>2，/(>2))兩個(gè)不同

點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

A.X1+久？=2B.%1+*2=5C.xrx2=2D.xrx2=5

【答案】B

【解題思路】函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到修,冷的關(guān)系，在結(jié)合不等式

求/+久2的取值范圍即可.

【解答過程】因?yàn)?■(x)=x2+21n久，x>0.

所以/''(%)=2久+gx>0.

由因?yàn)閒(X)在A(Xl，f(Xl)),8(乂2"(%2))兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，

所以/''(X1)=尸(%2)=2x+—=2X+—,又X]力工2，所以=1，故CD錯(cuò)誤；

12%2

因?yàn)榫?>0,%2>0且％1W%2，所以+%2>=2,故A不成立；

當(dāng)%1==3時(shí),+%2=,?故B成立.

故選：B.

【題型7公切線問題】

【例7】(2025?河南南陽?三模)已知函數(shù)/1(%)=2ae%與g(%)=Inx+1存在公切線，則實(shí)數(shù)Q的最小值為()

1111

A.—B.-C.-D.一

e2e4e6e

【答案】B

【解題思路】設(shè)出兩切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為方程組有解問題，消去血后構(gòu)造函數(shù)%(%),

求導(dǎo)分析單調(diào)性可得最值.

【解答過程】設(shè)公切線與函數(shù)/(%)=2ae%及函數(shù)g(%)=In%+1的切點(diǎn)分別為(zn,2碇僧)，(nfInn+1),且

m

=2aefg'(n)=

故兩切線方程為y—2碇僧=2aem(x—m),y—(Inn+1)=—n),

即y=2aemx+(—m+l)2aem,y=-x+Inn,

9npm=-

一九有解，消去TH后得：ln2a=(7i—l)hm—l,

{(—m+l)2aem=Inn

令八(%)=(%—l)lnx—1,h!(x)—Inx—：+1,

易得”(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且第c(0,1)時(shí)，//(%)<0；%6(1,+8)時(shí)，h\x)>0,

故九(%)在區(qū)間(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增.

所以h(%)min="⑴=一1，???In2a的最小值為一1,即2a的最小值為不即實(shí)數(shù)。的最小值為《.

故選：B.

【變式7-11(2025?寧夏石嘴山?三模)已知函數(shù)/(%)=ax2+l(a>0),g(%)=In%,若曲線y=/(%)與y=g(x)

有兩條公切線，貝!Ja的取值范圍是()

A.(。，擊)B.(擊，怖)C,點(diǎn)+8)D,(卷,+8)

【答案】C

【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合公切線建立方程組，消元構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)有兩

個(gè)零點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)求出范圍.

【解答過程】設(shè)公切線與曲線y=/(%)、曲線y=9(汽)相切的切點(diǎn)分別為也+1),(%o/n%o),

而尸(%)=2av,g'(%)=工，依題意，2at=2_=—+1T-0,則曲>o,因。>0,貝!Jt>0,

xXQt—X0

消去久o得。產(chǎn)_in(2at)—2=0,令函數(shù)h(t)=at2—ln(2at)—2(t>0),

由曲線y=/(%)與y=g(%)有兩條公切線，得函數(shù)九(。有兩個(gè)不同的正零點(diǎn)，

h'(t)=2at—g=當(dāng)0<1<盍?xí)r，?(t)<0；當(dāng)t>盍?xí)r，〃(t)〉0,

函數(shù)％(t)在(0,盍)上遞減，在(矗,+8)上遞增，W)mm=/i(^)=-3n(2a)—|,

而當(dāng)力從大于0的方向趨近于0時(shí)，h(t)T+8,當(dāng)C7+8時(shí)，九(。T+8,

則當(dāng)且僅當(dāng)一5n(2a)-|<0,即a>擊時(shí)，函數(shù)h(t)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

所以a的取值范圍是(點(diǎn),+8).

故選：C.

【變式7-2](2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)設(shè)a40,若曲線f(x)=aln(x-1)在點(diǎn)(2,f⑵)處的切線也是曲

線g(X)=e。%-2的切線，則。.

【答案】加5

【解題思路】首先根據(jù)題意求出切線方程，然后對g(x)求導(dǎo)，根據(jù)斜率值和切點(diǎn)的函數(shù)值求出a的值.

【解答過程】因?yàn)槭?%)=三，所以尸(2)=a,f(2)=alnl=0.

所以曲線/(%)在點(diǎn)(2/(2))的切線方程為：y=。(％-2).

因?yàn)椤?%)=ae^-2,設(shè)曲線g(%)與該切線的切點(diǎn)為(%o，a(%?！?)).

ax2

所以g'(%o)=ae°~=a,所以a%。—2=0,BPax0=2.

ax2

又9(%o)=e°~=a(x0—2)=2—2a=e°,

所以a=：.

故答案為：

【變式7-3】(2025?河北?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=e，T與90)=-3尤2+2%+￡1的圖象有兩條公切線，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(-2,-m

【解題思路】由題設(shè)公切線分別切f(x),g(x)于點(diǎn)(x2,y2),由題可得r(xj=g'(久2)，叵2*2=

xl-x2

“(小)，據(jù)此可將問題化簡為％(x)=(x-2)ln(2-K)一1(》<2)=&有兩解，據(jù)此可得答案.

【解答過程】設(shè)公切線分別切/(x),g(x)于點(diǎn)01，%)，(工2，丫2).

/(%)=ex-1,“(%)=—x+2

1

則有以下關(guān)系式：尸01)="(不)=e^-=-x2+2@,誓言絲=。，(小)今…乂亨產(chǎn)出=一如+

X1—x2

2②

由①得：勺=ln(2-％2)+1代入②式變形得：a=3-2)ln(2-&)一藁，又%2=2-e%iTV2.

令h(x)=(%—2)ln(2—%)—y(%<2),原命題化為：/i(x)=Q有兩解.

h'(x)=ln(2—%)+1—%,令九，(%)=p(%)=ln(2—%)+1—x(x<2),

則p'(%)=<一1<0,Ahf(x)=p(%)為(一8,2)上的減函數(shù).

x—2

又注意到九'⑴=0,則在區(qū)間(—8,1)上，》(注>0,九(外在區(qū)間(-8,1)上遞增,

結(jié)合八(1)=一|,Jimh(x)->-8,則此時(shí)h(x)值域?yàn)?一8,-|)；

在區(qū)間(1,2)上，h'(x)<0,h(x)在區(qū)間(1,2)上遞減,

結(jié)合!嗎h(2)T-2,則此時(shí)h(%)值域?yàn)?-2,

則當(dāng)時(shí)，存在%3€(-8,1),%46(1,2),使/(叼)=/(%4)=a

故a的取值范圍是（—2,-

故答案為：（―2,—

【題型8與切線有關(guān)的新定義問題】

【例8】（2025?湖北黃岡三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（K,y）不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為

修云）；當(dāng)尸是原點(diǎn)時(shí)，定義尸的“伴隨點(diǎn)”為它自身.平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的

[％e*—i+1%>0

曲線C*定義為曲線。的“伴隨曲線”.則曲線Cy=1./7c（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的伴隨曲

I—+1,%<0

116

線長為（）

A.1.5B.-C.2D.-

23

【答案】B

【解題思路】先分別求出曲線丫=+1和丫=2/+1過原點(diǎn)的切線斜率，判斷兩切線的位置關(guān)系，再

根據(jù)伴隨曲線的定義（兩條過原點(diǎn)切線之間單位圓?。┣蟪霭殡S曲線的長度.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜

率，根據(jù)點(diǎn)斜式得到切線方程，再結(jié)合兩直線斜率乘積判斷垂直關(guān)系，最后根據(jù)弧長公式求伴隨曲線長.

【解答過程】由題意，曲線C的伴隨曲線為其兩條過原點(diǎn)切線之間單位圓弧，

因?yàn)閤>0,y'=（x+l）e，T>0,所以該函數(shù)在（-8,0）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增.

過原點(diǎn)作y=%ex-1+1的切線，設(shè)切點(diǎn)久通如-1+1）,由/=（%+l）ex-1,則切線。4的斜率為七=

（%i+i）exi-1,

%1-1X11

直線。Ay—（%送%「1+1）=（%i+l）e%】T（久—％]）過（0,0）,故—jqe"】一1—1=（—好—x1）e,x^e~—

1=0（%i>0）,

即=xf2,由函數(shù)y=e>i與y='菖的圖象在（0,十8）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

且當(dāng)/=1時(shí)滿足方程，故方程有唯一解%1=1,則七=2；

過原點(diǎn)作y=2工2+1的切線，設(shè)切點(diǎn)8（犯馬好+1），由y'=：%，得切線08的斜率七=（%2，則切線

OB-.y-[^xl+1）=,”2（>一32）過原點(diǎn)（。，0），則有一套以-1=~1xf（x2<0）,/.x2=一％

則心=-%則有燈七=-1，則兩切線垂直，故伴隨曲線長為今

故選：B.

【變式8-1]（24-25高二下?遼寧?期中）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法，若

定義GN）是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，過點(diǎn)娛（取"（久Q）的切線為y=/'（沖）0—4）+/QQ，切線與

久軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)以+1,即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)的

近似解，設(shè)函數(shù)/0）=/—2,滿足質(zhì)=2,應(yīng)用上述方法，則上=（）

【答案】c

【解題思路】利用導(dǎo)函數(shù)求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)題設(shè)條件依次寫出切線方程，再求出切線與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)即可.

【解答過程】根據(jù)題意，由f（x）=/-2可得尸（久）=2%,則f'（久。）=f⑵=4,

又/'⑵=2,所以過點(diǎn)（2,2）的切線為y=4（%-2）+2,令y=0,可得％=|,即/=*

同理尸（%i）=/0=3,啕=（?2/

所以過點(diǎn)的切線為y=3-1）+3,令y=0,可得x=*即冷=卷

故選：C.

【變式8-2]（2024.湖北黃岡.二模）第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.

會展展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品

外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C:y=f(x)上的曲線段

AB,其弧長為As,當(dāng)動點(diǎn)從4沿曲線段4B運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，4點(diǎn)的切線U也隨著轉(zhuǎn)動到B點(diǎn)的切線片，記這兩

條切線之間的夾角為A8(它等于％的傾斜角與匕的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的

彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義左=為曲線段4B的平均曲率;

顯然當(dāng)8越接近4即As越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)4處的彎曲程度，因此定義K=lim

eolAsI(]+/尸

(若極限存在)為曲線C在點(diǎn)4處的曲率.(其中y',y"分別表示y=f(x)在點(diǎn)4處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)已知拋物線/=2py(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,則在該拋物線上點(diǎn)(3,y)處的曲率是多少？

(2)若函數(shù)g(x)=￡^-點(diǎn)不等式g(之片)Wg(2-coscox)對于工eR恒成立，求3的取值范圍；

(3)若動點(diǎn)力的切線沿曲線/(X)=2/一8運(yùn)動至點(diǎn)B(f,f0n)