清單06反比例函數(shù)（6大考點(diǎn)梳理+題型解讀+核

心素養(yǎng)提升+中考聚焦）

【知識導(dǎo)圖】

【知識清單】

知識點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定義

【例1】下列選項(xiàng)中的函數(shù)，》關(guān)于％成反比例函數(shù)的是（）

知識點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式

用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；

（3）解方程求出待定系數(shù)上的值；

【例2】已知y=yi+y2,yi與尤+1成正比例，/與x+1成反比例，當(dāng)x=0時(shí)，y=-5；當(dāng)x=2時(shí)，y=-

7.（1）求y與無的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=5時(shí)，求y的值.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)5（1,,九）在該函數(shù)圖象上，求相的值.

知識點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比

例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與％軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.

2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：

(1)列表：自變量的取值應(yīng)以o為中心，在o的兩側(cè)取三對(或三對以上)互為相反數(shù)的值，填寫y

值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；

(2)描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點(diǎn)；

(3)連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序

連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐

標(biāo)軸相交;

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

特別說明：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)

的增減性都是由反比例系數(shù)左的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出

左的符號.

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【例3】關(guān)于反比例函數(shù)>=-—,下列說法不正確的是()

x

A.函數(shù)圖象分別位于第二、四象限B.函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱

C.函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-6,-2)D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大

A.左的值有可能為2B.圖象位于第二、四象限

X

1.反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積

2.涉及三角形的面積型

當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解.

1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S^ABC=2S^ACO=\k\;

【例4】如圖，矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，各邊分別與坐標(biāo)軸平行，其中一邊A3交》軸于點(diǎn)

C,交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)P,且點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，已知圖中陰影部分的面積為8,則該反比例函數(shù)的

表達(dá)式是（）

【變式1】如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=6/x的圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，與

坐標(biāo)軸構(gòu)成矩形OAPB,點(diǎn)D是矩形OAPB內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA、DB、DP、DO,則圖中陰影部分

的面積

A.1B.2C.3D.4

A.2B.3C.4D.5

D.5

知識點(diǎn)五、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題

1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識解決

問題.

2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系

數(shù)用字母表示.

（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).

（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.

（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問題.

（1）小芳家與學(xué)校之間的距離是多少？（2）寫出》與x的函數(shù)表達(dá)式；（3）若小芳7點(diǎn)20分從家出發(fā)，預(yù)計(jì)到

校時(shí)間不超過7點(diǎn)28分，請你用函數(shù)的性質(zhì)說明小芳的騎車速度至少為多少？

y（min）

【變式】學(xué)校的學(xué)生專用智能飲水機(jī)里水的溫度》（℃）與時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)水

的溫度為20℃時(shí)，飲水機(jī)自動(dòng)開始加熱，當(dāng)加熱到100℃時(shí)自動(dòng)停止加熱（線段A3）,隨后水溫開始下

降，當(dāng)水溫降至20℃時(shí)（BC為雙曲線的一部分），飲水機(jī)又自動(dòng)開始加熱……根據(jù)圖中提供的信息、，解

答下列問題：（1）分別求出飲水機(jī)里水的溫度上升和下降階段y與％之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）下課時(shí)，同學(xué)們紛紛用水杯去盛水喝.此時(shí)，飲水機(jī)里水的溫度剛好達(dá)到100℃.據(jù)了解，飲水機(jī)1

分鐘可以滿足12位同學(xué)的盛水要求，學(xué)生喝水的最佳溫度在30℃~45℃,請問在大課間30分鐘時(shí)間里有

多少位同學(xué)可以盛到最佳溫度的水？

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知識點(diǎn)六、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用

1.當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù);

2.當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù);

3.在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù);

4.電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).

【例6】.（2023?小店區(qū)校級模擬）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)

力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即尸1義心=乃乂心.如圖，鐵架臺(tái)左側(cè)鉤碼的個(gè)數(shù)與位置都不

變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側(cè)力尸與力臂工滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

【變式1】.（2023?橋西區(qū)二模）廚師將一定質(zhì)量的面團(tuán)做成拉面時(shí)，面條的總長度y（m）是面條橫截面面

積5（〃〃/）的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過A（4,30）,B（2,6）兩點(diǎn)（如圖），則下列說法錯(cuò)誤的是（

(S>0)

B.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,60）

C.若面條的總長度為100m,則面條的橫截面面積為12mm2

D.若面條的橫截面面積不超過0.8加扇，則面條的總長度不超過150機(jī)

【變式2】.（2023?恩施市模擬）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓〃（單

位：kPa）是氣體體積V（單位：〃尸）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120狂力時(shí),

氣球?qū)⒈?為了安全起見，氣球的體積應(yīng)（）

B.不小于41n3

5

D.小于匡取3

5

【變式3】.（2023?新華區(qū)校級模擬）如圖，曲線表示溫度7（℃）與時(shí)間f（/z）之間的函數(shù)關(guān)系，它是一個(gè)

反比例函數(shù)的圖象的一支.當(dāng)溫度TW2℃時(shí)，時(shí)間/應(yīng)（）

C.不小于3/7D.不大于3/7

3322

【變式4J.（2023?東海縣一模）某個(gè)亮度可調(diào)節(jié)的臺(tái)燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電

流的變化來實(shí)現(xiàn).如圖所示的是該臺(tái)燈的電流/（A）與電阻R（C）的關(guān)系圖象，該圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（880,

0.25）.根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（）

B./與R的函數(shù)關(guān)系式是I著9（R〉O）

R

C.當(dāng)尺>1000時(shí)，/>0.22

D.當(dāng)880VRV1000時(shí)，/的取值范圍是0.22V/V0.25

【變式5】.（2023?大同模擬）遠(yuǎn)視眼鏡的鏡片是凸透鏡，鏡片的度數(shù)y（度）（y＞0）是關(guān)于鏡片焦距x（初

（尤＞0）的反比例函數(shù)，當(dāng)y=200時(shí)，x=0.5.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.y與x的函數(shù)關(guān)系式為了=也?（尤＞0）

X

B.y隨尤的增大而減小

C.當(dāng)遠(yuǎn)視眼鏡的鏡片焦距是0.2時(shí)，該鏡片是500度

D.若一副遠(yuǎn)視眼鏡的度數(shù)不大于400度，則焦距不大于0.25根

【變式6】.（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）某蓄電池的電壓為48匕使用此蓄電池時(shí)，電流/（單位：A）與電

阻R（單位：Q）的函數(shù)表達(dá)式為I*.當(dāng)R=6Q時(shí)，/的值為A.

R一

【變式7】.（2023秋?新城區(qū)校級期中）小明要把一篇文章錄入電腦，完成錄入的時(shí)間y（分）與錄入文字

的速度x（字/分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明在19：20開始錄入，要求完成錄入時(shí)不超過19：40,小明每分鐘至少應(yīng)錄入多少個(gè)字？

【核心素養(yǎng)提升】

1.數(shù)學(xué)建模構(gòu)建反比例函數(shù)模型解決實(shí)際問題

1.水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2104千克，為尋求合適的銷售價(jià)格，進(jìn)行了8天試銷，試銷情況如下:

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天

售價(jià)X（元不克）400300250240200150125120

銷售量y（千克）30404850608096100

觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)格》（元/千克）之間

的關(guān)系.現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)格了（元/千克）之間都滿足這一關(guān)

系.

（1）寫出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為150元/

千克，并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定價(jià)繼續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過2天內(nèi)全部售出，此時(shí)

需要重新確定一個(gè)銷售價(jià)格，使后面兩天都按新的價(jià)格銷售，那么新確定的價(jià)格最高不超過每千克多少元

才能完成銷售任務(wù)？

2.數(shù)學(xué)建模構(gòu)建方程（組）模型求函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)

3.數(shù)形結(jié)合思想

4.分類討論思想

【中考聚焦】

熱點(diǎn)1.反比例函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)

1.（2023?呼和浩特）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-依+左與y上年戶0）的大致圖象可能為（）

2.（2023?武漢）關(guān)于反比例函數(shù)y用，下列結(jié)論正確的是（）

X

A.圖象位于第二、四象限

B.圖象與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)

C.圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨尤的增大而減小

D.圖象經(jīng)過點(diǎn)（a,。+2）,貝!］。=1

3.（2023?甘孜州）若反比例函數(shù)（kW0）的圖象位于第一、三象限,則k的取值范圍是.

4.（2023?青島）反比例函數(shù)y=@的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（“Z,叫），則反比例函數(shù)的表達(dá)式為.

x8

5.（2023?陜西）如圖，在矩形。42c和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C,尸均在x軸正半軸

上，點(diǎn)。在邊8C上，BC=2CD,AB=3.若點(diǎn)8,E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)

的表達(dá)式是

6.（2023?綿陽）如圖，過原點(diǎn)。的直線與反比例函數(shù)丫上&W0）的圖象交于A（1,2）,8兩點(diǎn)，一次

1x

函數(shù)y2=mx+b（機(jī)W0）的圖象過點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)C（2,〃）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)yi>y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)使得△為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

7.（2023?雅安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0A8C是邊長為2的正方形，點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,

反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)艮

x

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)大于2,SAOBD=3,求直線3。的函數(shù)表達(dá)式.

8.（2023?湘潭）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,4）,點(diǎn)C為OB中點(diǎn).將AABC繞著

點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△?!'BC.

(1)反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)C',求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;

X

(2)一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A，兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

熱點(diǎn)2.反比例函數(shù)中比例系數(shù)K的幾何意義

9.(2023?福建)如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)＞=旦和＞=二的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)

數(shù)n的值為()

A.-3B.-AC.工D.3

33

10.(2022?十堰)如圖，正方形的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)＞=占■(ki＞0)和了=絲(fo＞0)的圖

象上.若軸，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3,則%+依=()

~o

A.36B.18C.12D.9

熱點(diǎn)3.反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

11.(2023?大慶)一次函數(shù)y=-x+機(jī)與反比例函數(shù)y=K的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).

X

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求的面積；

(3)過動(dòng)點(diǎn)T(30)作x軸的垂線/,/與一次函數(shù)y=-x+機(jī)和反比例函數(shù)y=K的圖象分別交于

x

N兩點(diǎn)，當(dāng)/在N的上方時(shí)，請直接寫出r的取值范圍.

12.(2023?蘇州)如圖，一次函數(shù)y=2尤的圖象與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(4,n).將點(diǎn)

x

4沿尤軸正方向平移m個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,。為x軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)D的橫坐

標(biāo)，連接8。，的中點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=K(尤>0)的圖象上.

x

(1)求"，左的值；

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？

13.（2023?甘孜州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=K（k〉0）的圖象

3x

相交于A（3,m）,B兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足ACL2C,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

熱點(diǎn)4.反比例函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

14.（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強(qiáng)尸（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F=PS.當(dāng)F為

定值時(shí)，如圖中大致表示壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）

15.（2023?荊州）已知蓄電池的電壓U為定值，使用蓄電池時(shí)，電流/（單位：A）與電阻R（單位：。）是

反比例函數(shù)關(guān)系（/=旦）.下列反映電流/與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

R

16.（2023?揚(yáng)州）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)p（R?）是氣

球體積丫（蘇）的反比例函數(shù)，且當(dāng)V=3相3時(shí)，p=8000Pa.當(dāng)氣球內(nèi)的氣體壓強(qiáng)大于40000Pa時(shí)，氣

球?qū)⒈ǎ瑸榇_保氣球不爆炸，氣球的體積應(yīng)不小于—m3.

17.（2023?臺(tái)州）科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計(jì)測量液體的密度.密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體

中的高度場（單位：cm）是液體的密度p（單位：g/c機(jī)3）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計(jì)懸浮在密度為Ig/OT?

的水中時(shí)，h=20cm.

（1）求〃關(guān)于p的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)密度計(jì)懸浮在另一種液體中時(shí)，力=25切1,求該液體的密度p.

18.（2023?寧夏）給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（KPa）是氣體體積

V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

（1）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150KP。時(shí)，氣球會(huì)爆炸，若將氣球近似看成一個(gè)球體，試估計(jì)氣球的半徑至

少為多少時(shí)氣球不會(huì)爆炸（球體的體積公式丫=匹幾凡n取3）；

3

（2）請你利用p與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎.

19.（2023?河南）小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)

丫式