福建省泉州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題

卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)第五章5.5至必修第二冊(cè)第八章8.4.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.一個(gè)幾何體由5個(gè)面圍成，則該幾何體可能是（）

A.三棱錐B.四棱柱C,三棱臺(tái)D.五棱錐

【答案】C

【解析】三棱錐由4個(gè)面圍成，四棱柱和五棱錐均由6個(gè)面圍成，三棱臺(tái)由5個(gè)面圍成.

故選：C.

3

2.己知a,〃,c?分別為V48C三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且a=3,b=EsinA二一,

4

則sin8=()

A石B石「275D,正

4399

【答案】A

【解析】由正弦定理得?竺=2=得sinB:正sinA=@.

sinAa334

故選：A.

3.若不石均是單位向量,且不/二：.則恒一3萬卜（）

A.瓜B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】由題意52=]]二],[2。-3盯=4萬2-12萬?6+9廬=9,則恢-34=3.

故選：B

4.已知復(fù)數(shù)z=2」，則I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3-41

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

【答案】A

7-i_(7-i)(3+4i)_25+25i

【解析】由復(fù)數(shù)z==l+i,則三=1一

3-4i(3-4i)(3+4i)25

所以復(fù)數(shù)I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（L-1）位于第四象限.

故選:A.

(I兀

5.把函數(shù)/(x)=cos彳4+三的圖象向右平移〃個(gè)單位長度后得到偶函數(shù)g（x）的圖

12o

象，則〃的最小正值為（）

兀兀兀

A.-B.—C.一

8162

【答案】D

兀］（1J兀、

【解析】由題意得g（x）=cos-（x-a）+-=cos-x--a+-

_2oJ\22o

\71兀有最小正值嗎.

由—a+—=kit(AwZ)得。二—2kit(ZwZ),當(dāng)Z=0時(shí),a

284

故選：D

6.在正四棱臺(tái)ABCO-AAGA的12條棱所在的直線及直線30,AG，中,與直

線AC是異面宜線的直線共有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

【答案】B

【解析】與直線AC是異面直線的直線有Bq,DD、,Bg,CR,D,A，BR,

共7條.

故選：B.

7

7.已知函數(shù)/（工）=25畝（5+°）3>0,|同<當(dāng)在上單調(diào)遞增，在半￡上單

2|_3」\_312_

調(diào)遞減，且/（0）+/（^1=0,則^（）

兀

D.

3

【答案】c

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/。）在0尚上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

JJ14

7C71TI

可知：x=—對(duì)應(yīng)最大值，也即。X—+0=—+2E,keZ,

332

/\r

由/（。）+/—=。，且0,二都在區(qū)間0,—內(nèi),

所以由對(duì)稱性可知：f5=°，

112/

所以冷71兀

12=4

所以丁=兀，即0=2,

所以+0=耳+2E,keZ,X|^?|<—?

取k=0可得：(p=~~,所以00=2乂(_二］二一二，

6\673

故選：C

8.在平行四邊形48C。中，A8=3,A/)=2,N84/)=60。，E為線段CQ上靠近。的三

等分點(diǎn)，線段AC與鹿相交于點(diǎn)。，貝UcosNBPC=()

A曬BM0屈D719

38381919

【答案】B

【解析】因?yàn)榘?=3,AO=2,NBA。=60。

在△8CE中，CE=2,BC=2,/BCD=60。,

由余弦定理可得：=BC2+CD2-2BCCDcos60°=4+4-2x2x2xl=4,

2

在VA8C中，A8=3,8C=2,ZA8C=120。，

由余弦定理可得：

>4C2=AB2+BC2-2A3-BCcosl20°=9+4-2x3x2x^11=19,

所以8E=2,4C=M，

____2_____?-

乂因?yàn)檎f=而+—前=而+—麗,

33

___9__,_,2_?___

BE=BC+-CD=BC-^-BA,CA=BA-BC>

所以3后&=（84+彳函）（而_8。）=1—-*—??22?2

-BCBA-BC+-BA

33

又因?yàn)榍?|雨|可cosNBPC=2McosNBPC,

所以2MCOSN8PC=1，解得：cosZBPC=—.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.質(zhì)量是向量

B.相等向量的起點(diǎn)不定相同

C.物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量

D.若某質(zhì)點(diǎn)受到耳，耳,耳的作用處于平衡狀態(tài)，則耳+耳+耳=0

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，向量是既有大小又有方向的量，而質(zhì)量只有大小沒有方向，所以質(zhì)量

不是向量，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，相等向量是指長度相等且方向相同的向量，與它們的起點(diǎn)位置無關(guān)，所以相

等向量的起點(diǎn)不一定相同，B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，物理學(xué)中的作用力與反作用力大小相等、方向相反，且作用在同一條直線

上，滿足共線向量的定義，所以作用力與反作用力是一對(duì)共線向量，C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若某質(zhì)點(diǎn)受到月,耳,用的作用處于平衡狀態(tài)，說明這三個(gè)力的合力為零，即

E+E+R=o，D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

10.V43C的內(nèi)角A,8,c的對(duì)邊分別為若滿足A=f,〃=8的VA3C有兩解，

4

則〃的值可能為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】BC

【解析】由滿足A=色,〃=8的V43C有兩解，可得戾in4<av〃，即8x立<〃<8,

42

即4忘<〃<8,則符合題意的有BC.

故選：BC

11.如圖，正方體ABC。—A4GA的棱長為6,尸是A8的中點(diǎn)，。是正方體

ABC。-的表面及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.正方體A3C。一AMGA內(nèi)切球的表面積為36兀

B.若42=3,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為9幾

C.若點(diǎn)Q是R的外心，則&?麗=36

D.若動(dòng)點(diǎn)。滿足;=與+"A<（4+〃=1）,則PQ+QQ的最小值為3小7+2百

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)檎襟w的棱長為6,則其內(nèi)切球的半徑，，=9=3,內(nèi)切球的表面枳

2

為47rx32=36兀，故A正確；

對(duì)于B,由條件可知，點(diǎn)2的軌跡是以A為球心，3為半徑的球的，，則。的軌跡與該正

I40

方體圍成的較小部分的體積為三X—兀、33=—兀，故B錯(cuò)誤；

832

對(duì)于C,因?yàn)槭且?加為邊長的等邊三角形,

若點(diǎn)。是△A8Q的外心，即是△A8a的重心，

由重心定理可得通="|xg（西+福）=；（西+福卜

則而?福二

=g(M|?阿?360。+畫]=；6>/2x672x1+(672)2=36,故C正確;

對(duì)于D,若動(dòng)點(diǎn)Q滿足而=之,分+"陽74+"=1),

由三點(diǎn)共線定理可知，Q.&A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)。在線段4出上,

將△A8A，Z\C7M1平展在一個(gè)平面中，如圖所示：

則PB=3,BC,=6后,/ABC1=；+]=￡,

V2-V6

故cos/ABC1~1~

故PQ+QG的最小值為

AC.=j9+72-2x3x6x/ix^^=j63+18G=3g+2G，故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

tan175?！猼an55。

12.的值為

1+tan175°tan55°

【答案】—G

tan175°-tan55°

【解析】由題意得---t-a-n-(-1--7-5-°---5--5-°-)=tan120°=一6.

1+tan175°tan55°

故答案為：

13.如圖，這是用斜二測畫法畫出的水平放置的梯形A8CO的直觀圖，其中

A2//C。'，4夕=2。'。'=8,梯形43X77的面積為3(),則梯形A8CO的高為

D'C

A1O'B'

【答案】10夜

【解析】運(yùn)用斜二測畫法根據(jù)直觀圖畫出原圖，如下,

A""y/O'B'x

梯形A,B,C,D,的面積為30,49=2C77=8,則原圖梯形的高為力，

即30="力，解得〃=5.N￡Q3=45。，則￡0==一=50.

2sin45°

根據(jù)直觀圖與原圖的長度關(guān)系，知道原圖高為EO=2x5近=10\/2.

故答案為：10夜.

14.某日中午12:00甲船以24km/h的速度沿北偏東60。的方向駛離碼頭A,下午1:00

乙船沿東偏南49。的方向勻速駛離碼頭A，下午5:00甲船到達(dá)B地，乙船到達(dá)C地，且

C在3的西偏南67°的方向上，則乙船的航行速度是km/h.(取sin37°二二，

9

sin64°=—)

10

【答案】20

【解析】如圖:

由題意得；八3=24x5=120km,ZABC=6O°\67°90°=37°,

NR4C=300+49°=79°,WJZACB=64°.

ABAC120AC

由正弦定理

sinZACBsinZABCsin64°sin37°

120x|

得AC=c〉=80km,所以乙船的航行速度是一二20km/h.

94

1（）

故答案為：20.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知復(fù)數(shù)2="22-2，〃+（〃22-7〃2+10）"

（1）若Z為實(shí)數(shù)，求利；

（2）若Z為虛數(shù)，求機(jī)的取值范圍；

（3）若Z為純虛數(shù)，求國.

解：⑴由題意得加-7m+10=（加一2）（加一5）=0,得〃2=2或5

（2）由題意得〃2?-7帆+10。0，得〃?工2且用工5

m2-Im=0,

(3)由題意得〈

in2-7/n+lO^O,

〃z=0或2,一,八

得故m=0,所以z=10i,所以z=10.

m工2且加w5,11

16.如圖，在平行四邊形4BCO中，而=3通，而=4而，BF=FC

（1）用4月，A。表示訴，GF：

⑵若曾=1,判斷的形狀，并用向量的方法證明你的結(jié)論.

\AD\4

解：（1）由題意得而=前，AB=DC^

則濟(jì)=成+5=麗+工行=南-L而.

22

GF=GA+AB+BF=--AD+AB+-BC=--Ab+AB+-AD=AB^-AD.

42424

（2）△EFG是直角三角形.

證明如下：由題意得宙=■不一通=,礪-,而，

43

_______2___1___

~EF=~EB^BF=-AB-v-AD,

32

則歷麗=（；而一；呵?《南+g而卜:而2-'啟

1—.229—42

=-AD——x—AD=0

8916

所以的1.麗.故△“G是直角三角形.

17.已知VA8C的內(nèi)角A氏。的對(duì)邊分別為〃,6,c,且J5asin8—ZzcosA=0.

（1）求cosA；

（2）若&=舊力二6,求VABC的面積.

解：（1）由J^vsin^-ZjcosA=0，可得&sirL4sin8-sin3cosA=0.

因?yàn)閟in8w0,所以JJsinA-cosA=0.

又sin?A+cos2A=1，且sinA〉。，

所以解得8sA

3

（2）由余弦定理可知cosA="+「一".

2bc

因?yàn)閍=JFT,。=J&cosA=，所以二）^5,

332\j6c

整理得C2—4C—5=0,解得c=5或c=—1（舍去）.

由cosA=，可得sinA=，

33

則7ABC的面積S=-bcsinA=—.

22

18.如圖，長方體的長、寬、高分別為x,y,2,且xNy,x+y=2.

(1)當(dāng)?shù)酌?3co為正方形時(shí)，求長方體A8CO—A￡G9的表面積和體積；

(2)求三棱錐A-3G。體積的最大值；

(3)記三棱錐A-3G。外接球的表面積為加，底面ABC。的面積為S2,求蔡的取值

范圍.

解：(I)因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以x=y=l,

則長方體A8CO—48cR的表面積為2x1x1+4x1x2=10,

體積為lxlx2=2.

(2)由圖和已知,以的。=^ABCD-A^CtD,~^At-ABD~匕-8CD一七-卡心一%-"自

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i時(shí)，等號(hào)成立，故三棱錐A-BG。體積的最大值為§.

(3)由題可知，三棱錐的外接球即長方體八4G2的外接球，

設(shè)該外接球的半徑為R貝！2R=正十八4,

所以S]=4TI/?2=JT(X2+)，+4),S?=xy,

則工=+4)=兀[/+),2+(，+?]=f2x+2y+2\

S2孫與’1yx>

xs'I)

令，=一，則f21,TL=2K1+-+1,

y521fl

1s(1、

因?yàn)?+-之2,所以心=2花Z+—+1>6n,

t$21f，

當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即x=y=l時(shí)，等號(hào)成立，

S

所以瞪的取值范圍為[6私長0).

19.設(shè)A為非空數(shù)集，實(shí)數(shù)。滿足以下兩個(gè)條件：(i)VxeAx<r/；(ii)對(duì)任意給定的

〃z〉0,總存在玉)￡A,使得/+〃?>〃.這時(shí)，稱。為集合A的上確界.

r,

兀兀

(1)直接寫出集合A=<y|y=3tan2x,-7?xV三》的上確界.

(2)在函數(shù)〃x)=sin?x+*)與g(x)=J§COS(3+O)3>0,0>0)的圖象的交點(diǎn)

中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2G.

①求。；

②求集合42=,yy=J5/(x)+g又一]],(一如<