拔高點突破05函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：曲率與曲率半徑問題......................................................2

題型二：曼哈頓距離與折線距離....................................................5

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題......................................................6

題型四：凹凸函數(shù)................................................................8

題型五：二元函數(shù)問題............................................................9

題型六：切線函數(shù)新定義.........................................................11

題型七：非典型新定義函數(shù).......................................................12

題型八：拐點、好點、不動點、S點..............................................14

題型九：各類函數(shù)新概念.........................................................16

03過關(guān)測試....................................................................17

方法技巧與總結(jié)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾?/p>

考生對函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，

重點考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.

2、設(shè)尸（%,%）,0（9,%）為平面上兩點，則定義昆-4+昆-為“折線距離”“直角距離”或“曼哈

頓距離“，記作d（P,Q）=—七|+|y2—|.

結(jié)論1：設(shè)點P（毛,為）為直線/:Ax+互y+C=O外一定點，。為直線/上的動點，則

|Ax0+By0+C|

d(RQ)min

max{|A|,|B|)

結(jié)論2：設(shè)點P為直線獨+或+G=0上的動點，點。為直線獨+8,+。2=0上的動點，則

d(pQ)=―匕-_

題型一：曲率與曲率半徑問題

【典例1-1】（2024?浙江溫州?二模）如圖，對于曲線「，存在圓C滿足如下條件:

①圓C與曲線「有公共點A,且圓心在曲線「凹的一側(cè)；

②圓C與曲線「在點A處有相同的切線；

③曲線「的導(dǎo)函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線r的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓C在點A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

,2

（》-耳2+仃-32=產(chǎn)在點&&,%）處的二階導(dǎo)數(shù)等于而二三）；

則稱圓C為曲線「在A點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

（1）求拋物線y=/在原點的曲率圓的方程；

⑵求曲線y=1的曲率半徑的最小值；

X

⑶若曲線丫=1在（占,e*1）和（％,非）（芯片9）處有相同的曲率半徑，求證：Xi+9<Tn2.

【典例1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認(rèn)知.由于地形等原因，在

修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度.如圖所示的光滑

曲線C上的曲線段設(shè)其弧長為As,曲線C在A,8兩點處的切線分別為如乙，記如。的夾角為

△9

-K(x)=lim

0,^，定義K=丁為曲線段AB的平均曲率，定義-o①

△s

。，=/（%）在其上一點4（尤4）處的曲率.（其中/（X）為A*）的導(dǎo)函數(shù)，尸'（X）為了'（X）的導(dǎo)函數(shù)）

⑵記圓/+/=2025上圓心角為方的圓弧的平均曲率為。.

①求。的值；

②設(shè)函數(shù)g（x）=ln（x+45a）-xe*T,若方程g（x）=加（加>0）有兩個不相等的實數(shù)根%,三,證明:

,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，=2.71828....

3e-3e

【變式1-1］定義：若才(無)是［X)的導(dǎo)數(shù),W(X)是/7(X)的導(dǎo)數(shù)，則曲線y=〃(x)在點(x,/l(x))處的曲率

K.|“(到

71,g(x)=x+(2a—l)cosx,，＜；),曲線y=g(x)在點

(「;已知函數(shù)/(x)=e*sin—+X

{1+[//?)2

(0,g(0))處的曲率為立；

4

⑴求實數(shù)a的值;

兀

(2)對任意xe--,0，時(x)2g，(x)恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍;

⑶設(shè)方程/(x)=g'(x)在區(qū)間12師+京2河+果(〃€?4*)內(nèi)的根為為,馬,...,匕，…比較x”+［與x“+2兀的大小,

并證明.

【變式1-2］(2024?湖北黃岡?二模)第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會(簡稱“高交會”)在深圳

閉幕.會展展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)

代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=/(x)上

的曲線段A3,其弧長為今,當(dāng)動點從A沿曲線段A3運動到3點時，A點的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動到3點的

切線％，記這兩條切線之間的夾角為(它等于4的傾斜角與乙的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長固定時，

-ZA(7

夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=二為

曲線段A3的平均曲率；顯然當(dāng)3越接近A,即冬越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度,

因此定義*=罌兀；J(若極限存在)為曲線C在點A處的曲率.(其中y',曠分別表示

(1+V)2

y=/(x)在點A處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)已知拋物線X2=2py(p>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為3,則在該拋物線上點(3,丁)處的曲率是多少？

%

11fp-x]

⑵若函數(shù)g（無）不等e式J?g（2-Coss）對于xeR恒成立，求。的取值范圍；

（3）若動點A的切線沿曲線/（x）=2/-8運動至點3（x,"（x"））處的切線，點3的切線與x軸的交點為

（加⑼（〃eN）若占=4,b“=x“-2,7”是數(shù)列間的前力項和，證明（<3.

題型二：曼哈頓距離與折線距離

【典例2-1]（2024?甘肅蘭州?一模）定義:如果在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別為（公,匕），

（工2，，2），那么稱d（A3）=%-閭+回-%|為A，8兩點間的曼哈頓距離.

⑴已知點做，必分另1J在直線x—2y=0,2x-y=0上，點M（0,2）與點乂，小的曼哈頓距離分別為

d（M,N）,d（M,N1,求d（MM）和d（MM）的最小值;

（2）已知點N是直線x+Fy+2k+l=0（Q0）上的動點，點“（0,2）與點N的曼哈頓距離d（MN）的最小值

記為〃人）,求/（左）的最大值；

⑶已知點M（e:公），點（左，加，“wR,e是自然對數(shù)的底），當(dāng)上41時，d（",N）的最大值為

/（?,〃），求的最小值.

【典例2-2]（2024?高三?廣西防城港?階段練習(xí)）若設(shè)"（。,〃）=麻-1|+麻-2|+--+向-〃|為曼哈頓擴(kuò)張距

離，它由"個絕對值之和組成，其中"為正整數(shù).如：

M（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2x-4|+|2^-5|+|2^-6|

⑴若M（1,2）W5,求x的取值范圍；

⑵若M（3,2）2相對一切實數(shù)X恒成立，設(shè)a>0,b>0,且°2+爐=加+1,求2a+6的最大值.

【變式2-1]（2024?高三.北京?期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提

出來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段|A卻是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我

們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用d(AB)表示，又稱

“曼哈頓距離”，即d(A5)4<C|+|CB|,因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若A4,%),3(”),則

d(AB)=hf|+|y2fl

⑴①點A(3,5),B(2,-l),求d(AB)的值.

②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

⑵已知點8(1,0),直線2x-y+2=0,求8點到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個點為4=(.y,z,),i=L2,3,4,且毛，％,z;e{0,l}.設(shè)其中所有兩點“曼哈頓距離”

的平均值即2,求2最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo).

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題

【典例3-1】(2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試)定義：雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=1；e:雙曲正弦函數(shù)

sinh(x)=￡_￡I.

⑴求函數(shù)〉=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；

(2)若函數(shù)=log9[cosh(2x)-asinh(JC)]在R上的最小值為-I,求正實數(shù)a的值；

sinh(x)1

⑶求證：對任意實數(shù)k,關(guān)于％的方程)<=>+彳總有實根.

cosh(x)2

【典例3-2】(2024?高三?福建寧德?期末)固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈

XX

線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程,_c(e，+e'),其中c為參數(shù).當(dāng)。=1時，就是雙曲余弦函數(shù)

”2-

X,-xX_-X

coshx=匚J,類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx==^.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

22

(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結(jié)論:sinh2x=.(只寫出

即可，不要求證明)；

(2)Vxe[-l,l],不等式cosh2%+/cosh%NO恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若稱],試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式3-1](2024?上海寶山?模擬預(yù)測)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函

數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh(x)=￡F，雙曲余弦函數(shù)：

cosh(x)=CF，㈠是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)解方程：cosh(x)=2；

(2)寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh(x+y)=,并證明；

(3)無窮數(shù)列{%},%=a，??+1=2^-1,是否存在實數(shù)。，使得出以=:?若存在，求出。的值，若不

存在，說明理由.

題型四：凹凸函數(shù)

【典例4-1](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)定義:函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),我們稱函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函

數(shù)尸'(X)為函數(shù)/(力的二階導(dǎo)函數(shù).已知p(x)=e，M+3),q(x)^ex+ax+2.

(1)求函數(shù)p(x)的二階導(dǎo)函數(shù)；

(2)已知定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：對任意R,g〃(x)>0恒成立.尸為曲線〉=g(x)上的任意一點.求

證：除點尸外，曲線y=g(x)上每一點都在點尸處切線的上方；

(3)試給出一個實數(shù)。的值，使得曲線;y=p(x)與曲線y=q(x)有且僅有一條公切線，并證明你的結(jié)論.

【典例4-2】記V(力=(:/'(X)為/⑺的導(dǎo)函數(shù).若對Vxe，/(力>0,則稱函數(shù)y=〃x)為。

上的“凸函數(shù)”.己知函數(shù)〃尤)="_33一.aeR

(1)若函數(shù)/(x)為R上的凸函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=〃x)-x在(1,+?)上有極值，求4的取值范圍.

【變式4-1】設(shè)g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若g'(x)是定義域為D的增函數(shù),則稱g(x)為D上的“凹函數(shù)”，已

知函數(shù)/(1)=*+加+。為R上的凹函數(shù).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)//(x)=e，-g尤2-尤-1,證明：當(dāng)x>0時，/?(%)>0,當(dāng)x<0時，/?(x)<0.

1451

(3)證明：f(x)>—x3+—x2+x+—.

、,24444

【變式4-2](2024?上海普陀?一模)若函數(shù)>=同時滿足下列兩個條件，貝U稱y=在D

上具有性質(zhì)M.

①y=/(x)在。上的導(dǎo)數(shù)/'(X)存在；

②>=r(x)在。上的導(dǎo)數(shù)/(可存在，且/"(%)>o(其中y"(x)=[_r(x)]')恒成立.

⑴判斷函數(shù)y=lg：在區(qū)間(0,+的上是否具有性質(zhì)M?并說明理由.

(2)設(shè)4、6均為實常數(shù)，若奇函數(shù)8(力=2丁+++三在彳=1處取得極值，是否存在實數(shù)C,使得y=g(x)

在區(qū)間[c,E)上具有性質(zhì)M?若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)左?Z且無>0,對于任意的xe(O,W),不等式1+M(x+1)>_L成立,求上的最大值.

XX+1

題型五：二元函數(shù)問題

【典例5-1](2024?高三?湖南?階段練習(xí))設(shè)A是有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的非空集，3是實數(shù)集，如果對于集合A

中的任意一個有序?qū)崝?shù)對(羽丁)，按照某種確定的關(guān)系/,在3中都有唯一確定的數(shù)z和它對應(yīng)，那么就稱

8為從集合A到集合3的一個二元函數(shù)，記作z=/(x,y),(x,y)eA,其中A稱為二元函數(shù)/的定

義域.

12

⑴已知f(x,y)=^x+y,a=(xl,yl'),B=(x2,>2),若/伍)=1,/(方)=2,―+%%=1，求/他+可；

(2)非零向量〃=(%,%)，若對任意的=A用>0,記e=(x,y),都有/伍)</伍+砌,則稱/

在。上沿〃方向單調(diào)遞增.已知/(%耳=6中'+/5€艮”1i.請問/在｛(無切x,yeR｝上沿向量(1,1)方向

單調(diào)遞增嗎？為什么？

(3)設(shè)二元函數(shù)/的定義域為。，如果存在實數(shù)M滿足：

①V(x,y)e。，都有

②丸與，:Vo)使得〃%,%)=A/.

那么，我們稱〃是二元函數(shù)f的最小值.求

/(jc,y)=y+sin2%+(--yJcos2%,(%,y)ej(^,y)|,^eR,i<^<2!>的最大值.

【典例5-2】(2024.江蘇鹽城?模擬預(yù)測)根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條

件g(%》)的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,A)=/(x,y)+Ag(x,y),其中2為拉格

朗日系數(shù).分別對中的X,%%部分求導(dǎo)，并使之為0,得到三個方程組，如下：

Lx(x,y,A)=fx(x,y)+Agx(x,y)=。

<Ly(x,y,A)=fy(x,y)+Agy(x,y)=Q,解此方程組，得出解5y),就是二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條件

L式尤,y,2)=g(尤,y)=。

g(x,y)的可能極值點.的值代入到/(x,y)中即為極值.

補充說明：【例】求函數(shù)/(x,y)=/+移+V關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù).即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，即：

工(羽y)=2x+y,下標(biāo)加上"代表對自變量x進(jìn)行求導(dǎo).即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的4,4,乙表示

分別對進(jìn)行求導(dǎo).

⑴求函數(shù)了(羽田一歹+2盯+盯2關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)云=1處的導(dǎo)數(shù)值.

22

(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)x，丫滿足g(x,y)=4x+y+xy-l=0,求f(x,y)=2x+y的最大值.

(3)①若為實數(shù)，且x+y+z=l,證明：x2+y2+z2>|.

,11,

②設(shè)。>6>c>0,求2。一+—+------10ac+25c~的最小值.

aba{a-b)

【變式5-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知變量x,y,z,當(dāng)尤，y在某范圍。內(nèi)任取一組確定的值時，若變

量z按照一定的規(guī)律力總有唯一確定的x,y與之對應(yīng)，則稱變量z為變量x,y的二元函數(shù)，記作

z=/(x,y).己知二元函數(shù)/(尤,y)=2x+；(yw0).

(1)若孫>0,求的最小值.

(2)對任意實數(shù)為不等式『伍可+|八羽24)|20恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題型六：切線函數(shù)新定義

【典例6-1】若兩個函數(shù)y=/(x)與y=g(x)在x=%處有相同的切線，則稱這兩個函數(shù)相切，切點為

(%，/(%)).

⑴判斷函數(shù)y=sinx與y=X是否相切；

⑵設(shè)反比例函數(shù)y△與二次函數(shù)廣加+陽。/0)相切，切點為求證：函數(shù)y=，與y=-+"恰有

兩個公共點；

⑶若0＜”1,指數(shù)函數(shù)、=優(yōu)與對數(shù)函數(shù)y=10g〃相切，求實數(shù)。的值；

(4)設(shè)(3)的結(jié)果為4,求證：當(dāng)。＜。＜4時，指數(shù)函數(shù)＞=/與對數(shù)函數(shù)y=log,x的圖象有三個公共點.

【典例6-2]對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)/(X),若對在/(X)定義域內(nèi)的給定常數(shù)a,存

在數(shù)列｛風(fēng)｝滿足生在/(x)的定義域內(nèi)且%＞。，且對2,〃eN*,y=在區(qū)間(a,)的圖象上有且

僅有在x=a“一個點處的切線平行于(a,y(a))和(?！?(%))的連線，則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)/⑺的“。關(guān)

聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.

⑴若函數(shù)〃力=必，證明：VaeRj(x)都存在“。關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；

⑵若函數(shù)g(x)=(x-l)3,數(shù)列｛為｝為函數(shù)g(x)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列“，且％=百+1,求｛%｝的通項公

式；

(3)若函數(shù)/z(x)=W+6siiu,數(shù)列也｝為函數(shù)/心)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)歹U也｝的前"項和為S”,

證明：當(dāng)機(jī)21,匕2。時，Sn+bn＞(n-\)b+2bx.

【變式6-1](2024?廣西?二模)定義：若函數(shù)/(x)圖象上恰好存在相異的兩點尸，。滿足曲線y=/(x)

在P和。處的切線重合，則稱P,。為曲線y=f(x)的“雙重切點”，直線PQ為曲線y=的“雙重切線”.

⑴直線y=x-|是否為曲線/3=3尤2-2.2L的“雙重切線”，請說明理由；

ex+l,x<0,

⑵已知函數(shù)g（尤）=＜4求曲線y=g(x)的“雙重切線”的方程;

6——,x>0,

x

（3）已知函數(shù)%（x）=cosx,直線尸Q為曲線y=/z（x）的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值為

k15

左，左2,…色，若左＞左2＞尢（'=3,4,5,???,〃）,證明：.

o

【變式6-2]（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)域和復(fù)

數(shù)域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜想某個方程/（力=0的其中一個根r在x=x。的附近，如

圖所示，然后在點（%,八％））處作/（x）的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)就是巧，用巧代替％重復(fù)上面的

過程得到巧；一直繼續(xù)下去，得到無。，4，巧，……,xn.從圖形上我們可以看到々較為接近小巧較百

接近r,等等.顯然，它們會越來越逼近丁于是，求r近似解的過程轉(zhuǎn)化為求得,若設(shè)精度為￡,則把首

次滿足的》.稱為「的近似解.

已知函數(shù)/'（尤）=X3+（。一2）%+。，＜2GR.

（1）當(dāng)。=1時，試用牛頓迭代法求方程/（x）=o滿足精度€=0.5的近似解（取毛=-1,且結(jié)果保留小數(shù)點

后第二位）；

⑵若/⑴一寸+/出“，求4的取值范圍.

題型七：非典型新定義函數(shù)

【典例7-1]（2024?湖南長沙?二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數(shù)在一點的一個鄰域（包含該點

的開區(qū)間)內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大(小)，這函數(shù)在該點處的值就是一個極大(小)

值.

對于函數(shù)y=/(x),設(shè)自變量尤從與變化到%+Ax,當(dāng)Ax>0,1加”與+一)一“無°)是一個確定的值,

-Ax

則稱函數(shù)y=/(x)在點/處右可導(dǎo)；當(dāng)Ax<0,lim〃無。+一)-"與)是一個確定的值,則稱函數(shù)

—Ax

y=/(x)在點/處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)y=/(x)在點％處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)y=/(x)在

點吃處可導(dǎo).

(1)請舉出一個例子，說明該函數(shù)在某點處不可導(dǎo)，但是該點是該函數(shù)的極值點；

(2)已知函數(shù)/(x)=x2ell>+1-x3sinx-ex2.

(i)求函數(shù)g(x)=e。'汩一xsinx—e在x=0處的切線方程；

(ii)若x=。為/(力的極小值點，求。的取值范圍.

【典例7-2】(2024?高三?重慶?期中)若函數(shù)/(力在定義域內(nèi)存在兩個不同的數(shù)為馬,同時滿足

/(%)=/⑸,且“X)在點(不〃%)),(9點(9))處的切線斜率相同,則稱“X)為“切合函數(shù)”

⑴證明:/(x)=V-2x為“切合函數(shù)”；

⑵若8(同=疝江-爐+依為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個數(shù)為不忍.

(i)求證：再無2<；；

(ii)求證：(a+l)2尤I%—.

【變式7-1](2024?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)_y=/(x),xeD,如果存在常數(shù)對任意滿足

玉<9<…%<X”的實數(shù)玉,3,X,T，%,其中玉,馬,…％,X“€￡>,都有不等式乞J/(七)一/(4J|<M

4=2

恒成立，則稱函數(shù)y=/(x),xe。是“絕對差有界函數(shù)”

(1)函數(shù)〃尤)=牛,尤2(是“絕對差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍;

(2)對于函數(shù)y=/(x),xe［a,6］,存在常數(shù)后，對任意的玉?。,可，有，(%)-/(無2)歸左忖卜恒成立，

求證：函數(shù)y=/(x),xe［a,6］為“絕對差有界函數(shù)”

71

cos__0］

(3)判斷函數(shù)/(力=5?.一是不是“絕對差有界函數(shù)”？說明理由

0,x=0

【變式7-2］(2024?上海?三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為D,對于區(qū)間/=k,句(/=。)，當(dāng)且僅當(dāng)函

數(shù)y=/(可滿足以下①②兩個性質(zhì)中的任意一個時，則稱區(qū)間/是y=/(x)的一個“美好區(qū)間

性質(zhì)①：對于任意與￡/,都有了(Xo)e/；性質(zhì)②：對于任意&?/,都有/(毛)仁/.

⑴已知/卜)=-尤2+2九xeR.分別判斷區(qū)間［0,2］和區(qū)間［1,3］是否為函數(shù)y=/(x)的“美好區(qū)間”，并說

明理由；

(2)已知f(x)=gd-/一3》+i2(xwR)且相＞0,若區(qū)間［0,m］是函數(shù)y=/(x)的一個“美好區(qū)間”，求實數(shù)

冽的取值范圍；

(3)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對于任意。＜6,都有

f(a)-f(b)＞b-a.求證：函數(shù)y=/(x)存在“美好區(qū)間”，且存在％eR,使得與不屬于函數(shù)y=/(x)的

任意一個“美好區(qū)間”.

題型八：拐點、好點、不動點、S點

【典例8-1］(2024?高三?福建泉州?期中)記/'(X)、g'(x)分別為函數(shù)/(力、g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在

x°eR,滿足/(%)=8(%)且/'(%)=8'(不)，則稱與為函數(shù)/(x)與g(x)的一個“S點”.

(1)證明：函數(shù)〃x)=x與g(x)=^+2x-2不存在“S點”;

(2)若函數(shù)/(%)=加-1與g(x)=lnx存在“S點”，求實數(shù)。的值.

【典例8-2】對于函數(shù)/(尤)，若存在實數(shù)%滿足/(%)=%,則稱%為函數(shù)/(x)的一個不動點.已知函數(shù)

/(x)=x3+cuC+bx+3,其中

⑴當(dāng)a=0時，

Ci)求/(x)的極值點；

(ii)若存在/既是/(%)的極值點，又是/(x)的不動點，求6的值：

(2)若/(無)有兩個相異的極值點多，巧，試問：是否存在a,b使得百，巧均為/(x)的不動點？證明你

的結(jié)論.

【變式8-1】記y=/'(%),y=g'(x)分別為函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x°eR,滿足

/(%)=g(%)且/'(%)=g'(%)，則稱X。為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的一個“好點”.

(1)判斷函數(shù)〃力=尤與g(x)=V—x+l是否存在“好點”,若存在，求出“好點數(shù)若不存在，請說明理由;

⑵若函數(shù)了(*)=+-1與g(x)=lnx存在“好點”，求實數(shù)a的值；

(3)已知函數(shù)〃同=-爐+。,g(尤)=若存在實數(shù)。>o,使函數(shù)y=/(x)與y=g(x)在區(qū)間(2,+co)內(nèi)

存在“好點”，求實數(shù)匕的取值范圍.

【變式8-2］給出定義：設(shè)/'(X)是函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)，/(X)是函數(shù)［卜)的導(dǎo)函數(shù)，若方程

/"(X)=0有實數(shù)解方=%,則稱為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)

/(%)=加+/?/+5+4(4/0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(x)圖象的對稱中心.

⑴若函數(shù)1,求函數(shù)〃x)圖象的對稱中心；

1o5

(2)已知函數(shù)g(x)=2mx3+^61n(mx)-15］x2+一x---+1,其中%>0.

(i)求g(%)的拐點;

(ii)若g(xJ+g(%2)=2(0<Xi<X2)，求證：0<玉<,<3—

【變式8-3](2024?河南?三模)設(shè)函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)J'(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x)J〃(x)的導(dǎo)函數(shù)

為〃(x).若/[)=0,且/'5)/0,則為曲線y=/(x)的拐點.

(D判斷曲線y=/是否有拐點，并說明理由；

⑵已知函數(shù)/(同=加-5》3,若專,f號為曲線y=/(x)的一個拐點，求〃力的單調(diào)區(qū)間與極值.

題型九：各類函數(shù)新概念

【典例9-1】定義：函數(shù)機(jī)(x),w(x)的定義域的交集為。，A^D,若對任意的X°WA,都存在占

使得多,后,巧成等比數(shù)列，加(見)，〃(天)，M伍)成等差數(shù)列，那么我們稱〃2(X)，”(%)為一對“K函

數(shù)”，已知函數(shù)了(力=4一,吟，g(x)=ox,(7>0.

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求證：/(力2、(4一&)；

(111)若4=[1,內(nèi))，對任意的aeS,/(x),g(x)為一對“K函數(shù)”，求證：5曰1,*.(e為自然對數(shù)的

底數(shù))

【典例9-2】(2024?山東?模擬預(yù)測)如果/i(x)是定義在區(qū)間。上的函數(shù)，且同時滿足：①磯幻"x)>o；

②〃'(x)與力(x)的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)/z(x)在區(qū)間。上是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”.已知函數(shù)/(x)=eX-1_xT,

(1)判斷函數(shù)“X)與g(x)在(0,+8)上是否是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”，并說明理由;

(2)求證：當(dāng)x>0時，ex+cosx-2>------

3+cosx

【變式9-1](2024?上海奉賢?一模)若函數(shù)y=/(x)滿足：對任意的實數(shù)s,fe(0,+co),有

/(s+f)>/($)+/⑺恒成立，則稱函數(shù)y=/(x)為“Z增函數(shù)”.

(1)求證：函數(shù)V=sinx不是“z增函數(shù)”；

⑵若函數(shù)y=是“Z增函數(shù)”，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)g(x)=e*ln(l+x),若曲線y=g(x)在x=x0處的切線方程為，=%求%的值，并證明函數(shù)y=g(x)

是增函數(shù)”.

【變式9-2](2024?高三?陜西安康?期末)已知函數(shù)/(x)=(61nx-3)d+12G；(aeR).

(1)若/(同在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)定義：若/(%)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且/(x)+g(x)在其定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，則稱g(x)為了⑺的

“協(xié)同增函數(shù)”.

已知函數(shù)g(x)=4/—i8&+12(2-a)x,若g(x)是的“協(xié)同增函數(shù)”，求。的取值范圍.

1.(2024?湖北?二模)記4={/(刈/(同=履+加,％,加€1i},若/。⑺6人，滿足：對任意/(x)eA,均有

maxJ/M-ZU)|>端"(x)-/°(x)|,則稱/°(x)為函數(shù)〃尤)在xe[a,句上“最接近”直線.已知函數(shù)

g(x)=21nx-x2+3,xe[r,5].

⑴若g（r）=g（s）=O,證明：對任意/（元）eAmax|g（x）-Z（x）|>l；

（2）若廠=1,s=2,證明：g（x）在xe［l,2］上的“最接近”直線為：/。⑺二⑵一一3）1一臂產(chǎn)+手）,

其中工?1,2）且為二次方程2爐+（21112-3卜-2=0的根.

2.（2024?高三?浙江寧波?期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎

曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=/（x）上的曲線段AB，其弧長為冬,當(dāng)動點從A沿曲線段AB

運動到2點時，A點的切線〃也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線記這兩條切線之間的夾角為（它等于4的

傾斜角與乙的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，

一八F7

弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=丁為曲線段A8的平均曲率；顯然當(dāng)2越接近4即As越

小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義*=35向J（若極限存在）為

（1+竹

曲線C在點A處的曲率.（其中曠，y"分別表示y=/（x）在點A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率；

⑵求橢圓］+丁=1在］五處的曲率；

⑶定義9（y）=;一號為曲線y=〃x）的“柯西曲率”.已知在曲線〃x）=xlnx-2x上存在兩點

0+y）

尸國〃占））和口（々,〃9））,且P,。處的“柯西曲率”相同，求沃+病的取值范圍.

3.（2024?高三?遼寧?期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲

線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'(X)是/(力的導(dǎo)函數(shù),

/"(X)是/'(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(無,〃力)處的曲率K3

2

⑴求曲線=lnx+x在(1』)處的曲率4的平方;

(2)求余弦曲線/z(x)=cosx(xeR)曲率K?的最大值;

4.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若|尸(切＜1對任意xeR恒成立,則稱函數(shù)/⑴為“線

性控制函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)/(x)=siiu和g(x)=e*是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(%)為“線性控制函數(shù)”，且/(力在R上嚴(yán)格增，設(shè)48為函數(shù)/(x)圖像上互異的兩點，設(shè)直線

A3的斜率為匕判斷命題“0＜左VI”的真假，并說明理由；

⑶若函數(shù)/⑺為“線性控制函數(shù)”，且/(尤)是以T(T＞0)為周期的周期函數(shù)，證明：對任意占,馬都有

5.(2024?上海徐匯?二模)已知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=/(x),xe[0,l]滿足：對任意小々目0』，

|/(占)-/(%)|，(％+琰-(％+1升，則稱函數(shù)y=/(x)為L(左)函數(shù).

⑴函數(shù)y=2x,xe[0,l]是否為“2)函數(shù)？請說明理由；

⑵若y=/(x)為乙⑴函數(shù)，圖像在xe[0,l]是一條連續(xù)的曲線，/(0)=0,/(1)=|,且/(X)在區(qū)間

(0,1)上僅存在一個極值點，分別記了⑺颯、1fa為函數(shù)y=/(x)的最大、小值，求/⑺峰-/⑴皿

的取值范圍;

(3)若a>0,/(x)=0.05x2+O.lx+aln(x+l),且y=/(x)為L(-l)函數(shù)，g(x)=/'(x),對任意x,ye[0,1],

恒有|g(x)-g(y)|wM,記M的最小值為M(a),求。的取值范圍及M(。)關(guān)于。的表達(dá)式.

6.(2024?上海奉賢?二模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/'(X).若存在常數(shù)加(meR),

使得/(^+m)=-/(%)對一切%恒成立，那么稱函數(shù)y="X)具有性質(zhì)?(他).

⑴求證：函數(shù)y=e，不具有性質(zhì)尸(〃z)；

(2)判別函數(shù)'=41^是否具有性質(zhì)p(〃z).若具有求出用的取值集合；若不具有請說明理由.

k

7.(2024?河北石家莊?一模)已知函數(shù)〃x)=2x-^-(左+l)lnx,k>0.

⑴當(dāng)上=1時，過坐標(biāo)原點。作曲線y=〃x)的切線，求切線方程；

⑵設(shè)定義在/上的函數(shù)y=/z(x)在點P5,%)處的切線方程為y=/(x),對任意"而，若

伍⑺-%)>0在/上恒成立，則稱點P為函數(shù)y=〃(x)的“好點”，求函數(shù)y=/(x)在(0,+的上所

有“好點”的橫坐標(biāo)(結(jié)果用k表示).

8.對于定義在￡>上的函數(shù)〃力，其導(dǎo)函數(shù)為r(x).若存在心。，使得/")=/(%),且X〃是函數(shù)

/(%)的極值點，則稱函數(shù)/(%)為“極致k函數(shù)”.

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=x+atanx,其中一■〈尤<^，aeR.

①若/(x)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

②證明：函數(shù)/(力不是“極致。函數(shù)

(2)對任意證明:函數(shù)g(x)=xsinx+加cosx-m是“極致0函數(shù)”.

9.曲線的曲率定義如下：若尸（X）是曲尢）的導(dǎo)函數(shù),/"（X）是尸（X）的導(dǎo)函數(shù),則曲線y=/（x）在點

"”。)1

?/（無））處的曲率3已知函數(shù)/(x)=，cosX,g(x)=acosx+x[a<0),曲線y=g(x)在

{i+[/Wp

點（。送⑼）處的曲率為￥.

（1）求實數(shù)。的值；

（2）對任意的代-pO,恒成立，求實數(shù)f的取值范圍；

（3）設(shè)方程/（x）=g'（x）在區(qū)間（2〃無+5,2〃無+?（?eN+）內(nèi)的根從小到大依次為王,x,,…，求證:

x,+i-%>2TT.

10.（2024?湖南永州?三模）曲線的曲率定義如下：若/（X）是/a）的導(dǎo)函數(shù)，令?（無）=/'（無）,則曲線

y=/（x）在點（％/（尤））處的曲率*=”.已知函數(shù)f（x）^—+x（a>0）,g（x）=（x+l）ln（x+l）,

（l+[r（x）]-）2a

且fM在點（0J（0））處的曲率K;顯.

4

（1）求〃的值，并證明：當(dāng)冗>0時,/（%）〉g（%的

（2）若2=里魯5,且T,=b1也%…b,（neN*）,求證：5+2）（<J上

11.（2024?江蘇淮安?三模）定義可導(dǎo)函數(shù)y=/（x）在無處的彈性函數(shù)為其中/（X）為/（x）

一（尤）

的導(dǎo)函數(shù).在區(qū)間。上，若函數(shù)/（X）的彈性函數(shù)值大于1,則稱"X）在區(qū)間。上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間。

也稱作了（X）的彈性區(qū)間.

（1）若心）="-尤+1,求“無）的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；

（2）對于函數(shù)/（x）=（x-l）e，+lnxTx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（i）當(dāng)t=0時，求"X）的彈性區(qū)間。；

(ii)若/(x)>i在(i)中的區(qū)間。上恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

12.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=匕詈.

(1)求函數(shù)/(%)的圖象在x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程；

(2)若對任意的xe。，均有機(jī)(力<〃(%),則稱為〃(x)在區(qū)間O上的下界函數(shù)，〃(x)為在區(qū)

間。上的上界函數(shù).

①若g(x)=?U，求證：g(x)為〃力在(0,+。)上的上界函數(shù)；

②若g(x)=￡,g(x)為/(X)在［1,+可上的下界函數(shù)，求實數(shù)上的取值范圍.

13.(2024?高三?全國?課后作業(yè))設(shè)式x)是定義在區(qū)間(1,+◎上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(%).如果存在實

數(shù)。和函數(shù)〃(尤)，其中/i(尤)對任意的xe(l,+8)都有/?(x)>0,使得/'(x)=/z(無)(N-ax+l),則稱函數(shù)/(尤)具有

性質(zhì)P(a).

6+2

⑴設(shè)函數(shù)/(x)=ln元+——-(%>1),其中b為實數(shù).

尤+1

①求證：函數(shù)人x)具有性質(zhì)P(a).②求函數(shù)人x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)尸⑵,給定X/,X2?(1,+8),X/<X2.設(shè)根為實數(shù)，

a=mx1+(l-m)x2,/3=(l-m)x2+fnx2,且a>1,用>1.若|g(a)-g(￡)|<卜(西)一8(%)|，求實數(shù)機(jī)的取值范

圍

14.(2024?甘肅?二模)已知函數(shù)/Q)=e'+，三-1(aeR且。為常數(shù)).

x+1

(1)當(dāng)。=一1時,討論函數(shù)”X)在(-1,討)的單調(diào)性；

(2)設(shè)y=/(x)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)“X)仍可求導(dǎo)數(shù)，則“X)再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱為原函數(shù)y=*x)

的二階函數(shù)，記為『(X),利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個函數(shù)的凹凸性.一個二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間［。,切上

是凸函數(shù)的充要條件是這個函數(shù)在3與的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù).

若g(x)=(x+l)[/U)+l]+(a-3)/在(T?,-1)不是凸函數(shù)，求。的取值范圍.

15.已知函數(shù)/(x)=x?-(a+2)x+alnx,其中實數(shù)a>0.

⑴討論函數(shù)〃力的單調(diào)性；

⑵設(shè)定義在。上的函數(shù)y=〃(x)在點P(x0，M%))處的切線的方程為尸g(x),當(dāng)工￥/時，若

”[*>°在。內(nèi)恒成立，則稱尸為y=〃(X)的“類對稱點”當(dāng)a=4時，試問y="X)是否存在“類對稱

點”？若存在，請至少求出一個"類對稱點”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.曲率是曲線的重要性質(zhì)，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點切線方向?qū)￠L的轉(zhuǎn)動

K『(切

率，設(shè)曲線C：y=〃x)具有連續(xù)轉(zhuǎn)動的切線，在點(蒼/⑼處的曲率[])療，其中/'(")為

小)的導(dǎo)函數(shù)，尸(力為r(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知"x)=/lnx-歲_|無2.

(l)a=O時，求/(X)在極值點處的曲率；

(2)“>0時，/'(X)是否存在極值點，如存在，求出其極值點處的曲率；

(3)8(%)=2配*-41+/%2,當(dāng)/(x),g(x)曲率均為。時，自變量最小值分別為毛，巧，求證:

17.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美''.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎

曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'(X)是"力的導(dǎo)函數(shù)，/"⑺是(卜)的導(dǎo)函數(shù)，則

K.一⑸

曲線y=/(x)在點處的曲率,1

口+［/(切)-

⑴求曲線〃x)=lnx+x在(1,1)處的曲率4的平方；

⑵求余弦曲線〃(x)=cos